Sáng kiến một số bài toán về hàm ẩn

Đưa ra được hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến xuất phát từ nhu cầu học tập của học sinh và thực tế trong đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây. Đưa ra được hướng dẫn, phương pháp cơ bản giải quyết các dạng bài tập Giới thiệu và phân dạng được các bài toán thông dụng về hàm ẩn. Các ví dụ minh họa được các bài tập trong các tài liệu tham khảo và các đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây qua đó tạo được niềm tin, hứng khởi, kích thích sự sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán. Giới thiệu được nhiều bài tập để giáo viên tham khảo và để các em học sinh rèn luyện củng cố thành thạo kỹ thuật giải.

MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: (Không có)

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:

Trường THPT Kinh Môn II; Xã Hiệp Sơn, Huyện Kinh Môn,

Tỉnh Hải Dương; Điện Thoại 03203826755

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong quá trình nghiên cứu các bài toán trong đề thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy các dạngbài tập về hàm ẩn xuất hiện tương đối nhiều Đối với học sinh và ngay cả với giáo viên nhưtôi lần đầu gặp bài toán về hàm ẩn cũng có lúng túng về cách giải quyết trình bày lập luận vàđặc biệt tư duy phương pháp giải chưa rõ ràng Do nhu cầu ham học tập của các em học sinh

để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia và cũng để nâng cao khả năng chuyên môn củabản thân trong dạy học nên tôi thực hiện sáng kiến này

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

- Nhà trường có các tiết tự chọn bám sát, có các buổi sinh hoạt chuyên đề, sinh hoạt tổ nhómchuyên môn và có học tăng cường thêm buổi hai

- Có thể áp dụng sáng kiến cho học sinh lớp 12 trong cả năm học, bắt đầu từ tháng 10 trở đi

- Áp dụng sáng kiến cho đối tượng học sinh có lực học khá trở lên

- Học sinh có kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số, tính chất của các loại hàm số

3 Nội dung sáng kiến

- Đưa ra được hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến xuất phát từ nhu cầu học tập của học sinh vàthực tế trong đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây

- Đưa ra được hướng dẫn, phương pháp cơ bản giải quyết các dạng bài tập

- Giới thiệu và phân dạng được các bài toán thông dụng về hàm ẩn

- Các ví dụ minh họa được các bài tập trong các tài liệu tham khảo và các đề thi THPT QuốcGia những năm gần đây qua đó tạo được niềm tin, hứng khởi, kích thích sự sáng tạo của họcsinh trong quá trình giải toán

- Giới thiệu được nhiều bài tập để giáo viên tham khảo và để các em học sinh rèn luyện củng

cố thành thạo kỹ thuật giải

4 Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến

- Sáng kiến đã đưa ra giải pháp rõ ràng, có giá trị cao về kết quả học tập của học sinh cả vềkiến thức, kỹ năng, thái độ và năng lực học toán

- Sáng kiến hệ thống được nhiều dạng bài tập phổ biến thông dụng và là tài liệu tham khảohữu ích cho giáo viên và học sinh

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến

- Cần tăng thời lượng dành cho các tiết học bám sát, tự chọn trên lớp để cho học sinh có cơhội va chạm và tiếp cận với nhiều chuyên đề Việc tăng thời lượng cũng giúp cho giáo viêntriển khai tốt hơn kế hoạch giảng dạy của mình

- Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều tìmtòi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương trình Giáo viên cũng cần được bồidưỡng thường xuyên về các bài toán nâng cao để có thể dạy học tốt hơn

- Trong các trường chuyên toán, trong các lớp định hướng môn toán của trường THPT nêntriển khai nội dung sáng kiến đầy đủ mở rộng đến các học sinh Đặc biệt cần triển khai đầy

đủ chi tiết nội dung sáng kiến tới những học sinh trong có nhu cầu đạt điểm cao trong kỳ thiTHPT Quốc Gia và các giáo viên phụ trách dạy ôn luyện thi

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong quá trình ôn thi cho học sinh tôi gặp bài tập sau trong đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục năm 2018 và câu vận dụng cao trong đề thi của Bộ năm 2017 như sau.

Bài 1: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như

hình bên Hàm số đồng biến trên khoảng

Ta thấy với nên nghịch biến trên và suy ra

đồng biến trên và Khi đó đồng biến biến trên

Bài 2: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hàm số Đồ thị của hàm số

Dựa vào hình vẽ, ta thấy diện tích của phần màu xanh lớn hơn phần màu tím, nghĩa là

, hay

Từ đó

Chọn D

Tư duy phương pháp giải quyết các bài toán về hàm ẩn phải linh động nhạy bén, đòi hỏi học

sinh phải được rèn luyện nhiều có kinh nghiệm thì mới có thể giải được Do đó mà ở sáng

kiến này tôi chỉ tập trung viết khai thác hai dạng toán liên quan đến hàm ẩn là ứng dụng đạo

hàm và tích phân hàm ẩn

2 Thực trạng của vấn đề

Xem xét một vài bài toán mở đầu

2.1 Bài toán mở đầu

Bài 1 Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên

như hình vẽ bên Tìm số cực trị của hàm số trên

A B

C D

Lời giải

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị cắt trục tại mấy điểm mà thôi,

không kể các điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục Ta chọn đáp án B

Bài 2 Cho hai hàm số , Hai hàm số và

1

Cách 1 Ta thấy với mọi và mọi

Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:

Dấu bằng xảy ra khi

2.2 Nhận xét: Qua các bài toán mở đầu có trong các đề thi của Bộ Giáo Dục ta thấy bài tập

về hàm ẩn thường hay xuất hiện trong phần ứng dụng của đạo hàm và phần tích phân Các dạng bài xuất hiện phong phú, tư duy phương pháp giải đa dạng Do đó mà học sinh phải có lực học khá trở lên mới có khả năng học và tiếp thu các kỹ thuật giải toán Các tài liệu học tập trên thị trường hiện nay còn mang tính nhỏ lẻ chưa hệ thống, học sinh và giáo viên khó tìm được nguồn tham khảo hơn nữa độ tin cậy chính xác chưa được cao

3 Các giải pháp, biện pháp thực hiện

3.1 Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán về hàm ẩn

+ Học sinh cần nắm chắc được lý thuyết về hàm số như tính đơn điệu, cực trị của hàm

số, đồ thị hàm số…

+ Học sinh cần có kỹ năng tính đạo hàm, biến đổi tích phân, đọc được đồ thị hàm số

3.2 Nội dung một số bài toán về hàm ẩn.

Sáng kiến gồm hai phần nội dung chính là Ứng dụng của đạo hàm và Tích phân hàm ẩn

+ Phần ứng dụng đạo hàm tôi giới thiệu các dạng bài tập ở thể loại trắc nghiệm và lời giảimang tính hướng dẫn gợi ý để chọn được đáp án

+ Phần tích phân hàm ẩn tôi giới thiệu bài tập ở dạng tự luận nên lời giải được trình bày cụthể hơn

A Ứng dụng đạo hàm

a) Kiến thức sử dụng

 Với đồ thị hàm số ta có

+ khi đồ thị của nó có điểm chung với trục hoành, từ đó suy ra nghiệm đơn (đồ thị cắt trục hoành), nghiệm kép (đồ thị tiếp xúc trục hoành) Nghiệm đơn xác định cực trị, nghiệm kép không là cực trị

+ khi đồ thị của nó nằm trên trục hoành, suy ra khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị đó

+ khi đồ thị của nó nằm dưới trục hoành, suy ra khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị đó

 Các phép biến đổi đồ thị thường gặp

 Dấu hiệu về điểm cực trị, lập bảng biến thiên thông qua đồ thị hàm số và ngược lại…

b) Các dạng bài tập áp dụng

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.

Bài 1 Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong

hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Hướng dẫn Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau: 0

- 0 + 0 - 0 +

Chọn đáp án: D

Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số

Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì

Bài 2 Cho hàm số Biết có đạo hàm là và hàm số có đồ

thị như hình vẽ bên Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số chỉ có hai điểm cực trị

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Hướng dẫn

Trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số nằm trên trục hoành nên chọn đáp án B

Bài 3 Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số nghịch biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

y

Hướng dẫn

Trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số nằm trên trục hoành nên chọn

đáp án C

Bài 4 Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng và

Hướng dẫn

Trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến

Ta chọn đáp án B.

Bài 5 Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên và có đồ thị như

hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng?

là và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

A Trên thì hàm số luôn tăng

B Hàm giảm trên đoạn

C Hàm đồng biến trên khoảng

D Hàm nghịch biến trên khoảng

Hướng dẫn

Trên khoảng đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên chọn đáp án B

Bài 7 Cho hàm số xác định và có đạo hàm Đồ thị của

hàm số như hình dưới đây Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số có ba điểm cực trị

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Hướng dẫn

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ta chọn đáp án C

Bài 8 (Trích đề thi thử lần 1 lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số

biết rằng hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số

nghịch biến trên khoảng nào trong các

khoảng dưới đây

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng

Chọn đáp án D

Bài 9 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

nào sau đây?

nguyên âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 14 ( Trích đề thi HSG 12 – TP Đà Nẵng năm 2019) Cho các hàm số

và Tập tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên là

Hướng dẫn

Ta có

Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi

Dạng 2: Xác định cực trị của hàm số

Bài 1 Cho hàm số Biết có đạo hàm và

Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số có hai điểm cực trị

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Hướng dẫn

Cách 1 :

2 4

- 0 + 0 - 0 +

Ta chọn đáp án C.

Cách 2: Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị

f '(x) g'(x)

Ta thấy trên khoảng đồ thị hàm số nằm bên dưới trục hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng , ta chọn đáp án C

Bài 2 Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong

trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm đơn ( Tại x=0, x=4 là vị trí tiếp xúc) nên

đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục

hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm đơn

Ta chọn đáp án C.

Bài 5 Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ Hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?

Hướng dẫn

có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số theo phương xuống dưới 3 đơn vị Khi đó đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại 3 điểm, ta chọn đáp án C

Bài 6 Cho hàm số liên tục trên Hàm số

có đồ thị như hình vẽ Hàm số

có bao nhiêu cực trị?

 

f x y

x O

x

y

2 5

1

x 3

x 2

x

Ta có Suy ra đồ thị của hàm số là phép tịnh tiến đồ thị

hàm số theo phương xuống dưới đơn vị

Ta có và dựa vào đồ thị của hàm số , ta suy ra

đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm Ta chọn phương án D.

Bài 7 Cho hàm số có đạo hàm trên Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Đặt Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại

B Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

Đồng biến trên khoảng và ; nghịch biến trên khoảng

Hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại Ta chọn phương án A.

Bài 8 Dựa vào đồ thị hàm số dưới đây ta suy ra hàm số có mấy cực trị

và ; khi đồ thị nằm trên và ngược lại.

Từ đồ thị suy ra nhưng chỉ đổi dấu từ dương sang âm khi qua Do đó hàm số đạt cực đại tại .

Chọn đáp án A.

Bài 10 Cho hàm số xác định, liên tục trên và có và đồ thị hàm số

như hình vẽ bên Hàm số có bao nhiêu cực trị

khoảng còn lại

Bảng biến thiên

Từ đay suy ra giá trị cả hai cực trị hàm số đều âm

Biến đổi đồ thị dạng Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục hoành qua trục

hoành và Bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành ta được đồ thị hàm số

Ta thấy ngay hàm số có 3 cực trị (phần đồ thị trên trục hoành)

Chọn đáp án B.

Bài 11 Cho hàm số và đồ thị hình bên là đồ thị

của hàm

bao nhiêu điểm cực trị ?

có tối đa 7 điểm cực trị Đáp án B.

Bài 12 (Trích đề thi thử lần 1 lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm

số biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm để hàm số có 3 cực trị

Hướng dẫn

vì tại thì đồ thị tiếp xúc trục

Ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình

Để hàm số có 3 cực trị khi hai phương trình có thêm đúng hai nghiệm đơn khác 0

, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác không khi đó có

3 nghiệm đơn nên có 3 cực trị

TH 2: không có thỏa yêu cầu bài toán Vậy chọn C.

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của để hàm số có đúng 1 điểm cực trị?

Bài 1 Cho hàm số xác định và liên tục trên ,

có đồ thị của hàm số như hình bên Tìm giá trị

y

Bài 2  Cho hàm số có đạo hàm là Đồ thị của hàm

số được cho như hình vẽ bên Biết rằng

Bài 3 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên

và đồ thị của hàm số trên đoạn như hình vẽ bên

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

thị như hình bên dưới

y=x

Dựa vào đồ thị, suy ra

Bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:

Hướng dẫn

Ta chú ý rằng điểm cực trị của hàm số có cho nên nếu như chứng tỏ rằng

là các điểm cực tiểu của hàm số cho nên Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng Chọn D

Bài 6 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

bên và có đạo hàm liên tục trên Đường thẳng

trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại gốc tọa

độ Gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số Mệnh

đề nào sau đây là đúng?

Dựa vào đồ thị ta thấy tiếp tuyến có dạng và đi qua điểm có tọa độ xấp xỉ cho nên

ta suy ra Chọn A

lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Tính tổng M+2m bằng

A 15 B 18 C 10 D 14

Hướng dẫn

Lấy (1)-3.(2) rút gọn ta được Ta tìm được M=5, m=4 Chọn đáp án B Dạng 4: Sự tương giao, số nghiệm của phương trình, tiếp tuyến và một số bài toán khác Bài 1 Cho hàm số có đồ thị hàm số

như hình bên Biết Phương trình có

nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Bài 2 Cho hàm số có đạo hàm trên , đồ thị hàm

số như trong hình vẽ bên Hỏi phương trình

có tất cả bao nhiêu nghiệm biết ?

Bài 3 Cho hàm số có đạo hàm trên , đồ thị hàm số

như trong hình vẽ bên Biết , hỏi phương trình

có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Hướng dẫn

+ 0 -

Do nên chọn đáp án A.

Bài 4 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãykhúc), hình vẽ bên Gọi hàm Hỏi phương trình có bao nhiêunghiệm phân biệt?

  Hướng dẫn Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho đạt cực trị tại 4 điểm là

(Lấy xấp xỉ).

Thấy phương trình cho ta đúng 1 nghiệm nhỏ hơn -2 (1 Ng)

Thấy phương trình cho ta đúng 3 nghiệm nhưng có hai nghiệm là x=0,x=2 đã trùng với nghiệm ở trên nên ta không tính nữa (1 Ng)

Thấy mỗi phương trình đều cho ta đúng 3 nghiệm không trùng với

nghiệm nào ở trên (6 Ng) Vậy tổng cộng ta có 12 nghiệm tất cả Chọn đáp án C

Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

Hướng dẫn

Lại có thay ta có

.

Trường hợp 1: Nếu thay vào ta thấy vô lý.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Biết tiếp tuyến của đồ thị tại điểm lần lượt là

x y

(C 3 ) (C 2 )

(C 1 )

1

Bài 8 Cho đồ thị của ba hàm số , ,

được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị các

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị cắt trục tại 2 điểm là 2

điểm cực trị của của đồ thị hàm số ; đồ thị cắt

trục tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ

ngược lại Ta chọn đáp án D

B Tích phân hàm ẩn

Tôi chia phần này ra thành dạng nhỏ sau

Dạng 1 Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

Dạng 2 Phương pháp đổi biến số

Dạng 3 Phương pháp tính tích phân từng phần

Dạng 4 Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân

Dạng 1: Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

Bài 1 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số thỏa mãn và

với mọi Tính giá trị

Khi đó

Bài 3 Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn

với và Tính tích phân

(vì không âm trên ) Khi đó

Bài 4 Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm trên đoạn và thoả mãn