ĐỀ GIẢI TÍCH 30/11/2014 CA 1 Câu 1 cho L = lim n→0 √1 + x33 − ebx2 ln(1 + x) − x cos(ax) tìm khẳng định sai a)L = 1 khi a = 0, ∀b b)L = 0 khi b = 0, ∀a c)L = 2b khi a = 1 d)L = 0 khi a = −1 và b = 0 C[.]
Trang 1ĐỀ GIẢI TÍCH 30/11/2014 CA 1
Câu 1: cho L = lim
n→0
√1 + x3
3
− ebx2 ln(1 + x) − x cos(ax) tìm khẳng định sai:
a)L = 1 khi a = 0, ∀b
b)L = 0 khi b = 0, ∀a
c)L = 2b khi a = 1
d)L = 0 khi a = −1 và b = 0
Câu 2: Khai triển Maclaurin của hàm f(x) = x
2+ x cos(x) tới bậc 4 với phần dư Peano
a)x + x2−1
2x
3−1
2x
4+ O(x4)
b)1 + x + x2+1
2x
3+1
2x
4 + O(x4)
c)x + x2+1
2x
3+1
2x
4+ O(x4) d)1 + x − x2− x3+ 2x4+ O(x4)
Câu 3: Với y = 1 + sin x , x ∈ (−π
2 ,
π
2) Tính x(y)́
√1 − x2
√1 − (y − 1)2
√(y − 1)2− 1
√x2− 1
Câu 4: Cho y = ln[f(ex + 1)] Tính y′
a)e
x f′(ex + 1)
f(ex + 1)
b)f′(e
x+ 1)
f(ex + 1)
Trang 2c) e
x f′(ex)
f(ex+ 1)
d) e
x (ex+ 1)
f(ex + 1)
Câu 5: Tìm khoảng lõm của đường cong f(x) = ln x +x
2
2 a) (1, +∞)
b) (−∞, −1) ∪ [1, +∞)
c) (−1; 1)
d)[−1; 1]
Câu 6: Tìm cực trị của hàm số f(x) = |x − 2|(2x + 1) a) fcđ = 0, fct = −3
b) fcđ = 0, không có cực tiểu
c)fct = 0, không có cực đại
d)fct = 0, fcđ =25
8 Câu 7: Khi x → 0 thỉ khẳng định nào sai:
a)√1 + 2x3 − ln(1 + x) − 1~−1
3 (ex− 1) b) x
1 + x2− sin x ~5x
3 (cos x − 1) c)x√1 + 2x2− ln(1 + x) ~1 − cos x
d) tan x − sin x ~ sin x − x cos x
Câu 8: Tìm tiệm cận của hàm y = x2lnx + 1
x a) y = x −1
2
b) x = 0, y = x −1
2 c) x = −1, y = x −1
2
Trang 3d) x = −1
Câu 9: Tìm giới hạn lim
n→+∞
ex2 − 1
n2+ 1 a) 1
b) 0
c) không tồn tại
d) + ∞
Câu 10: Tìm MXĐ của hàm f(x) = arcsin ( 3x
x2+ 2) a)(−∞, −2] ∪ [−1; 1] ∪ [2, +∞)
b)(−∞, −2] ∪ [2, +∞)
c)(−∞, −2) ∪ [−1; 1] ∪ (2, +∞)
d)(−∞, −2) ∪ (−1; 1) ∪ (2, +∞)
Câu 11: Khai triển Taylor hàm f(x) = 1
√x
3 đến bậc 2 tại x0 = 1 với phần dư Peano
a) 1 −1
2(x − 1) −2
9(x − 1)2+ O((x − 1)2) b) 1 −1
3(x − 1) −4
3(x − 1)2+ O((x − 1)2) c) 1 −1
3(x − 1) −2
9(x − 1)2+ O((x − 1)2) d) 1 −1
3(x − 1) +2
9(x − 1)2+ O((x − 1)2) Câu 12: Cho hàm f(x) = {
sin x + x2− xex x(cos x − 1) nếu x ≠ 0 3x + a nếu x = 0
Tìm a để hàm liên tục tại x = 0
a) a = −2
3
b) Các câu kia đều sai
c) a = 4
3
d) a = 2
Trang 4Câu 13: Tìm GTNN, GTLN của hàm f(x) = arctan x + 1
2x − 1 trên đoạn [0; 2] a) fmax = π
2, fmin =
−π 2 b) fmax = π
4, fmin =
−π 4 c) fmax = 1, fmin = −1
d) Các câu khác sai
Câu 14: Cho f(x) = |x| + |2x − 1| Tính f−1′ (1
2) a) − 3
b) 3
c) − 1
d) 1
Câu 15: Tính giới hạn lim
n→+∞n√n2 + 2ncos (π √π
2+ 2n
n
√n2 + 2n
a) 2
b) − 2
c) 2π
d) Không tồn tại
Câu 16: Cho giới hạn L = lim
x→0+
a1x − 1
a2x − 2
Tìm khẳng định sai
a) Khi 1 < 𝑎 < 𝑒: 𝐿 =a
e b) Khi 0 < 𝑎 < 1: 𝐿 =1
2 c) Khi a = 1: L = 0
d) Khi a>1: L=+∞
Câu 17: Tính giới hạn lim
x→0
x sin(ax) + x
1 + x3− a 𝑥
1 − x3− x
Trang 5a) a +a
3
6
b) a −a
3
6
c) a − a3
d) a + a3
Câu 18: Khi x → 0, sắp xấp các VCB sau theo thứ tự bậc giảm dần: α(x) = sin x2− x ln(1 + x) , β(x) = x
2
x2− 1+ x
2, γ(x) = √1 + 2x3 − e2x a) α(x), β(x), γ(x)
b) β(x), α(x), γ(x)
c) γ(x), β(x), α(x)
d) Các câu kia đều sai
Câu 19: Cho x = arcsin t , y = √1 − t2 Tính y′′(x)
a) − 1
b) − √1 − t2
c) √1 − t2
d) 1
√1 − t2
Câu 20: Cho hàm f(x) = e
x2 − 1
√1 + 2x3 Tìm đẳng thức sai a) f′(0) = 0
b)f′′′(0) = 0
c) f(5)(0) = 0
d) f(4)(0) = 1
2
Trang 6ĐÁP ÁN GT1 30/11 CA 1
Câu 1: L = lim
n→0
√1 + x3
3
− ebx2 ln(1 + x) − x cos(ax)
Tử số: √1 + x3 3− ebx2~ (1 +1
3x
3) − (1 + bx2)~ − bx2 +1
3x
3
Mẫu số: ln(1 + x) − x cos(ax) ~ (x −x
2
2 +
x3
3) − x (1 −
(ax)2
2 ) ~
−1
2 x
2+ (1
3+
a2
2) x
3
Nếu a = 0, b tùy ý: L = lim
n→0
−bx2
−1
2 x2
= 2b ⟹ câu a sai
Nếu b = 0, a tùy ý: L = lim
n→0
1
3x3
−1
2 x2
= 0 ⟹ câu b đúng
Nếu a = 1, b tùy ý: L = lim
n→0
−bx2
−1
2 x2
= 2b ⟹ câu c đúng
Nếu a = −1, b = 0: L = lim
n→0
1
3x3
−1
2 x2
= 0 ⟹ câu d đúng
Câu 2: Khai triển Maclaurin của hàm f(x) = x
2+ x cos(x) tới bậc 4 với phần dư Peano
x2+ x
cos(x)~
x2+ x
1 −x22
~(x2+ x) (1 +x
2
2) ~x + x
2+1
2x
3+1
2x
4 ⟹ câu C
Câu 3: Với y = 1 + sin x , x ∈ (−π
2 ,
π
2) Tính x(y)́
Ta có: x′ = 1
y′ =
1 cos x
Mà sin x = 1 − y ⟹ cos x = √1 − (1 − y)2
√1 − (1 − y)2 ⟹ câu B
Câu 4: Cho y = ln[f(ex + 1)]
Trang 7Chọn câu A Câu này đạo hàm từ từ, từ ngoài vào trong
Câu 5: Tìm khoảng lõm của đường cong f(x) = ln x +x
2
2 TXĐ: [1, +∞) (∗)
Cách 1: các bạn thấy chỉ có đáp án A thuộc khoảng xác định nên có thể chọn ngay và luôn ^^
Cách 2: Ta có: y′ =1
x+ x
y′′ =−1
x2 + 1
khoảng lõm ⟹ y′′ > 0 ⟺ x2 > 1 ⟺ x > 1 (do (∗))
⟹ Chọn câu A
Câu 6: Tìm cực trị của hàm số f(x) = |x − 2|(2x + 1)
y = { 2x2− 3x − 2 nếu x ≥ 2
−2x2+ 3x + 2 nếu x < 2
⟹ y′ = { 4𝑥 − 3 𝑛ế𝑢 𝑥 > 2
−4𝑥 + 3 𝑛ế𝑢 𝑥 < 2
𝑦′ = 0 ⟹ x = 3
4
𝑥 −∞ 3/4 2
+∞
𝑦′ + 0 - | +
𝑦
Khi xét dấu của y′𝑐á𝑐 𝑏ạ𝑛 𝑛ê𝑛 𝑐ℎú ý 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 2 𝑙à ℎà𝑚 𝑛à𝑜 𝑣à 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > 2 𝑙à ℎà𝑚 𝑛à𝑜
𝑓(2) = 0 𝑣à 𝑓 (3
4) =
25
8 ⟹ chọn câu D Câu 8: Tìm tiệm cận của hàm y = x2lnx + 1
x 𝑇𝑋Đ: 𝑥 > 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 < −1
lim
𝑥→0x2lnx + 1
x = lim𝑥→0x2ln (1 +1
𝑥) = lim𝑥→0
ln (1 +1𝑥)
−1
𝑥2
= lim
𝑥→0
− 1
𝑥2
1 +1𝑥
−2
𝑥3
= lim
𝑥→0
𝑥2 2(𝑥 + 1) = 0
Trang 8𝑥→−1x2lnx + 1
x = −∞ (𝑑𝑜 lim𝑥→−1lnx + 1
x = lim𝑥→−1ln 0 = −∞) ⟹ x = −1 là TCĐ 𝐾ℎ𝑖 𝑥 → ∞ 𝑡ℎì 𝑡𝑎 𝑡ℎấ𝑦 ln (1 +1
𝑥) 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐ô 𝑐ù𝑛𝑔 𝑏é
x2ln (1 +1
𝑥) = x
2(1
𝑥−
1 2𝑥2+ 𝑂 (1
𝑥2)) = 𝑥 −1
2+ 𝑥
2 𝑂 (1
𝑥2)
𝐾ℎ𝑖 𝑥 → ∞: x2ln (1 +1
𝑥) ~𝑥 −
1
2 ⟹ y = x −
1
2 𝑙à 𝑇𝐶𝑋
⟹ Chọn câu C
Câu 9: Tìm giới hạn lim
n→+∞
ex2 − 1
n2+ 1
Á𝑝 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑉𝐶𝐿 𝑡𝑎 𝑐ó: ex2 − 1~ex2 và n2+ 1~n2 Mà n2 ≪ ex2
⟹ Chọn câu D
Câu 10: Tìm MXĐ của hàm f(x) = arcsin ( 3x
x2+ 2)
−1 ≤ 3x
x2+ 2 ≤ 1 ⟹ Chọn câu A
Câu 11: Khai triển Taylor hàm f(x) = 1
√x
3 đến bậc 2 tại x0 = 1 với phần dư Peano
Đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 − 1 ⟹ f(t) = (1 + 𝑡)−13 = 1 −1
3𝑡 +
2
9𝑡
2+ 𝑂(𝑡2)
⟹ f(x) = 1 −1
3(𝑥 − 1) +
2
9(𝑥 − 1)
2+ 𝑂((𝑥 − 1)2)
⟹ Chọn câu D
Câu 12: Cho hàm f(x) = {
sin x + x3− xex x(cos x − 1) nếu x ≠ 0 3x + a nếu x = 0
Tìm a để hàm liên tục tại x = 0
Để ℎà𝑚 𝑠ố 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ℎì lim
𝑥→0
sin x + x2 − xex x(cos x − 1) = 𝑓(0) = 𝑎
lim
𝑥→0
sin x + x2− xex
x(cos x − 1) = lim𝑥→0
x −𝑥63+ x2− x (1 + x +𝑥2 )2
x (−𝑥2 )2
= 4
3= 𝑎
Trang 9⟹ Chọn câu C
Câu 13: Tìm GTNN, GTLN của hàm f(x) = arctan x + 1
2x − 1 trên đoạn [0; 2]
𝑦′ =
−3
(2𝑥 − 1)2
1 + (2x − 1)x + 1
2 < 0, ∀𝑥
𝑓(0) = −𝜋
4 𝑣à 𝑓(2) =
𝜋 4
lim
𝑥→12−
arctan x + 1
2x − 1 = −
𝜋 2
lim
𝑥→12+
arctan x + 1
2x − 1 = +
𝜋 2
𝐷𝑜 lim 𝑐ó 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝑙ớ𝑛 ℎơ𝑛 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị ( 𝜋
2 >
𝜋
4 ) 𝑛ê𝑛 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝐺𝑇𝐿𝑁
𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó 𝐺𝑇𝑁𝑁
⟹ Chọn câu D
Câu 14: Cho f(x) = |x| + |2x − 1| Tính f−1′ (1
2)
f−1′ (1
2) = lim𝑥→1
2
−
|x| + |2x − 1| −12
𝑥 −12
= lim
𝑥→12−
1
2− 𝑥
𝑥 −12
= −1
⟹ Chọn câu C
Câu 15: Tính giới hạn lim
n→+∞n√n2 + 2ncos (π √π
2+ 2n
n
√n2 + 2n
lim
n→+∞n√n2 + 2ncos (π √π
2+ 2n
n
√n2+ 2n
n→+∞n√2ncos (π √2
n
n
√2n
n ) (𝑑𝑜 𝑥𝑏(∀𝑏) ≪ 𝑎𝑥(𝑎 > 1))
= lim
n→+∞2 cos(π) = −2
⟹ Chọn câu B
Câu 16: Cho giới hạn L = lim
x→0+
a1x − 1
a2x − 2
Tìm khẳng định sai
Trang 10𝐾ℎ𝑖 𝑎 = 1: L = lim
x→0 +
11x − 1
12x − 2
= 0
Khi 0 < 𝑎 < 1 𝑡ℎì 𝑎+∞ = 0: L = lim
x→0 +
a1x − 1
a2x − 2
= 1 2
𝐾ℎ𝑖 𝑎 > 1: L = lim
x→0 +
𝑎1x − 1
𝑎2x − 2
= lim
x→0 +
− ln(𝑎)
𝑥2 𝑎1x
−2 ln(𝑎)
𝑥2 𝑎2x
= lim
x→0 +
𝑎−1x
2 = 0
⟹ Chọn câu A và D
Câu 17: lim
x→0
x sin(ax) + x
1 + x3− a x
1 − x3− x = limx→0
x(ax −(𝑎𝑥)3
6 ) + x(1 − 𝑥3) − a x(1 + 𝑥3) − x = limx→0
(𝑎 −𝑎
3
6 )𝑥4
𝑥4
⟹ Chọn câu B
Câu 18: Khi x → 0, sắp xấp các VCB sau theo thứ tự bậc giảm dần:
α(x) = sin x2− x ln(1 + x) , β(x) = x
2
x2− 1+ x
2, γ(x) = √1 + 2x3 − e2x α(x) = sin x2− x ln(1 + x) ~ (𝑥2 −𝑥
6
6) − 𝑥 (𝑥 −
𝑥2
2) ~
𝑥3 2 β(x) = x
2
x2 − 1+ x
2~ − 𝑥2(1 + 𝑥2) + x2~ − 𝑥4
γ(x) = √1 + 2x3 − e2x ~ 1 +2
3𝑥 − 1 − 2𝑥~
−4𝑥 3
⟹ Chọn câu B
Câu 19: Cho x = arcsin 𝑡 , y = √1 − t2 Tính y′′(x)
𝑥′(𝑡) = 1
√1 − 𝑡2
𝑦′(𝑡) = −𝑡
√1 − t2
⟹ y′(x) = −t = g(t)
⟹ y′′(x) = 𝑔
′(𝑡)
𝑥′(𝑡) = −√1 − t2
Trang 11⟹ Chọn câu B
Câu 20: Cho hàm f(x) = e
x2 − 1
√1 + 2x3 Tìm đẳng thức sai
ex2 − 1
√1 + 2x3~ (1 + 𝑥2+𝑥
4
2 − 1) (1 − 𝑥
3)~𝑥2+𝑥
4
2 − 𝑥
5
𝑓(4)(0) =1
2 4! 𝑣à 𝑓
(5)(0) = −5!
⟹ Chọn câu C hoặc D