De thi hsg toan 8 cap tinh

Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán cấp Tỉnh ĐỀ SỐ 1 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Môn thi Toán 8 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0[.]

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm: 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Môn thi:Toán 8

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử:

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x + 3x - 4 2

b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy + 3x -5y = 9

Câu 4: (7,0 điểm):

Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắtđường thẳng BC tại P và R, cắt đường thẳng CD tại Q và S

a Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân

b QR cắt PS tại H; M, N lần lượt là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giácAMHN là hình chữ nhật

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Cán bộ coi thi số 1: ……… Cán bộ coi thi số 2: ………

4xy + 6x -10y = 18 2x(2y + 3) -5(2y + 3) = 3

0,50,5

1,0

vuông) Suy ra AQ = AR, nên AQR là tam

giác vuông cân tại A Chứng minh tương tự

ta có: ABP = ADS

do đó AP = AS vàAPS là tam giác vuông

cân tại A

b) AM và AN là đường trung tuyến của tam

giác vuông cân AQR và APS nên AN  SP và AM  RQ Mặt khác:

 

PAN PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AMHN có ba góc

vuông, nên AMHN là hình chữ nhật

c) Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đường cao

của SQR Vậy P là trực tâm của SQR

d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM

=

2

1QR

MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông

SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực

của AC

e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách

khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng nằm trên

đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng

0,5

1,5

1,51,0

( 3) 3 ( 3) 2( 3) ( 3)( 3 2)

( 3) ( ) (2 2) ( 3) ( 1) 2( 1) ( 3)( 2)( 1)

Do n lẻ nên n-3, n-2, n-1 là 3 số tự nhiên liên tiếp trong đó có hai số

chẵn Trong 2 số chẵn này có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho

(n 3)(n 2)( 1) 8.3 24n

Vậy, n3  6n2  11 6 24n  với mọi số tự nhiên n lẻ

* Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn tính điểm tối đa.

b) Chứng minh (a2+ 3a + 1)2- 1 chia hết cho 24 với a là số tự nhiên.

Bài 3 (3 điểm) Cho 1a  1b  1c  0

Tính giá trị biểu thức M = c

b

a b

a

c a

Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ

M kẻ MD song song AB (DAC), kẻ ME song song AC (EAB)

a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất

b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ABC = 600

Bài 6 (3 điểm) Tìm x biết: x5(3x – 1)m+3: x5(3x – 1)m-1– 56: 52= 0;

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT TOÁN LỚP 8

Bài 3 (3 điểm):

b

a b

a

c a

a

c a

c b

c

c b

a b

c b

a a

c b a

51

Bài 5 (4 điểm).

AE//DM (AB//DM) ; AD//EM (AC//EM) và A = 900(gt)

 tứ giác ADME là hình chữ nhật

 DE = AM (t/c hình chữ nhật)

Mà AM ngắn nhất khi AMBC tức là AM là đường cao ∆ABC

Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC

b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ABM = 600

 ∆ ABM là nữa tam giác đều có cạnh AB

a AH = HD

b HK //BC

Câu 5 (3 điểm):

Cho tam giác đều ABC M là điểm thuộc cạnh BC I và D lần lượt là trung điểm của

AM và BC; E, F là chân đường vuông góc kẽ từ M đến AB và AC

a Tính số đo các góc DIEˆ và DIFˆ

b Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi

Câu 5

(3đ)

a Tam giác AEM vuông tại E , EI là đường trung tuyến nên ta có

IE = IA = IM khi đó EIMˆ  2EAIˆ .(1)

Ta lại có tam giác ADM vuông tại D, DI là đường trung tuyến

Nên ID = IA = IM , DIMˆ 2DAIˆ (2)

Từ (1) và (2) ta có: EIDˆ 2EADˆ 600

Vậy góc DIE bằng 600, tương tự góc DIF bằng 600

b DIEcân tại I, mà DIE ˆ 600 nên DIE đều

tương tự DIF đều từ đó DEIF là hình thoi

0.5đ0.5đ0.5đ0.5đ0.5đ0.5đ

Câu 6 Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z; trong đó cạnh huyền

F

z = x + y - 4 ;thay vào (1) ta được :

xy = 2(x + y + x + y - 4)

xy - 4x - 4y = -8(x - 4)(y - 4) = 8 = 1.8 = 2.4 0,25

Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :

- HẾT

-Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

a) Tìm điều kiện của x để A xác định

x

Bài 5 (3 điểm): Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc AHB và phângiác Hy của góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy

Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông.

Bài 6 (3 điểm) Cho góc vuông xOy và điểm I nằm trong góc đó Kẻ IC vuông góc với Ox;

ID vuông góc với Oy Biết IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox ở A cắt Oy ở B

a) Chứng minh rằng tích AC.DB không đổi khi đường thẳng đi qua I thay đổi

b) Biết diện tích tam giác AOB là SAOB =

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT TOÁN LỚP 8

Câu 1 (3 điểm):

a) (1,5đ) Ta có: 85+ 211= (23)5+ 211= 215+ 211=211(24+ 1) = 211.17Nên kết quả trên chia hết cho 17

a a 1 193a 3a 1 49

1 2

2 4

2 2

x

x x

x

x x

2 2 2 6

Hay DHE = 900mặt khác ADH AEH   = 900

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1) (1đ)

0 0

AHC AHE

AHD AHE

Hay HA là phân giác DHE(2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông (1đ)

AC  

BO

AO IC

OA  

BD

ID OB

Từ (1) và(2) Suy ra:

BD

ID IC

AC 

Hay AC BD = IC ID = a2

Suy ra: AC.BD = a2 không đổi

b) (1,5đ) Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có:

2 CA.DB a

10 3

ĐỀ SỐ 5

Câu 1 (3 điểm) Cho a, b, c thoả mãn a1b1c1  ab1c

Tính giá trị của biểu thức: M = (a19+ b19)(b5+ c5)(c2017+ a2017)

Câu 2 (3 điểm) Cho phân thức A = x-1

x2-3x+2a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

c) Tìm x đề giá trị của A bằng 1

Câu 3 (3 điểm) Cho P = x2+ x + 1 Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Câu 4 (4 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

A = – 12 + 22 – 32 + 42 – …… – 992 + 1002

b a c

ca a

c b

bc c

b a

Câu 5 (3 điểm): Tổng tuổi của hai anh em hiện nay là 63 Tuổi của người anh hiện nay gấp

đôi tuổi của người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay Hỏi tuổi hiện nay của mỗingười ?

Câu 6 (4 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần

lợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S

1) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân

2) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8

Câu 1 (3 điểm): a1b1c1  a1bc



c c b a b a

11

)

(

c b a c

b

a ab

 (a + b)c(a + b + c) =–ab(a + b)  (a + b)[c(a + b + c) + ab] = 0

 (a + b)[c(a + c) + bc + ab] = 0  (a + b)[c(a + c) + b(c + a)] = 0

 (a + b)(a + c)(c + b) = 0  a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0

 a = –b hoặc b = –c hoặc c = –a  M = 0

Câu 2 (3 điểm) Mỗi câu 1 điểm:

bc ab

ab

Câu 5 (3 điểm) Gọi tuổi của anh hiện nay là x, thì tuổi em hiện nay là 63 – x.

Khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay tức là trước đây x – (63 – x) năm

ta có tuổi em lúc ấy là: 63 – x – x – (63 – x ) = 126 – 3x

Theo bài ra ta có phương trình: x = 2(126 – 3x) => x = 36

Tuổi anh hiện nay là 36, tuổi em hiện nay là 27

Câu 6 (4 điểm):

1) ADQ = ABR vì chúng là

hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh

vuông góc) và DA = BA (cạnh hình

ta có: ABP = ADS

tại A

tam giác vuông cân AQR và APS nên

ANSP và AMRQ

Mặt khác: PAN  PAM = 450 nên góc

vuông, nên nó là hình chữ nhật

3) Theo giả thiết: QA  RS,

RCSQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR Vậy P là trực tâm của SQR

4) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung tuyến nên AM =

c Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên.

Câu 3 (3 điểm): Các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài là a, b và diện tích bằng

S Tìm các góc của tam giác vuông biết (a + b)2= 8S

Câu 4 (4 điểm): Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 900) có AB = 4(cm), CD =9(cm), BC = 13(cm) Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = AB Đường thẳng vuông góc BCtại M cắt AD tại N Tính diện tích tam giác BNC

Câu 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC với trung tuyến CM Điểm D thuộc đoạn BM sao cho

BD = 2MD Biết rằng MCD = BCD Chứng minh rằng ACD = 900

Câu 6 (3 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2 2

Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

Mà 2017 là số nguyên tố nên chỉ có ước dương là 1 và 2017.

NB là phân giác của ANM

ĐỀ SÓ 7

Câu 1 (4 điểm):Cho a b c 1

b c c a a b      Chứng minh rằng: a2 b2 c2 0

Câu 5 (3 điểm): Trong một cái giỏ đựng một số táo Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số

táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1

3 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả Cuối cùngtrong giỏ còn lại 12 quả Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả?

Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Qua C vẽ đường thẳng cắt cạnh

AB tại D Từ B vẽ đường vuông góc với CD tại I cắt AC tại E

Chứng minh rằng AD = AE

-

HẾT -Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG _

Câu 1 (4 điểm): Nhân cả 2 vế của: a b c 1

=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)

Câu 3 (3 điểm): Tìm m để phương trình 2x m x 1 3

    và với điều kiệnx 0

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x  8

Câu 5 (3 điểm): Chọn ẩn, lập đúng phương trình qua các bước (2 điểm)

Giải phương trình và chọn kết quả là 38 và trả lời đúng (1 điểm)

Câu 6 (3 điểm): ∆EBC có AB và CI là 2 đường cao cắt nhau tại