Lý thuyết xác xuất thống kê trường đh kinh tế quốc dân

Lý thuyết xác xuất thống kê trường đh kinh tế quốc dân NEU. Bao gồm 7 bài Bài 1: Biến cố và xác suất Bài 2 Các định lý xác suất Bài 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 4 Biến ngẫu nhiên liên tục Bài 5 Cơ sở lý thuyết mẫu Bài 6 Ước lượng tham số Bài 7 Kiểm định giả thuyết thống kê

Hướng dẫn học

Đây là bài học mở đầu cho môn học, gồm các khái niệm cơ bản, các ký hiệu quan trọng

sẽ dùng cho tất cả các bài sau Với mỗi khái niệm hoặc định nghĩa đều có các ví dụ cụ thể

và chi tiết để giải thích, minh họa Vì vậy người học cần theo dõi các ví dụ và làm các bài tập để hiểu rõ và nắm chắc khái niệm cũng như cách thức tính toán Càng về sau các ví dụ

sẽ nâng cao dần và các ví dụ sau sẽ sử dụng kết quả của ví dụ trước, vì vậy không được

bỏ qua ví dụ nào trong quá trình học tập

Bài này giới thiệu về một số khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất như phép thử, biến cố

và xác suất của biến cố Đồng thời hướng dẫn các phương pháp tính xác suất của biến cố

và cách xác định mối quan hệ giữa các biến cố Ngoài ra, hai nguyên lí xác suất cũng được nêu ra trong bài

Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

 Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn

 Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của NXB Đại học KTQD.

 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email

 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học

Nội dung

 Các khái niệm cơ bản: phép thử, kết cục, biến cố, xác suất

 Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp

Sau khi học xong bài này, sinh viên cần đảm bảo được các yêu cầu sau:

 Hiểu rõ các khái niệm, đặt biến cố, phân biệt các loại biến cố

 Hiểu khái niệm xác suất, điều kiện quy ước của xác suất

 Tính xác suất khi liệt kê được biến cố, liệt kê dạng bảng, sử dụng đại số tổ hợp

 Hiểu khái niệm tần suất, nguyên lý xác suất nhỏ và lớn

 Biết cách biễu diễn một biến cố qua tổng hoặc tích của các biến cố khác và xác định được mối quan hệ giữa các biến cố trong tổng hoặc tích

Bài 1: Biến cố và xác suất

2

Xác suất để người chơi trúng thưởng

Tình huống về xác suất trong kinh tế thông thường khá phức tạp và có rất nhiều trường hợp riêng Vì vậy tại đây ta xét một tình huống về trò chơi có thưởng trên truyền hình, xét về khía cạnh nào đó thì đây cũng là tình huống kinh tế vì phần thưởng là lợi ích kinh tế mà người chơi đạt được còn người tổ chức trò chơi mất đi

Một người tham gia trò chơi trên truyền hình, chẳng hạn chương trình “Hãy chọn giá đúng” Có hai bàn ký hiệu là A và B, mỗi bàn có 5 cái hộp giống hệt nhau Người chơi được biết trong số 5 hộp của bàn A chỉ có 3 hộp bên trong có phần thưởng; trong số 5 hộp tại bàn B chỉ có 2 hộp bên trong có phần thưởng, nhưng không biết cụ thể là hộp nào

Tình huống 1: Người chơi phải chọn một bàn và từ đó lấy một hộp, và sẽ nhận được phần

thưởng bên trong hộp (nếu có)

Tình huống 2: Người chơi được lấy từ bàn A ra hai hộp, để riêng ra rồi mới mở Hãy đánh giá khả

năng người chơi: Được hai phần thưởng, được một phần thưởng, không được phần thưởng nào

1 Người chơi có chắc chắn mình sẽ được phần thưởng không? Có chắc chắn mình sẽ không được gì hay không?

2 Nếu muốn có được phần thưởng thì người chơi nên chọn bàn A hay bàn B?

3 Nếu lệ phí tham gia trò chơi là 10 nghìn và phần thưởng có trị giá là 500 nghìn thì số tiền được/mất của người chơi và chủ trò chơi có những trường hợp nào và khả năng là bao nhiêu?

Hãy tìm các tình huống tương tự như trò chơi này trong đời sống kinh tế xã hội?

Môn học nghiên cứu những hiện tượng có tính ngẫu nhiên trong kinh tế – xã hội Hiện tượng có tính ngẫu nhiên xuất hiện thường xuyên quanh ta, do đó ta sẽ xuất phát từ những hiện tượng đơn giản thường gặp trong cuộc sống

Để xây dựng các lý thuyết và tìm hiểu các ví dụ tính toán, trước hết ta bắt đầu với những khái niệm cơ bản nhất, là phép thử, biến cố

Định nghĩa 1.1 – Phép thử: Phép thử là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ

bản xác định để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không Hiện tượng có

thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố

Khi thực hiện một phép thử, các kết quả có thể xảy ra gọi là kết cục, và biến cố là một tập hợp các kết cục mà người nghiên cứu quan tâm Việc “thực hiện nhóm các điều kiện” không nhất thiết là chính người nghiên cứu phải làm thử, mà có thể ghi nhận lại thông tin từ người khác đã thử

Ví dụ 1.1 Một người đi học quan tâm đến kết quả làm bài kiểm tra trắc nghiệm của

chính mình thế nào, có thể thực hiện phép thử thông qua việc làm một bài tập gồm hai

câu trắc nghiệm Việc làm bài tập là một phép thử Khi làm bài có thể có các kết cục xảy ra: không làm đúng câu nào, làm đúng một câu, làm đúng cả hai câu Khi đó các hiện tượng có thể xảy ra đó gọi là biến cố Ta có các biến cố: biến cố không làm đúng câu nào, biến cố làm đúng được một câu, biến cố làm đúng cả hai câu

Trong trường hợp trên, người đó quan tâm đến hiện tượng của chính mình nên phải tự làm bài Nếu như người đó không phải người đi học, và chỉ quan tâm đến việc học viên làm bài thế nào, thì có thể quan sát kết quả của một sinh viên khác, cũng có thể cho một phép thử

Ví dụ 1.2 Một người quan tâm đến việc đầu tư vào một mã chứng khoán, và lợi

nhuận trên một cổ phần sau đúng 1 năm Người đó không nhất thiết phải đầu tư thực

sự, mà có thể theo dõi giá cổ phiếu đó trên các sàn giao dịch Khi đó phép thử chính là ghi nhận lại thông tin xảy ra sau đúng 1 năm Có rất nhiều kết cục có thể xảy ra vì giá

cổ phiếu có thể có rất nhiều giá trị có thể có Người quan tâm có thể xét các biến cố:

có lãi (giá sau 1 năm tăng lên so với giá mua vào), hòa (giá như cũ), lỗ (giá giảm) Biến cố có lãi có thể xét thành nhiều biến cố nhỏ hơn như: lãi trên 1 nghìn đồng/cổ phần, lãi trên 10 nghìn đồng/cổ phần…

Với bài đầu tiên, để đơn giản và dễ dàng trong tính toán, ta xét hai ví dụ cơ bản sau:

Ví dụ 1.3 Quan tâm đến việc gieo đồng xu sẽ xảy ra những hiện tượng gì, một người

gieo một đồng xu cân đối, đồng chất, trên một mặt phẳng cứng Việc gieo đồng xu đó một lần là thực hiện một phép thử Với phép thử gieo đồng xu đó, sự kiện “xuất hiện mặt sấp”, “xuất hiện mặt ngửa”… là các biến cố

Ví dụ 1.4 Gieo một con xúc sắc cân đối, đồng chất, trên một mặt phẳng cứng là thực

hiện một phép thử Những sự kiện “xuất hiện mặt có i chấm”, với i = 1, , 6 là những

biến cố

Bài 1: Biến cố và xác suất

4

1.1.2 Các loại biến cố

Biến cố là hiện tượng do ta xác định, có tính chủ quan, trong khi đó kết quả của phép thử là khách quan, do đó có các trường hợp khác nhau

Trong thực tế khi thực hiện một phép thử, có thể xảy ra các loại biến cố sau:

 Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi phép thử được thực hiện, ký

hiệu là  (đọc là ômêga) hoặc ký hiệu là U

 Biến cố không thể có: là biến cố nhất định không xảy ra khi phép thử được thực

hiện, ký hiệu là  (đọc là rỗng) hoặc ký hiệu là V

 Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được

thực hiện Thường ký hiệu các biến cố ngẫu nhiên bởi các chữ in hoa: A, B, C Trường hợp có nhiều biến cố thì có thể đánh số như A1, A2…

Ví dụ 1.3 (tiếp) Trong phép thử gieo một lần đồng xu, thì:

 Biến cố : “xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa” là biến cố chắc chắn

 Biến cố : “xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa” là biến cố không thể

 Biến cố S: “xuất hiện mặt sấp” là biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ 1.4 (tiếp) Trong phép thử gieo một con xúc sắc, thì:

 Biến cố : “xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là biến cố chắc chắn

 Biến cố : “xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 7” là biến cố không thể

 Biến cố A: “xuất hiện mặt có 2 chấm” là biến cố ngẫu nhiên

 Biến cố B: “xuất hiện mặt có số chấm chẵn” là biến cố ngẫu nhiên

Trong kinh tế, việc nhận thức tính ngẫu nhiên của hiện tượng không quá khó, tuy nhiên việc quan trọng không kém là phải đo lường được sự ngẫu nhiên đó để ra quyết định Với các phương án đầu tư, nhà đầu tư không chỉ nhận ra rằng việc “có lãi” là biến cố ngẫu nhiên (có thể có lãi hoặc không có lãi) mà còn quan tâm đến “khả năng

có lãi” và muốn chọn phương án nào có “khả năng có lãi” cao hơn Không chỉ là “khả năng có lãi” mà còn là “khả năng có lãi cao” Khi đó xuất hiện vấn đề đo lường khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên

Nhận thấy việc đo lường “khả năng” cần phải xét một cách khách quan, nghĩa là không phải nhận định hoàn toàn chủ quan của một người nào đó Với những ví dụ đơn giản, phép thử là dễ thực hiện hoặc dễ suy luận, việc nhận thức về con số khách quan

có thể cảm nhận được, vì vậy ta xét từ những ví dụ đơn giản Bằng trực giác ta có thể nhận thấy, khả năng xảy ra của các biến cố khác nhau là không như nhau

Chẳng hạn, ta nhận thấy khả năng để “xuất hiện mặt sấp” (S) khi gieo một đồng xu sẽ lớn hơn khả năng để “xuất hiện mặt 2 chấm” (A2) khi gieo một con xúc sắc Hơn nữa, khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như nhau người

ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ

được thể hiện theo những qui luật nhất định Từ đây cho thấy, có thể đo được khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó trong phép thử

Định nghĩa 1.2 – Xác suất: Xác xuất của một biến cố là một con số đặc trưng khả

năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử

 Ký hiệu: xác suất của biến cố A là P(A)

Vì con số đo khả năng có thể có nhiều dạng thể hiện, chẳng hạn trong đời thường

ta vẫn nói “khả năng 80%”, “khả năng 10 trên 10”; “khả năng là 5 ăn 5 thua”, cần chuẩn hóa đại lượng này để thống nhất trong tính toán

 Quy ước: Xác suất phải là con số nằm trong đoạn từ 0 đến 1, xác suất càng lớn thì

khả năng xảy ra của biến cố càng nhiều

Theo cách hiểu trên, khi xác suất của A lớn hơn xác suất của B: P(A) > P(B) thì ta nói khả năng xảy ra của A lớn hơn khả năng xảy ra của B, hay A dễ xảy ra hơn B và B khó xảy ra hơn A Nếu P(A) = P(B) thì nói khả năng xảy ra của A và B là như nhau

Ta có thể mô tả các khái niệm qua một sơ đồ hình học như trong hình 1.1

Hình 1.1 Mô tả biến cố

Trong hình 1.1, toàn bộ khả năng có thể có chính là biến cố chắc chắn , được mô tả bởi hình chữ nhật, biến cố A được thể hiện như một tập hợp trong  Nếu diện tích của hình chữ nhật  bằng 1, thể hiện xác suất biến cố chắc chắn bằng 1, thì diện tích hình (gần) tròn A thể hiện xác suất xảy ra biến cố A Trong hình vẽ có thể thấy xác suất xảy ra biến cố A là lớn hơn xác suất xảy ra biến cố B

Có thể nói cụ thể hơn, nếu chấm hoàn toàn ngẫu nhiên một điểm bất kỳ trong phạm vi hình chữ nhật  thì khả năng chấm vào trong hình tròn A sẽ lớn hơn khả năng chấm vào trong hình tròn B

Như vậy nếu những câu nói về khả năng đúng là con số khách quan, thì:

 “Khả năng 80%” chuyển đổi thành xác suất bằng 0,8

 “Khả năng 10 trên 10” chuyển đổi thành xác suất bằng 1

 “Khả năng là 5 ăn 5 thua” chuyển đổi thành xác suất bằng một nửa, hay 0,5

Cũng từ đó có thể thấy:

 Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1: P() = 1

 Xác suât của biến cố không thể có bằng 0: P() = 0

 Xác suất của biến cố ngẫu nhiên nằm trong khoảng 0 đến 1: 0 < P(A) < 1

Vấn đề đặt ra là làm sao để tính được các xác suất khách quan đó, con số phải có tính logic, hợp lý và được mọi người công nhận Các phần sau sẽ trình bày về các định nghĩa, hay các cách thức để tính xác suất



Bài 1: Biến cố và xác suất

6

1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Cách tính xác suất theo suy luận cổ điển được đề cập đến từ hơn 300 năm trước, tính bằng cách đếm xem có tổng cộng bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra, trong số đó có bao nhiêu trường hợp có hiện tượng mà ta nghiên cứu để tính khả năng Cách suy luận

này được đưa thành một công thức, và được gọi là định nghĩa cổ điển hay công thức

cổ điển

1.3.1 Định nghĩa cổ điển

Định nghĩa 1.3 – Công thức cổ điển: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép

thử là tỉ số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả

năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó

Nếu ký hiệu: n là tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng;

m là số kết cục thuận lợi cho A (kết cục làm cho A xảy ra);

P(A) là xác suất của biến cố A

1.3.2 Phương pháp liệt kê

Để áp dụng định nghĩa cổ điển, cần phải biết số kết cục đồng khả năng và số kết cục thuận lợi Trong nhiều trường hợp ta có thể liệt kê được các kết cục này để tính xác suất

(a) Xuất hiện 2 mặt sấp

(b) Xuất hiện 1 mặt sấp, 1 mặt ngửa

(b) Đặt B là biến cố “xuất hiện 1 mặt sấp, 1 mặt ngửa”, ta có: mB = 2 vì có hai trường hợp thỏa mãn biến cố B, đó là Sấp – Ngửa và Ngửa – Sấp Do đó:

(c) Đặt C là biến cố “có xuất hiện mặt sấp” có nghĩa là “có xuất hiện ít nhất một mặt sấp”, ta có: mB = 3 vì có ba trường hợp thỏa mãn biến cố C, gồm trường hợp có 1 mặt sấp và trường hợp có 2 mặt sấp

(a) Xuất hiện mặt 6 chấm

(b) Xuất hiện mặt có số chấm là bội của 3

Giải:

Khi gieo 1 con xúc sắc thì có 6 kết cục xảy ra là xuất hiện 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm và 6 chấm Trong đó, mỗi kết cục là duy nhất và các kết cục này đều có khả

năng xảy ra như nhau Vì vậy, có tất cả là 6 kết cục duy nhất đồng khả năng hay n = 6

(a) Đặt A là biến cố “xuất hiện mặt 6 chấm”

Biến cố A xảy ra chỉ khi xuất hiện 6 chấm hay số kết cục thuận lợi cho A là mA = 1

Vậy: ( ) 2 1

 

P B

như sau (con số trong bảng là số lượng người):

Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một người thì người đó:

(a) Có học về kinh tế (Biến cố A)

(b) Có học về kinh tế và ngoại ngữ (Biến cố B)

(c) Có học ít nhất một ngành (Biến cố C)

(d) Không học ngành nào (Biến cố D)

Bài 1: Biến cố và xác suất

8

Giải:

Để biết số kết cục duy nhất đồng khả năng, cộng toàn bộ số người trong công ty, ta có:

n = 25 + 15 + 7 + 3 = 50

Đề bài đã đặt tên biến cố, do đó tại đây ta không cần đặt lại

(a) Số người có học về kinh tế là: mA = 25 + 7 = 32

Xác suất người được chọn có học về kinh tế:

(b) Số người có học về kinh tế và ngoại ngữ: mB = 25

Xác suất người được chọn có học về kinh tế và ngoại ngữ:

(d) Số người không học ngành nào: mD = 3

Xác suất người được chọn không học ngành nào:

Công thức tổ hợp

Từ một bộ n phần tử, chọn ra cùng lúc k phần tử (0  k  n), thì số trường hợp sẽ là tổ hợp chập k của n, ký hiệu là k

n C

Trong đó dấu ! là ký hiệu cho giai thừa: n!n n( 1)(n2) 2.1

Công thức trên có vẻ rắc rối, với k nhỏ có thể dùng cách sau: Tổ hợp chập k của n là phân số mà trên là k số lùi dần từ n, và dưới là k số lùi từ k về 1

Chẳng hạn:

2 10

(c) Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp ra hai sản phẩm, tính xác suất để lấy được một chính phẩm và một phế phẩm

Giải:

(a) Đặt A là biến cố “lấy ra 1 sản phẩm thì được chính phẩm”

Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp ra một sản phẩm ta có thể lấy được bất kì sản phẩm nào trong số 10 sản phẩm Vì vậy, có tất cả là 10 kết cục duy nhất đồng khả năng hay

(b) Đặt B là biến cố “lấy ra 2 sản phẩm thì được 2 chính phẩm”

Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp ra hai sản phẩm, ta có thể lấy được bất kì 2 sản phẩm trong số 10 sản phẩm tức là số kết cục duy nhất đồng khả năng trong phép thử bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử hay: 2

10

n C Biến cố B xảy ra khi 2 sản phẩm được chọn bất kì trong 6 chính phẩm tức là số kết cục thuận lợi cho B bằng số tổ hợp chập 2 của 6 phần tử hay 2

Bài 1: Biến cố và xác suất

10

12 nữ Giả sử khả năng trúng tuyển của 20 người là như nhau, tính xác suất để:

(a) Có 2 nam trúng tuyển

hai nữ trúng tuyển”, do đó biến cố A xảy ra khi chọn 2 nam trong số 8 nam và

chọn 2 nữ trong số 12 nữ nên số kết cục thuận lợi cho A là:

Biến cố B cũng chính là “có 3 nữ trúng tuyển hoặc có 4 nữ trúng tuyển”, xảy ra

khi chọn 3 nữ trong số 12 nữ và chọn 1 nam trong số 8 nam, hoặc chọn 4 nữ trong

đó có 3 hộp có phần thưởng; bàn B có 5 hộp và trong đó có 2 hộp bên trong có phần thưởng

của người chơi là thế nào nếu lệ phí chơi là 10 nghìn và phần thưởng 500 nghìn? (b)Từ bàn A lấy ra hai hộp, đánh giá khả năng: được hai phần thưởng, được một phần thưởng, không được phần thưởng nào

hơn”, chứ không “chắc chắn có thưởng” Trong vấn đề ra quyết định, khi không có phương án chắc chắn hoàn toàn thì cần chọn phương án có xác suất có lợi lớn hơn Khi đã chọn bàn A, người chơi có khả năng được phần thưởng với xác suất là 0,6

và dễ thấy xác suất không được phần thưởng sẽ là 0,4 Khi được phần thưởng thì lợi ích của người chơi là: 500 – 10 = 490 (nghìn) vì đã bỏ lệ phí tham gia Khi không có được phần thưởng thì lợi ích của người chơi là – 10 (nghìn) Vậy lợi ích của người chơi là:

Đối với chủ trò chơi, lợi ích là ngược lại, chủ trò chơi sẽ mất 490 nghìn với xác suất là 0,6 và được 10 nghìn với xác suất là 0,4

Cách phân tích như trên sẽ được đề cập kĩ hơn trong bài 3

(b)Với bàn A, người chơi chọn hai hộp, khi đó theo cách tính tổ hợp, xác suất xảy ra các trường hợp: được 2 phần thưởng, được 1 phần thưởng, không được phần thưởng là:

P(Được 2 phần thưởng) =

2 3 2 5

30,310

C C

P(Được 1 phần thưởng) =

1 1

3 2 2 5

3 20,610



C C C

P(Không có phần thưởng) =

2 2 2 5

10

C C

Có thể nhận thấy khi lấy ra hai hộp, chỉ có thể có ba trường hợp trên, không còn trường hợp nào khác, và tổng xác suất của chúng bằng 1 Tính chất này sẽ được khái quát ở bài giảng sau

Nếu lấy hai hộp từ bàn A, với lệ phí chơi là 10 nghìn đồng, giá trị mỗi phần thưởng là 500 nghìn đồng thì các trường hợp về lợi ích của người chơi này là: 990 nghìn (= 500 + 500 – 10 khi được 2 phần thưởng); 490 nghìn (= 500 – 10 khi được

1 phần thưởng); – 10 nghìn (khi không có phần thưởng) Do đó ta có thể viết về lợi ích của người chơi:

Mặc dù có rủi ro mất 10 nghìn đồng, nhưng “xem ra” chơi trò chơi này có lợi, vì người chơi khi mất thì mất ít và khả năng mất là nhỏ, còn được thì được nhiều và khả năng được là lớn Trường hợp dễ xảy ra nhất (vì có xác suất lớn nhất) là được

490 nghìn, tiếp theo đó là trường hợp được 990 nghìn, khả năng mất tiền là ít nhất (nhưng vẫn có thể xảy ra)

Nhiều bài toán, vấn đề trong kinh tế có dạng tương tự, với những giá trị được/mất khác nhau và xác suất xảy ra khác nhau Khi đó người ra quyết định phải lựa chọn

và đánh giá lựa chọn của mình Những phân tích kĩ hơn sẽ được nghiên cứu ở sau

Bài 1: Biến cố và xác suất

xác giá trị của xác suất

Nhược điểm:

hữu hạn

 Đòi hỏi các kết cục phải là duy nhất và đồng khả năng

Tuy nhiên, trong thực tế có nhiều phép thử mà trong đó các kết cục có thể là vô hạn

Và nhiều khi không thể biễu diễn kết quả của phép thử dưới dạng tập hợp các kết cục duy nhất và đồng khả năng Trong những trường hợp này, để tính xác suất của biến

cố, không áp dụng được định nghĩa cổ điển Vì vậy, ngoài định nghĩa cổ điển về xác suất, trong thực tế người ta còn sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Định nghĩa thống kê về xác suất không dựa trên suy luận logic trực tiếp mà dựa trên thực nghiệm Ta thấy trong nhiều trường hợp suy luận trực tiếp không có được kết quả, chẳng hạn nếu tung một đồng xu không đối xứng đồng chất, thì xác suất xuất hiện mặt sấp không còn là 0,5 nhưng khi đó bằng bao nhiêu thì không thể suy luận trực tiếp Trong trường hợp đó ta cần dựa vào thực nghiệm Dựa trên thực nghiệm ta

có khái niệm tần suất

1.4.1 Tần suất

Giả sử tiến hành n phép thử cùng loại, trong mỗi phép thử có thể xuất hiện hoặc không xuất hiện biến cố A Trong thực tế, ta thường quan tâm đến tỉ lệ xuất hiện A trong n

phép thử này

giữa số phép thử trong đó biến cố A xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện.

Nếu ký hiệu:

n là tổng số phép thử được thực hiện;

k là số phép thử trong đó xuất hiện biến cố A;

f(A) là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử thì:

Tần suất xuất hiện mặt sấp

(f)

Qua ví dụ trên, ta có thể thấy rằng khi số lần gieo càng lớn thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5 Điều này cho phép hi vọng, khi số lần gieo tăng lên vô hạn thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ hội tụ về giá trị 0,5 Giá trị không đổi này chính là xác suất để xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu

Người ta nhận thấy, nếu tiến hành một số khá lớn cùng một phép thử thì tần suất dao động rất ít xung quanh một giá trị nào đó Đây chính là tính ổn định của tần suất và tính ổn định này là cơ sở để người ta đưa ra định nghĩa thống kê về xác suất

1.4.2 Định nghĩa theo thống kê

một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn

Công thức tính xác suất theo định nghĩa thống kê:

(A) lim (A)

n



Trong thực tế, khi n đủ lớn, có thể lấy tần suất f(A) thay thế cho P(A)

Có người lập luận rằng trẻ sinh ra có hai trường hợp là trai và gái, do đó xác suất sinh con trai là 1/2 hay 0,5 Cách lập luận này là sai vì trai và gái sinh ra với khả năng không như sau

Khi đó tiến hành thống kê Chẳng hạn thống kê toàn bộ trẻ sinh ra trong một năm được kết quả:

Số trẻ sinh ra: 1.200.000 (một triệu hai trăm nghìn)

Số con trai: 616.200 (sáu trăm mười sáu nghìn hai trăm)

Thì tần suất sinh con trai là: 616200 0,5135

1.4.3 Ưu nhược điểm của định nghĩa thống kê về xác suất

Nhược điểm:

 Chỉ áp dụng được đối với các hiện tượng ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định

 Phải thực hiện một số đủ lớn các phép thử để có thể xác định được giá trị tương đối chính xác của xác suất

Trong nhiều trường hợp số lượng phép thử trong thống kê rất hạn chế do không có đủ phép thử, người ta buộc phải sử dụng con số lớn nhất có thể Chẳng hạn quan tâm đến xác suất bão vào một khu vực nào đó, thông tin khí tượng ghi nhận được lâu nhất mới chỉ có 100 năm gần đây, và có 12 năm bão vào khu vực đó; khi đó tần suất bằng 0,12

và vì không thể có thêm thông tin nào nữa, có thể cho rằng xác suất bão vào khu vực

đó là xấp xỉ 0,12

Bài 1: Biến cố và xác suất

14

1.5 Nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lớn

có thể cho rằng, trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra

thể cho rằng, trong một phép thử biến cố đó sẽ xảy ra

Nguyên lý này là cơ sở cho hai bài toán thống kê ở các bài giảng cuối cùng Có thể mô

tả việc sử dụng nguyên lý này trong ví dụ sau

tốt”, tức là xác suất có một sản phẩm hỏng là rất nhỏ Theo nguyên lý xác suất nhỏ, nếu thực hiện một phép thử thì biến cố “sản phẩm hỏng” sẽ không xảy ra Nếu chỉ chọn duy nhất một sản phẩm (thực hiện một phép thử) và thấy sản phẩm đó là hỏng, tức là vi phạm nguyên lý xác suất nhỏ, khi đó có thể cho rằng sự khẳng định của nhà sản xuất là không đúng, ta không tin tưởng vào khẳng định đó

Trong ví dụ trên, lưu ý hai điều:

 Trong nguyên lý nói chữ “có thể cho rằng” chứ không phải nhất định cho rằng, chắc chắn cho rằng, do đó ngay nguyên lý này cũng chỉ có tính “phổ quát” chứ không “toàn bộ”, và vì vậy hoàn toàn chỉ dựa vào nguyên lý này cũng có thể có sai lầm Chẳng hạn trong ví dụ trên, trong 1 triệu sản phẩm chỉ có 1 sản phẩm hỏng, xác suất cực kỳ nhỏ, nhưng ngẫu nhiên ta chỉ chọn một lần lại chọn đúng, và vì thế phủ nhận nhà sản xuất, thì ta cũng có thể có sai lầm

 Nguyên lý chỉ đề cập “trong một phép thử” chứ không phải thực hiện thật nhiều phép thử Chẳng hạn trong ví dụ trên, nếu ta kiểm tra liên tiếp thật nhiều sản phẩm cho đến khi tìm được sản phẩm hỏng để bác bỏ sự khẳng định của nhà sản xuất, thì

đó không phải dựa trên suy luận của nguyên lý xác suất nhỏ

Trong thực tế, việc xem xét một mức xác suất được coi là rất nhỏ hoặc rất lớn sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể Xác suất để một chiếc xe buýt đến bến muộn là 0,05 có thể được coi là rất nhỏ nhưng xác suất để chiếc xe đó bị cháy rụi là 0,05 thì lại là quá lớn

Tình huống dẫn nhập và các bài toán đặt ra ở trên có cấu trúc tương đối đơn giản, chỉ còn có một sự kiện xảy ra trong một bối cảnh đơn nhất Trong thực tế các biến cố phức tạp hơn, có thể là kết hợp của hai hoặc nhiều sự kiện, trong những bối cảnh khác nhau Khi đó việc tính các xác suất trở nên khó khăn hơn Để tính được xác suất của biến cố phức tạp, ta phân tách thành các biến cố đơn giản hơn và tính toán trên từng phần đơn giản đó, rồi kết hợp lại để có được kết quả cuối

Ngoại ngữ, có người học cả hai và cũng có người không học ngành nào trong hai ngành trên Khi đó nếu xét các biến cố A là “có học về Kinh tế”; B là “có học về

Ngoại ngữ” thì khi đề cập đến các biến cố “có học cả hai ngành”, “có học ít nhất một ngành”, “chỉ học đúng một ngành”, “không học ngành nào trong hai ngành” có thể

được mô tả qua biến cố A và B hay không? Khi chọn ngẫu nhiên lần lượt hai người, tùy thuộc và người thứ nhất có học ngành nào hay không mà muốn chọn người thứ hai

phải học ngành khác, thì mô tả và tính xác suất biến cố “người thứ hai học Kinh tế khi

người thứ nhất học Ngoại ngữ” hay biến cố “người thứ hai không học ngành giống của người thứ nhất” sẽ được thể hiện thế nào?

Để hiểu được sự phân tách và kết hợp các biến cố như trên, ta xét việc mô tả mối quan

hệ giữa các biến cố, để chuẩn bị cho bài giảng sau

1.6.1 Tích các biến cố

Khi tổng hợp hai biến cố, cần xét trường hợp các biến cố này và biến cố kia cùng đồng

thời xảy ra, khi đó ta có khái niệm biến cố tích (hay còn gọi là giao của hai biến cố)

hiệu là C = A.B nếu C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra

Có thể mô tả trên hình vẽ như trong hình 1.2

Hình 1.2 Tích hai biến cố

Trong hình 1.2, biến cố A được tương ứng với hình tròn bên trái, biến cố B tương ứng với hình tròn bên phải, thì tích của A và B là phần giao nhau, hình cái lá giữa hai hình tròn đó C xảy ra khi cả A và B đồng thời xảy ra

Đặt A là biến cố “dự án thứ nhất có lãi”;

B là biến cố “dự án thứ hai có lãi”;

C là biến cố “cả hai dự án cùng có lãi”

Ta thấy, biến cố C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra Vì vậy: C = A.B

1



n i

i

A A nếu A xảy ra khi tất cả các biến cố A1, A2… An cùng xảy ra

việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của

biến cố kia và ngược lại

A

B

Bài 1: Biến cố và xác suất

16

Trong trường hợp việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm thay đổi xác suất xảy

ra của biến cố kia thì hai biến cố đó được gọi là phụ thuộc nhau

Người ta lần lượt lấy ra 2 sản phẩm theo hai phương thức:

(a) lấy có hoàn lại (nghĩa là lấy ra một sản phẩm rồi bỏ sản phẩm đó trở lại hộp, rồi lấy sản phẩm thứ hai)

(b) lấy không hoàn lại (nghĩa là lấy ra một sản phẩm, giữ bên ngoài hộp, rồi lấy sản phẩm thứ hai)

Đặt: A là biến cố “Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất”

B là biến cố “Lấy được chính phẩm ở lần thứ hai”

Ta sẽ xem xét mối quan hệ độc lập và phụ thuộc giữa hai biến cố A và B trong hai phương thức lấy này

(a) Trong phương thức lấy có hoàn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu được bỏ trở lại hộp mới tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ nhất có lấy được chính phẩm hay không sẽ không làm thay đổi khả năng lấy được chính phẩm ở lần thứ hai Có nghĩa là, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố B Cũng vậy, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố A Vì vậy, trong trường hợp này A và B

là độc lập với nhau

(b) Phương thức lấy không hoàn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu không được bỏ trở lại hộp và tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ nhất có lấy được chính phẩm hay không sẽ làm thay đổi khả năng lấy được chính phẩm ở lần thứ hai Có nghĩa

là, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A sẽ làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố B Vì vậy, trong trường hợp này A và B là phụ thuộc nhau

biến cố bất kỳ trong n biến cố trên độc lập với một tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

thứ i), i = 1,2… n khi đó các biến cố A1, A2… An độc lập toàn phần với nhau

1.6.2 Tổng các biến cố

ký hiệu là C = A + B, nếu C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra

Có thể minh họa biến cố tổng trong hình 1.3

Hình 1.3 Tổng hai biến cố

A B



C = A + B

Trong hình 1.3, biến cố tổng C gồm toàn bộ phần hình số 8 do A và B bao phủ Như vậy có thể thấy C gồm phần chỉ có A mà không có B, chỉ có B mà không có A, và phần chung của A và B

“A hoặc B” là ít nhất một trong hai

Ví dụ 1.19. Một người đi chào hàng ở hai nơi (và chỉ ở hai nơi, không có nơi nào khác nữa)

A A nếu A xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố xảy ra

Đặt: Ai là biến cố “nơi thứ i đặt hàng” với i = 1, 2, , n

A là biến cố “có nơi đặt hàng” hay “có ít nhất một nơi đặt hàng”

Ta thấy, A xảy ra khi có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2… An xảy ra

Vì vậy:

1



n i i

nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử

Trong trường hợp chúng có thể cùng xảy ra trong một phép thử thì gọi là hai biến cố không xung khắc Khi A và B xung khắc thì biến cố tích của chúng là không thể xảy ra:

A và B xung khắc  A.B = 

Có thể mô tả hai biến cố xung khắc trong hình 1.4

Trong hình 1.4, hai hình tròn A và B không có điểm chung, phần giao giữa chúng bằng rỗng

Hình 1.4 Hai biến cố xung khắc

biến cố B là “xuất hiện mặt hai chấm” là xung khắc với nhau, vì chúng không thể cùng xảy ra trong phép thử này



A.B = 

Bài 1: Biến cố và xác suất

18

lãi” và biến cố “bị lỗ” là hai biến cố xung khắc, vì với một dự án không thể cùng vừa

có lãi vừa là bị lỗ

Tuy nhiên nếu với hai dự án đầu tư khác nhau, biến cố “dự án thứ nhất có lãi” và biến

cố “dự án thứ hai bị lỗ” là không xung khắc, vì chúng có thể cùng xảy ra

hai biến cố trong n biến cố đều xung khắc với nhau

Đặt Ai là biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, với i = 1,2,…,6 khi đó các biến cố A1; A2;…; A6 được gọi là xung khắc từng đôi vì 2 biến cố bất kì trong 6 biến cố này đều xung khắc với nhau

đủ các biến cố nếu trong kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó

Về mặt khái niệm, các biến cố A1, A2… An tạo nên một nhóm đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn (

1

n i i

Có thể minh họa nhóm đầy đủ các biến cố trong hình 1.5

Hình 1.5 Minh họa nhóm đầy đủ và không phải nhóm đầy đủ

Trong hình 1.5, hình (a) các biến cố A1, A2, A3, A4 tạo thành nhóm đầy đủ, chúng riêng biệt nhau và lấp đầy toàn bộ mọi khoảng trống Hình (b) các biến cố A1, A2, A3 không tạo thành nhóm đầy đủ vì chúng không lấp đầy toàn bộ Hình (c) A1, A2, A3, A4, A5 không tạo thành nhóm đầy đủ vì tuy chúng lấp đầy toàn bộ nhưng lại có phần trùng nhau

 Các biến cố: “có lãi”, “hòa vốn”, “bị lỗ” tạo thành nhóm đầy đủ

 Các biến cố: “có lãi”, “hòa vốn” không tạo thành nhóm đầy đủ

 Các biến cố: “có lãi”, “hòa vốn”, “bị lỗ”, “lãi trên 1 tỷ” không tạo thành nhóm đầy đủ

 Các biến cố: “có lãi”, “không có lãi” tạo thành nhóm đầy đủ

Ví dụ 1.25. Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất

Đặt Ai là biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, với i = 1, 2,…, 6

Ta thấy, trong kết quả của phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong 6 biến cố A1, A2… A6

Vì vậy, nhóm biến cố A1, A2… A6 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố

nên một nhóm đầy đủ các biến cố

Hình 1.6 Hai biến cố đối lập

Ký hiệu biến cố đối lập của A là Ā

Hay nói cách khác: hai biến cố đối lập là khi thực hiện một phép thử thì sẽ xảy ra một

và chỉ một trong hai biến cố đó

Như vậy A.Ā =  và A + Ā = 

Có thể minh họa hai biến cố đối lập qua hình 1.6 Trong hình này biến cố đối lập của

A là toàn bộ phần bên ngoài hình tròn A

Tuy nhiên với nhiều người đi thi, biến cố đối lập của “tất cả cùng đỗ” không phải là

“tất cả cùng trượt”

Biến cố đối lập của “tất cả cùng đỗ” là “có ít nhất một người trượt” (hay “không phải

tất cả cùng đỗ”)

Đây là chỗ hay nhầm lẫn của sinh viên về biến cố đối lập

“không có lãi”, hoặc “hòa vốn hoặc lỗ”

Khi đầu tư vào 4 dự án, biến cố đối lập của “tất cả các dự án cùng có lãi” là “có ít nhất một dự án không có lãi”

Ví dụ 1.28 Với thông tin về người lao động tại một công ty như trong ví dụ 1.7, người lao động có thể học về Kinh tế hoặc không, có thể học Ngoại ngữ hoặc không Khi chọn ngẫu nhiên một người lao động:

Đặt A là biến cố “có học về Kinh tế”;

Đặt B là biến cố “có học về Ngoại ngữ”

Khi đó ta có bảng:

Ngành học Có học ngoại ngữ (B) Không học ngoại ngữ (B)

(15 người)

A.B (3 người)



A

Ā

Bài 1: Biến cố và xác suất

20

Khi đó mô tả các biến cố như sau:

 Biến cố Ā là “không học về kinh tế”

 Biến cố B là “không học về ngoại ngữ”

 Biến cố A.B là “học cả hai ngành”

 Biến cố A + B là “học ít nhất một ngành”

 Biến cố A.B là “không học ngành nào”

 Biến cố “chỉ học kinh tế” là A.B

 Biến cố “chỉ học ngoại ngữ” là A.B

 Biến cố “chỉ học đúng một ngành” là A.B + A.B

Cũng nhận thấy các mối quan hệ như sau:

 A và B không xung khắc

 A.B và A.B xung khắc; A.B và A.B xung khắc

 Các biến cố: A.B, A.B , A.B , A.B tạo thành nhóm đầy đủ

 A + B = A.B + A.B + A.B (biến cố tổng “A hoặc B” gồm: “cả A và B” + “chỉ có A” + “chỉ có B”)

T óm lược cuối bài

 Để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không ta cần thực hiện phép thử Hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố

 Khả năng xảy ra biến cố trong phép thử gọi là xác suất của biến cố đó

 Đối với các biến cố giản đơn có thể tìm xác suất bằng định nghĩa cổ điển với điều kiện là các kết cục của phép thử phải là hữu hạn và đồng khả năng Với phương pháp liệt kê, ta đếm số lượng các phần tử và tính xác suất theo công thức cổ điển Với trường hợp lấy nhiều phần tử, phải áp dụng công thức tổ hợp để tính số kết cục

 Khi các kết cục của phép thử là không đồng khả năng hoặc không hữu hạn thì có thể dùng định nghĩa thống kê về xác suất nếu có thể tiến hành một số lớn các phép thử

 Một biến cố phức hợp thường được biễu diễn thông qua tích hoặc tổng của các biến cố giản đơn Khi một biến cố được biểu diễn qua tích của các biến khác thì cần xem xét tính độc lập

và phụ thuộc giữa các biến cố đó Khi một biến cố được biểu diễn qua tổng của các biến cố khác thì cần xem xét tính xung khắc, không xung khắc của các biến cố đó

Bài 1: Biến cố và xác suất

22

1 Thế nào là phép thử, thế nào là kết cục và biến cố?

2 Thế nào là xác suất? Xác suất có lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 0 được không?

3 Xác suất là khách quan hay chủ quan?

4 Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển như thế nào?

5 Để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển cần lưu ý điều kiện gì?

6 Công thức và cách tính tổ hợp như thế nào?

7 Tại sao phải dùng định nghĩa thống kê về xác suất trong nhiều trường hợp?

8 Tần suất là gì?

9 Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn cho biết điều gì?

10 Thế nào là tích của hai biến cố, là tích của nhiều biến cố?

11 Thế nào là tổng của hai biến cố, là tổng của nhiều biến cố?

12 Thế nào là hai biến cố độc lập?

13 Thế nào là hai biến cố xung khắc?

14 Thế nào là nhóm đầy đủ các biến cố?

15 Hai biến cố đối lập là gi?

và suy luận với những tình huống khác nhau

Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

 Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn

 Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của NXB Đại học KTQD.

 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email

 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học

Nội dung

Bài này trình bảy các định lý, hay các công thức tính xác suất, bao gồm:

 Định lý nhân xác suất, định lý cộng xác suất;

 Định lý về nhóm đầy đủ;

 Định lý Bernoulli;

 Công thức xác suất đầy đủ

Mục tiêu

Sau khi học xong bài này, sinh viên cần đáp ứng được các yêu cầu sau:

 Biết cách biểu diễn biến cố đang quan tâm qua tổng hoặc tích của các biến cố liên quan

 Nắm được nội dung của định lý nhân xác suất và định lý cộng xác suất

 Biết vận dụng định lý nhân với tích các biến cố và định lý cộng với tổng các biến cố

để tính xác suất của biến cố trong từng bài toán cụ thể

 Nhận dạng được bài toán theo lược đồ Bernoulli, biết áp dụng công thức và tra bảng trong các bài toán tuân theo lược đồ này

 Biết xác định nhóm biến cố đầy đủ có ảnh hưởng đến biến cố đang quan tâm và biết

áp dụng công thức xác suất đầy đủ để giải quyết bài toán

Bài 2: Các định lý xác suất

24

Đánh giá khả năng mua hàng của khách hàng

Một doanh nghiệp phỏng vấn khách hàng về sản phẩm mới trước khi đưa sản phẩm ra thị trường Trong số những khách hàng được phỏng vấn ngẫu nhiên xem có mua hàng không nếu doanh nghiệp tung ra sản phẩm mới hay không, thì một số trả lời “sẽ mua”, một số trả lời “có thể sẽ mua” và còn lại trả lời “không mua” Tuy nhiên không phải người trả lời “sẽ mua” là chắc chắn

sẽ mua, mà chỉ có khả năng mua với xác suất nào đó Tương tự, không phải nhóm trả lời “không mua” là chắc chắn không mua, mà vẫn có thể sẽ mua với một xác suất nào đó

Vậy tỷ lệ khách hàng tiềm năng sẽ mua sản phẩm mới là bao nhiêu?

Để xác định xác suất của một biến cố đơn giản ta có thể áp dụng trực tiếp định nghĩa cổ điển về xác suất hoặc định nghĩa thống kê về xác suất Nhưng với những biến cố phức hợp thì thường áp dụng phương pháp gián tiếp Phương pháp này cho phép tính xác suất của một biến cố dựa vào xác suất đã biết của các biến cố có liên quan với nó thông qua định lí cộng xác suất và định lí nhân xác suất

Trước khi đi vào bài số 2, ta nhắc lại sơ lược một số khái niệm quan trọng:

 Tích của hai biến cố: khi cả hai biến cố cùng xảy ra

 Tổng của hai biến cố: khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra

 Tính độc lập: Biến cố này không tác động đến xác suất biến cố kia và ngược lại

 Tính xung khắc: Hai biến cố không có kết cục chung

 Tính đối lập: Không phải biến cố này thì phải là biến cố kia

 Nhóm đầy đủ: Nhóm lấp đầy toàn bộ và không trùng nhau

Về mặt khoa học, có sự phân biệt rõ ràng giữa các Định lý và Hệ quả Tuy nhiên để tránh rắc rối, trong bài giảng này ta gọi chung là Định lý cho dễ phân biệt và đánh số thứ tự

Định lý Nhân xác suất hay còn gọi là Công thức nhân xác suất, là cách tính xác suất của tích của hai hay nhiều biến cố Trước hết ta xét khái niệm xác suất có điều kiện

Định nghĩa 2.1 – Xác suất có điều kiện: Xác suất biến cố B được tính với giả thiết

biến cố A đã xảy ra gọi là xác suất của B với điều kiện A, ký hiệu P(B | A)

Trong giáo trình có dùng ký hiệu P(A/B), tuy nhiên để tránh nhầm lẫn với ký hiệu

chia, ta dùng dấu gạch đứng, cũng là một ký hiệu phổ biến, đọc là “với điều kiện”

Ví dụ 2.1 Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm, lấy

ra lần lượt hai sản phẩm theo phương thức không hoàn lại Tìm xác suất để:

(a) Lần thứ hai lấy được chính phẩm biết rằng lần thứ nhất lấy được chính phẩm (b) Lần thứ hai lấy được chính phẩm biết rằng lần thứ nhất lấy được phế phẩm

(c) Tìm xác suất của câu (a) và (b) khi lấy theo phương thức có hoàn lại

Giải:

Đặt: A là biến cố “lần thứ nhất lấy được chính phẩm”

B là biến cố “lần thứ hai lấy được chính phẩm”

(a) Xác suất lần thứ hai lấy được chính phẩm trong điều kiện lần thứ nhất được chính

phẩm chính là xác suất của A trong điều kiện B, hay P(A | B)

Sau khi lần thứ nhất lấy được chính phẩm (tức là biến cố A đã xảy ra) thì trong hộp chỉ còn lại 9 sản phẩm, trong đó có 5 chính phẩm Vì vậy, xác suất để lần thứ hai lấy được chính phẩm trong điều kiện lần thứ nhất đã lấy được chính phẩm là:

5

9

 (b)Nếu lần thứ nhất lấy được phế phẩm thì tức là biến cố Ā xảy ra, tìm xác suất của B trong điều kiện Ā, hay P(B | Ā)

Nếu lần thứ nhất lấy được phế phẩm thì trong hộp còn 9 sản phẩm, trong đó còn nguyên 6 chính phẩm, do đó xác suất là:

kiện của chúng cũng bằng xác suất không điều kiện

A và B độc lập thì: P(B | A) = P(B) và P(A | B) = P(A)

Lưu ý rằng phải cả hai điều cùng phải xảy ra, nếu chỉ có một điều thỏa mãn thì A và B vẫn là không độc lập

Từ khái niệm xác suất có điều kiện, định lý nhân xác suất ta có định lý về xác suất tích

trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại

 Tức là với hai biến cố A và B thì:

P(A.B) = P(A).P(B | A)

 Do A và B đổi chỗ cho nhau thì khái niệm không đổi nên:

P(A.B) = P(B).P(A | B)

 Kết hợp với định lý 2.1 về hai biến cố độc lập ta có:

bằng tích hai xác suất của các biến cố thành phần

Nghĩa là, với A và B độc lập thì:

P(A.B) = P(A).P(B)

Từ đó có thể mở rộng với n biến cố độc lập toàn phần gồm A1, A2,…, An thì:

P(A1A2…An) = P(A1).P(A2)…P(An)

lượt lấy ra 2 sản Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm trong hai trường hợp:

(a) Lấy lần lượt không hoàn lại

(b) Lấy lần lượt có hoàn lại

Giải:

Đặt: A là biến cố “lần thứ nhất lấy được chính phẩm”

B là biến cố “lần thứ hai lấy được chính phẩm”

Như vậy biến cố “lấy được 2 chính phẩm” chính là A.B

Theo công thức ta có P(A.B) = P(A).P(B | A)

(a) Khi lấy lần lượt không hoàn lại:

6 ( ) 10

Nhận thấy câu (b) chính là áp dụng công thức trong định lý 2.3

Từ các định lý trên suy ra:

Xét hình minh họa 2.1 về biến cố tổng

Hình 2.1 Xác suất tổng hai biến cố

Với biến cố tổng của hai biến cố, khi tính xác suất của tổng hai biến cố A, B, ta thấy miền biến cố tổng A + B gồm miền A cộng với miền B, tuy nhiên phần ở giữa bị trùng nhau, do đó khi tính xác suất cần phải trừ đi miền ở giữa, chính là miền A.B Từ đó ta

có định tính cộng xác suất

Định lý 2.5 – Xác suất tổng: Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng xác suất của

từng biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố đó

Công thức tính xác suất tổng hai biến cố là:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)



A + B A.B

Bài 2: Các định lý xác suất

28

Ví dụ 2.3 Một người đi chào hàng ở hai nơi độc lập nhau Xác suất nơi thứ nhất đặt

hàng là 0,3 và xác suất nơi thứ hai đặt hàng là 0,4 Tính xác suất để người đó có nhận được đơn đặt hàng

Giải:

Đặt A là biến cố “nơi thứ nhất đặt hàng”

Đặt B là biến cố “nơi thứ hai đặt hàng”

Biến cố người đó “có nhận được đơn đặt hàng” chính là được ít nhất một trong hai nơi

đặt hàng, hay A + B, do đó cần tính xác suất P(A + B)

Theo giả thiết: P(A) = 0,3 và P(B) = 0,4

Theo công thức: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

Do A và B độc lập nhau nên theo Định lý 2.3 về xác suất tích hai biến cố độc lập, ta có:

P(A.B) = P(A).P(B) = 0,3  0,4 = 0,12

Vậy: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B) = 0,3 + 0,4 – 0,12 = 0,58

Từ Định lý 2.5, kết hợp với trường hợp A và B xung khắc thì tích của chúng bằng

rỗng, xác suất của tích bằng 0: P(A.B) = 0, ta có định lý

Định lý 2.6 – Xác suất tổng hai biến cố xung khắc: Xác suất của tổng hai biến cố

xung khắc bằng tổng hai xác suất của hai biến cố thành phần

 Nếu A và B xung khắc thì:

P(A + B) = P(A) + P(B)

 Từ đó có thể mở rộng với n biến cố xung khắc từng đôi gồm A1, A2,…, An thì:

P(A1 + A2 + … + An ) = P(A1) + P(A2) + …+ P(A n)

Ví dụ 2.4 Hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu

nhiên hai sản phẩm, tính xác suất để hai sản phẩm lấy ra là cùng loại, trong hai trường hợp: (a) Lấy lần lượt không hoàn lại

(b) Lấy lần lượt có hoàn lại

Giải:

Đặt C là biến cố “hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm” (chữ C viết tắt cho 2 Chính phẩm) và F là biến cố “hai sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm (chữ F viết tắt cho 2 Phế phẩm)

Biến cố “hai sản phẩm lấy ra là cùng loại” chính là A + B (hoặc lấy được 2 chính

phẩm hoặc lấy được 2 phế phẩm) Ta cần tính P(C + F)

Hai biến cố A và B lại xung khắc, vì nếu đã lấy được 2 chính phẩm thì không thể lấy được 2 phế phẩm, và ngược lại Do đó theo công thức ta có:

P(F) lấy không hoàn lại = 4 3 12

10 9   90

Vậy xác suất được hai sản phẩm cùng loại là:

P(C + F) lấy không hoàn lại = 30 12 42 0, 467

90 90   90  (b) Khi lấy lần lượt có hoàn lại, xác suất được hai chính phẩm đã được giải trong ví

dụ 2.2 câu (b), và tính tương tự cho trường hợp lấy được hai phế phẩm, ta có:

P(C) lấy có hoàn lại = 6 6 36

10 10 100   và P(F) lấy có hoàn lại = 4 4 16

10 10 100   Vậy xác suất được hai sản phẩm cùng loại là:

P(C + F) lấy có hoàn lại = 36 16 52 0,52

100 100 100    Kết hợp hai câu có thể thấy khi lấy có hoàn lại thì dễ lấy được hai sản phẩm cùng loại hơn là khi lấy không hoàn lại

Từ định lý 2.6 về xác suất tổng của nhiều biến cố xung khắc, xét trường hợp các biến

cố đó tạo thành nhóm đầy đủ, khi đó biến cố tổng bằng biến cố chắc chắn , có xác suất bằng 1 Do đó có Định lý về nhóm đầy đủ và biến cố đối lập

Định lý 2.7 – Xác suất của nhóm đầy đủ: Tổng các các suất của một nhóm đầy đủ

bằng 1

 Nếu A1, A2,…, An tạo thành nhóm đầy đủ thì:

P(A1) + P(A2) +…+ P(An) = 1

 Trường hợp nhóm đầy đủ gồm hai biến cố A và Ā, tức là hai biến cố đối lập, thì:

P(A) + P(Ā) = 1 hay P(A) = 1 – P(Ā)

Ví dụ 2.5 Hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu

nhiên hai sản phẩm theo cách không hoàn lại Tính xác suất để:

(a) Trong hai sản phẩm có ít nhất một chính phẩm

(b) Hai sản phẩm là khác loại

Giải:

(a) Biến cố có ít nhất một chính phẩm gồm hai trường hợp riêng: có đúng 1 chính phẩm, hoặc có 2 chính phẩm Nếu tính xác suất từng trường hợp sẽ dài hơn so với việc tính xác suất của biến cố ngược lại

Ta thấy đối lập của biến cố “có ít nhất một chính phẩm” là biến cố “không có chính phẩm nào” hay cũng chính là “cả hai là phế phẩm”

P(có ít nhất 1 chính phẩm) = 1 – P(cả hai đều là phế phẩm)

Với P(cả hai đều là phế phẩm) = 4 3 12 0,133

10 9   90  (đã giải trong ví dụ 2.4 câu (a)) Vậy P(có ít nhất 1 chính phẩm) = 1 – 0,133 = 0,867

(b) Trong ví dụ 2.4 câu (a) ta đã tính xác suất hai sản phẩm lấy ra không hoàn lại là cùng loại là bằng 0,467

Dễ thấy biến cố “hai sản phẩm khác loại” là đối lập của biến cố “hai sản phẩm cùng loại”, do đó:

P(hai sản phẩm là khác loại) = 1 – P(hai sản phẩm là cùng loại) = 1 – 0,467 = 0,533

Bài 2: Các định lý xác suất

30

Ví dụ 2.6 Trong công ty có 50 người, trong đó có 32 người có học về kinh tế Chọn

ngẫu nhiên cùng lúc 4 người, tìm xác suất để trong đó có người học về kinh tế

Giải:

Biến cố “trong đó có người học về kinh tế” được hiểu là “có ít nhất một người có học

về kinh tế trong số 4 người chọn ra”, đặt là biến cố A

Trong 50 người, 32 người có học về kinh tế, suy ra 18 người không học về kinh tế

Cách 1

Ta thấy biến cố A xảy ra khi ít nhất một trong các trường hợp sau đây xảy ra:

Biến cố A1: “có 1 người học về kinh tế” (và 3 người không học về kinh tế)

Biến cố A2: “có 2 người học về kinh tế” (và 2 người không học về kinh tế)

Biến cố A3: “có 3 người học về kinh tế” (và 2 người không học về kinh tế)

Biến cố A4: “cả 4 người học về kinh tế”

Khi đó dễ thấy A1, A2, A3, A4 là xung khắc, do đó:

P(A) = P(A1 + A2 + A3 +A4) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) Theo công thức tổ hợp ta có:

1 3

32 18

50 ( ) C C

P A

4 32

50 ( ) C

18 17 16 15 ( )

Việc tính toán kết quả cuối cùng bạn đọc tự thực hiện như một bài tập

suất khách hàng cài đặt phần mềm là 0,2; nhưng với khách đã mua thiết bị thì xác suất

để sau đó cài đặt phần mềm là 0,5 Hãy tính xác suất một khách hàng:

(a) Mua thiết bị điện tử và cài đặt phần mềm

(b) Có thực hiện ít nhất một giao dịch

(c) Không thực hiện giao dịch nào

(d) Chỉ thực hiện đúng một giao dịch

Giải:

Đặt A là biến cố “khách mua thiết bị”, B là biến cố “khách cài đặt phần mềm”

Đề bài cho: P(A) = 0,3; P(B) = 0,2 và P(B | A) = 0,5

(a) Biến cố “mua thiết bị và cài đặt phần mềm” là A.B

P(A.B) = P(A).P(B | A) = 0,3  0,5 = 0,15 (b) Biến cố “có thực hiện ít nhất một loại giao dịch” là A + B

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B) = 0,3 + 0,2 – 0,15 = 0,35

(c) Biến cố “không thực hiện giao dịch nào” là A.B

Nhận thấy đây chính là biến cố đối lập của “có thực hiện ít nhất một giao dịch”,

do đó:

P( A.B ) = 1 – P(A + B) = 1 – 0,35 = 0,65

(d) Biến cố “chỉ thực hiện đúng một loại giao dịch” là A.B + Ā.B

Nhận thấy: ba biến cố “mua thiết bị và cài phần mềm”, “không thực hiện giao dịch nào” và “chỉ thực hiện đúng một giao dịch” tạo thành một nhóm đầy đủ Do đó:

P( A.B + Ā.B) = 1 – P(A.B) – P( A.B ) = 1 – 0,15 – 0,65 = 0,2

Ta có thể mô tả toàn bộ thông tin tính từ bài tập này qua bảng sau:

Theo cột B: do P(A.B) = 0,15 như tính từ câu (a) nên suy ra P(Ā.B) = 0,2 – 0,15 = 0,05

Theo cột A: do P(A.B) = 0,15 nên suy ra P(A B ) = 0,3 – 0,15 = 0,15

Theo cả cột B và dòng Ā thì P(A.B) = 0,65; đây cũng là kết quả của câu (c)

Như vậy từ đây suy ra các xác suất:

 Xác suất khách không mua thiết bị: P(Ā) = 0,7

 Xác suất khách không cài phần mềm: P( B ) = 0,8

 Xác suất khách chỉ mua thiết bị: P(A B ) = 0,15

 Xác suất khách chỉ cài phần mềm: P(Ā.B) = 0,05

thứ nhất là 0,6 Nếu đã trúng thầu dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu dự án thứ hai

là 0,8 Tuy nhiên nếu trượt thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ hai chỉ còn 0,4 Tính xác suất doanh nghiệp:

(a) Trúng thầu cả hai dự án

(b) Chỉ trúng thầu dự án thứ hai

(c) Trúng thầu ở ít nhất một dự án

(d) Trúng thầu ở dự án thứ hai

Giải:

Đặt A là biến cố “trúng thầu ở dự án thứ nhất” và B là “trúng thầu ở dự án thứ hai”

Đề bài cho thông tin:

P(A) = 0,6; P(B | A) = 0,8; P(B | Ā) = 0,4

Lưu ý bài này không hề có giả thiết độc lập, và các xác suất cho thấy hai biến cố A và

B không độc lập, nên không được sử dụng các công thức của các biến cố độc lập

Bài 2: Các định lý xác suất

32

(a) Biến cố “trúng thầu ở cả hai dự án” chính là A.B

P(A.B) = P(A).P(B | A) = 0,6  0,8 = 0,48 (b) Biến cố “chỉ trúng thầu ở dự án thứ hai” là Ā.B

P(Ā.B) = P(Ā).P(B | Ā) = (1 – 0,6)  0,4 = 0,16 (c) Biến cố “trúng thầu ở ít nhất một dự án” là A + B = A.B + Ā.B + A.B

(chỉ trúng dự án thứ nhất + chỉ trúng dự án thứ hai + trúng ở cả hai dự án)

Do các biến cố là xung khắc nên:

P(A + B) = P(A.B) + P(Ā.B) + P(A.B)

Có P(A.B) = P(A).P( B | A) = 0,6(1 – 0,8) = 0,12

Do đó P(A + B) = 0,12 + 0,16 + 0,48 = 0,76

(d) Biến cố “trúng thầu ở dự án thứ hai” là biến cố B

Ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

Suy ra: P(B) = P(A + B) – P(A) + P(A.B) = 0,76 – 0,6 + 0,48 = 0,64

Có thể lập bảng tương tự như trong bài tập trên:

Trước khi tiếp tục với Định lý này, xét ví dụ sau và sẽ tổng quát hóa thành công thức:

hàng ở mỗi nơi đều bằng nhau và bằng 0,4 Tính xác suất để người đó nhận được đơn đặt hàng ở đúng một nơi

Giải:

Đặt Ai là biến cố nơi thứ i đặt hàng (i = 1, 2, 3)

Theo đề bài các Ai độc lập nhau và: P(A i) = 0,4

Xác suất để từng nơi không đặt hàng là: P(Ā1) = 1 – 0,4

Biến cố A là “nhận được đơn đặt hàng ở đúng một nơi” gồm 3 trường hợp: (1) nơi thứ nhất đặt hàng, nơi thứ hai và thứ ba thì không, (2) nơi thứ hai đặt hàng, nơi thứ nhất và thứ hai thì không, (3) nơi thứ ba đặt hàng, nơi thứ nhất và thứ hai thì không Do đó

P(A) = P(A1.Ā2.Ā3 + Ā1.A2.Ā3 + Ā1.Ā2.A3)

Ta thấy kết quả là ba cụm số hạng giống nhau về giá trị, chỉ khác nhau vị trí, do đó:

P(A) = 3  (0,4)  (1 – 0,4) 2 Xét kỹ kết quả này, ta thấy con số 3 là do có 3 trường hợp, là do trong 3 nơi, có 1 nơi đặt hàng nên số trường hợp là bằng 1

3  3

C ; con số 0,4 có thể viết là 0,41 tức là có 1 nơi đặt hàng với xác suất là 0,4; con số (1 – 0,4)2 = tức là có 2 nơi đặt hàng với xác suất (1 – 0,4)

Kết quả có thể viết lại là:

3 ( )  (0, 4) (1 0, 4) 

Từ đây có suy ra cách giải cho các câu hỏi tính xác suất sau:

Đi bán hàng ở 3 nơi, có đúng 2 nơi đặt hàng (1 nơi không đặt hàng), xác suất sẽ là:

thì xác suất sẽ là:

(0, 4) (1 0, 4)  

n C

Và nếu xác suất bán được hàng tổng quát là p, ta sẽ có công thức Bernoulli

cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng nhau và bằng p, thì ta có lược đồ Bernoulli, hay bài toán Bernoulli với hai tham số n và p, ký hiệu là B(n; p)

phép thử, biến cố A xảy ra đúng x lần, ký hiệu là P(x | n, p), được tính theo công thức

(b) Xác suất có đúng 2 nơi đặt hàng là:

5 (  2  5,  0, 4)  (0, 4) (1 0, 4)   10 0,16 0, 216 0,3456   

Bài 2: Các định lý xác suất

34

(c) Xác suất có nơi đặt hàng là gồm các trường hợp: 1 nơi, 2 nơi, 3 nơi, 4 nơi, 5 nơi đặt hàng Tính lần lượt từng xác suất khá dài, có thể ngắn hơn qua việc tính xác suất biến cố đối lập:

P(có nơi đặt hàng) = 1 – P(không nơi nào đặt hàng) = 1 – P(x = 0 | n = 5; p = 0,4)

5 (  0  5,  0, 4)  (0, 4) (1 0, 4)   0, 6  0,0778

Vậy xác suất có nơi đặt hàng bằng 1 – 0,0778 = 0,9222

Bên cạnh việc sử dụng máy tính bấm tay để tính các xác suất, với các bài toán có n đến 12 có thể sử dụng bảng Phụ lúc 1 để tra các xác suất, với p là các giá trị lẻ đến 0,5

trắc nghiệm có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 lựa chọn là đúng Một người đi thi làm tất

cả các câu bằng cách chọn bừa Tính xác suất để người đó:

(a) Được đúng 6 điểm

(b) Được từ 5 điểm trở lên

Kiểm tra ngẫu nhiên 12 doanh nghiệp, tính xác suất để:

(a) Có đúng 9 doanh nghiệp có mua bảo hiểm cháy nổ

(b) Có từ 9 doanh nghiệp trở lên có mua bảo hiểm cháy nổ

Giải:

Với bài toán này dễ thấy nếu xét biến cố “có mua bảo hiểm cháy nổ” (gọi tắt là “có

mua bảo hiểm”) thì ta có lược đồ Bernoulli B(n = 12; p = 0,7)

(a) Xác suất để 9 doanh nghiệp có mua bảo hiểm là: P(x = 9 | n = 12; p = 0,7) Trong

bảng không có giá trị tương ứng, có thể tính theo công thức:

12 (  9  12,  0, 7)  (0, 7) (1 0, 7) 

Tuy nhiên có thể dùng cách sau để tận dụng bảng số:

Xét biến cố “doanh nghiệp không mua bảo hiểm”, nếu xét trên biến cố này thì xác

suất doanh nghiệp không mua bảo hiểm là 1 – 0,7 = 0,3 và ta có lược đồ Bernoulli:

B(n = 12; p = 0,3)

Biến cố: “có 9 doanh nghiệp mua bảo hiểm” cũng là biến cố “có 3 doanh nghiệp

không mua bảo hiểm”, vì vậy ta tính: P(x’ = 3 | n = 12; p’ = 0,3)

Trong một số bài toán, ta làm hai việc ngẫu nhiên kế tiếp nhau Kết quả cuối cùng phụ thuộc vào kết quả của từng bước, do đó để tính xác suất ta phải tập hợp các trường hợp từ cả hai bước Xác suất được xét trên tất cả các trường hợp đó thường có dạng bài toán xác suất đầy đủ Để đi đến công thức, xét ví dụ sau:

phẩm (gọi là hộp loại I), hộp kia chứa 8 chính phẩm và 4 phế phẩm (gọi là hộp loại II) Một người kiểm tra phải chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm

(a) Tính xác suất người đó chọn được chính phẩm

(b) Xác suất người đó chọn được chính phẩm sẽ là bao nhiêu nếu có 5 hộp, 2 hộp loại

I và 3 hộp loại II?

(c) Xác suất người đó chọn được chính phẩm sẽ là bao nhiêu nếu có 5 hộp, 2 hộp loại

I, 2 hộp loại II và 1 hộp loại III – loại chứa 3 chính phẩm và 7 phế phẩm

Đặt A1 là biến cố chọn được hộp loại I; A2 là biến cố chọn được hộp loại II; B là biến cố chọn được chính phẩm, thì ta có:

1

1 ( ) 2

(b) Khi có 5 hộp, 2 hộp loại I và 3 hộp loại II, thì:

Xác suất chọn được hộp loại I là 2/5, xác suất từ hộp này lấy được chính phẩm

Do đó xác suất chọn được chính phẩm sau hai bước lựa chọn là:

có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố đó, thì xác suất của B được tính bởi:

mua hàng là 30% và tỷ lệ nữ mua hàng là 35% Hãy tính tỷ lệ mua hàng trong số khách vào cửa hàng

Giải:

Đề bài đặt dưới dạng tỷ lệ, ta đổi sang xác suất

Đặt B là biến cố “khách mua hàng”

A1 là biến cố: “khách là nam” thì P(A1) = 0,6 và P(B | A1) = 0,3

A2 là biến cố: “khách là nữ” thì P(A2) = 0,4 và P(B | A2) = 0,35

Xác suất để một khách mua hàng là:

P(B) = P(A1)P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) = 0,6  0,3 + 0,4  0,35 = 0,32 Vậy tỷ lệ khách mua hàng là 32%

Xác suất dự án được phê duyệt nhanh (ít hơn 1 tháng) là 0,2; được phê duyệt bình thường (từ 1 tháng đến 3 tháng) là 0,45, còn lại là chậm Khả năng để dự án kịp tiến

độ trong ba trường hợp nhanh, bình thường, và chậm tương ứng là 0,8; 0,5 và 0,34 Tính xác suất để dự án kịp tiến độ

Giải:

Đặt B là biến cố “dự án kịp tiến độ”

 A1 là biến cố “phê duyệt nhanh”, thì P(A1) = 0,2 và P(B | A1) = 0,8

 A2 là biến cố “phê duyệt bình thường”, thì P(A2) = 0,45 và P(B | A2) = 0,5

 A3 là biến cố “phê duyệt chậm”, thì P(A3) = 1 – 0,2 – 0,45 = 0,35 và P(B | A3) = 0,34 Theo công thức xác suất đầy đủ:

P(B) = P(A1)P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + P(A3) P(B | A3 ) = (0,2  0,8) + (0,45  0,5) + (0,35  0,34) = 0,504

phẩm mới trước khi đưa sản phẩm ra thị trường Trong số những khách hàng được phỏng vấn ngẫu nhiên xem có mua hàng không nếu doanh nghiệp tung ra sản phẩm mới thì có 18% trả lời “sẽ mua”, 48% trả lời “có thể sẽ mua” và còn lại là 34% trả lời

“không mua” Theo kinh nghiệm của doanh nghiệp, tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm mới tương ứng với ba nhóm trên lần lượt là 45%, 25% và 1%

Vậy tỷ lệ khách hàng tiềm năng sẽ mua sản phẩm mới là bao nhiêu phần trăm?

Giải:

Đặt B là biến cố “khách hàng sẽ mua sản phẩm mới”

A1 là biến cố “khách hàng trả lời “sẽ mua” thì P(A1) = 0,18 và P(B | A1) = 0,45

A2 là biến cố “khách hàng trả lời “có thể sẽ mua” thì P(A1) = 0,48 và P(B | A2) = 0,25 A3 là biến cố “khách hàng trả lời “không mua” thì P(A1) = 0,34 và P(B | A3) = 0,01

Ba biến cố A1, A2, A3 tạo thành nhóm đầy đủ, do đó áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

P(B) = P(A1)P(B | A1) + P(A2)P(B | A2) + P(A3)P(B | A3)

= 0,18  0,45 + 0,48  0,25 + 0,34  0,01 = 0,204

Vậy tỷ lệ khách sẽ mua sản phẩm mới là 20,4%

Bài 2: Các định lý xác suất

38

 Khi một biến cố có thể xem như tích của các biến cố khác thì để tính xác suất của biến cố này

C âu hỏi ôn tập

1 Thế nào là xác suất có điều kiện? Nếu hai biến cố độc lập thì sao?

2 Xác suất tích của hai biến cố được tính như thế nào? Nếu hai biến cố độc lập thì sao?

3 Xác suất tổng của hai biến cố được tính như thế nào? Nếu hai biến cố xung khắc thì sao?

4 Xác suất của biến cố đối lập được tính như thế nào?

5 Thế nào là lược đồ Bernoulli?

6 Tính xác suất theo bài toán Bernoulli như thế nào?

7 Tính xác suất đầy đủ như thế nào?

Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc

và cách tính các đại lượng đó Để có thể nắm được bài học này, cần nhớ các khái niệm về xác suất trong các bài trước, cũng như cách tính các xác suất đó Việc tính toán cần hết sức cẩn thận tránh nhầm lẫn

Để học tốt bài này,sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

 Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn

 Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của NXB Đại học KTQD

 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email

 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học

Nội dung

 Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên

 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

 Các tham số đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn

 Biến ngẫu nhiên phân phối Không – một và phân phối Nhị thức

 Khái niệm và các tham số của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Mục tiêu

Sau khi học xong bài này sinh viên cần thực hiện được các việc sau:

 Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên và phân biệt được hai loại biến ngẫu nhiên

 Lập được bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

 Tính các tham số: kỳ vọng toán, phương sai, độ lệch chuẩn và áp dụng trong phân tích kinh tế

 Biết sử dụng quy luật Không – Một và quy luật Nhị thức để tính xác suất và các đại lượng

 Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên 2 chiều và tính được một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc