Các dạng bài toán ôn thi vào lớp 10 năm 2023 môn toán

Bộ tài liệu Các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 20222023 trình bày cấu trúc đề thi, tổng hợp các dạng bài tập hay xuất hiện trong đề thi môn Toán vào lớp 10 của các tỉnh, thành phố với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh củng cố kiến thức, có kế hoạch ôn luyện hiệu quả để đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Các dạng bài Rút gọn biểu thức ôn thi vào 10 môn Toán

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức  Phương pháp

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau

      B1: Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó lưu ý một số kiếnthức sau

            xác định ⇔A ≥ 0 (biểu thức A là đa thức)

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 1

Ví dụ 2

Tìm điều kiện xác định của biểu thức 

Giải

Điều kiện xác định của P là 

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 9

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chứa phân thức đại số Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân

tích tử thành nhân tử

 Ở bước này ta hay áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạnnhư:

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn.

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức 

với x > 0, x ≠ 4

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Chú ý: Ví dụ trên đề bài đã cho trước điều kiện của biểu thức nên ta không

phải đi tìm Nếu đề bài chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trướcrồi mới rút gọn 

Ví dụ 2

Rút gọn biểu thức 

với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

 với x > 0 và x ≠ 4 Tính giá trị của P khi 

Giải

Ta thấy   thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểuthức P khi 

Ta có 

      B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

      B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x

      B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận,không thỏa mãn thì loại

Bài toán 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q có thể là một sốhoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải: 

      B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

      B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bấtphương trình tìm x

      B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận,không thỏa mãn thì loại

Ví dụ 2: Cho   với x ≥ 0, x ≠ 4 Tìm x biết P>1

Giải

Vì -1 < 0 nên bất phương trình 

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4 ta có các giá trị x cần tìm là 0 ≤ x < 4  

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên  Phương pháp

TH 1: Nếu  ( a là số thực, Q(x) là một biểu thức của x) thì talàm như sau

      B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

      B2: Lập luận để biểu thức   nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải làước của a Từ đó tìm x

      B3: Đối chiếu x tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không

thỏa mãn thì loại

TH 2: Nếu  ( A(x), B(x) là các biểu thức của x trong đó bậc củaA(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của B(x)) thì ta làm như sau

      B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) về

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0

Để P nguyên thì   là ước của 3, tức là   nhận các giá trị -3, 3, -1,1

Vậy với x = 0, x = 4 thì biểu thức P nguyên

Ví dụ 2: Cho  Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0, x ≠ 4

Ta có 

Để P nguyên thì   là ước của 4, tức là   nhận các giá trị 4, 4,

-1, -1, -2, 2

Vậy với x = 0, x = 1, x = 9, x = 16, x = 36 thì biểu thức P nguyên

Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Phương pháp

Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm như sau

      +B1: Tìm điều kiện xác định của P

      +B2: Rút gọn P nếu cần

      +B3: Chứng minh yêu cầu đề bài đặt ra

 Ví dụ 1

 (luôn đúng với mọi x ≥ 0, x ≠ 1)

Vậy với mọi x ≥ 0, x ≠ 1 thì 

Vậy P = -1(ta có điều phải chứng minh)

Dạng 7: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức  Phương pháp

Cách 1: Ta biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức

      Dấu ‟ = ” xảy ra khi a = b

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Dấu ‟ = ” xảy ra khi a.b ≥ 0

Ví dụ 1: Cho  , tìm GTLN của biểu thức P

Vậy với   thì

Vì   với mọi   nên   với mọi 

 với mọi Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 khi x = 0 (thỏa mãn   )

Ví dụ 3: Cho biểu thức  , với  Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức Q

Giải

Với  , ta có:

Áp dụng Co-si cho hai số dương:   ta có

Dấu “=” xảy ra khi

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 6 đạt được khi x = 9

Các dạng bài Giải phương trình ôn thi vào 10 môn ToánDạng 1: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ)

1 Giải bằng phương pháp bình phương hai vế

Phương pháp      

      -B1: Đặt điều kiện cho phương trình

      -B2: Bình phương hai vế thu được phương trình hệ quả

      -B3: Giải phương trình hệ quả, tìm nghiệm

      -B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận

Ví dụ: Giải phương trình 

Giải

Điều kiện:

Phương trình

Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (nhận)

Ta thấy x = 18 không thỏa mãn điều kiện (loại)

Vậy phương trình có một nghiệm x = 3

2 Giải bằng cách đưa về phương trình tích

Phương pháp

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình

      -B2: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích bằng việc

sử dụng một số đẳng thức sau

      u + v = 1 + uv ⇔(u – 1)(v – 1) = 0

au + bv = ab + uv ⇔(u – b)(v – a) = 0

      -B3: Giải từng phương trình tích tìm nghiệm

      -B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận

      -B3: Giải phương trình và kết luận

⇒phương trình vô nghiệm 

Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0 

Dạng 2: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn

Phương pháp 

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)

      -B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điềukiện cho ẩn phụ

      Đưa phương trình đã cho về phương trình mới hoàn toàn theo ẩn phụ      -B3: Giải phương trình mới tìm ẩn phụ

      -B4: Thay giá trị của ẩn phụ vào biểu thức đặt ẩn phụ ở B2 để tìm ẩnban đầu

      - B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận

Với t2 = -6 ( phương trình vô nghiệm)  

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x = -2

2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương pháp 

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)

      -B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điềukiện cho ẩn phụ

      Đưa phương trình đã cho về phương trình vừa chứa ẩn cũ vừa chứa

ẩn phụ

      -B3: Giải phương trình ở bước 2 tìm mối liên hệ giữa ẩn cũ và ẩn phụ       -B4: Kết hợp kết quả tìm được ở bước 3 với biểu thức đặt ẩn phụ ởbước 2 để tìm ra ẩn ban đầu

      - B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận

⇒vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm 

Dạng 3: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình (hệ tạm) Phương pháp

Giải

Ta có

 ⇒phương trình luôn xác định với mọi x

Điều kiện phải thêm: VP = x + 4 ≥ 0 

Ta thấy x = 0, x = 8/7 thỏa mãn x ≠ -4 và thử vào phương trình ban đầu lànghiệm của phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 8/7

Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương pháp

Thực hiện các bước sau:

      Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

      Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức

      Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

      Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoảmãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm củaphương trình đã cho

Ví dụ 1: Giải phương trình:         

Giải

Ta có:

Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt :

 (thỏa mãn điều kiện)

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 4, x2 = -5

Ví dụ 2 : Giải phương trình

Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện.

 Vậy phương trình vô nghiệm 

Dạng 5: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách khử dấugiá trị tuyệt đối bằng cách:

      + Dùng định nghĩa hoặc tính chất của dấu giá tri tuyệt đối 

      Để giải phương trình này ta thường dùng phương pháp khoảng

Ví dụ: Giải các phương trình sau

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x = -1/3

c Phương trình

Đặt  Khi đó phương trình trở thành  

Với

Với 

Vậy phương trình có 4 nghiệm x = 3, x = -1, x = 4, x = -2

d Sử dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối ta có bảng phá dấu giá trị tuyệt đốisau

VVới x < -3 thì phương trình đã cho trở thành  -2x + 4 =10 -2x = 6x = -3

Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện x < -3 (loại)

Với -3 ≤ x ≤ 7 thì phương trình đã cho trở thành  10 = 10 phương trình có vô

số nghiệm thỏa mãn -3 ≤ x ≤ 7

Với x > 7 thì phương trình đã cho trở thành  2x - 4 =10 2x = 14x = 7

Ta thấy x = 7 không thỏa mãn điều kiện  x > 7 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là