SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2014 – 2015 Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2014 Môn TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài 150 phút (kh[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học: 2014 – 2015
Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2014 Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu 1.( 2 điểm)
a/ Cho Tính giá trị biểu thức M = ( a2 + a 1 )2014
b/ Cho x, y là các số nguyên dương và x2 + 2y là số chính phương
Chứng minh rằng x2 + y bằng tổng của hai số chính phương
Câu 2.( 2 điểm)
a/ Giải phương trình sau:
b/ Giải hệ phương trình:
Câu 3.( 1điểm) Cho các hàm số và lần lượt có các đồ thị là (d) và (P) Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung?
Câu 4.(2 điểm) Cho ΔABC và điểm G bất kỳ trong tam giác, qua G vẽ các tia vuông góc với
BC, CA, AB lần lượt cắt các cạnh đó tại D, E, F Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho: Gọi H là điểm đối xứng của A’ qua G
a/ Chứng minh HB’ // GC’
b/ Chứng minh G là trọng tâm ΔA’B’C’
Câu 5.( 2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và D; BD cắt CE tại H; AH cắt BC tại I Vẽ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm) Chứng minh:
a) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI
b) Ba đường thẳng MN, BD, và CE đồng quy
Câu 6.( 1 điểm)
Trong hệ trục Oxy có đường thẳng (d): y = 2014 x cắt trục Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm B Một điểm M( x; y) di động trên đoạn AB ( M không trùng với A và B), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
Họ và tên thí sinh:………Số Báo Danh:………
Chữ ký Giám thị 1 Chữ ký Giám thị 2
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015
KHÓA NGÀY 06/6/2014
Câu 1: 2điểm
0.25 0.5
0.5
b/ gt x2 + 2y = k2 ( k N*) suy ra x và k cùng tính chẵn, lẻ
Nếu x chẵn: x = 2m ( m N*) và k = 2n ( n N*)
Gt y = 2n2 2m2
Khi đó x2 + y = (2m)2 + 2n2 2m2 = 2m2 + 2n2 = ( m + n)2 + (mn)2 ( đpcm) 0.25 Nếu x; k lẻ : x = 2m +1( m N*) và k = 2n+ 1 ( n N*)
Gt y = 2n2 2m2 + 2n 2m
Khi đó x2 + y = (2m +1)2 + 2n2 2m2 + 2n 2m
= m2 + n2 + 1 + 2mn + 2m + 2n + m2 + n2 2mn
= ( m + n + 1)2 + (mn)2 ( đpcm)
Kết luận : Nếu x2 + 2y chính phương thì x2 + y là tổng của hai số chính phương 0.25
Cách khác: vì x; y là các số nguyên dương nên x2 + 2y > x;
x2 + 2y là số chính phương nên x2 + 2y = (x + t)2 với t
2y = t2 + 2tx t chẵn t = 2k (k )
Do đó 2y = 4k2 + 4kx y = 2k2 + 2kx x2 + y = (x + k)2 + k2
0.25 0.25
Câu 2: 2 điểm
ĐK:
hoặc x = 3 Đối chiếu ĐK, cả hai giá trị 1 và 3 đều thỏa mãn
Vậy PT có tập nghiệm
0.25
Trang 3Pt (1) (y 2x)(y 2) = 0 y = 2 hoặc y = 2x
Nếu y = 2 thì pt (2) trở thành x3 + 3x2 4 = 0 x =1 hoăc x = 2 0.25
Nếu y = 2x thì pt (2) trở thành x3 x2 + 2x 2 = 0 x = 1
Câu 3: 1.điểm
Đồ thị (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung khi và chỉ khi
PT (1) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi :
0.25 0.25
Câu 4: 2 điểm
Hình vẽ : phục vụ cho câu a, 0.25 đ
D
K A
G
A'
B'
C'
H
M
a/Ta có ( góc có cạnh tương ứng
vuông góc)
Mà GA’ = GH nên
(gt)
do đó ΔABC đồng dạng với ΔB’HG (cgc)
=>
gọi K giao điểm B’H với đt AB ta ch/m được tứ
giác BDHK nội tiếp
HB’ AB
Mà GC’ AB nên HB’ // GC’
0.25
0.25
0.25
b/ Gọi M trung điểm A’B’
Trang 4=> GM AB ( cùng song song HB’)
=> C’ ; G; M thẳng hàng ( cùng AB)
=> C’M là trung tuyến ΔA’B’C’
Tương tự ta cũng ch/m được A’G là trung tuyến
Vậy G là trọng tâm Δ A’B’C’
0.25 0.25 0.25
Câu 5: 2 điểm
H
D E
O
A
M
N
a/ Các tứ giác BIHE ; CIHD nội tiếp suy ra
suy ra IH là phân giác của góc EID
C/minh tương tự DH là phân giác của góc EDI
Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp của EDI
0.25 0.25 0.25 b/ Chứng minh được AH.AI = AE.AB = AM2
Chứng minh tương tự =
C/minh tứ giác AMIN nội tiếp một đường tròn
M, H, N thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng MN, BD, CE đồng quy
0.25 0.25 0.25
Câu 6: 1 điểm
Ta có A(2014 ; 0) và B( 0; 2014) theo giả thiết thì 0 < x ; y < 2014 0.25
Lại có
Từ (1) và (2) ta có
0.25
Vậy GTNN của P là
0.25
Chú ý : Thí sinh giải cách khác đáp án, các giám khảo thống nhất theo thang điểm của đáp án