Nghiên cứu ứng dụng giả thuật di truyền cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu

LỜI CẢM ƠN Sau sáu tháng nghiên cứu, làm việc khẩn trương, với tinh thần trách nhiệm cao, được sự động viên, giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn luận văn với đề tài “Ng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Đề tài “Nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền cho

bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu” do PGS TS Lại Khắc Lãi hướng dẫn là

công trình nghiên cứu của riêng tôi Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất sứ rõ ràng

Tác giả xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn, nếu sai tôi hoàn toàn xin chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học và trước pháp luật

Thái Nguyên, ngày 30/07/2010

Tác giả luận văn

Đặng Ngọc Trung

LỜI CẢM ƠN

Sau sáu tháng nghiên cứu, làm việc khẩn trương, với tinh thần trách nhiệm cao, được sự động viên, giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn

luận văn với đề tài “Nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền cho bài toán điều

khiển tối ưu đa mục tiêu” đã hoàn thành đúng thời hạn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến:

Thầy giáo hướng dẫn PGS TS Lại Khắc Lãi đã tận tình, giúp đỡ tác giả

hoàn thành luận văn này

Khoa đào tạo sau đại học, các thầy cô giáo thuộc Bộ môn Kỹ thuật điện – khoa Điện - Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập cũng như trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn

Toàn thể đồng nghiệp, bạn bè, gia đình và người thân đã quan tâm động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tác giả luận văn

Đặng Ngọc Trung

MỤC LỤC Nội dung

Trang phụ bìa

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỤC LỤC 3

DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 7

MỞ ĐẦU 8

1 Lý do chọn đề tài 8

2 Mục đích của đề tài 9

3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 9

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 9

5 Cấu trúc của luận văn 10

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 11

1.1 CÁC GIẢI THUẬT TÍNH TOÁN TIẾN HÓA-GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 11

1.1.1 Khái quát 11

1.1.2 Giải thuật di truyền kinh điển 13

1.1.2.1 Mã hóa – Biểu diễn các biến bằng véctơ nhị phân 14

1.1.2.2 Toán tử chọn lọc 15

1.1.2.3 Toán tử lai ghép 17

1.1.2.4 Toán tử đột biến 19

1.1.2.5 Hàm phù hợp 20

1.1.3 Giải thuật di truyền mã hóa số thực 23

1.1.3.1 Toán tử chọn lọc 24

1.1.3.2 Toán tử lai ghép 24

1.1.3.3 Toán tử đột biến 26

1.2 CHIẾN LƢỢC TIẾN HOÁ 27

1.2.1 Tái tổ hợp trong ES 27

1.2.2 Đột biến trong ES 28

1.2.3 Chọn lọc tạo sinh trong ES 28

1.3 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐỀ XUẤT 29

1.3.1 Phân tích các dạng lai ghép kinh điển trong RCGA 29

1.3.2 Cải biên toán tử lai ghép SBX 31

1.3.2.1 SBX có thể biểu diễn nhiều dạng toán tử lai ghép khác 31

1.3.2.2 Ý nghĩa của tham số 32

1.3.2.3 Toán tử SBX sử dụng phân phối Cauchy 32

Kết luận chương 1 33

Chương 2 LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ TỐI ƯUĐA MỤC TIÊU 34

2.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 34

2.1.1 Đặc điểm của bài toán tối ưu 34

2.1.1.1 Khái niệm 34

2.1.1.2 Điều kiện thành lập bài toán tối ưu 36

2.1.1.3 Tối ưu hoá tĩnh và động 38

2.1.2 Xây dụng bài toán tối ưu 39

2.1.2.1 Tối ưu hóa không có điều kiện ràng buộc 39

2.1.2.2 Tối ưu hóa với các điều kiện ràng buộc 40

2.1.3 Các phương pháp điều khiển tối ưu 45

2.1.3.1 Phương pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange 45

2.1.3.2 Phương pháp quy hoạch động Bellman 53

2.1.3.3 Nguyên lý cực tiểu Pontryagin _ Hamilton 57

2.2 TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 60

2.2.1 Quy hoạch đa mục tiêu 60

2.2.2 Một số phương pháp giải 64

2.2.2.1 Mô hình toán học của bài toán 64

2.2.2.2 Phương pháp nhượng bộ dần 65

2.2.2.3 Phương pháp thỏa hiệp 65

2.2.2.4 Phương pháp tìm nghiệm có khoảng cách nhỏ nhất đến nghiệm lý

tưởng 66

2.2.2.5 Phương pháp giải theo dãy mục tiêu đã được sắp 66

2.2.2.6 Phương pháp từng bước của Benayoun 66

2.2.3 Giải thuật di truyền đa mục tiêu 68

2.2.4 Phương pháp đề xuất 69

2.2.4.1 Giải thuật di truyền với các giá trị mục tiêu tự xác định 69

2.2.4.2 Thuật toán tối ưu từng mục tiêu 71

Kết luận chương 2 72

Chương 3 ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 73

3.1 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG KHUẤY TRỘN LIÊN TỤC 73

3.1.1 Giới thiệu sơ đồ hệ thống khuấy trộn dung dịch 73

3.1.2 Hàm truyền đạt của bộ chuyển đổi dòng điện – khí nén (I/P) 76

3.1.3 Hàm truyền đạt của van 76

3.1.4 Hàm truyền đạt của thiết bị đo mức 77

3.2 THIẾT LẬP BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 77

3.2.1 Đặt bài toán 77

3.2.2 Tính toán hai hàm mục tiêu 78

3.3 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN TỐI ƯU BẰNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU ĐIỀU KHIỂN MỨC DUNG DỊCH H CỦA BÌNH KHUẤY TRỘN LIÊN TỤC 82

3.3.1 Lưu đồ thuật toán thực hiện chương trình……… 82

3.3.2 Kết quả chạy chương trình tính toán bằng giải thuật 84

3.4 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG TRÊN Matlab Simulink 85

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89

PHỤ LỤC……….91

1 Khai báo hệ số k1 91

2 Khai báo hệ số k2 91

3 Khai báo hàm mục tiêu J1 91

4 Khai báo hàm mục tiêu J2 91

5 Chương trình giải bài toán tối ưu hai mục tiêu J1, J2 92

DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Vòng tròn Roulette với 4 khe 4 chuỗi bảng 1

Hình 1.2 Hàm Rastringin hai chiều

Bảng 1.1 Mười cá thể của quần thể khởi tạo ngẫu nhiên

Bảng 1.2 Kết quả của 20 lần chạy độc lập

Hình 2.1 Sơ đồ hệ thống điều khiển

Hình 2.2 Tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cục

Hình 2.3 Động cơ một chiều kích từ độc lập

Hình 2.4 Đặc tính thời gian của hệ tổn hao năng lượng tối thiểu (a) và hệ tác động nhanh (b)

Hình 2.5 Hàm chuyển đổi mẫu và bộ điều khiển tối ưu

Hình 2.6 Minh họa tập Pareto

Hình 2.7 Minh họa phân lớp không trội

Hình 3.1 Các biến của quá trình huấy trộn

Hình 3.2 Thiết bị khuấy trộn

Hình 3.3 Sơ đồ điều khiển mức của bình trộn

Hình 3.4 Sơ đồ công nghệ điều khiển mức bình trộn

Hình 3.5 Sơ đồ khối điều khiển mức bình trộn với bộ điều khiển PD

Hình 3.6 Lưu đồ thuật toán

Hình 3.7 Sơ đồ mô phỏng điều khiển mức trên Simulink

Hình 3.8 Kết quả mô phỏng với bộ giá trị thứ 9 của KD và KP trong bảng 3.1 Hình 3.9 So sánh kết quả mô phỏng của bộ giá trị thứ 9 với bộ giá trị khác của

KP và KD.

Bảng 3.1 Kết quả chạy chương trình giải thuật di truyền

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các dây chuyền sản xuất công nghiệp hiện nay đa số các hệ thống có nhiều tín hiệu đầu vào và nhiều tín hiệu đầu ra, do vậy các bài toán điều khiển gắn với thực tế là là các bài toán tối ưu đa mục tiêu Tuy nhiên chưa có nhiều nghiên cứu về các bài toán này Hiện nay các đề tài khoa học chủ yếu mới chỉ giải quyết và ứng dụng các bài toán tối ưu một mục tiêu Ví dụ ta xét công nghệ gia nhiệt phôi kim loại trong lò nung là một trong những quá trình có tham số biến đổi chậm, trong đó các hàm mục tiêu đặt ra với lò gia nhiệt như sau: nung nhanh nhất, nung chính xác nhất, nung ít bị ôxi hóa nhất; hoặc trong các bài toán điều khiển mức của dây truyền sản xuất nước ngọt thì các hàm mục tiêu có thể là: ổn định mức dung dịch H chính xác nhất, thời gian ổn định nhanh nhất

Đã có nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết các loại bài toán này, song gần đây việc ứng dụng các giải thuật tính toán tiến hóa hứa hẹn nhiều triển vọng Hiện nay nghiên cứu về lĩnh vực này trong nước ta chưa nhiều, nhất là chưa đưa ra được những mô hình ứng dụng thực tế cụ thể trong khi nhu cầu ứng dụng lại rất cao

Xuất phát từ tình hình thực tế và góp phần vào công cuộc CNH - HĐH đất nước nói chung và phát triển ngành Tự động hóa nói riêng, trong khuôn khổ của khóa học Cao học, chuyên ngành Tự động hóa tại trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái nguyên, được sự tạo điều kiện giúp đỡ của nhà trường, khoa sau Đại

học và PGS TS Lại Khắc Lãi, tác giả đã lựa chọn đề tài tập trung chủ yếu vào việc

xây dựng bài toán tối ưu nhiều mục tiêu cho dây chuyền công nghệ thực tế và ứng dụng giải thuật di truyền (Genetic Algorithm – GA) để giải quyết bài toán tối ưu đó, nhằm tiết kiệm thời gian và đảm bảo chất lượng sản phẩm đầu ra là tốt nhất với tên

đề tài là: “Nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền cho bài toán điều khiển tối

ưu đa mục tiêu”

2 Mục đích của đề tài

- Xây dựng bài toán tối ưu đa mục tiêu gắn liền với các hệ thống thực hiện nay

- Ứng dụng giải thuật gen di truyền (GA) để tìm lời giải tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

- Tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện hơn nữa việc lựa chọn và tính toán phương án nâng cao chất lượng điều khiển mức cho dây chuyền sản xuất nước ngọt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết của bài toán điều khiển tối ưu

- Các kỹ thuật trong giải thuật gen di truyền GA

- Các hệ thống điều khiển có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra với các ràng buộc

và hạn chế, cụ thể là điều khiển tối ưu đa mục tiêu cho bài toán điều hiển mức dung dịch

- Mô hình hóa và mô phỏng hệ thống để kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

a Ý nghĩa khoa học

Bài toán tối ưu đa mục tiêu là một hướng nghiên cứu mới có thể ứng dụng cho nhiều dây chuyền công nghệ trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhằm tìm kiếm ra phương án tối ưu nhất trong sản xuất và kinh doanh về các chỉ tiêu chất lượng như trong ngành luyện kim, ngành hóa chất, ngành năng lượng Trong khi sản phẩm đầu ra lại phụ thuộc rất nhiều vào các yếu tố trong quá trình công nghệ Trong đề tài này ứng dụng giải thuật di truyền nhằm giải quyết bài toán tối ưu với hai chỉ tiêu chất lượng chính trong bài toán điều khiển mức như sau:

+ Ổn định chính xác nhất: Chỉ tiêu sai lệch mức điều khiển là nhỏ nhất

+ Thời gian ổn định nhanh nhất: Chỉ tiêu thời gian quá độ nhỏ nhất

Bằng việc ứng dụng giải thuật di truyền vào giải quyết bài toán sẽ giúp cho việc tính toán được thông minh hơn, nhanh gọn hơn, mềm dẻo hơn và đặc biệt có

ưu điểm hơn hẳn trong tìm kiếm toàn cục

b Ý nghĩa thực tiễn

Khi đề tài hoàn thành sẽ là một tài liệu quan trọng trong việc giải quyết bài toán điều khiển thực tế có những công nghệ tương đương như: sản xuất gạch men, sản xuất kính Giải quyết bài toán tối ưu đa mục tiêu sẽ thực sự gắn với những hệ thống thực bao gồm nhiều đầu vào và nhiều đầu ra có những mối quan hệ ràng buộc và hạn chế mà trong các dây chuyền sản xuất đang tồn tại Hơn nữa nội dung của bài toán tối ưu đa mục tiêu này sẽ được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như: Khí tượng thủy văn, môi trường, chứng khoán Với giải thuật di truyền nhờ ưu điểm của quá trình tìm kiếm cực trị toàn cục dựa trên quá trình chọn lọc thích nghi tự nhiên và cơ chế song song ẩn, giải pháp này

sẽ cho ra kết quả tối ưu, nhanh nhất và có tính linh hoạt cao

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 3 chương, 94 trang, 15 tài liệu tham khảo, 21 hình vẽ và bảng biểu

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN

(Genetic Algorithm - GA)

1.1 CÁC GIẢI THUẬT TÍNH TOÁN TIẾN HÓA-GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 1.1.1 Khái quát

Giải thuật di truyền ( GA – Genetic Algorithm) là giải thuật tìm kiếm, chọn

lựa các giải pháp tối ưu để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau, dựa trên cơ chế

chọn lọc của tự nhiên: Từ tập lời giải ban đầu, thông qua nhiều bước tiến hóa, hình

thành tập lời giải mới phù hợp hơn, và cuối cùng dẫn đến lời giải tối ưu toàn cục

Trong tự nhiên, mỗi cá thể muốn tồn tại và phát triển phải thích nghi với môi

trường, cá thể nào thích nghi hơn thì tồn tại, cá thể nào kém thích nghi thì bị tiêu

diệt Trong mỗi cá thể, các gen liên kết với nhau theo cấu trúc dạng chuỗi, gọi là

nhiễm sắc thể (NST) Mỗi NST đặc trưng cho mỗi loài và quyết định sự sống còn

của cá thể đó Do môi trường tự nhiên luôn biến đổi nên cấu trúc NST cũng thay đổi

để thích nghi với môi trường và thế hệ sau luôn thích nghi hơn thế hệ trước Cấu

trúc này có được do sự trao đổi thông tin có tính ngẫu nhiên với môi trường bên

ngoài hoặc giữa các NST với nhau

Từ ý tưởng đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu và xây dựng nên giải thuật di

truyền dựa trên cơ sở chọn lọc tự nhiên và quy luật tiến hóa Giải thuật di truyền sử

dụng các thuật ngữ được lấy từ di truyền học như: lai ghép, đột biến, NST, cá thể,…

Ở đây mỗi cá thể được đặc trưng bởi một tập nhiễm sắc thể, nhưng để đơn giản khi

trình bày, ta xét trường hợp tế bào mỗi cá thể chỉ một NST Các NST được chia nhỏ

thành các gen được sắp xếp theo một dãy tuyến tính Mỗi cá thể (hay NST) biểu

diễn một lời giải có thể của bài toán Một xử lý tiến hóa duyệt trên tập các NST

tương đương với việc tìm kiếm lời giải trong không gian lời giải của bài toán Quá

trình tìm kiếm phải đạt được hai mục tiêu:

 Khai thác lời giải tốt nhất

 Xem xét trên toàn bộ không gian tìm kiếm

Giải thuật di truyền có thể mô tả vắn tắt như sau:

Lai tạo các cá thể đã chọn tạo ra P(t) mới;

Đột biến các cá thể trong P(t) theo xác suất Pm;

thông qua lai ghép và đột biến Từ đó hình thành quần thể mới P(t + 1) với hy vọng

chứa các cá thể phù hợp hơn quần thể trước đó

Toán tử “lai ghép” kết hợp các đặc trưng của hai NST cha và mẹ hình thành

hai NST con tương ứng chẳng hạn bằng cách hoán vị các đoạn thích hợp của hai NST cha và mẹ Ví dụ, nếu cặp nhiễm sắc thể cha mẹ được biểu diễn dưới dạng hai véctơ: a b c d e1, , ,1 1 1, 1 ; a b c d e2, , ,2 2 2, 2 thì cặp véctơ con cháu nhận được sau khi lai ghép có thể là: a b c d e1, , ,1 1 2, 2 ; a b c d e2, , ,2 2 1, 1

Toán tử “đột biến” thay đổi một hay một số gen của NST được chọn theo quy tắc thay đổi ngẫu nhiên với xác suất bằng tỷ lệ đột biến

Như vậy, bản chất GA là một giải thuật lặp, nhằm giải quyết các bài toán tìm kiếm dựa trên cơ chế chọn lọc nhân tạo và sự tiến hóa của các gen Trong quá trình

đó, sự sống còn của cá thể phụ thuộc vào hoạt động của các NST và quá trình chọn lọc (tham gia vào việc tái tạo ra các chuỗi NST mới bằng cách giải mã các chuỗi NST và tạo ra mối liên kết giữa các NST trong các cá thể khác nhau)

GA sử dụng các toán tử: chọn lọc, lai ghép, đột biến trên các NST để tạo ra chuỗi mới Những toán tử này thực chất là việc sao chép chuỗi, hoán vị các chuỗi con và sinh số ngẫu nhiên

Cơ chế của GA đơn giản nhưng lại có sức mạnh hơn các giải thuật thông thường khác nhờ có sự đánh giá và chọn lọc sau mỗi bước thực hiện Do vậy, khả năng tiến gần đến lời giải tối ưu của GA sẽ nhanh hơn nhiều so với các giải thuật khác

Có thể nói GA khác với những giải thuật tối ưu thông thường ở những đặc điểm sau:

 GA làm việc với tập mã của biến chứ không phải bản thân biến

 GA thực hiện tìm kiếm trên một quần thể các cá thể chứ không phải trên một điểm nên giảm bớt khả năng kết thúc tại một điểm tối ưu cục bộ mà không tìm thấy tối ưu toàn cục

 GA chỉ cần sử dụng thông tin của hàm mục tiêu để phục vụ tìm kiếm chứ không đòi hỏi các thông tin hỗ trợ khác

 Các thao tác cơ bản trong giải thuật dựa trên khả năng tích hợp ngẫu nhiên, mang tính xác suất chứ không tiềm định

1.1.2 Giải thuật di truyền kinh điển

Mô tả giải thuật

Giải thuật di truyền kinh điển sử dụng mã hóa nhị phân, mỗi cá thể được mã hóa là một chuỗi nhị phân có chiều dài cố định

1.1.2.1 Mã hóa – Biểu diễn các biến bằng véctơ nhị phân

Ta sử dụng véctơ nhị phân có độ dài L như một NST để biểu diễn giá trị thực

của biến xl u x; x. Độ dài L của NST phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán Một bit mã hóa x ứng với một giá trị trong khoảng 0;2 L sẽ được ánh xạ lên giá trị thực thuộc miền l u x; x Nhờ đó, ta có thể kiểm soát miền giá trị của các biến và tính chính xác của chúng Tỷ lệ co giãn của ánh xạ được tính như sau:

Giá trị x tương ứng với chuỗi NST nhị phân là: x l x decimal NST * g

Trong đó, decimal NST là giá trị thập phân của chuỗi NST nhị phân và  2

f x x   x D Ta muốn tối ưu hóa hàm f với độ chính xác cho trước là

6 số lẻ đối với giá trị của các biến

Rõ ràng là để đạt được độ chính xác như vậy mỗi miền D được phân cắt i

Bây giờ, mỗi NST (là một lời giải) được biễu diễn bằng chuỗi nhị phân có chiều dài

1

k i i



 Trong đó, m bit đầu tiên biểu diễn các giá trị trong miền i

a b ;…; i; i m bit cuối cùng biểu diễn các giá trị trong miền k a b k; k

Để khởi tạo quần thể, chỉ cần đơn giản tạo pop – size (kích cỡ quần thể)

nhiễm sắc thể ngẫu nhiên theo từng bit Phần còn lại của thuật giải di truyền rất đơn

giản: Trong mỗi thế hệ, ta lượng giá từng NST (tính giá trị của hàm f trên các chuỗi

biến nhị phân đã được giải mã), chọn quần thể mới thỏa mãn phân bố xác suất dựa trên độ thích nghi và thực hiện các phép đột biến và lai để tạo ra các cá thể thế hệ mới Sau một số thế hệ, khi không còn cải thiện thêm được gì nữa, NST tốt nhất sẽ được xem như lời giải của bài toán tối ưu (thường là toàn cục) Thông thường, ta cho dừng thuật giải di truyền sau một số bước lặp cố định tùy thuộc vào điều kiện

về tốc độ về tài nguyên máy tính

1.1.2.2 Toán tử chọn lọc

a) Sử dụng bánh xe Roulette

Có nhiều cách để thực hiện toán tử chọn lọc, nói chung đều theo tư tưởng cá thể

có độ thích nghi cao hơn thì khả năng được chọn nhiều hơn Nhưng có lẽ đơn giản

và hiệu quả nhất là sử dụng bánh xe Roulette (roulette wheet), mỗi cá thể trong quần thể chiếm một khe có độ rộng tỷ lệ thuận với giá trị phù hợp Độ rộng của khe được tính bằng tỷ lệ phần trăm giá trị phù hợp của một cá thể trên tổng giá trị phù hợp của toàn quần thể

Gọi f là độ phù hợp của cá thể thứ i trong quần thể gồm N cá thể Khi đó, cá i

thể i sẽ được chọn với xác suất

1

i N i

i i

f p

f





 Trên vòng tròn Roulette, mỗi chuỗi

trong quần thể chiếm một khe có độ rộng tỷ lệ với độ phù hợp của chuỗi Độ rộng của khe được tính theo tỷ lệ phần trăm độ phù hợp của chuỗi với tổng độ phù hợp của toàn quần thể là 100% Các bước tiến hành thủ tục quay Roulette:

- Đánh số các cá thể trong quần thể Tính tổng độ phù hợp của bài toán quần thể sumfitness, và ứng với mỗi cá thể tính một tổng chạy subtotal bằng tổng độ phù hợp của cá thể đó với độ phù hợp của các

, 1

m

j t j

 Lặp lại bước trên N lần chúng ta sẽ có quần thể tạm thời

Giá trị t được gọi là kích cỡ của chọn lọc cạnh tranh Khi t2chúng ta chọn lọc cạnh tranh nhị phân

Thủ tục lai ghép đơn giản như sau:

Procedure lai_mot_diem (k, P1, P2; var C1, C2);

Lai ghép nhiều điểm được thực hiện tương tự như lai ghép một điểm Với hai

cá thể cha mẹ đã chọn P1, P2; toán tử này cần sinh ngẫu nhiên k vị trí i1, , ;i có thể k

giả thiết thêm i1  i k Các điểm cắt này chia các cá thể đã chọn thành các đoạn được đánh số chẵn lẻ; sau đó hai cá thể con được tạo thành bằng cách tráo đổi các gen của cặp cha mẹ tùy theo các đoạn chẵn hay lẻ đã nêu Trong lai ghép nhiều điểm thì lai ghép hai điểm cắt được quan tâm nhiều nhất

Chẳng hạn, P1 111 0 0 0 1 0 1 0 , P2 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 là hai chuỗi nhị phân 

độ dài 10, giả sử các điểm cắt đã chọn là 2, 5, 8 thế thì hai con được sinh ra là:

Loại lai ghép này còn gọi là lai ghép đều; với hai cá thể cha mẹ đã chọn P1,

P2 trước hết phát sinh một chuỗi nhị phân ngẫu nhiên cũng có độ dài L gọi là chuỗi

mặt nạ Sau đó các con được tạo ra dựa trên chuỗi mặt nạ này để quyết định lấy

thành phần của cá thể cha hay mẹ Chẳng hạn gen thứ I của cá thể con C1 được lấy

là gen thứ i của P1 nếu bit mặt nạ tương ứng là 1 và lấy gen thứ i của P2 nếu bit mặt

nạ là 0 Cá thể con C2 được tạo ngược lại

Ví dụ: Với P1 111 0 0 0 1 0 1 0 , P2 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 là hai chuỗi nhị phân có độ dài 10, giả sử chuỗi bit nhị phân (mặt nạ) được khởi tạo ngẫu nhiên là

Toán tử đột biến làm thay đổi các thông tin của quần thể ở mức bit (gen)

Đột biến làm thay đổi giá trị của một bit bất kỳ theo xác suất p m Mỗi bit đều có cơ hội đột biến như nhau Thuật toán đột biến thường dùng là:

For i:= 1 to m do

If random[0,1] < p m then invert(Parent[i]);

Trong đó, invert(u) là hàm đảo ngược bit u

1.1.2.5 Hàm phù hợp

Biến đổi hàm mục tiêu thành hàm phù hợp:

Do giá trị phù hợp trong giải thuật di truyền là không âm, nên để áp dụng GA cho bài toán tối ưu ta cần phải chuyển giá trị hàm mục tiêu thành hàm phù hợp

Nếu bài toán tối ưu là cực tiểu hàm mục tiêu g x thì ta chuyển sang hàm  phù hợp như sau:

 0

Trong đó, C max là tham số đầu vào do người sử dụng chọn, thường chọn C max

là giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu trong tập hiện tại

Nếu bài toán tối ưu là cực đại hàm mục tiêu g x thì ta chuyển sang hàm  phù hợp như sau:

Trong đó, C min là tham số đầu vào, C min có thể là giá trị tuyệt đối bé nhất của

các hàm mục tiêu trong tập hiện tại hoặc trong k vòng lặp cuối

Bài toán minh họa giải thuật di truyền kinh điển

Ta xét bài toán sau:

Như vậy, mỗi nhiễm sắc thể cần được mã hóa thành một chuỗi nhị phân 33

bit 17 bit đầu dành cho x và 16 bit sau dành cho y

Bảng 1.1 cho một ví dụ về quần thể khởi tạo gồm 20 cá thể Các giá trị tương

ứng của x, y và hàm f(x, y) được tính cụ thể để tiện theo dõi

Giải thuật trình bày trong ví dụ này sử dụng các tham biến sau:

- Kích cỡ quần thể cố định là 20 cá thể

- Xác suất lai ghép là 1, xác suất đột biến là 0.01

Giải thuật được tiến hành với 20 lần chạy độc lập, mỗi lần chạy một quần thể được khởi tạo ngẫu nhiên, sau đó thực hiện ba lần lặp, mỗi lần lặp ứng với một dạng toán tử lai ghép được chọn Chúng tôi trình bày ba dạng của toán

tử lai ghép là lai ghép 1 điểm, lai ghép 2 điểm và lai ghép mặt nạ

Hình 1.2 Hàm Rastringin 2 chiều

Thuật toán cho mỗi lần chạy đƣợc mô tả nhƣ sau:

Bảng 1.1 10 cá thể của quần thể khởi tạo ngẫu nhiên

Bảng 1.2 trình bày kết quả thu đƣợc sau 20 lần chạy độc lập Để tiện so sánh, cùng một quần thể khởi tạo sẽ lần lƣợt trải qua ba lần tiến hóa, mỗi lần sử dụng một dạng lai ghép, là ghép 1 điểm, lai ghép 2 điểm, lai ghép mặt nạ Mỗi lần tiến hóa thực hiện lặp 100 lần Giá trị hàm mục tiêu của các cá thể tốt nhất khi khởi tạo và cá thể tốt sau tiến hóa đƣợc ghi nhận Cuối bảng là giá trị trung bình theo mỗi cột của bảng 1.2

Bảng 1.2 Kết quả của 20 lần chạy độc lập

1.1.3 Giải thuật di truyền mã hóa số thực

Trong phần này chỉ nghiên cứu giải thuật di truyền mã hóa số thực (RCGA – Real – Coded Genetic Algorithm ) để giải các bài toán tối ƣu giá trị thực trong không gian n

 và không có các ràng buộc đặc biệt

Một cách tổng quát, bài toán tối ƣu số thực có thể xem là một cặp S f , , trong đó n

S và f S: S là một hàm n biến Bài toán đặt ra là tìm véc tơ

 1, , n 

x x x S sao cho f x đạt giá trị cực tiểu trên S Nghĩa là với mọi y  S

phải có f x  f y  Hàm f ở đây có thể không liên tục nhƣng cần bị chặn trên S

(đối với các bài toán tìm cực đại có thể chuyển về cực tiểu một cách đơn giản) Trong GA mã hóa số thực, mỗi các thể đƣợc biểu diễn bằng một nhƣ một

véctơ n chiều: bx1, ,x n, x i

Nhƣ vậy một quần thể kích cỡ m là một tập hợp có m véctơ trong n

 Ta cũng

có thể xem một quần thể kích cỡ m nhƣ một ma trận thực cấp m n , đây là cách

mã hóa tự nhiên và thuận tiện trong việc thực hiện các toán tử tiến hóa Sau đây ta xem xét cụ thể hơn các toán tử này trong giải thuật di truyền mã hóa số thực

1.1.3.1 Toán tử chọn lọc

Ta thấy toán tử chọn lọc đã trình bày trong GA kinh điển không cần một đòi hỏi đặc biệt nào trong việc mã hóa số thực, vì vậy trong GA mã hóa số thực, toán tử chọn lọc vẫn được áp dụng như đối với GA kinh điển Cụ thể gồm các dạng: chọn lọc tỷ lệ, chọn lọc xếp hạng hay chọn lọc cạnh tranh

1.1.3.2 Toán tử lai ghép

GA mã hóa số thực cũng được áp dụng các toán tử lai ghép như GA kinh điển bao gồm lai ghép một điểm, lai ghép nhiều điểm, lai ghép mặt nạ Ngoài ra do cách

mã hóa quần thể, người ta còn nghiên cứu và đề xuất nhiều dạng khác nhau của toán

tử lai ghép trong RCGA Dưới đây là một số dạng toán tử lai ghép thường được sử dụng với giả thiết cặp cá thể cha mẹ chọn để tiến hành lai ghép là:

 1, , m

X  x x và Y y1, ,y m

a) Lai ghép 1 điểm (One – point Crosover)

Lai ghép một điểm là lai ghép đơn giản nhất được sử dụng cả trong GA mã

hóa nhị phân lẫn trong mã hóa số thực Với cặp cha mẹ X, Y là các véc tơ m chiều, toán tử lai ghép một điểm lai ghép chọn ngẫu nhiên một vị trí k (1  k  m ) rồi sinh

ra hai cá thể con theo công thức:

X’ = (x1,… , x k , y k+1 ,…, y m),

Y’ = (y1,…, y k , x k+1 ,…, x m)

b) Lai ghép đa điểm (Multi – point Crosover)

Toán tử lai ghép đa điểm được mô tả như sau:

Chọn ngẫu nhiên k điểm j1 , …, j k (1 j1< j2 < ….< j k < m), lai ghép đa điểm tạo ra cặp con (X’ , Y’) bằng cách đánh số các đoạn [ j t , j t+1] từ 0 trở đi sau đó:

x ’ i lấy bằng x i tại các đoạn có số hiệu chẵn và bằng y i tại các đoạn có số hiệu lẻ

y ’ i lấy bằng x i tại các đoạn có số hiệu lẻ và bằng y i tại các đoạn có số hiệu chẵn

c) Lai ghép đều hoặc lai ghép mặt nạ (Uniform Crosover)

Trong lai ghép mặt nạ, ta chọn ngẫu nhiên k vị trí 1< i1< i2 <…< i k < m Các cá

thể con được lập như sau:

d) Lai số học (Arithmetic Crosover)

Phép lai này chọn một số thực a (0< a <1); các con X’ , Y’ đƣợc tính bởi:

f) Lai ghép BLX- (Blend Crosover)

Ký hiệu cặp nhiễm sắc thể đã chọn lai ghép là:

X = (x1,…, x k , x k+1 ,…,x n),

Y = (y1,…, y k , y k+1 ,…,y n)

Với các ký hiệu cá thể cha mẹ đƣợc lai ghép nhƣ trên, đặt:

I = max (x i , y i ) – min (x i , y i ) với mỗi i

Khi đó thành phần thứ i của cá thể con tạo ra là một số ngẫu nhiên chọn trong

khoảng min x y( , )i i I*max x y( , )i i I*

Toán tử BLX -  đã đƣợc thử nghiệm và chứng minh tính hiệu quả của nó với giá trị tốt nhất là   

Giả sử x = (x1, x2,…, x n ) và y = (y1, y2,…, y n) là hai cá thể cha mẹ đã chọn để tạo sinh Khi đó hai cá thể con 1  1 1 1

1, ,2 n

1, 2 , n

c  c c c được sinh ra theo công thức sau:

1

2

0.5 * ((1 ) * (1 ) * ),0.5 * ((1 ) * (1 ) * )

1 1

+ Bước 3 Tính các con c1 và c2 theo công thức (1.1)

Lưu ý là có thể tính các thành phần của cá thể con với cùng một giá trị  hoặc

với mỗi i, tính  ứng với mỗi thành phần thứ i một cách độc lập

Đột biến biên: Từ cá thể cha đã chọn đột biến x và vị trí chọn đột biễn k, thành

phần thứ k (x k ) của x được thay thế bởi l k hay u k trong đó [l k , u k] là khoảng xác định

của x k Trong những bài toán biến của các biến không lớn và giải pháp cần tìm nằm gần biên thì phép đột biến này tỏ ra rất hữu ích

Đột biến không đều: Giả sử t max là một số cực đại định nghĩa trước, thành phần x i

được thay thế bởi một trong hai giá trị tính theo các công thức sau:

Trong công thức này,  là số ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng đơn vị Tham số

 xác định ảnh hưởng của lần tạo sinh thứ t phân bố đột biến trong miền [0, x]

1.2 CHIẾN LƯỢC TIẾN HOÁ

Chiến lược tiến hóa (ES – Evolutionary Strategies) được phát triển bởi I.Rechenberg năm 1973, sử dụng phép chọn lọc, đột biến trên quần thể chỉ có một

cá thể Schwefel đã giới thiệu phép tái tổ hợp và quần thể nhiều hơn một cá thể và chuẩn bị chi tiết cho việc so sánh chính xác ES với các kỹ thuật tối ưu truyền thống

Trong ES, mỗi cá thể được biểu diễn như một véctơ 2N chiều xem như sự tổ hợp 2 véctơ b = ( x1,…, x N ; 1, …,N)

Nửa thứ nhất của véctơ tương ứng là thành phần của lời giải bài toán như GA

mã hóa số thực Nửa thứ hai xác định véctơ độ lệch chuẩn đối với toán tử đột biến

ES cũng sử dụng các toán tử lai ghép và đột biến, song không giống như GA, ở đây toán tử đột biến đóng vai trò trung tâm

1.2.1 Tái tổ hợp trong ES

ES sử dụng các toán tử sinh ra con cháu từ cha mẹ đã chọn cũng gống như

GA mã hóa số thực Về cơ bản có 2 biến đổi trong ES:

+ Tái tổ hợp trung gian (intermediate recombination) cá thể con được tính là giá trị trung bình của cha mẹ:

1.2.2 Đột biến trong ES

Toán tử đột biến cộng thêm vào mỗi x i một giá trị theo phân bố chuẩn N (0, i2) :

exp  *N 0,1 là nhân tử quyết định sự tăng hay giảm tính

biến đổi của cá thể đang xét Giá trị N(0,1) chỉ chọn một lần đối với một cá thể khi

1.2.3 Chọn lọc tạo sinh trong ES

Vấn đề tạo sinh trong ES không cần những kỹ thuật phức tạp: một cá thể con

sẽ thay thế một cá thể cha nếu nó có độ thích tốt hơn, cá thể cha mẹ còn lại vẫn được duy trì Người ta thường sử dụng các sơ đồ chọn lọc sau:

   ES:µ cá thể cha mẹ được chọn từ quần thể hiện tại, µ cá thể này sinh

ra  cá thể con bằng một toán tử tái tổ hợp nào đó Từ hợp của µ cha mẹ với  con

cháu (gồm µ +  cá thể) chọn µ cá thể tốt nhất giữ lại cho lần tạo sinh sau Chiến

lược này có tính tinh hoa

  , ES :Tương tự như trên, µ cá thể mẹ sinh ra  cá thể con, song ở đây phải

có điều kiện   Chọn µ cá thể tốt nhất trong  con sinh ra và thay thế cho µ cha

mẹ Chiến lược chọn này không có tính tinh hoa

Một cách tổng quát, có thể mô tả ES như sau:

+) Bước 1: Khởi tạo quần thể ban đầu gồm µ cá thể (x i, i ); i = 1, 2,…, µ

Thiết lập biến đếm k = 1

+) Bước 2: Tính độ thích nghi mỗi cá thể (x i, i ) dựa trên hàm mục tiêu f(x i)

+) Bước 3: Với mỗi cá thể cha mẹ (x i, i ) tạo cá thể con (x i’, i’

x x   tương ứng; N(0,1) là số ngẫu nhiên trong [0, 1]; N j(0,1) là số ngẫu

nhiên ứng với mỗi j Các tham số ,

+) Bước 4: Tính độ thích nghi mỗi cá thể vừa tạo

+) Bước 5: Chọn µ cá thể trong quần thể gồm cả cha mẹ và các con vừa tạo để làm

cha mẹ cho lần sinh kế tiếp

+) Bước 6: Kết thúc nếu thỏa mãn thì dừng Nếu không k = k+1, quay lại bước 3

1.3 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐỀ XUẤT

1.3.1 Phân tích các dạng lai ghép kinh điển trong RCGA

Để phân tích tác động của toán tử lai ghép, ta biểu diễn các dạng khác nhau của toán tử lai ghép kinh điển bởi các phép toán đại số, cụ thể như sau: Mỗi cá thể

được chọn là một vectơ thực n chiều; giả sử cặp cá thể cha mẹ được chọn để lai

ghép là X x x1, 2, ,x n,Y y y1, 2, ,y n; hai cá thể con tạo được sau lai ghép là

b Lai ghép đa điểm

Toán tử lai ghép đa điểm có dạng biểu diễn bởi ma trận là:

1.3.2 Cải biên toán tử lai ghép SBX

1.3.2.1 SBX có thể biểu diễn nhiều dạng toán tử lai ghép khác

Có thể thấy trong công thức (1.1) và (1.2), bằng cách gán cho  các giá trị thích hợp sẽ nhận được các dạng khác quen thuộc của toán tử lai ghép như lai ghép một điểm, lai ghép nhiều điểm, lai ghép mặt nạ (lai ghép đều), lai ghép số học, lai ghép Heuristic và BLX -  Thật vậy:

+) Lai ghép một điểm với điểm lai ghép là t 1  t n 1 ứng với cách chọn

+) Lai ghép trung bình ứng với cách đặt k 0 với mọi k

+) Lai ghép số học ứng với cách đặt k   2 r 1, trong đó r là số ngẫu nhiên

với phân phối đều trên  0;1

+) Lai ghép Heuristic: Giả sử x là cá thể tốt hơn y (f(x) < f(y) với bài toán tìm

min và f(x) > f(y) với bài toán tìm max) Bằng cách đặt k   2 d 1, trong đó d là

số ngẫu nhiên trong  0;1 , ta tính được cá thể con duy nhất với các thành phần cho bởi: c k x k  d x k y k

+) Lai ghép BLX -  ứng với cách đặt k   2 r 1, trong đó r là số ngẫu

nhiên được lấy trong đoạn ;1 Dạng biểu diễn thông thường của BLX - là: Mỗi thành phần z của cá thể con được chọn theo phân phối ngẫu nhiên đều i

1.3.2.2 Ý nghĩa của tham số

Từ các công thức (1.1) và (1.2), ta thấy ngay khoảng cách mỗi thành phần của các cá thể con sinh ra tỷ lệ với khoảng cách tương ứng của cha mẹ chúng Thật vậy, trừ theo từng vế (1.1) ta được: 1 2  

0.215;4.64 

 Chẳng hạn với cặp cha mẹ là x2 &y5, với 5thì có con

là 1.464, còn với  2 thì có con là 1.911 so với một cha mẹ là x2(với cùng

một số ngẫu nhiên u)

Như vậy toán tử SBX có hai tính chất quan trọng:

1 Phạm vi các cá thể con sinh ra tỷ lệ với cha mẹ chúng theo hệ số

2 Các con gần với cha mẹ có khuynh hướng được chọn nhiều hơn các con ở xa cha mẹ

Việc điều chỉnh tham số khoảng cách này làm cho giải thuật mềm dẻo, tăng tính đa dạng của quần thể và tỏ ra hiệu quả hơn các giải thuật kinh điển trong hầu hết các thử nghiệm Hơn nữa, khi đưa các dạng khác nhau của toán tử về cùng một biểu thức toán học sẽ làm cho việc phân tích cũng như thiết kế chương trình thuận lợi và dễ dàng

1.3.2.3 Toán tử SBX sử dụng phân phối Cauchy

Phát triển ý tưởng trên, ta tính hệ số tỷ lệ  theo cách khác với (1.2) nêu

trên Xét biến ngẫu nhiên Z theo phân phối Cauchy có hàm mật độ xác suất là:

Trong đó, tham số s đóng vai trò là tham số điều khiển kích cỡ bước

Chúng tôi đề xuất toán tử lai ghép như sau:

Đầu vào: Quần thể cũ Q

Đầu ra: Quần thể mới Q’ sau khi thực hiện lai ghép

Thuật toán:

Bước 1) (x, y) = Selection(Q); (chọn ngẫu nhiên cặp cha mẹ)

Bước 2) Với mỗi i = 1 n (n là số chiều không gian) tính (u, v) bởi:

Bước 3) Chọn hai cá thể tốt nhất trong {x, y, u, v} thay cho cặp (x, y)

Như vậy trong toán tử này, hệ số  được tính theo biến ngẫu nhiên Z có phân phối xác suất Cauchy với tham số điều khiển s = 1/k, trong đó k là số lần lặp Cũng

có thể xem đây là một cách kết hợp giải thuật mô phỏng tôi luyện và toán tử lai

ghép với sơ đồ tôi luyện là T k = 1/k

Kết luận chương 1: Chương này đã trình bày một cách hệ thống giải thuật di

truyền và một số biến thể của nó như RCGA, ES Qua đó giúp ta hiểu và nắm được các kỹ thuật mã hóa, chọn lọc, tóan tử lai ghép, toán tử đột biến… trong giải thuật

di truyền, từ đó chủ động trong việc tính toán và đem lại những phương pháp tính toán mới nhanh gọn và hiệu quả Đồng thời trình bày một số đề xuất kỹ thuật cải tiến mới

Một số ký hiệu sử dụng trong chương 2

Hình 2.1 Sơ đồ hệ thống điều khiển

Hệ thống điều khiển như hình trên bao gồm các phần tử chủ yếu: đối tượng điều khiển (ĐTĐK), cơ cấu điều khiển (CCĐK) và vòng hồi tiếp (K).Với các ký hiệu :

r : tín hiệu đầu vào, mục tiêu điều khiển, đáp ứng mong muốn của hệ thống

u : tín hiệu điều khiển, luật điều khiển

x : tín hiệu đầu ra, đáp ứng ra của hệ thống

 = r – x : sai lệch của hệ thống

f : tín hiệu nhiễu

Chỉ tiêu chất lượng J của một hệ thống có thể được đánh giá theo sai lệch của đại lượng được điều khiển x so với trị đáp ứng mong muốn r, lượng quá điều khiển (trị số cực đại x max so với trị số xác lập x  tính theo phần trăm), thời gian quá độ

… hay theo một chỉ tiêu hỗn hợp trong điều kiện làm việc nhất định như hạn chế về công suất tốc độ, gia tốc … Do đó việc chọn một luật điều khiển và cơ cấu điều

khiển để đạt đƣợc chế độ làm việc tối ƣu J đạt cực trị còn tùy thuộc vào lƣợng thông

tin ban đầu mà ta có đƣợc

Ở đây chúng ta có thể thấy đƣợc sự khác biệt về kết quả nhận đƣợc chất lƣợng tối ƣu khi lƣợng thông tin ban đầu thay đổi ( Hình 2.2 )

Hình 2.2 Tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cục

Khi tín hiệu điều khiển u giới hạn trong miền [u1, u2] , ta có đƣợc giá trị tối ƣu cực đại J1 của chỉ tiêu chất lƣợng J ứng với tín hiệu điều khiển u1

Khi tín hiệu điều khiển u không bị ràng buộc bởi điều kiện u1 u u2 , ta có đƣợc giá trị tối ƣu J2 J1 ứng với u2 Nhƣ vậy giá trị tối ƣu thực sự bây giờ là J2 Tổng quát hơn, khi ta xét bài toán trong một miền u u m, n nào đó và tìm đƣợc giá trị tối ƣu J i thì đó là giá trị tối ƣu cục bộ Nhƣng khi bài toán không có điều

kiện ràng buộc đối với u thì giá trị tối ƣu là J extremum J( i) với J i là các giá trị tối ƣu cục bộ, giá trị J chính là giá trị tối ƣu toàn cục

Điều kiện tồn tại cực trị:

 Đạo hàm bậc một của J theo u phải bằng 0:

2.1.1.2 Điều kiện thành lập bài toán tối ưu

Để thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu đầu tiên là hệ thống phải có đặc tính phi tuyến có cực trị

Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác định chỉ tiêu chất

lượng J Nhiệm vụ cơ bản ở đây là bảo đảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng J Ví dụ

như khi xây dựng hệ tối ưu tác động nhanh thì yêu cầu đối với hệ là nhanh chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian quá độ nhỏ nhất, nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá độ Hay khi tính toán động cơ tên lửa thì chỉ tiêu chất lượng là vượt được khoảng cách lớn nhất với lượng nhiên liệu đã cho

Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t), tín hiệu điều khiển u(t) và thời gian t Bài toán điều khiển tối ưu là xác định tín hiệu điều khiển u(t) làm cho chỉ tiêu chất lượng J đạt cực trị với những điều kiện hạn chế nhất định của u và x Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau:

Lấy ví dụ về bài toán điều khiển động cơ điện một chiều kích từ độc lập  kt const

với tín hiệu điều khiển u là dòng điện phần ứng i u và tín hiệu ra x là góc quay  của trục động cơ

Hình 2.3 Động cơ điện một chiều kích từ độc lập

Ta có phương trình cân bằng moment của động cơ:

d dt



Từ đó ta có :

2 2

d x u

Vậy phương trình trạng thái của động cơ điện là một phương trình vi phân cấp

hai với tín hiệu điều khiển u là dòng điện phần ứng i ư;tín hiệu ra là góc quay 

 Bài toán tối ưu tác động nhanh ( thời gian tối thiểu ) :

Tìm luật điều khiển u(t) với điều kiện hạn chế u  1 để động cơ quay từ vị trí ban đầu có góc quay và tốc độ đều bằng 0 đến vị trí cuối cùng có góc quay bằng 0

và tốc độ bằng 0 với một khoảng thời gian ngắn nhất

Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ tiêu chất lượng J sẽ là:

0[ ( ), ( ), ]

T

J L x t u t t dtT

Rõ ràng từ phương trình trên ta phải có L x t u t t[ ( ), ( ), ] 1

Như vậy, đối với bài toán tối ưu tác động nhanh thì chỉ tiêu chất lượng J có dạng :

0

1

T

J dtT

 Bài toán năng suất tối ưu :

Năng suất ở đây được xác định bởi góc quay lớn nhất của động cơ trong thời

gian T nhất định Khi đó chỉ tiêu chất lượng J có dạng :

Do đó L x t u t t[ ( ), ( ), ]( )t x t( ) và ta sẽ có chỉ tiêu chất lƣợng J đối với bài toán

năng suất tối ƣu nhƣ sau:

 Bài toán năng lượng tối thiểu :

Tổn hao năng lƣợng trong hệ thống :

T

J u t dt

2.1.1.3 Tối ưu hoá tĩnh và động

Chúng ta cần phân biệt hai dạng bài toán tối ƣu hoá tĩnh và tối ƣu hóa động Tối ƣu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộc vào thời gian Còn đối với tối ƣu hóa động thì thời gian cũng là một biến mà chúng ta cần phải xem xét đến

2.1.2 Xây dụng bài toán tối ưu

2.1.2.1 Tối ưu hóa không có điều kiện ràng buộc

Một hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng L u  được cho trước là một hàm của một véctơ điều khiển hay một véctơ quyết định m

R

u Chúng ta cần chọn giá trị

của u sao cho L(u) đạt giá trị nhỏ nhất

Để giải bài toán tối ưu, ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho độ biến thiên của

u L

u L

u

L L

/

/

/ 2 1

1

O du L du

Nếu L uu là xác định âm thì điểm cực trị chính là điểm cực đại; còn nếu L uu là không xác định thì điểm cực trị chính là điểm yên ngựa Nếu L uu là bán xác định thì chúng ta sẽ xét đến thành phần bậc cao hơn trong (2.1) để xác định được loại của điểm cực trị

Nhắc lại: L uu là xác định dương (hoặc âm) nếu như các giá trị riêng của nó là dương (hoặc âm), không xác định nếu các giá trị riêng của nó vừa có dương vừa có

âm nhưng khác 0, và sẽ là bán xác định nếu tồn tại giá trị riêng bằng 0 Vì thế nếu 0



uu

L , thì thành phần thứ hai sẽ không hoàn toàn chỉ ra được loại của điểm cực trị

2.1.2.2 Tối ưu hóa với các điều kiện ràng buộc

Cho hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng L , x u , với véctơ điều khiển m

u  và véctơ trạng thái n

x  Bài toán đưa ra là chọn u sao cho hàm chỉ tiêu chất lượng

L(x,u) đạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn đồng thời các phương trình điều kiện ràng

Để tìm điều kiện cần và đủ của giá trị cực tiểu, đồng thời thỏa mãn f x u ,  0, ta

cần làm chính xác như trong phần trước Đầu tiên ta khai triển dL dưới dạng chuỗi

Taylor, sau đó xác định số hạng thứ nhất và thứ hai là L u & L uu

Thừa số Lagrange và hàm Hamilton

Tại điểm cực trị , dL với giá trị thứ nhất bằng 0 với mọi sự biến thiên của du khi df