Dạng toán về hàm có dấu giá trị tuyệt đối

Sáng kiến về một số dạng toán về hàm số có dấu giá trị tuyệt đối được viết bài bản, công phu, đầy đủ các dạng toán cơ bản. Là tài liệu hữu ích để giáo viên tham khảo, học sinh học ôn thi. Các bài tập được sắp xếp có trình tự, hướng dẫn giải chi tiết, có phân tích đưa ra phương pháp giải phù hợp.

MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

Một số dạng toán về hàm có dấu giá trị tuyệt đối

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học tự nhiên

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: (Không có)

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:

Trường THPT Kinh Môn II; Xã Hiệp Sơn, Huyện Kinh Môn,

Tỉnh Hải Dương; Điện Thoại 03203826755

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong quá trình nghiên cứu các bài toán trong đề thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy các dạngbài tập về hàm số có dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện tương đối nhiều Đối với học sinh và ngay

cả với giáo viên như tôi lần đầu gặp bài toán hàm số có dấu giá trị tuyệt đối cũng có lúngtúng về cách giải quyết trình bày lập luận và đặc biệt tư duy phương pháp giải chưa rõ ràng

Do nhu cầu ham học tập của các em học sinh để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia vàcũng để nâng cao khả năng chuyên môn của bản thân trong dạy học nên tôi thực hiện sángkiến này

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

- Nhà trường có các tiết tự chọn bám sát, có các buổi sinh hoạt chuyên đề, sinh hoạt tổ nhómchuyên môn và có học tăng cường thêm buổi hai

- Có thể áp dụng sáng kiến cho học sinh lớp 12 trong cả năm học, bắt đầu từ tháng 10 trở đi

- Áp dụng sáng kiến cho đối tượng học sinh có lực học khá trở lên

- Học sinh có kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số, tính chất của các loại hàm số

3 Nội dung sáng kiến

- Đưa ra được hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến xuất phát từ nhu cầu học tập của học sinh vàthực tế trong đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây

- Đưa ra được hướng dẫn, phương pháp cơ bản giải quyết các dạng bài tập

- Giới thiệu và phân dạng được các bài toán thông dụng về hàm ẩn

- Các ví dụ minh họa được các bài tập trong các tài liệu tham khảo và các đề thi THPT QuốcGia những năm gần đây qua đó tạo được niềm tin, hứng khởi, kích thích sự sáng tạo của họcsinh trong quá trình giải toán

- Giới thiệu được nhiều bài tập để giáo viên tham khảo và để các em học sinh rèn luyện củng

cố thành thạo kỹ thuật giải

4 Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến

- Sáng kiến đã đưa ra giải pháp rõ ràng, có giá trị cao về kết quả học tập của học sinh cả vềkiến thức, kỹ năng, thái độ và năng lực học toán

- Sáng kiến hệ thống được nhiều dạng bài tập phổ biến thông dụng và là tài liệu tham khảohữu ích cho giáo viên và học sinh

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến

- Cần tăng thời lượng dành cho các tiết học bám sát, tự chọn trên lớp để cho học sinh có cơhội va chạm và tiếp cận với nhiều chuyên đề Việc tăng thời lượng cũng giúp cho giáo viêntriển khai tốt hơn kế hoạch giảng dạy của mình

- Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều tìmtòi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương trình Giáo viên cũng cần được bồidưỡng thường xuyên về các bài toán nâng cao để có thể dạy học tốt hơn

- Trong các trường chuyên toán, trong các lớp định hướng môn toán của trường THPT nêntriển khai nội dung sáng kiến đầy đủ mở rộng đến các học sinh Đặc biệt cần triển khai đầy

đủ chi tiết nội dung sáng kiến tới những học sinh trong có nhu cầu đạt điểm cao trong kỳ thiTHPT Quốc Gia và các giáo viên phụ trách dạy ôn luyện thi

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong quá trình ôn thi cho học sinh tôi gặp bài tập vận dụng cao trong đề thi của Bộ Giáo Dục năm 2019 như sau.

đồ thị lần lượt là và Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại điểm phân biệt là

2 Thực trạng của vấn đề

Xem xét một vài bài toán mở đầu

2.1 Bài toán mở đầu

Bài 1: (Tham khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

có điểm cực trị?

Lời giải.

Do hàm số có ba điểm cực trị nên hàm số có điểm cực trị khi

Vậy có giá trị nguyên thỏa đề bài là

Đáp án D

Bài 2: (Tham khảo 2018; 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao

cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 3 Số phần tửcủa S là

2.2 Nhận xét: Qua các bài toán mở đầu có trong các đề thi của Bộ Giáo Dục ta thấy bài tập

về hàm số có dấu giá trị tuyệt đối những năm gần đây thường hay xuất hiện trong phần ứng dụng của đạo hàm và thuộc các câu vận dụng cao Các dạng bài xuất hiện phong phú, tư duy phương pháp giải đa dạng Do đó mà học sinh phải có lực học khá trở lên mới có khả năng học và tiếp thu các kỹ thuật giải toán Các tài liệu học tập trên thị trường hiện nay còn mang tính nhỏ lẻ chưa hệ thống, học sinh và giáo viên khó tìm được nguồn tham khảo hơn nữa độ tin cậy chính xác chưa được cao và còn phải bàn luận nhiều

3 Các giải pháp, biện pháp thực hiện

3.1 Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán về hàm số có dấu giá trị tuyệt đối

+ Học sinh cần nắm chắc được lý thuyết về hàm số như tính đơn điệu, cực trị của hàm

số, đồ thị hàm số, xác định được giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số…

+ Học sinh cần có kỹ năng tính đạo, đọc được đồ thị hàm số

3.2 Nội dung một số bài toán về hàm số có dấu giá trị tuyệt đối

Sáng kiến gồm hai phần nội dung chính là

+ Các bài toán về phương trình, bất phương trình, sự tương giao, có nghiệm…

+ Các bài toán về cực trị của hàm số

+ Các bài toán về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

3.2.1 Các bài toán về phương trình, bất phương trình, sự tương giao của đồ thị hàm số Bài 1 (Học sinh giỏi tỉnh Hà Nam năm học 2019-2020) Cho hàm số

có đồ thị , ( là tham số thực) và đường

thẳng Có bao nhiêu giá trị nguyên của để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

Bảng biến thiên của hàm số :

Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi

Với điều kiện nguyên suy ra có tất cả 2017 giá trị

Đáp án B

Bài 2: Tổng tất cả các giá trị của tham số để phương trình

có đúng ba nghiệm phân biệt là

Lời giải

đường thẳng và hai đồ thị trên có đúng ba điểm chung phân biệt.

.Vậy tổng tất cả các giá trị của bằng 3

Phương trình hoành độ giao điểm của là

Suy ra tung độ các giao điểm là

Từ đồ thị hai hàm số suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán

Dựa vào đồ thị ta có hoặc thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án C

Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên để bất phương trình

.luôn đúng với mọi thay đổi thoả mãn :

3.2.2 Các bài toán về cực trị của hàm số

Bài 1 Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có điểm cực trị

Lời giải

yêu cầu bài tóan tương đương hàm số có hai điểm cực trị và phương trình

có ba nghiệm thực phân biệt ta có

có hai nghiệm dương  

có 2 nghiệm đơn phân biệt do đó hàm số có 3 điểm cực trị (thỏa mãn)

Ta có khi đó có ba điểm cực trị Vậy yêu cầu bài tóan lúc nàytương đương với vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức

Đáp án A

Bài 4: Cho hàm số Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

Vậy trường hợp này có

Nếu nên hàm số đã cho có tối đa ba điểm cực trị (loại)

Vì là hàm số trùng phương có nên hàm số

có 3 điểm cực trị và hàm số cũng có 3 điểm cực trị

Phương trình này luôn có 4 nghiệm thực phân biệt vì

Do đó có 4 nghiệm đổi dấu vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta thấy số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số điểm cực trị của hàm số

và số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình

Vậy hàm số có nhiều nhất 5 cực trị

Đáp án C

Bài 8: Cho hàm số Có bao nhiêu số nguyên để hàm số

Do đó hàm số có tối đa 7 điểm cực trị là

Điều kiện bài toán tương đương với

Có tất cả 8 số nguyên thỏa mãn Chọn

Đáp án D

Bài 9: Cho hàm số đa thức có đạo hàm trên , và đồ thị hình bên dưới

là đồ thị của đạo hàm Hỏi hàm số có bao nhiêu điểmcực trị ?

A B C D Lời giải

.Với là nghiệm kép vì qua nghiệm thì không đổi dấu.Dựa vào đồ thị hàm số của , ta có:

Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số :

Hàm số có điểm cực trị.

Đáp án C

3.2.3 Các bài toán về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

Bài 1 Cho hàm số Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số trên đoạn Có bao nhiêu số nguyên , sao cho

Vậy

Ta có

Dấu bằng xảy ra

Đáp án D

Bài 5: Cho hàm số Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

bộ ba số thực thì là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn?

Vậy điều kiện cần và đủ để là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn là

4 Kết quả của sáng kiến

Phần này trình bày việc vận dụng sáng kiến của tác giả tại trường đang công tác trong khoảngthời gian tương đối dài từ học kỳ 1 đến học kỳ 2 của lớp 12 qua khoảng 4 tiết học trong đó có

sự tham gia của lớp định hướng có lực học khá giỏi môn Toán Kết quả áp dụng sáng kiếnđược đánh giá qua tinh thần học tập, bài kiểm tra của các em học sinh và ý kiến nhận xétđánh giá từ giáo viên cùng chuyên môn dự giờ Bước đầu các em học sinh cũng tiêp thu đượcbài và rèn luyện giải các bài tập có trong đề thi thử THPT quốc gia của các trường

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1 Kết luận

Qua thời gian thực hiện sáng kiến, tôi thu được các kết quả chính như sau:

- Bước đầu giới thiệu được một số dạng bài tập về hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Bước đầu xây dựng được các phương pháp, cách thức tư duy để giải các bài tập hàm số cóchứa dấu giá trị tuyệt đối

- Tiến hành áp dụng sáng kiến được qua khoảng 4-6 tiết học Kết quả áp dụng sáng kiếnbước đầu khẳng định tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến

Như vậy, có thể nói sáng kiến đã đem lại hiệu quả sát thực cho học sinh trong học tập và chogiáo viên khi giảng dạy Tác giả cũng mong muốn nội dung của sáng kiến có thể là tài liệutham khảo cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh Tuy nhiên, trong quá trình nghiêncứu không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của cácthầy, cô và bạn đồng nghiệp để sáng kiến đem lại hiệu quả thiết thực hơn nữa

2 Khuyến nghị

Tôi mạnh dạn đưa ra một số ý kiến đề xuất sau

- Cần tăng thời lượng dành cho các tiết học bám sát, tự chọn trên lớp để cho học sinh có cơhội va chạm và tiếp cận với nhiều chuyên đề Việc tăng thời lượng cũng giúp cho giáo viêntriển khai tốt hơn kế hoạch giảng dạy của mình

- Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều tìmtòi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương trình Giáo viên cũng cần được bồidưỡng thường xuyên về các bài toán nâng cao để có thể dạy học tốt hơn

- Đối với trường phổ thông cần duy trì thường xuyên sinh hoạt tổ nhóm, sinh hoạt chuyên đề

và nghiên cứu bài học

- Với những sáng kiến có chất lượng tốt cần đăng trên mạng của sở để giáo viên chúng tôi có

cơ hội học tập, trau rồi thêm kinh nghiệm và hỗ trợ cho việc nâng cao chất lượng viết sángkiến sau này