Tổng hợp bài toán elip ôn thi đại học

Các dạng bài toán Dạng 1Các bài toán này hay gặp trong đề thi TSĐH Viết phương trình chính tắc của Elip  E dựa vào các điều kiện cho trước... Dựa vào điều kiện bài toán cho, thiết lập

I Tóm tắt lý thuyết

Phương trình dạng chính tắc của Elip là

 

E

a b  , trong đó ab0

Elip có tâm đối xứng là gốc tọa độ O0, 0 Điểm M x y ,    E thì các điểm

 , ,  , ,  , 

M  x y M x y M x y cũng thuộc  E

Elip  E có độ dài trục lớn bằng2a, độ dài trục nhỏ bằng 2b

Tọa độ bốn đỉnh của Elip là A1a, 0 , A a2 , 0 , B10,b,B20,b

Tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của  E là Aa b, ,B a b C a , ,  ,b,Da,b

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của  E bằng 4 a b  

Elip có hai tiêu điểm F1c, 0là tiêu điểm trái và F c2 , 0là tiêu điểm phải

Elip có tâm sai

2 2

, 0 1



Elip có hai đường chuẩn

2

Một điểm M x y 0, 0   E ta có tính chất MF1 aex0và MF2  a ex0, được gọi là bán kính qua tiêu điểm

Có thể lượng giác hóa phương trình elip theo cách đặt xacos ,t ybsin ,t t0, 2

II Các dạng bài toán

Dạng 1(Các bài toán này hay gặp trong đề thi TSĐH) Viết phương trình chính tắc của Elip  E dựa vào các điều kiện cho trước

Tư duy. Giả sử elip có dạng chính tắc  

a  b   

Dựa vào điều kiện bài toán cho, thiết lập hệ hai phương trình để tìm ra avà btừ đó tìm được phương trình của Elip  E

Dạng 2 Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước

Tư duy. Giả sử điểm cần tìm làM x y 0, 0thuộc Elip ta có phương trình

x y

a b 

Dựa vào giả thiết bài toán cho để thiết lập một phương trình thứ hai, giải hệ ta suy ra được x y0, 0

Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng cắt Elip tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

Tư duy. Ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k, sau đó xét hệ

phương trình tạo bởi  E và đường thẳng

Một đường thẳng đi qua một điểm M x y 0, 0và có hệ số góc kcó phương trình

 0 0

yk xx y

Phương pháp gọi điểm Ta có thể giả sử tọa độ giao điểm là A x y 0, 0, biểu diễn tọa độ giao điểm còn lại theo x y0, 0và giải hệ tìm ra x y0, 0, từ đó viết được phương trình đường thẳng cần tìm

Dạng 4 Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip

Tư duy. Nếu Elip cắt đường tròn hoặc cắt một elip khách thì chúng sẽ giao nhau tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự A B C D và , , , ABCDlà hĩnh nhữ nhật

Để bốn điểm đó là bốn đỉnh của một hình vuông khi và chỉ khi tọa độ của bốn điểm thỏa mãn điều kiện

x y

Dạng 5 Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Tư duy. Với dạng bài toán này bạn đọc chú ý sử dụng bất đẳng thức Cơ bản

 2 2 2 2  2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi mqnp

Hoặc có thể đưa Elip về dạng lượng giác hóa

Dạng 6 Tính chất hình học của Elip

Tôi sẽ trình bày một số bài toán liên quan đến tính chất hình học của Elip, bạn đọc chỉ nên đọc để

Dưới đây là một số bài tập mẫu tôi sưu tầm từ một số đề thi thử năm 2013 của các trường và diễn đàn toán học trên cả nước cũng như sáng tác, mời bạn đọc cùng theo dõi Mong đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các sỹ tử trong kỳ thi đại học sắp tới

III Bài tập mẫu

Dạng 1 Viết phương trình chính tắc của Elip

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn   2 2

C x  y  Viết phương trình chính tắc của

Elip  E có tâm sai bằng 1

3, biết rằng  E cắt  C tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự A B C D và , , ,

3

AB BC, ABsong song với trục hoành

a b   

Tâm sai

2 2

1 3

e



Tọa độ bốn điểm A B C D là nghiệm của hệ phương trình , , ,

2 2

9

1









Dễ thấy ABCDlà hĩnh chữ nhật và điểm A x y , thì D x ,y Để 2 2

AB BC x  y x  y Suy ra

2 9 2 81 ,

Ta có hệ phương trình

2 2

2

2

729 1

80 3

81

1

10

a

b











Vậy phương trình của elip cần tìm là

 

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M2 3, 2 Viết phương trình chính tắc của Elip  E đi qua điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

Giải Giả sử  

a b   

Điểm M2 3, 2 E nên 122 42 1

a b 

Ta có tọa độ hai tiêu điểmF1c, 0và F c2 , 0nên MF1    c 2 3, 2 ,  MF2 c2 3, 2 

Tam giác

1 2

 

Vậy ta có hệ phương trình

2 2

2 2

2 2

16

24

12 4

a b

 





Vậy phương trình cần tìm của Elip là  

x y

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M2,1và đường tròn   2 2

C x y  Viết phương trình chính tắc của Elip  E biết hình chữ nhật cơ sở của  E nội tiếp trong  C và điểm M nhìn hai tiêu điểm của  E dưới một góc 0

60

Giải Giả sử  E có phương trình chính tắc:  

a b   

Đường tròn  C có tâm là gốc tọa độ O0, 0và bán kính R  21 Hình chữ nhật cơ sở của  E nội tiếp trong  C nên a2b2 R2 21

Hai tiêu điểm của  E là F1c, 0và F c2 , 0 Điểm  0

1 2 60

F MF  nên theo định lý hàm số côsin ta có

F F MF MF  MF MF c

Suy ra

 2  2  2  2  2  2

3

3





Với c  ta có hệ phương trình 2 3



Suy ra Elip  

x y

Với 2 25

3

c  ta có hệ phương trình

2

2 2

2 2

2

44 21

3 25

19 3

3

a

b





Suy ra elip  

Vậy có hai elip thỏa mãn yêu cầu bài toán là

 

x y

E   và  

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho biết Elip  E có chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng

16 2 3 , đồng thời một đỉnh của  E tạo với hai tiêu điểm một tam giác đều Viết phương trình đường tròn  T có tâm là gốc tọa độ và cắt  E tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình vuông

Giải Giả sử elip  

a  b   

Chu vi hình chữ nhật cở sở của  E là 4a b 16 2  3a b 4 2  3

Xét đỉnh M0,bcủa  E , tam giác MF F đều nên 1 2 1sin 600 1 3 3

c

MOMF MF b

Lại có c2 a2b2, suy ra 3

2

a

b  Từ đây suy ra a8,b4 3

Vậy phương trình của Elip  

x y

Giả sử đường tròn  T có phương trình   2 2 2

T x y R R Xét hệ tạo bởi  E và  T

1

64 48









Khi đó nếu  E cắt  T tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự là A B C D thì , , , ABCDlà hình chữ nhật Nếu điểm A x y , thì điểm D x ,yvà điểm Bx y,  Để ABCDlà hình vuông khi và chỉ khi

x  y x  y    Suy ra

2

2

R

R

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là

  2 2 384 :

7

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm M  1, 3 Viết phương trình chính tắc của elip

 E , biết  E đi qua M và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của  E bằng 4 10

Giải Giả sử elip  

a  b    Điểm M1, 3   E , ta có phương trình

1

a b 

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của Elip  E là

40

Vậy ta có hệ phương trình

4 2 2 2

2 2

1

40





Vậy có hai phương trình của Elip thỏa mãn yêu cầu bài toán là

 

75 25 8

x y

E   và  

48 16 5

x y

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip  E đi qua điểm

3, 4

A , biết rằng F và 1 F lần lượt là tiêu điểm trái và tiêu điểm phải của 2  E thỏa mãn AF1 2AF2

Giải Giả sử elip  

a  b    Do A E nên ta có phương trình 92 162 1

a b 

Tọa độ hai tiêu điểm F1c, 0và F c2 , 0 Bán kính qua tiêu điểm AF1 a c.3

a

  và AF2 a c.3

a

  Vậy

4

81

Ta có hệ phương trình

2

2 2

2 2

9 16

1

45 20 81

a











Vậy elip cần tìm có phương trình là

 

x y

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip  E biết đường tròn nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh là bốn đỉnh của  E có bán kính bằng 12

5 và chu vi hình chữ nhật cơ sở của  E bằng 28

Giải Giả sử  

a b    Chu vi hình chữ nhật cơ sở của  E bằng 4ab28

Bốn đỉnh của  E lần lượt là Aa, 0 , B0,b C a,  , 0 , D0,blà bốn đỉnh của một hình thoi Gọi Hlà hình chiếu của Oxuống cạnh CD Đường tròn tâm O, bán kính OHtiếp xúc với tất cả các cạnh hình thoi

ABCD Ta có

2 2

5

OCD

OH R



Vậy ta có hệ phương trình

2 2

7

4 12

3 5

a b

a ab

b

 

















Vậy phương trình elip cần tìm là

 

x y

Câu 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip  E biết rằng  E có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm của  E cùng nằm trên một đường tròn

Giải Giả sử elip  

a  b    Độ dài trục lớn bằng 2a4 2a2 2 Các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm cùng nằm trên một đường tròn nên chúng cách đều gốc tọa độ, suy

2

a

b c a b b 

Vậy elip cần tìm có phương trình

 

x y

Dạng 2 Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho Elip  

x y

E   , biết F 1 5, 0và F2 5, 0

là hai tiêu điểm của  E Tìm điểm M nằm trên  E sao cho MF1 3MF2

Giải Giả sử điểm M x y 0, 0   E ta có phương trình

x y

Ta có 1 3 5 0

3

MF   x và 2 3 5 0

3

MF  MF   x    x x 

Từ đó suy ra 0 55

5

y  

Vậy có hai điểm cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1 9 5, 55

M   

và 2 9 5, 55

M  

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip  

x y

E   và điểm A2, 0 Tìm hai điểm Avà Btrên  E sao cho tam giác ABCđều

Giải Điểm A2, 0là một đỉnh nằm trên trục lớn của  E nên tam giác ABCđều thì Bvà Cđối xứng với nhau qua trục hoành Gọi B x y 0, 0   E ,x0 2, ta có phương trình

x y

Điểm C x 0,y0, ta có  ,  3

2

BC

2

Từ đây ta có phương trình 2  2 0

0 0

0

2 2

7

x x

x

x





 



Chỉ nhận nghiệm 0 2 0 4 3

x   y  

Vậy có hai cặp điểm cần tìm là 2, 4 3 ; 2 4 3,

B   C 

hoặc 2 4 3, ; 2, 4 3

B  C  

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip  

x y

E   Tìm tọa độ điểm M thuộc  E , biết rằng

M nhìn hai tiêu điểm của  E dưới một góc 0

90

Giải Gọi M x y 0, 0   E , ta có phương trình

1

x y

  Tam giác vuông MF F , có 1 2



và MF2  5x0,y0

 

Ta có hệ phương trình

2 2

3 5

4 5 5

5





 

Vậy có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

M   M   M    M   

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip  

x y

E   có hai tiêu điểm F 1 1, 0và F21, 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc  E sao cho MF124MF22đạt giá trị nhỏ nhất

Giải Gọi điểm M x y 0, 0   E , ta có phương trình

1

x y

  và x  0  2, 2

Bán kính qua tiêu điểm 1 2 1 0

2

2

Vậy

MF  MF   x     x   x  x 

Xét hàm số ( ) 5 2 6 20

4

f x  x  x trên đoạn 2, 2ta tìm được giá trị nhỏ nhất của f x bằng (2) 13( ) f 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  , suy ra 0 2 y  Vậy 0 0 2 2

MF  MF đạt giá trị nhỏ nhất khi M2, 0

Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng giao với Elip thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip  

x y

E   và điểm M2,1 Viết phương trình đường thẳng cắt  E tại hai điểm phân biệt Avà Bsao cho M là trung điểm của AB

Giải Gọi A x y 0, 0   E , ta có phương trình

x y

Do M là trung điểm của ABnên B4x0, 2y0, nhưng do B E nên ta có phương trình

4 02 2 02

1

Vậy ta có hệ phương trình

1

1

1







Nhận thấy điểm Avà M thuộc đường thẳng 8x9y25 , nên phương trình đường thẳng cần tìm là 0

: 8x 9y 25 0

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M  1,1đồng thời cắt elip  

x y

E   tại hai điểm phân biệt Avà Bsao cho MA3MB

Giải Vì  1 2 12 1



    nên điểm M  1,1nằm ngoài  E Suy ra MA3MB

Gọi điểm B x y 0, 0   E , ta có phương trình

1

x y

Gọi A x y , thì do MA3MB

0 0







Nhưng do A E nên ta có phương trình

3 0 22 3 0 22

1

Vậy ta có hệ phương trình

2

1

52 104 133 0 1

1





Hệ trên vô nghiệm, do vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 2 2,

3 3

M 

 và cắt

elip  

x y

E   tại hai điểm phân biệt Avà Bsao cho MA2MB

Giải Vì

4

        nên điểm M nằm trong elip  E Nên ta có MA 2MB

Gọi điểm B x y 0, 0   E , ta có phương trình

x y

  Gọi A x y , thì do MA 2MB

nên ta có

0

0 0 0

2

2

     





  

      



Nhưng do A E nên ta có phương trình

 2 0 22  2 0 22

1

Ta có hệ phương trình

2

0

0

0

8

0

5

x





Với B0,1đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và Bnên có phương trình là

:x 2y 2 0

   

Với 8 3,

5 5

B 

 đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và Bcó phương trình là

: 5x 70y 50 0

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là :x2y  và 2 0 : 5x70y50 0

Dạng 4 Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho 2 elip  

2 2

16

x

E y  và  

x y

E   Viết

phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của  E và 1  E 2

Giải Tọa độ giao điểm của  E1 và  E2 là nghiệm của hệ phương trình

2

2 2

2

432 1

1

55

x

x y

y







Do vậy  E1 cắt  E2 tại 4 điểm phân biệt có tọa độ thỏa mãn 2 2 92

11

x y 

Vậy phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của  E1 và  E2 có phương trình là

  2 2 92 :

11

C x y 

IV Các bài toán đã thi

Câu 1(TSĐH Khối A 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của

elip  E biết rằng  E có tâm sai bằng 5

3 và hình chữ nhật cơ sở của  E có chu vi bằng 20 Đáp số  

x y

Câu 2(TSĐH Khối A 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip  

x y

E   Tìm tọa độ điểm

Avà Bthuộc  E , có hoành độ dương sao cho tam giác OABcân tại Ovà có diện tích lớn nhất

Đáp số 2, 2

2

A 

2

B  

hoặc 2, 2

2

A  

và 2, 2

2

B 

Câu 3(TSĐH Khối A và A1 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn

  2 2

C x y  Viết phương trình chính tắc của elip  E , biết rằng  E có độ dài trục lớn bằng 8và

 E cắt  C tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông

Đáp số  

16 16

3

x y

Câu 4(TSĐH Khối B 2012) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCDcó

2

AC BDvà đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2y2  Viết phương 4 trình chính tắc của elip  E đi qua các đỉnh , , ,A B C D của hình thoi Biết Athuộc Ox

Đáp số  

x y