9 tổng ôn gtln gtnn tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn biểu thức mũ logarit

Kết luận  – Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v..  Kết luận GTLN, GTNN tìm được.. GTLN và GTNN của hàm số đơn điệu trên đoạn  a b;.

Với , , , a b x y là các số thực Khi đó ta có:

 2  2 2 2 2

ax by  a b x y hay ax by  a2b2x2y2

Dấu " = " xảy ra khi a b

x  y

Với n số không âm a a a1, , , ,2 3 a ta có: n 1 2 3

1 2 3

n

a a a a n

Dấu “=” xảy ra  a1a2 a3  an

 Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức AM-GM như sau:

2

a b

3

a b c

Dấu “=” xảy ra  a b c 

b a  ab0 Dấu “=” xảy ra  a b

a

  a0 Dấu “=” xảy ra  a 1

–

Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn 2x2y  Tìm giá trị lớn nhất 4 P của biểu thức max

2 2 2 2  9

2

Trong các nghiệm x y;  thỏa mãn bất phương trình logx22y22x y  Khi đó giá trị lớn nhất 1 của biểu thức T 2x y là

A 9

9

9 8

Bước 1 Đưa biểu thức (giả thiết) là phương trình hoặc bất phương trình chứa mũ hoặc logarit về dạng

   

f u  f v hoặc f u  f v , ,u v D , trong đó u u x  ; v v x  

Bước 2 Xét hàm số f t  trên miền xác định D

 Tính f t  và xét dấu f t 

 Từ bảng xét dấy, kết luận f là hàm đơn điệu trên D

Bước 3 Kết luận

 – Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v

– Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

+ Nếu f là hàm đồng biến trên D thì: u v

+ Nếu f là hàm nghịch biến trên D thì: v u

 Dựa vào phương trình u v hoặc bất phương trình u v

v u





 

của biểu thức P , với P là biểu thức đề bài yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN

 Kết luận GTLN, GTNN tìm được

 Chú ý GTLN và GTNN của hàm số đơn điệu trên đoạn  a b;

 Nếu hàm số y f x  nghịch biến với  ; min ;  ; max ;  

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn log5 4a 2b 5 a 3b 4

a b

của biểu thức T a2b2

A 1

3

5

2

Xét tất cả các số thực dương ,x y thỏa mãn 1 1

x y

xy

x  y đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng

1

9

1

32 Cho ,a b là số thực dương thỏa mãn 2 3 1

a b



 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a  là b

2

[Mã 103 – 2020 lần 1] Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x y 4x y   1 Giá trị 3 nhỏ nhất của biểu thức P x 2y22x4y bằng

A 33

9

21

41

8

[Đề minh họa 2020 lần 1]Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0 x 2020 và

3

log 3x  3 x 2y9y?

[Mã 101- 2020 lần 1]Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số

Có bao nhiêu số nguyên y sao cho với mỗi y không có quá 50 số nguyên x thoả mãn bất phương

3

2y x log x y ?

[Đề minh họa 2022]Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất bốn số nguyên b  12;12 thỏa mãn 4a2 b 3b a  65?

[Mã 101 – 2021 lần 1]Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại 1;3

3

x  thỏa mãn

2

27 x xy  1 xy 27 x?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của y để tồn tại số thực x1 thỏa mãn phương trình

x

 

Có bao nhiêu cặp số nguyên  x y, , với x10 thoả mãn bất phương trình 2

log 3 4

x y

y

x



Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3x2 y2 4x y 

Cho các số thực ,x y thỏa mãn logx2 y2 22x4y3 Giá trị lớn nhất của biểu thức 1

P x y có dạng 5 M m với M m,  Tính M m ?

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y  Giá trị nhỏ nhất của 2 2.3 1 .32

24

8

2

8

2

2

P x  x y  là

9



7 2



x y

xy

x  y đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng

1

9

1

32 Cho các số thực x, y thỏa mãn 5 16.4 x 2  2 y  5 16x 2  2 y.72 y x   2 2 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 10 6 26



2

2

2

2y  y 2xlog x2y  Giá trị nhỏ nhất của biểu

y

 bằng

2

e

2

e

2

2ln 2

e

Cho 0 x 2021 và log3x  1 x 3y 1 27y Có bao nhiêu cặp số x y; nguyên thỏa mãn điều kiện trên?

3

log  x1 y1 y  9 x1 y1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là

2

7

P  C Pmin   5 6 3 D Pmin   3 6 2

Có bao nhiêu số nguyên y nằm trong khoảng 2021;  sao cho với mỗi giá trị của y tồn tại nhiều hơn hai số thực x thỏa mãn x2 y x2x.2020x y  2x2 x y.2020x x  2?

Có bao nhiêu số nguyên dương a nhỏ hơn 2021 sao cho tồn tại số nguyên x thỏa mãn

2 2a x  1 a a 2a2x  ? 1

Có bao nhiêu số nguyên y sao cho với mỗi y không có quá 50 số nguyên x thoả mãn bất phương

3

2y x log x y ?

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thỏa mãn 2x2 y2 2.2y x  ?

Đề tự luyện: