Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 3 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HỆ THỐNG ĐÀN KIẾN 5 1.1 Tìm hiểu hệ thống đàn kiến 6 1.2 Mô phỏng hành vi thực tế của đàn kiến trong tự nhiên 7 1.2.1 Mô tả hành vi đàn kiến trong tự nhiên 7 1.2.2 Thí nghiệm chiếc cầu đôi 8 1.2.3 Mô hình ngẫu nhiên 12 CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN KNAPSACK VÀ GIẢI QUYẾT BẰNG THUẬT TOÁN ĐÃ BIẾT 15 2.1 Tổng quan bài toán 15 2.2 Ứng dụng của bài toán Cái túi 16 2.3 Độ phức tạp tính toán 17 2.4 Các thuật toán để giải quyết bài toán Knapsach 18 2.4.1 Khái niệm thuật toán quy hoạch động 18 2.4.2 Áp dụng vào bài toán 22 2.4.3 Khái niệm thuật toán tham lam 27 2.4.4 Áp dụng vào bài toán 29 CHƯƠNG 3. THUẬT TOÁN ACO CHO BÀI TOÁN KNAPSACK BỘI VÀ SO SÁNH, ĐÁNH GIÁ THUẬT TOÁN 32 3.1 Bài toán knapsack bội 32 3.2 Thuật toán ACO để giải bài toán Knapsack bội 33 3.3 Mô hình Pheromone 34 3.4 Thông tin Heuristic 36 3.4.1 Heuristics tĩnh 36 3.4.2 Heuristics động 36 3.5 So sánh giữa các giải thuật ACO 38 3.6.1 So sánh với thuật toán quy hoạch động 40 3.6.2 So sánh với thuật toán tham lam 42 CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN 44 4.1 Tổng kết quá trình nghiên cứu 44 4.2 Ý nghĩa và đóng góp của nghiên cứu 44 Tài liệu tham khảo 46
GIỚI THIỆU VỀ HỆ THỐNG ĐÀN KIẾN
Tìm hiểu hệ thống đàn kiến
Nghiên cứu về hệ thống đàn kiến (Ant System) đã mang lại nhiều kết quả thực tiễn thông qua việc quan sát hành vi của loài kiến và các mô hình giả lập đàn kiến nhân tạo Các nhà khoa học đã tận dụng những mô hình này như nguồn cảm hứng để thiết kế các thuật toán, từ đó đưa ra các giải pháp tối ưu hóa và phân phối kiểm soát cho các vấn đề trong thực tế.
Thuật toán tối ưu bầy kiến (ACO) là một phương pháp nghiên cứu hệ thống nhân tạo dựa trên hành vi tìm kiếm của bầy kiến thực, được ứng dụng để giải quyết các vấn đề tối ưu rời rạc ACO, một thuật toán metaheuristic, lần đầu tiên được giới thiệu bởi các nhà nghiên cứu Dorigo, Di Caro và Gambardella vào năm 1999.
Metaheuristic là một tập hợp các khái niệm về thuật toán, được sử dụng để xác định các phương thức tìm kiếm thích hợp cho nhiều loại vấn đề khác nhau Nói cách khác, siêu tìm kiếm (meta-heuristic) có thể được xem như một phương thức tìm kiếm đa năng.
ACO là một meta-heuristic sử dụng tập hợp các con kiến nhân tạo để tìm kiếm các giải pháp tối ưu cho các vấn đề tối ưu rời rạc Sự phối hợp giữa các con kiến là yếu tố cốt lõi trong các thuật toán ACO, cho phép chúng giao tiếp thông qua một trung gian được gọi là mùi.
Thuật toán ACO được áp dụng để giải quyết các vấn đề tối ưu tổ hợp, bao gồm cả vấn đề tĩnh và động Vấn đề tĩnh có đặc điểm là các yếu tố không thay đổi trong suốt quá trình giải quyết, trong khi vấn đề động lại có các tham số thay đổi theo thời gian, như bài toán người đưa thư.
Tối ưu hóa đàn kiến ACO (Ant Colony Optimization) được Marco Dorigo giới thiệu lần đầu vào năm 1992, còn được biết đến với tên gọi Hệ thống đàn kiến AS (Ant System) AS đã được áp dụng ban đầu cho bài toán người bán hàng (TSP).
Kể từ năm 1995, Dorigo, Gambardella và Stützle đã phát triển các hệ thống bầy kiến khác nhau, trong đó Dorigo và Gambardella giới thiệu Hệ thống Bầy Kiến (Ant Colony System - ACS) và Stützle cùng Hoos đề xuất Hệ thống Max-Min Ant System (MMAS), được đánh giá là hệ thống tính toán tiềm năng cho bài toán người bán hàng Năm 1996, M Dorigo và L.M Gambardella công bố ACS, áp dụng cho bài toán TSP Tiếp đó, năm 1997, G Di Caro và M Dorigo phát triển hệ thống AntNet, một phương pháp định hướng thích nghi, với phiên bản cuối cùng được công bố vào năm 1998 Đến năm 2001, C Blum, A Roli và M Dorigo giới thiệu hệ thống Hyper Cube - ACO, với phiên bản mở rộng ra mắt vào năm 2004 Các nghiên cứu gần đây về ACO tập trung vào phát triển các thuật toán biến thể nhằm nâng cao hiệu suất tính toán của Ant System, mở rộng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực cụ thể.
Mô phỏng hành vi thực tế của đàn kiến trong tự nhiên
1.2.1 Mô tả hành vi đàn kiến trong tự nhiên
Trong tự nhiên, kiến thường được coi là mù hoàn toàn và hành động của chúng mang tính chất mò mẫm Tuy nhiên, một nghiên cứu quan trọng đã chỉ ra rằng mọi hành vi của đàn kiến, như quá trình trao đổi thông tin giữa các con kiến hoặc giữa chúng với môi trường, đều dựa vào việc sử dụng pheromones - một loại hóa chất có mùi mà mỗi con kiến tự tạo ra.
Trong quá trình di chuyển, kiến tự động phát tán pheromones để dẫn đường Mỗi con kiến sẽ chọn hướng đi dựa trên nồng độ pheromones, ưu tiên hướng có nồng độ cao hơn Nếu nồng độ pheromones bằng nhau hoặc không có, kiến sẽ lựa chọn ngẫu nhiên Qua đó, các con kiến sẽ đi theo dấu chân của nhau, tạo thành những con đường mà chúng ta thường quan sát thấy trong tự nhiên.
Các lĩnh vực nghiên cứu về "Thuật toán đàn kiến" dựa trên quan sát hành vi thực tế của đàn kiến Những quan sát này được sử dụng làm nguồn cảm hứng để phát triển các mô hình, từ đó xây dựng nên các thuật toán mới nhằm giải quyết các vấn đề tối ưu hóa và điều khiển, cũng như xử lý phân tán hiệu quả.
1.2.2 Thí nghiệm chiếc cầu đôi
Hành vi kiếm ăn của đàn kiến, đặc biệt là ở một số loài kiến thợ như Linepithema Argentina và Lasius Germani, đã được nghiên cứu cụ thể, cho thấy rằng quá trình giao tiếp và trao đổi thông tin của kiến phụ thuộc vào nồng độ pheromones Nghiên cứu của Goss (1989) và Bonabeau (1990) đã chỉ ra rằng pheromones đóng vai trò trung gian quan trọng trong việc điều phối hoạt động kiếm ăn của đàn kiến.
Trong quá trình di chuyển từ tổ đến nguồn thức ăn và ngược lại, kiến để lại dấu tích của nồng độ pheromones, tạo thành “vết mùi pheromones” Chúng có khả năng ngửi mùi pheromones và thường chọn đường đi dựa trên xác suất, với những con đường được đánh dấu bởi nồng độ pheromones cao hơn.
Sự gửi vết mùi pheromones mô phỏng hành vi của một số loài kiến đã được kiểm tra qua các thí nghiệm của các nhà nghiên cứu Một trong những thí nghiệm nổi bật là thí nghiệm chiếc cầu đôi do Denebourg và các đồng nghiệp thiết kế Họ xây dựng một cây cầu kết nối tổ của đàn kiến với nguồn thức ăn Các nhà khoa học đã thử nghiệm với các tỷ lệ r = ll / ls giữa độ dài hai nhánh của cây cầu, trong đó ll là độ dài của nhánh dài và ls là độ dài của nhánh ngắn hơn.
Trong lần thử nghiệm thứ nhất, tỉ lệ độ dài hai nhánh của cây cầu là r
Ban đầu, các con kiến lựa chọn đường đi từ tổ đến nguồn thức ăn một cách ngẫu nhiên với xác suất đồng đều Qua thời gian, việc quan sát cho thấy tất cả các con kiến dần dần sử dụng chung một nhánh của cây cầu, mặc dù khởi đầu, chúng chọn đường đi một cách ngẫu nhiên.
Hình 1.1 Thí nghiệm chiếc cầu đôi (a) Hai nhánh có kích thước bằng nhau,
(b) Một nhánh có kích thước gấp đôi nhánh kia
Kết quả này được giải thích như sau:
Khi khởi hành, cả hai nhánh của cây cầu đều không có pheromones, cho phép các con kiến lựa chọn ngẫu nhiên Tuy nhiên, sự lựa chọn này dẫn đến sự khác biệt về số lượng kiến trên mỗi nhánh theo thời gian Khi di chuyển, loài kiến sẽ phát tán pheromones, làm cho nồng độ pheromones trên các nhánh trở nên khác nhau Điều này kích thích thêm đàn kiến chọn nhánh có nồng độ pheromones cao hơn, dẫn đến việc tất cả các con kiến sẽ hội tụ về một nhánh nhất định sau một thời gian.
Quá trình "tự xúc tác" hay "phản hồi tích cực" thể hiện rõ trong hành vi tự tổ chức của đàn kiến, nơi mà các mô hình vĩ mô được hình thành từ các tiến trình và sự tương tác ở mức độ "hiển vi" Khi các con kiến hội tụ về một nhánh, hành vi tập thể của bầy đàn có thể được giải thích qua hoạt động hiển vi của loài kiến hoặc qua tương tác cục bộ giữa các cá thể Đây cũng là một ví dụ về quá trình truyền thông tin gián tiếp thông qua tương tác với môi trường (stigmergy communication), trong đó các con kiến phối hợp hoạt động và khai thác thông tin qua những thay đổi của môi trường mà chúng di chuyển.
Trong thí nghiệm thứ hai, tỷ lệ độ dài giữa hai nhánh của cây cầu được thiết lập là r = 2, khiến chiều đường đi của nhánh dài gấp 2 lần nhánh ngắn Hầu hết các thử nghiệm cho thấy sau một khoảng thời gian, tất cả các con kiến chỉ lựa chọn đường đi ở nhánh ngắn hơn Khi các kiến rời khỏi tổ để khám phá môi trường, chúng phải chọn một trong hai nhánh, và do ban đầu hai nhánh xuất hiện như nhau, chúng sẽ chọn ngẫu nhiên Do đó, dự kiến rằng trung bình một nửa số kiến sẽ chọn nhánh ngắn và nửa còn lại sẽ chọn nhánh dài, mặc dù có thể có những dao động ngẫu nhiên ưu tiên cho một nhánh nhất định.
Thí nghiệm này cho thấy sự khác biệt quan trọng so với thí nghiệm trước, khi các con kiến thường chọn nhánh ngắn hơn để tiếp cận nguồn thức ăn và bắt đầu quay về tổ Tuy nhiên, khi phải lựa chọn giữa nhánh ngắn và nhánh dài, chúng sẽ ưu tiên nhánh có nồng độ pheromones cao hơn Điều này dẫn đến việc nồng độ pheromones tăng dần ở nhánh ngắn, và kinh nghiệm này sẽ được truyền lại cho các con kiến đi sau thông qua quá trình “tự xúc tác” đã được mô tả.
Quá trình trao đổi thông tin gián tiếp thông qua sự biến đổi của môi trường, cùng với quá trình "tự xúc tác" và độ dài của con đường, là những yếu tố chính trong việc lựa chọn đường đi Đặc biệt, mặc dù nhánh dài có thể gấp đôi nhánh ngắn, không phải tất cả các con kiến đều chọn nhánh ngắn; vẫn có một tỷ lệ nhỏ con kiến lựa chọn đường đi ở nhánh dài hơn Trường hợp này có thể được giải thích như một loại
“con đường khám phá” [4]
Khi đàn kiến tập trung vào một nhánh và kết nối với nguồn thức ăn, một thí nghiệm cho thấy rằng sau 30 phút, khi thêm một nhánh ngắn hơn vào khu vực di chuyển của đàn kiến, chúng vẫn chọn nhánh dài do nồng độ pheromones cao Hành vi này cho thấy rằng pheromones làm chậm tốc độ bay hơi, khiến cho đàn kiến không thể "quên" đường đi không tối ưu để khám phá những con đường mới ngắn hơn Quá trình bốc hơi pheromones diễn ra chậm, ảnh hưởng đến khả năng thăm dò của đàn kiến.
Hình 1.2 Thí nghiệm chiếc cầu đôi mở rộng.
Khi khởi tạo thí nghiệm, chiếc cầu chỉ có 1 nhành dài (a) Sau 30 phút, một tình huống mới xuất hiện, một nhánh ngắn hơn được nối vào trên chiếc cầu (b)
Deneubourg và các cộng sự (Deneubourg et al, 1990; Goss et al, 1989) đã đề xuất một mô hình ngẫu nhiên đơn giản nhưng đầy đủ để mô tả sự năng động của đàn kiến, như đã quan sát trong thí nghiệm chiếc cầu đôi Mô hình này thể hiện rằng đàn kiến luôn tìm cách tối ưu hóa hành vi của chúng trong quá trình di chuyển từ tổ đến nguồn thức ăn và ngược lại.
Trong mô hình này, cần xác định:
Số lượng kiến bò qua cầu ở mỗi hướng với tốc độ không đổi là v (cm/s) và chúng sẽ gửi lại một lượng pheromones trên nhánh đó.
+ Chiều dài của nhánh ngắn là ls (cm)
+ Chiều dài nhánh dài là ll (cm).
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN KNAPSACK VÀ GIẢI QUYẾT BẰNG THUẬT TOÁN ĐÃ BIẾT
Tổng quan bài toán
Hãy tưởng tượng bạn là một tên trộm lần đầu cướp một khu trưng bày đồ trang sức và đá quý trong bảo tàng Với chỉ một cái ba lô, bạn cần chọn những món đồ có giá trị nhất mà không làm túi quá nặng hoặc dễ bị vỡ Làm thế nào để tối đa hóa chiến lợi phẩm trong khi có quá nhiều lựa chọn để tính toán? Việc liệt kê tất cả hiện vật và trọng lượng của chúng có thể giúp, nhưng số lượng lựa chọn sẽ khiến việc ra quyết định trở nên phức tạp hơn.
Bài toán cái túi, hay còn gọi là "knapsack problem", là một bài toán toán học nổi tiếng trong tối ưu hóa tổ hợp, liên quan đến việc tối ưu hóa các giới hạn của máy tính Bài toán này yêu cầu xác định số lượng đồ vật cần đưa vào một bộ sưu tập sao cho tổng trọng lượng không vượt quá một giới hạn nhất định, trong khi tổng giá trị càng cao càng tốt Tên gọi của bài toán xuất phát từ tình huống thực tế, nơi người dùng phải lấp đầy một chiếc túi có kích thước cố định bằng những món đồ có giá trị cao nhất Vấn đề thường gặp trong việc phân bổ nguồn lực, nơi các quyết định phải được đưa ra từ một tập hợp các dự án hoặc nhiệm vụ không thể phân chia, tương ứng với ngân sách hoặc thời gian hạn chế.
Bài toán cái túi thuộc loại bài toán NP (nondeterministic polynomial time), có nghĩa là các vấn đề này yêu cầu máy tính thực hiện nhiều bước để tìm ra giải pháp Sự phức tạp của bài toán tăng lên đáng kể theo kích thước của các đầu vào.
Bài toán "knapsack" đã được nghiên cứu hơn một thế kỷ, bắt đầu từ các công trình đầu tiên vào năm 1897 Tên gọi này xuất phát từ nhà toán học Tobias Dantzig (1884–1956) và liên quan đến việc chọn lọc các vật có giá trị hoặc hữu ích nhất mà không làm quá tải hành lý.
Ứng dụng của bài toán Cái túi
Carsten Murawski, giáo sư tại Đại học Melbourne, Úc, cho biết rằng nhiều vấn đề trong cuộc sống, bao gồm kinh doanh, tài chính, logistics, tải trọng của container và máy bay, đều liên quan đến bài toán knapsack Ông nhấn mạnh rằng từ góc độ thực tế, bài toán knapsack rất phổ biến trong cuộc sống hàng ngày.
Các bài toán về cái túi xuất hiện trong quá trình ra quyết định trong thế giới thực ở nhiều lĩnh vực khác nhau Chúng bao gồm việc tìm cách cắt giảm nguyên liệu thô một cách hiệu quả, lựa chọn đầu tư và danh mục đầu tư, cũng như lựa chọn tài sản để chứng khoán hóa Bên cạnh đó, các bài toán này cũng liên quan đến việc tạo khóa cho Merkle – Hellman và các hệ thống mã hóa knapsack khác.
Thuật toán knapsack được áp dụng trong việc xây dựng và chấm điểm các bài kiểm tra, cho phép thí sinh lựa chọn câu hỏi để trả lời Trong các bài kiểm tra đơn giản, như 12 câu hỏi mỗi câu 10 điểm, thí sinh chỉ cần trả lời 10 câu để đạt tối đa 100 điểm Tuy nhiên, khi giá trị điểm không đồng nhất, việc lựa chọn trở nên phức tạp hơn Feuerman và Weiss đề xuất một hệ thống kiểm tra không đồng nhất với tổng điểm 125, yêu cầu học sinh trả lời tất cả câu hỏi trong khả năng của mình Thuật toán knapsack sẽ xác định tập hợp con câu hỏi mang lại điểm cao nhất cho mỗi học sinh, trong số các tập hợp có tổng điểm lên đến 100.
Vấn đề về cái túi và mối liên hệ với các bài toán NP-complete xuất hiện phổ biến trong cuộc sống thực Chẳng hạn, bài toán "nhân viên bán hàng lưu động" là một ví dụ điển hình của NP hoàn chỉnh, với thách thức là tìm ra con đường ngắn nhất để nhân viên bán hàng di chuyển giữa một số thành phố nhất định trước khi quay trở lại điểm xuất phát Bên cạnh đó, vấn đề định tuyến phương tiện cũng liên quan mật thiết, trong đó xem xét nhiều phương tiện thực hiện giao hàng.
Luciana Buriol, phó giáo sư tại Đại học Liên bang Rio Grande do Sul ở Brazil, đã nghiên cứu để tìm ra những cách tiếp cận mới trong lĩnh vực chăm sóc sức khỏe Cô làm việc với dịch vụ chăm sóc tại nhà, nơi bác sĩ và y tá thăm bệnh nhân tại nhà, nhằm tối ưu hóa các tuyến đường di chuyển với số lượng xe hơi hạn chế.
Một nghiên cứu năm 1999 của Kho lưu trữ thuật toán Đại học Stony Brook cho thấy, trong số 75 bài toán thuật toán, bài toán cặp là bài toán phổ biến thứ 19, chỉ đứng sau bài toán cây hậu tố (suffix tree) và bài toán đóng gói thùng (bin packing problems).
Độ phức tạp tính toán
Vấn đề cái cặp là một chủ đề thú vị từ góc nhìn của khoa học máy tính vì nhiều lý do, đặc biệt là trong bối cảnh bài toán quyết định của bài toán ba lô Bài toán này có thể đạt được giá trị tối thiểu, mở ra nhiều hướng nghiên cứu và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
Vấn đề này là NP-đầy đủ, vì vậy không có thuật toán nào được biết đến có thể giải quyết nó một cách chính xác và nhanh chóng trong mọi trường hợp.
Mặc dù bài toán quyết định thuộc lớp NP, bài toán tối ưu hóa lại không như vậy Việc giải quyết bài toán tối ưu hóa khó khăn không kém gì bài toán quyết định, và hiện tại chưa có thuật toán đa thức nào có thể đảm bảo đưa ra giải pháp tối ưu Điều này có nghĩa là không tồn tại giải pháp nào có giá trị lớn hơn, dẫn đến việc giải quyết vấn đề quyết định NP-đầy đủ.
Có một thuật toán thời gian giả đa thức sử dụng lập trình động.
Lược đồ xấp xỉ thời gian đa thức đầy đủ sử dụng thuật toán thời gian đa thức giả, được trình bày dưới đây, nhằm tối ưu hóa hiệu suất và tính hiệu quả của các chương trình con.
Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều trường hợp phát sinh và "các trường hợp ngẫu nhiên" từ một số bản phân phối vẫn có thể được giải quyết một cách chính xác.
Mối liên hệ giữa "quyết định" và "tối ưu hóa" thể hiện rõ khi một thuật toán đa thức giải quyết vấn đề "quyết định" có thể tìm giá trị lớn nhất cho bài toán tối ưu hóa bằng cách lặp lại thuật toán trong thời gian đa thức và tăng giá trị của k Ngược lại, nếu một thuật toán tìm được giá trị tối ưu cho bài toán tối ưu hóa trong thời gian đa thức, thì bài toán quyết định cũng có thể được giải trong thời gian tương tự bằng cách so sánh giá trị kết quả với giá trị k Điều này cho thấy cả hai phiên bản của vấn đề đều có độ khó tương tự nhau.
Một chủ đề quan trọng trong nghiên cứu là xác định các trường hợp "khó" của vấn đề cái túi đeo chéo, nhằm tìm hiểu đặc tính của những trường hợp thực tế có thể giúp giải quyết chúng dễ dàng hơn so với trường hợp xấu nhất Hành vi NP-hoàn chỉnh cho thấy sự phức tạp của vấn đề này Mục tiêu trong việc tìm kiếm các cá thể "cứng" là để ứng dụng chúng trong các hệ thống mã hóa khóa công khai, như hệ thống mã hóa Merkle-Hellman knapsack.
Độ cứng của bài toán ba lô phụ thuộc vào dạng đầu vào Cụ thể, nếu trọng số và lợi nhuận được biểu diễn dưới dạng số nguyên, bài toán trở thành NP-đầy đủ yếu Ngược lại, nếu trọng số và lợi nhuận là số hữu tỷ, bài toán là NP-đầy đủ mạnh Tuy nhiên, trong trường hợp trọng số hữu tỷ và lợi nhuận, vẫn có một lược đồ gần đúng với thời gian đa thức đầy đủ.
Các thuật toán để giải quyết bài toán Knapsach
2.4.1 Khái niệm thuật toán quy hoạch động a) Bài toán tối ưu:
Bài toán tối ưu bao gồm một hàm mục tiêu f, được gọi là hàm đánh giá, cùng với các hàm ràng buộc g1, g2, …, gn, đại diện cho các giá trị logic Mục tiêu của bài toán là tìm một cấu hình x thỏa mãn tất cả các ràng buộc g1, g2, …, gn, tức là gi(x) = TRUE (với i từ 1 đến n), đồng thời x phải là cấu hình tốt nhất, nghĩa là không tồn tại một cấu hình y nào khác thỏa mãn các hàm ràng buộc mà có giá trị f(y) tốt hơn f(x).
Bài toán tối ưu thường liên quan đến nhiều nghiệm khác nhau, mỗi nghiệm đều có một giá trị đánh giá riêng Mục tiêu chính là xác định nghiệm tối ưu, tức là nghiệm có giá trị đánh giá lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Một số ví dụ về bài toán tối ưu:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chúng ta cần tìm tọa độ (x, y) sao cho tổng x + y đạt giá trị lớn nhất, với điều kiện ràng buộc x² + y² ≤ 1 Vấn đề này bao gồm hàm mục tiêu là tối đa hóa x + y và hàm ràng buộc là x² + y² không vượt quá 1.
Bài toán xếp ba lô là một bài toán tối ưu hóa, trong đó có một chiếc ba lô có sức chứa tối đa trọng lượng M và n đồ vật (n ≤ 100) Mỗi đồ vật có trọng lượng wi và giá trị bi, với M, wi, bi là các số nguyên Mục tiêu là chọn và xếp các đồ vật vào ba lô sao cho tổng giá trị của ba lô là lớn nhất Giải quyết bài toán này đòi hỏi phải cân nhắc kỹ lưỡng giữa trọng lượng và giá trị của từng đồ vật để đạt được hiệu quả tối ưu nhất.
Hàm mục tiêu: Σb i -> max, i = 1, 2, …, n Hàm ràng buộc: Σw i