MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI VÀ LỜI BÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI VÀ LỜI BÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI VÀ LỜI BÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

.

.

Sáng kiến kinh nghiệm được xếp loại C cấp tỉnh năm học 2011-2012

LÊ THỊ HẰNG

(Trường THPT Triệu Sơn 5)

PHẦN I: MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước, nghị

quyết TW 4 khoá VII Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn

của trường THPT Triệu Sơn 5 năm học 2011-2012

- Năm học 2011-2012, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10 Đa số học

sinh nhận thức còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để

học sinh nắm được bài tốt hơn

- Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh

đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài

cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản Tuy nhiên trong thực

tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán

về phương trình vô tỷ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày

còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không

đáng có trong khi trình bày Tại sao lại như vậy?

- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình

bày ở phần đầu chương III (giữa học kỳ I) rất là ít và hạn hẹp chỉ có một tiết lý thuyết

sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà khó hiểu và

dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế Mặt khác do số tiết

phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo

viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa

ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức

độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục

.

Cô Lê Thị Hằng và con gái (Nha Trang, tháng 7/2010)

.

II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT, cùng

với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá

lại các kiến thức thành: “Một số kĩ thuật giải phương trình vô tỉ và một số lời bình

về phương trình vô tỉ’’.

- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em

học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một số các bài toán về

giải phương trình vô tỷ

.

III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

Học sinh THPT (đặc biệt là học sinh lớp 10).

.

IV/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU :

- Nội dung phần phương trình vô tỉ và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong

chương trình đại số 10

- Một số bài giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các đề thi Đại học - Cao

đẳng - TCCN

.

V/ NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI :

- Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho

giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình

thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi

gặp bài toán giải phương trình vô tỉ từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải

được một cách dễ dàng Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các

dạng toán và phân biệt được điều kiện nào là điều kiện cần và đủ của phương trình, khi nào thì ta có phép biến đổi tương đương, khi nào thì ta có phép biến đổi hệ quả và lưu ý đến việc loại bỏ nghiệm ngoại lai của phương trình

- Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lôgíc

phù hợp với trường THPT vùng nông thôn, có sáng tạo đổi mới Giới thiệu được các

dạng phương trình cơ bản, đưa ra được giải pháp và một số ví dụ minh hoạ

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10 hệ

THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Các em học sinh

có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các

bài tập cụ thể

Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương

ứng các bài tập tự luyện Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét bình luận

khắc phục những sai lầm cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương

pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất

.

VI/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng

dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong năm học từ 2003 đến

2011

VII/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 tại trường THPT Triệu Sơn 5 từ năm 2003 đến nay

PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG I: CỞ SỞ LÝ LUẬN

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động

học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi

dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ

môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán

một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một

cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài

tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương

trình chứa ẩn dưới dấu căn

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng

)

(x

f = g(x) và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện f(x) 0 Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ để

thực hiện được phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi

lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f(x)  0 là điều kiện

cần và đủ của phương trình

Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học

sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa

phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản

Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường

gặp và một số bài toán vận dụng biến đổi cơ bản và một số dạng bài toán thường gặp

khi thi đại học

.

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Học sinh trường THPT Triệu Sơn 5 nói riêng và một học sinh của các trường BC mới sát nhập công lập nói chung đa số là học sinh được tuyển vào sau khi thi không đỗ vào

các trường THPT công lập và hiện nay đã được thi tuyển nhưng do các em ở vùng

nông thôn còn thiếu thốn về mọi mặt nên kiến thức THCS còn non yếu,tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ

chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến

đổi,trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng Nhưng bên cạnh đó chương

trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này

.

CHƯƠNG III: MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp

tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh

với một số dạng và phương pháp giải cụ thể từng dạng:

* Dạng 1: phương trình f (x)= g(x) (1)

Phương trình (1)  





) ( g f(x)

0 g(x)

2 x

điều kiện g(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) sau khi giải phương

trình f(x) = g 2 (x) chỉ cần so sánh các nghiệm vừa nhận được với điều kiện g(x) 0

để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy

nghiệm

* Dạng 2: phương trình f(x)  g(x) (2)

Phương trình (2) 









) ( ) ( 0 ) (

x g x f x f

Điều kiện f(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2) Chú ý ở đây

không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f(x) và g(x) không âm vì

f(x)=g(x)

*Dạng 3: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ

1 Sử dụng ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai

a,Dạng Phương trình: ax2bx c  px2qx r ap ( 0) và a p q p

Đối với phương trình dạng này ta đặt: t px2qx r Chuyển phương trình đã

cho về phương trình bậc hai: At2Bt C 0

Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 x211 11 (ĐH Cảnh sát nhân dân – 2000)

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với: (x211) x211 42 0 

Đặt: t  x2 11 0 , ta được phương trình: 2 7

6

t

t









Khi đó: x211 36  x5

Ví dụ 2: Giải phương trình: x22x12 6 2 x24x4

Giải:

2

t  x  x   x  x  t 

10 2

t

t







Với t 2 x22x 0 x0; x2

Với t10 x22x 48 0  x6; x8

Đôi khi có những bài toán không phải là dạng trên, nhưng vẫn có thể đưa về phương

trình bậc hai được Cái này phụ thuộc vào sự linh hoạt trong giải toán của từng người

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x25x 2 2 2x2 5x 6 1 (ĐH Sư phạm Tp HCM – 2000)

Giải:

Đặt: t  2x25x 6 0 khi đó: 2x25x2 t28

Phương trình trở thành:

t    t

2

1 2

t

t t







 



 t 1

1

2

x

x







 



Hoàn toàn tương tự các bạn có thể giải các bài tập sau đây:

1 x2 3x 3 x2 3x6 3 ( ĐH Thương mại – 1998)

2 2 x 2 x 1 x 1 4 ( ĐH Khối D – 2005)

3 15x 2x2 5 2x215x11

b ,Dạng Phương trình: aP x( )bQ x( )c P x Q x( ) ( ) 0 ( abc0)

Cách giải:

 Xét Q x( ) 0  P x( ) 0

 Xét Q x ( ) 0, chia cả hai vế của phương trình cho Q x( ) và đặt:

( ) ( )

P x t

Q x

 , chuyển phương trình đã cho về dạng: at2ct b 0

Lưu ý: Từ cách đặt ( )

( )

P x t

Q x

  f x t( , ) 0 (x là ẩn) từ đó suy ra điều kiện của t

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x25x1 7 x31 (1)

Giải:

ĐK: x 1

Ta có: (1)  2(x2 x 1) 3( x1) 7 ( x1)(x2 x 1) (2)

Vì x 1 không phải là nghiệm của (2) nên chia hai vế của (2) cho x 1 ta được:

2 2 1 3 7 2 1

 

1

x x t

x

 



2 (1 ) 1 2 0

x t x t

      có:   x t4 6t2 3 Nên có điều kiện của t là:

0

x

t

t







 

Khi đó (3) trở thành: 2t2  7t 3 0

3 1 2

t t









 



Kết hợp với điều kiện của t ta có:

3

t 

Với t = 3 ta có: x2 8x10 0  x 4 6 thoả mãn điều kiện của x

Vậy phương trình có nghiệm: x  4 6

Chú ý:

 Hoàn toàn bình đẳng, các bạn có thể thực hiện phép chia cho P x( ) hoặc

( ) ( )

P x Q x

 Các bạn có thể giải bài toán trên bằng cách đặt: P x( )t Q x( ) hoặc

ngược lại

Lời bình 1: Các bạn có thể không cần tìm điều kiện của t như ở (4) nhưng khi

đó các phép biến đổi chỉ là phép biến đổi hệ quả và nhất thiết phải thay các giá trị của t

vừa tìm được để tìm x Còn nếu tìm điều kiện của t như bài trên ta không cần phải thay giá trị: 1

2

t  ngược trở lại

Lời bình 2: Bằng cách phân tích như ở lời bình 1 các bạn có thể xây dựng nên

các phương trình này một cách đơn giản:

2(x  x1) ( x  x 1) (x  x1)(x  x 1) ta được phương trình:

2 3 1 4 2 1

x  x  x x  Rõ ràng cách giải của các loại phương trình này là giống nhau,

tuy nhiên mức độ gây “nhiễu” lại khác nhau Cái này tuỳ theo từng đối tượng học sinh

mà ta có thể chọn các mức độ gây nhiễu khác nhau Nếu học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề thì sự gây “nhiễu” sẽ không có ý nghĩa gì nữa Chú ý các đẳng thức sau để có thể sáng tạo ra các bài toán dạng này:

 x4x2  1 (x42x21) x2 (x2 x1)(x2 x 1)

 x4 1 (x2 2x1)(x2 2x1)

 4x4 1 (2x2 2x1)(2x2 2x1)

Ví dụ 2: Giải phương trình: 5x214x 9 x2 x 20 5 x1 (1)

Giải:

Ta có (1)  5x214x9 x2 x 20 5 x1

2

20 0

1 0

x x x







25 (2)

x





 

(2)  3(x4) 2( x2 4x 5) 5 ( x4)(x2 4x 5) (4)

Dễ thấy x 4 không phải là nghiệm của (4)

Đặt x4t x2 4x 5 ( t 0), Khi đó (3) trở thành:

1

3

t

t







 



2

x x  x  x 

Kết hợp với (2) và (3) tacó: 5 61

2

x 

Với 2

3

t  ta có: 2

8 4

9

4

x

x







 



Kết hợp với (2) và (3) ta có:

8

x 

Vậy phương trình có hai nghiệm: 5 61

2

x  và x 8

Chú ý: Nếu phương trình: aP x( )bQ x( )c P x Q x( ) ( ) 0 ( abc0) thoả mãn:

( ) ( )

P x Q x k thì bài toán trở nên đơn giản đi rất nhiều Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 1 8 2

2

Giải:

Đặt: 8 1

0 2

x t x



 

1

x

x t





 Phương trình trở thành: t 1 2

t

2

Bài tập áp dụng:

1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x1m x 1 24 x21

2 Giải các phương trình:

a 2(x21) 5 3 x31

b 4x2 2 2x 4 x41

c 2 3 4 2

3

x  x  x x 

c, Dạng Phương trình: a P x ( )Q x( )b P x( ) Q x( )2a P x Q x( ) ( ) c 0

2 2 0

a b  )

Cách giải: Đặt P x( ) Q x( )t  t2 P x( )Q x( ) 2 P x Q x( ) ( )

Chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2 x2 2 x2 4 2 x2 (1)

Giải:

Đặt: t  x 2 x2 0   t2 2x 2 x2 4

Khi đó (1) trở thành: t2 t 2 0  t 2

Hay: x 2 x22 x2 ( thoả mãn (1))

Vậy phương trình có nghiệm x 2

Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 (1 x2 3) x 2(1 x2)

Giải:

ĐK:    1 x 1

Đặt: t x  1 x2; t  2 (theo Bunhiacopxki)

2

2

t

Phương trình đã cho trở thành: t3 2t2 3t 2 0

t t

 

 

 



2

x

x





4 2

3 2 2 0

x

x x





2

Hoàn toàn tương tự các bạn có thể giải các bài tập sau đây:

1 1 1 2 2

2

x  x 

11

x x

x



3 4 1 x 1 3 x2 1 x 1 x2

4 2 2 x x 2 3( x 1 x)

5 2x 3 x 1 3x 2x25x 3 16

d Dạng phương trình: (axb)n p a x b n( '  ')qx r

(x là ẩn số, a b a b p q r, , ', ', ' ' là các hằng số và paa ' 0 , n = 2, 3)

Thông thường để có các phương trình dạng này người ta thường đi từ các hệ phương

trình đối xứng hai ẩn hoặc hệ phương trình đối xứng gần hai ẩn ( hệ có nghiệm x = y)

Và phương pháp giải tất nhiên là đặt ẩn phụ để đưa về giải hệ phương trình Để làm rõ

điều đó ta xét hệ phương trình sau:

 

 

2 2







Việc giải hệ này đơn giản, xin không bàn tới nữa

Bây giờ ta sẽ đi xây dựng phương trình vô tỷ từ hệ đã cho

Thật vậy: Bằng cách đặt yf x( ) sao cho (2) luôn đúng, nghĩa là đặt:

2 1

y x  , khi đó ta có phương trình :

x12 ( x 2 1) 1  x22x x2

Vậy để giải phương trình : x22x x ta đặt lại như trên và đưa về hệ 2

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :  

2 2

 

 







, ta sẽ

xây dựng được phương trình dạng sau : đặt y   ax b , khi đó ta có

phương trình : x 2 a ax b b 

Tương tự cho bậc cao hơn :  n a n

 

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :

xn p a x b n '  ' và đặt y n ax b để đưa về hệ , chú ý về

dấu của 

Việc chọn ;  thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng:

xn p a x b n '  ' là chọn được

Dạng hệ gần đối xúng:

Ta xét hệ sau :

2 2

(1)







đây không phải là hệ đối xứng loại

2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài

toán phương trình sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x2 5 13x 3x 1 0