SKKN Phát triển tính sáng tạo của học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Phát triển tắnh sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách Phịt triÓn tÝnh sịng tỰo cho hảc sinh thềng qua giời bội toịn bỪng nhiÒu cịch Luật giáo dục ựiều 24 khoản 2

Phát triển tắnh sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Phịt triÓn tÝnh sịng tỰo cho hảc sinh thềng qua giời bội toịn bỪng nhiÒu cịch

Luật giáo dục ựiều 24 khoản 2 ựã ghi ỘPhương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy ựược tắnh tắch cực, tự giác, chủ ựộng, sáng tạo của học sinh; phù hợp với ựặc ựiểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác ựộng ựến tình cảm ựem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinhỢ

Xuất phát từ quan ựiểm trên, ựối với một trường trọng ựiểm chất lượng cao thì công tác bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là vấn ựề ựược ựặt lên hàng ựầu Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ựiều quan trọng nhất là cho các em thấy ựược

vẻ ựẹp của Toán học, phải phát huy ựược tắnh tắch cực, chủ ựộng, sáng tạo cho học sinh đặc biệt ựối với bộ môn Toán thì yếu tố sáng tạo là vô cùng cần thiết,

nó không những ựòi hỏi phải nắm chắc, vận dụng kiến thức cơ bản làm các bài tập sách giáo khoa cũng như sách bài tập, mà nó còn yêu cầu học sinh khá, giỏi phải vận dụng tổng hợp các kiến thức trên nhằm tìm ra các ựơn vị kiến thức chưa

có sẵn cũng như khi giải Toán thì học sinh không ựược tự thoả mãn với phương pháp, cách giải của mình mà phải ựào sâu, suy nghĩ tìm ra các phương pháp giải tốt hơn Muốn có nhiều cách giải cho một bài toán thì học sinh cần phải hiểu bài toán ựó, nhìn bài toán ựó dưới nhiều góc ựộ khác nhau, sử dụng tổng hợp các ựơn vị kiến thức, biết chắt lọc, vận dụng và sáng tạo

Vừa qua Bộ Giáo dục và đào tạo ựã tổ chức cuộc thi giải toán qua mạng Internet cho học sinh cấp Tiểu học và Trung học cơ sở đây là cuộc thi hết sức

bổ ắch ựối với các em học sinh và giáo viên trong cả nước.Cuộc thi ựã nhận ựược

sự ựồng tình rất lớn trong nhân dân; nhất là các em học sinh

Là một giáo viên dạy bồi dưỡng cho học sinh lớp 9 ôn luyện ựể tham gia cuộc thi cấp tỉnh và quốc gia, tôi nhận thấy một ựiều là rất nhiều bài không có một dạng cụ thể nào hoặc nếu có thì giải theo dạng ựó mất rất nhiều thời gian nên không ựáp ứng ựược yêu cầu, tắnh chất của cuộc thi Do vậy sự sáng tạo về cách giải trong cuộc thi này là hết sức quan trọng

Phỏt triển tớnh sỏng tạo cho học sinh thụng qua giải bài toỏn bằng nhiều cỏch

Nguyễn Văn Chương Trường THCS Nguyễn Hàm Ninh Trang 2

ðối với cụng tỏc bồi dưỡng học sinh giỏi Toỏn khụng những làm cho cỏc

em nắm chắc kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng vào cỏc dạng toỏn mà ủiều quan trọng ủú là người giỏo viờn cần phải khơi dậy niềm ủam mờ học toỏn, phỏt huy ủược sự ủộc lập, tớch cực, sỏng tạo trong cỏch học toỏn ủối với cỏc em học sinh

số học, ðại số hay Hỡnh học thỡ cỏc em rất lỳng tỳng trong việc khụng biết nờn bắt ủầu từ ủõu, vận dụng kiến thức gỡ,

ðối với một bài toỏn cú thể cú nhiều cỏch giải khỏc nhau, xuất phỏt từ những gúc ủộ nhỡn nhận của mỗi em học sinh cũng như khả năng vận dụng cỏc kiến thức nào ủú mà ủi ủến cỏc cỏch giải cho một bài toỏn ðiều này giỳp cỏc em thấy ủược nột ủẹp trong toỏn học, thấy ủược nhiều cỏch giải khỏc nhau, cỏch giải nào hay hơn, làm cho cỏc em dễ hiểu hơn, cỏch giải nào cũn dài ủể từ ủú cỏc em

cú sự lựa chọn cỏch giải bài toỏn phự hợp cho bản thõn

Với những suy nghĩ như trờn trong bài viết này tỏc giả mong rằng nú sẽ ủúng gúp một phần hết sức nhỏ bộ, nhằm bước ủầu tạo cho cỏc em cú cỏch cảm nhận, sỏng tạo và ngày càng yờu thớch mụn Toỏn hơn, thấy ủược sự muụn màu của Toỏn học nú khụng khụ khan như cỏc em vẫn thường nghĩ

II Phạm vi đề tài

Hỡnh học với cỏc bài toỏn sơ cấp Do khuụn khổ bài viết khụng dài nờn mỗi lĩnh vực như vậy tỏc giả chỉ ủưa ra một hoặc hai vớ dụ cựng với nhiều cỏch giải khỏc nhau, chỉ sử dụng kiến thức cấp trung học cơ sở, cú cỏch giải dài, cú cỏch giải ngắn, cú cỏch giải hay cũng như cú cỏch giải chưa hay, cú cỏch giải cỏc em học sinh ủó biết và cú cỏch giải mà cỏc em chưa ủược gặp Song ủiều mà tỏc giả mong muốn ủú là cỏc em học sịnh khụng nờn tự thoả món với cỏch giải của mỡnh

mà luụn luụn trăn trở, tỡm tũi suy nghĩ ủể tỡm ra cỏch giải ủơn giản hơn, ngắn gọn hơn, và nhất là ủú phải là sản phẩm của chớnh bản thõn cỏc em

Cũng như trong bài viết ngắn này, dự cỏc vớ dụ khụng ủề cập ủến nhưng tỏc giả rất mong cỏc em hóy tự nghĩ ra một ủề toỏn khỏc, cú thể thay ủổi một số yếu tố, sỏng tạo ra cỏc bài toỏn khỏc, cú nhiều cỏch giải hay hơn ðể cỏc em tư duy ngày càng linh hoạt hơn, học giỏi hơn

Phát triển tắnh sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

III Néi dung ệÒ tội

III.1: Khảo sát thực tế:

Ớ Ưu ựiểm:

Trường ựóng trên ựịa bàn thị trấn nên phụ huynh rất quan tâm ựến việc học tập của con em mình, học sinh có ựiều kiện ựể mua sắm các loại sách phục vụ cho việc học tập của bản thân

Là một trường trọng ựiểm chất lượng cao của huyện, có bề dày thành tắch trong công tác dạy và học, nhất là mũi nhọn học sinh giỏi nên ựược sự rất lớn của các cấp, các ngành, ựịa phương, sự chăm lo ựầu tư cơ sở vật chất, chuyên môn, ựổi mới phương pháp dạy học của Ban giám hiệu nhà trường và ựội ngũ giáo viên có năng lực sư phạm vững vàng, nhiệt tình, chất lượng dạy học ựã ựược khẳng ựịnh qua nhiều năm qua, ựặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đây là công việc hết sức quan trọng trong giai ựoạn ựào tạo nhân tài cho ựất nước

đa số các em học sinh của trường ựều thông minh, chăm ngoan, học giỏi,

có ước mơ, hoài bão do ựó rất thuận lợi cho công tác bồi dưỡng, phát huy khả năng trắ tuệ cho các em, ựặc biệt là môn Toán ựòi hỏi sự sáng tạo không ngừng

Ớ Nhược ựiểm:

Trong Toán học thì sự nó bao hàm rất nhiều nội dung, dạng toán khác nhau, không có sự hạn chế trong các dạng toán; Các dạng toán có thể ắt liên quan, hay liên quan mật thiết với nhau Một người muốn trở nên giỏi Toán thì cần có một

tư chất tốt cũng như nghị lực vượt qua mọi khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu

đa số học sinh ựều có tâm lắ ỘsợỢ Toán điều này một phần do sự Ộựòi hỏiỢ khá cao của bộ môn Toán ựối với học sinh giỏi, một phần do tâm lắ của học sinh các khoá trước đôi khi ựứng trước một bài toán không có một cách giải tổng quát nào, học sinh không biết nên bắt ựầu từ ựâu Những bài toán như thế này hầu hết ựều ựược giải một cách khá ựặc biệt Do ựó nếu không có sự sáng tạo cao trong cách giải thì học sinh rất khó ựể học tốt môn Toán

để phần nào giúp các em ngày càng Ộyêu toánỢ hơn Trong bài viết này tác giả muốn thông qua nhiều cách giải cho một bài toán nhằm phần nào giúp các

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Nguyễn Văn Chương Trường THCS Nguyễn Hàm Ninh Trang 4

em học sinh có “cái nhìn” ña chiều cách giải cho một bài toán Thấy ñược sự lung linh diệu kì nhưng cũng rất cụ thể của Toán học

III.2: Tỉ lệ khảo sát trong năm học 2007 - 2008

Trong năm học 2007 - 2008 Ban giám hiệu trường THCS Nguyễn Hàm Ninh ñã tiến hành cho học sinh các lớp 6; 7; 8; 9 thi học sinh giỏi cấp trường Một ñiều dễ nhận ra từ cuộc thi này ñó là ñiểm số của các em thi học sinh giỏi Toán chưa cao Số học sinh ñạt ñiểm trên trung bình còn ít, các em ñạt ñược ñiểm 7; 8; 9; 10 hầu như không có

Có rất nhiều nguyên nhân dẫn ñến kết quả ñó Tuy nhiên cần phải thấy rằng các ñề thi học sinh giỏi không những yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng ñược kiến thức ñã học mà từ những kiến thức ñó yêu cầu học sinh phải biết nhìn

ñề bài toán dưới các góc ñộ khác nhau Muốn ñược thế thì học sinh cần phải có

sự sáng tạo các cách giải phù hợp với ñề toán ðiều này thường thiếu ở học sinh Thông thường với các bài toán mà có cách giải cụ thể thì học sinh sẽ giải ñược Cũng có trường hợp bài toán ñó ñã ñược giải cho các em xem rồi nhưng các em

ñã quên nên không thể giải ñược Hầu hết các em thường có tâm lí chỉ cần hiểu ñược một cách giải cho bài toán là ñủ, thiết nghĩ ñiều này không hẳn ñúng Cốt lõi của vấn ñề là nên cho học sinh thấy ñược con ñường ñi ñến cách giải và giáo viên chỉ cần hướng dẫn con ñường ñi ñến ñích ñó tuỳ theo mỗi trường hợp, còn

ñi như thế nào thì chúng ta hãy tự ñể các em ñi, sản phẩm chính các em làm ra bao giờ các em sẽ ghi nhớ lâu hơn là sản phẩm do chúng ta ñem ñến

IV: GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Bài toán 1: “Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9” (1)

Chúng ta thấy một ñiều rằng một số chia hết cho 9 thì luôn luôn chia hết cho 3 Do ñó, khi ñứng trước bài toán trên, các em học sinh thường xét các trường hợp của một số tự nhiên n khi chia cho 3 các khả năng có thể xảy ra, thay vào bài toán cho các trường hợp cụ thể, sau ñó kết luận từ các trường hợp riêng

ñó Với suy nghĩ ñó chúng ta có thể giải bài toán trên như sau:

Cách 1: * Nếu n chia hết cho 3 khi ñó n = 3k (k ∈N)

1 ðề thi học sinh giỏi lớp 9 thành phố Hồ Chí Minh năm học 2007 - 2008

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

= 9k(k + 1) + 3 không chia hết cho 9

Kết luận: Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Sau ñó giáo viên nên hỏi thêm học sinh ngoài cách giải trên có thể giải cách khác nữa không? Nếu không xét các trường hợp của số tự nhiên n thì chúng ta có

nguyên nào ñó thì có chứng minh ñược không? Với cách suy nghĩ như thế yêu cầu học sinh tìm cách phân tích biểu thức ñó dưới dạng trên

Cách 2:

Nhận thấy: n + 2 - (n - 1) = 3 chia hết cho 3 nên (n - 1) và (n + 2) chia hết cho 3 hoặc khi chia cho 3 có cùng số dư Ta xét các trường hợp có thể xảy ra:

suy ra (n - 1)(n + 2) + 3 không chia hết cho 9

không chia hết cho 3 => (n - 1)(n + 2) + 3 không chia hết cho 3 nên cũng không chia hết cho 9

Kết luận: Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh khai thác bài toán trên theo hướng khác Nếu chúng ta không chứng minh một cách trực tiếp mà sử dụng phương pháp chứng minh gián tiếp có ñược không?

Cách 3:

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Nguyễn Văn Chương Trường THCS Nguyễn Hàm Ninh Trang 6

Giả sử: Nếu n2 + n + 1 chia hết cho 9 như vậy n2 + n + 1 = 9m (m ∈ )

=> n2 + n + 1 = 9m <=> n2 + n + 1 - 9m = 0 (*)

Phương trình (*) với ẩn số là n sẽ có nghiệm tự nhiên Suy ra delta phải là số chính phương

Ta lại có: ∆ = 1 - 4 + 36m = 3(12m - 1) chia hết cho 3 nhưng 3(12m - 1) = 36m

- 3 không chia hết cho 9 => nên ∆ không phải là số chính phương hay phương trình (*) ẩn n không có nghiệm tự nhiên Như vậy ñiều giả sử trên là vô lí

Kết luận: Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Cũng với suy nghĩ như trên chúng ta có thể giải bài toán trên theo hướng khác:

Cách 4:

Giả sử tồn tại số tự nhiên n ñể n2 + n + 1 chia hết cho 9 ðặt X = n2 + n + 1 Suy ra 4X chia hết cho 9 (1) => 4X = 4n2 + 4n + 4 = (2n + 1)2 + 3 Mà 4X chia hết cho 9 nên 4X chia hết cho 3 => (2n + 1)2 chia hết cho 3 => 2n + 1 chia hết cho 3 => (2n + 1)2 chia hết cho 9

=> (2n + 1)2 + 3 không chia hết cho 9 (2)

Suy ra: (1) và (2) mâu thuẫn với nhau Vậy ñiều giả sử trên là vô lí

Kết luận: Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Bây giờ chúng ta xét một ví dụ về ñại số

Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1

Cách 1: Biểu thị y qua x rồi ñưa về tam thức bậc hai ẩn x:

y = 1 - x => A = x3 + 1 - 3x + 3x2 - x3 + x - x2 = 2x2 - 2x + 1 = 2

2

2

1

-x 











+

2

1

;

2;

Cách 2: Phân tích biểu thức trên:

A = x3 + y3 + xy = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 + y2

Từ giả thiết ta có: x + y = 1 => (x + y)2 = 1 <=> x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mặt khác: (x - y)2 ≥ 0 <=> x2 - 2xy + y2 ≥ 0 (2)

Lấy (1) cộng với (2) => 2(x2 + y2) ≥ 1 => x2 + y2 ≥ 1

2 => A ≥ 1

2;

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1

2
x = y = 1

2;

Cách 3: Ta có thể dùng ẩn phụ

Từ giả thiết x + y = 1 giúp ta liên tưởng ñến một cách ñặt ẩn phụ thường ñược sử dụng, ñó là: ðặtx = 1 a

2+ ; y = 1 a

A = x2 + y2 =

Vì a2≥ với mọi a 0 ∈ ℝ; Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1

2
a = 0 hay x = y = 1

2;

Cách 4: Ta có thể áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacopsky

Ta có: (x2 + y2)(12 + 12) ≥ (x.1 + y.1)2 = (x + y)2 = 1; (vì x + y = 1);

=> x2 + y2 ≥ 1

2 => A ≥ 1

2 ; Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1

2
x = y = 1

2 ;

Cách 5: Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy cho hai số không âm x2 và y2; ta có:

x2 + y2 2 | x || y |≥ = 2|xy|; Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi |x| = |y|;

* x = y => x = y = 1

2 => A ≥2.1

4 = 1

2 ; Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1

2

x = y = 1

2;

* x = - y
x + y = 0 mà theo giả thiết x + y = 1 (trường hợp này loại);

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1

2
x = y = 1

2;

Bài toán 3: Cho x + y + z = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2 + z2

Cách 1: Áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacopsky, ta có:

(x2 + y2 + z2)(12 + 12 + 12) ≥ (x + y + z)2 = 9 => (x2 + y2 + z2) ≥ 3;

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

Cách 2: Ta có thể dùng ẩn phụ như sau: ðặt x = 1 + a; y = 1 + b; z = 1 + c; Khi ñó: x + y + z = 3 + a + b + c = 3 => a + b + c = 0

=> A = (1 + a)2 + (1 + b)2 + (1 + c)2 = 3 + 2(a + b + c) + a2 + b2 + c2

=> A = a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 3; Vì 2(a + b + c) = 0 ; a2 + b2 + c2 ≥ 0; Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 khi và chỉ khi a = b = c = 0 hay x = y = z = 1

Cách 3:

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) => 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Nguyễn Văn Chương Trường THCS Nguyễn Hàm Ninh Trang 8

=> x2 + y2 + z2 = 9 - 2(xy + yz + xz); vì 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + xz) (2)

=> 9 - 2(x2 + y2 + z2 ) ≤9 - 2(xy + yz + xz) <=>9 - 2(x2 + y2 + z2 ) ≤ x2 + y2 + z2

; => 3(x2 + y2 + z2) ≥ 9 => A ≥ 3;

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3
x = y = z = 1;

Cách 4:

Vì x2; y2; z2 là các số không âm nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 3 số ñó bằng nhau tức là x2 = y2 = z2;

Trường hợp 1: x = y = z => x = y = z = 1 => Giá trị nhỏ nhất của A là 3

Trường hợp 2: Có hai số cùng dương, một số âm Chẳng hạn: x = y = - z Khi ñó:

x + y + z = 3 <=> - z = 3 => z = - 3 => x = y = 3 => x + y + z = 3 Suy ra

A = 32 + 32 + 32 = 27 > 3

Trường hợp 3: Có hai số âm, một số dương:

Không mất tính tổng quát, giả sử x > 0; y < 0; z < 0 Khi ñó ta có x = - y = - z

=> x + y + z = 3 => z = 3 > 0 (loại)

Trường hợp 4: cả ba số x, y, z ñều âm Khi ñó: x < 0; y < 0; z < 0

=> x + y + z = 3 < 0 (vô lí) Vậy trường hợp này không xảy ra

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

KÕt luËn: VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 3
x = y = z = 1;

Chúng ta xét ñến một bài toán hình học sau:

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A, ñường trung tuyến CD Trên tia ñối của tia BA lấy ñiểm K sao cho BK = BA Chứng minh rằng CD = 1

2CK (3)

Khi gặp bài toán này, học sinh thường lúng túng không biết nên giải như thế nào Bởi lẽ ñể giải ñược bài toán này học sinh cần phải vẽ thêm các yếu tố phụ Tuy nhiên yêu cầu của bài toán là chứng minh CD = 1

2CK; ñiều ñó giúp học sinh nghĩ ngay ñến

kiến thức về ñường trung bình của tam giác Song cần phải thấy một ñiều rằng có thể chứng minh CD là ñường trung bình của một tam giác nào ñó mà có chứa cạnh

CK hay không Với hình vẽ như bài ra ñã cho thì chứng minh không phải là ñiều

dễ dàng Tuy thế nếu ta không chứng minh CD là là ñường trung bình của tam giác nào ñó chứa cạnh CK thì ta thử chứng minh ñộ dài ñoạn thẳng CD bằng nửa ñộ dài

(2) x2 -2xy + y2 ≥ 0 => x2 + y2 ≥ 2xy; t−¬ng tù: y2 + z2 ≥ 2yz; x2 + z2 ≥ 2xz => x2 + y2 + z2≥ xy + yz + zx (ñpcm)

(3) Trích Nâng cao và phát triển toán 7 Nhà xuất bản Giáo dục

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

một cạnh nào ñó mà cạnh ấy lại bằng CK hoặc CD bằng ñộ dài một cạnh nào ñó

mà cạnh này lại bằng nửa ñộ dài ñoạn thẳng CK Với suy nghĩ như trên chúng ta có thể ñi vào giải bài toán trên bằng một số cách sau:

Với việc vận dụng kiến thức trong tam giác cân, hai ñường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau, ta có thể tạo ra ñường trung tuyến BE Dễ dàng chứng minh ñược BE là ñường trung bình của tam giác ACK

Cách 1: (Hình 1)

Gọi E là trung ñiểm của AC

Có BE là ñường trung bình của ∆AKC => BE = 1

2KC (1) Xét ∆BDC và ∆CEB có:

BD = CE (vì BD = 1

2 AB; CE = 1

2AC mà AB = AC); Cạnh BC chung;

DBC = ECB (vì ∆ABC cân tại A);

Vậy ∆BDC = ∆CEB (c.g.c);

Suy ra CD = BE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra CD = 1

2CK (ñ.p.c.m)

Ta có thể tạo ra các tam giác bằng nhau, như cách giải sau ñây

Cách 2: (Hình 2)

Gọi H là trung ñiểm của KC BH là ñường trung bình của ∆AKC

=> BH = 1

2AC

Xét ∆BDC và ∆BHC có:

BD = BH (vì BD = 1

2AB; BH = 1

2AC mà AB = AC);

HBC=DBC

BC cạnh chung;

Vậy ∆BDC = ∆BHC (c.g.c)

Suy ra CH = DC (hai cạnh tương ứng); (1)

Mà H là trung ñiểm của KC nên CH = 1

2 CK (2)

H.2

H

K

D

A

H.1

E

K

D

A

Phát triển tính sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Nguyễn Văn Chương Trường THCS Nguyễn Hàm Ninh Trang 10

Từ (1) và (2) suy ra: CD = 1

2CK

Chúng ta cũng có thể tạo ra một ñoạn thẳng bằng ñoạn thẳng CK và việc chứng minh CD bằng nửa ñoạn thẳng ñó tương ñối dễ dàng:

Cách 3: (hình 3)

Trên tia ñối của tia CA lấy ñiểm M sao cho

CA = CM; CD là ñường trung bình của ∆ABM

=> DC = 1

2BM (1) Xét ∆KBC và ∆MCB có:

BC cạnh chung; KBC=MCB (cùng bù với ABC);

KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC);

Vậy ∆KBC = ∆MCB (c.g.c) => KC = MB (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DC = 1

2 CK (ñ.p.c.m);

Cách 4: (hình 4)

Trên tia ñối của tia CB lấy ñiểm N sao cho

CB = CN; Ta có: DC là ñường trung bình của

∆ABN => CD = 1

2 AN (1);

Xét ∆KBC và ∆ACN có:

BC = CN; KBC= ACN

0

0

KB = AC (cùng bằng AB);

Vậy ∆KBC = ∆ACN (c.g.c) => CK = AN (hai cạnh

tương ứng) (2);

Từ (1) và (2) suy ra: CD = 1

2 CK (ñ.p.c.m);

Cách 5: (hình 5)

Gọi P; Q lần lượt là trung ñiểm của BC và BK;

Có DP là ñường trung bình của ∆ABC

=> DP = 1AC = AB = DB1

M K

D

A

H.4

N

K

D

A

H.5 Q

K

D

P

A

H.3