Nghiên cứu, cài đặt bộ điều khiển tối ưu phản hồi tín hiệu ra

Miền nghiên cứu của điều khiển tối ưu không chỉ riêng ở các hệ thống kỹ thuật mà có thể tìm thấy ở hầu hết các hệ thống không phải là kỹ thuật khác như hệ sinh học, hệ kinh tế Bài toán đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

Học viên : Phạm Thị Tâm Huyền

Người HD Khoa Học: PGS.TS Nguyễn Doãn Phước

THÁI NGUYÊN 2011

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

***

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập - Tư Do - Hạnh Phúc -o0o -

THUYẾT MINH LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

Ngày hoàn thành đề tài : 8/2011

PGS.TS Nguyễn Doãn Phước

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Phạm Thị Tâm Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,

kết quả trong luận văn là hoàn toàn trung thực theo tài liệu tham khảo và chưa

từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 9 năm 2011

Tác giả luận văn

Phạm Thị Tâm Huyền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Chương 1.PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 4

1.1 Những nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích 4

1.2 Phân tích tính ổn định 6

1.2.1 Định lý Gerchgorin 6

1.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov - Hàm Lyapunov 9

1.3 Phân tích tính điều khiển được 12

1.3.1 Khái niệm điều khiển được và điều khiển được hoàn toàn 12

1.3.2 Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được cho hệ tham số hằng 14

1 Tiêu chuẩn Hautus 14

2 Tiêu chuẩn Kalman 16

1.4 Phân tích tính quan sát được 19

1.4.1 Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn 19

1.4.2 Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính 20

1.4.3 Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số hằng 24

Chương 2.THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI TỐI ƯU 27

2.1 Phương pháp biến phân 27

2.1.1 Nội dung phương pháp 27

2.1.2 Ứng dụng phương pháp biến phân để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu 30

1 Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương 30

2 Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi âm 34

3 Các phương pháp tìm nghiệm của phương trình Riccati trực tiếp 36

2.2 Nguyên lý cực đại 40

2.2.1 Điều kiện cần 41

2.2.2 Điều kiện hoành (Điều kiện trực giao) 42

2.3 Phương pháp quy hoạch động 43

2.3.1 Nội dung phương pháp 44

2.3.2 Mở rộng cho hệ liên tục và phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman 46

Chương 3.THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN ĐỘNG 48

3.1 Bộ lọc Wiener 48

3.1.1.Mục đích của bộ lọc 48

3.1.2 Thuật toán xác định nghiệm tối ưu của bài toán (3.3) 51

3.2 Bộ quan sát trạng thái Kalman (lọc Kalman) 53

3.2.1 Mục đích của bộ quan sát 53

3.2.2 Thuật toán xác định bộ quan sát trạng thái Kalman 57

Chương 4.XÂY DỰNG THUẬT TOÁN THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TÍN HIỆU RA 59

4.1 Nội dung bộ điều khiển 59

4.2 Nguyên lý tách được 60

4.3 Thuật toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra 62

Chương 5 MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN 65

5.1 Nội dung bài toán 65

5.2 Các bước thiết kế 65

5.2.1 Giải bài toán tìm nghiệm RLQR là nghiệm của: 65

5.2.2 Thiết kế bộ quan sát trạng thái Kalman 67

5.2.3 Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQG 70

5.2.4 So sánh chất lượng bộ điều khiển LQR và bộ điều khiển LQG 72

5.2.5 Mô phỏng bộ điêu khiển LQG khi có nhiễu ồn trắng tác động So sánh với bộ điều khiển LQR 74

KẾT LUẬN CHUNG VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 78

PHỤ LỤC 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.2 Định vị miền giá trị riêngcủa ma trận 7

Hình 1.6 Giải thích tiêu chuẩn kalman bằng không gian bất biến 17

Hình 4.1 Nguyên tắc thiết kế bộ điều khiển LQG 59

Hình 5.3 Sơ đồ mô phỏng bộ quan sát trạng thái Kalman 68

Hình 5.4 Kết quả mô phỏng bộ quan sát trạng thái Kalman 69

Hình 5.7 Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQR và bộ điều khiển LQG 72

Hình 5.8 Kết quả mô phỏng so sánh bộ điều khiển LQR và LQG 73

Hình 5.9 Bộ điều khiển LQG khi có nhiễu tác động 74

Hình 5.10 Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQG khi có nhiễu tác động 75

Hình 5.11 Sơ đồ mô phỏng so sánh hai bộ điều khiển LQR và LQG

Hình 5.12 Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQR và LQG khi có

Lời nói đầu

Một trong những mục tiêu hàng đầu trong tổng hợp hệ thống điều khiển

là tính hiệu quả cao Hệ thống càng phức tạp, quy mô càng lớn, thì việc đưa ra các quyết định điều khiển để hệ thống cho hiệu quả càng khó khăn, ngay cả đối với những chuyên gia nhiều kinh nghiệm Bởi vậy cần phải có những phương pháp tổng quát, chặt chẽ về mặt lý thuyết, làm nền tảng trợ giúp cho công việc trên và đó chính là mục đích của điều khiển tối ưu

Điều khiển tối ưu là một chuyên ngành trong điều khiển tự động có vai trò xác lập và tạo lập những luật điều khiển cho hệ thống để hệ thống đạt được chỉ tiêu về tính hiệu quả đã được định trước dưới dạng (phiếm) hàm mục tiêu Q Miền nghiên cứu của điều khiển tối ưu không chỉ riêng ở các hệ thống kỹ thuật mà có thể tìm thấy ở hầu hết các hệ thống không phải là kỹ thuật khác như hệ sinh học, hệ kinh tế

Bài toán điều khiển có ba cấu trúc cơ bản đó là:

* Điều khiển hở

Về bản chất, hình thức điều khiển này cũng giống như bài toán tìm tín hiệu điều khiển thích hợp đặt ở đầu vào của đối tượng, nhưng được bổ sung thêm bộ điều khiển để tạo ra được tín hiệu điều khiển đó

Ví dụ để điều khiển tàu thuỷ đi được theo một quỹ đạo y(t) mong muốn (tín hiêu đầu ra), người ta phải tác động bằng lực (t) vào tay lái để tạo ra được vị trí u(t) của bánh lái một cách thích hợp Trong ví dụ này hệ thống tay lái – bánh lái có vai trò của một bộ điều khiển

Hình thức điều khiển hở này là điều khiển một chiều và chất lượng điều khiển phụ thuộc vào độ chính xác của mô hình toán học mô tả đối tượng cũng

Bộ điều khiển

Đối tượng điều khiển

như phải có giả thiết rằng không có tác động nhiễu không mong muốn vào hệ thống trong suốt quá trình điều khiển

* Điều khiển phản hồi trạng thái

Ở đối tượng điều khiển, các tín hiệu trạng thái x1(t),x2(t), ,x n(t), được viết chung dạng vector x (t) (x1(t),x2(t), ,x n(t))T, là thành phần chứa đựng đầy đủ nhất các thông tin chất lượng động học hệ thống, kể cả những tác động nhiễu không mong muốn Bởi vậy, để có thể tạo ra được cho đối tượng một chất lượng mong muốn, ổn định với tác động nhiễu, cần phải có một tín hiệu áp đặt ở đầu vào là u(t) phản ứng kịp theo những thay đổi trạng thái của đối tượng

Hình 2 biểu diễn nguyên tắc điều khiển phản hồi trạng thái Bộ điều khiển sử dụng tín hiệu trạng thái x (t) của đối tượng để tạo ra được tín hiệu đầu vào u(t) cho đối tượng Vị trí của bộ điều khiển có thể là ở mạch truyền thẳng hoặc ở mạch hồi tiếp

Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng mong muốn cho đối tượng, mặc dù trong quá trình điều khiển luôn

có những tác động nhiễu Như vậy hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái tối

ưu đã giải quyết triệt để mục tiêu của bài toán điều khiển đó là chất lượng điều khiển đạt tốt nhất

Tuy vậy hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có nhược điểm, trong nhiều trường hợp trạng thái của đối tượng điều khiển không đo được trực tiếp gây khó khăn cho việc nhận dạng đối tượng điều khiển vì vậy người ta phải thay

Bộ điều

tượng điều khiển



x

y u

e



Bộ điều khiển

Đối tượng điều khiển



x

y u



Hình 2 Điều khiển phản hồi trạng thái

Bộ điều khiển sử dụng tín hiệu đầu ra y(t) của đối tượng để tạo ngược

ra được tín hiệu đầu vào u(t) cho nó Tuy nhiên, cho tới nay bài toán điều khiển phản hồi tín hiệu ra vẫn còn là một bài toán mở và chưa có lời giải tổng quát cuối cùng, vì tín hiệu ra y(t) thường không mang được đầy đủ thông tin động học của đối tượng

Với những ưu nhược điểm của bài toán phản hồi trạng thái và điều khiển phản hồi tín hiệu ra, từ những lý thuyết đã nghiên cứu luận văn trình bày thuật toán thiết kế bộ điều khiển tối ưu phản hồi tín hiệu ra dựa trên sự kết hợp của hai

bộ điều khiển: Bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ điều khiển phản hồi đầu ra áp dụng cho đối tượng điều khiển là đối tượng tuyến tính để chất lượng điều khiển là tối ưu

Sau một thời gian học tập và nghiên cứu đến nay bản luận văn của tôi

đã được hoàn thành Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Doãn Phước - Thầy giáo hướng dẫn trực tiếp, người đã đưa ra hướng nghiên cứu tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy, giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nâng cao trình độ kiến thức

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân

đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình vừa qua

Vì điều kiện về thời và khả năng của bản thân có hạn nên bản luận văn

này không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong các thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp góp ý sửa đổi, bổ xung thêm để bản luận văn thêm hoàn thiện

Bộ điều khiển Đối tượng

điều khiển



y u

e



Bộ điều khiển

Đối tượng điều khiển



y u



Hình 3 Điều khiển phản hồi đầu ra

Chương 1

PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

1.1 Những nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích

Các nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích chất lượng động học của một hệ thống bao gồm:

y

u B x A dt

và không có một tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó Theo

định nghĩa như vậy thì điểm cân bằng x e của hệ thống phải là nghiệm của:

hệ thống sẽ nằm im tại đó, tức là trạng thái của nó không bị thay đổi 

khi không có sự tác động từ bên ngoài (u=0)

Ta có thể thấy ngay được từ (1.2) là hệ tuyến tính cân bằng tại mọi

điểm trạng thái thuộc không gian Ker (A) và nếu ma trận A của mô hình trạng

thái (1.1) không suy biến thì hệ (1.1) chỉ có một điểm cân bằng duy nhất là gốc toạ độ 0

2) Hiểu biết về tính ổn định Lyapunow của hệ thống Một hệ thống được gọi là ổn định Lyapunow tại điểm cân bằng x e nếu sau khi có một tác động tức thời (chẳng hạn như nhiễu tức thời) đánh bật hệ ra khỏi điểm cân

bằng x e thì sau đó hệ có khả năng tự quay về được lân cận điểm cân bằng x e

ban đầu (không cần có tín hiệu điều khiển u) Nếu hệ không những tự quay về được lân cận của x e mà còn tiến tới x e thì nó được gọi là ổn định tiệm cận

Lyapunow tại x e

3) Hiểu biết về tính điều khiển được của hệ thống tại một điểm trạng

thái cho trước

Nhiệm vụ chính của điều khiển là tìm được tín hiệu điều khiển mang lại cho hệ thống một chất lượng mong muốn, tức là phải tìm ra được một tín hiệu thoả mãn chất lượng đề ra trong số các tín hiệu có khả năng đưa hệ thống từ

điểm trạng thái x 0 ban đầu tới được điểm trạng thái đích x T Nếu như không

tồn tại bất cứ một tín hiệu điều khiển nào đưa được hệ từ x 0 tới x T thì sự cố gắng tổng hợp hay đi tìm tín hiệu điều khiển như trên sẽ trở nên vô nghĩa (bài toán không có lời giải) Bởi vậy, để công việc điều khiển có thể có kết quả ta phải biết được rằng có tồn tại hay không ít nhất một tín hiệu điều khiển đưa

được hệ thống từ x 0 về x T trong khoảng thời gian T hữu hạn Nếu như tồn tại

một tín hiệu điều khiển làm được việc đó thì ta nói hệ thống là điều khiển

được tại điểm trạng thái x 0

4) Hiểu biết về tính quan sát được của hệ thống tại một điểm trạng thái

cho trước

Hay quay lại vấn đề chính xác là xây dựng bộ điều khiển cho hệ thống

để minh hoạ Nếu sau khi đã biết là công việc xây dựng bộ điều khiển có thể

có kết quả (hệ điều khiển được tại x 0) thì công việc tiếp theo là phải xác định

được x 0 để từ đó bộ điều khiển có thể tạo ra được tín hiệu điều khiển thích

hợp đưa hệ từ x 0 về x T Công việc xác định điểm trạng thái x 0 có thể được tiến hành bằng cách đo trực tiếp (nhờ các bộ cảm biến, sensor) nhưng có khi phải

tính toán, phải quan sát khi không thể đo được trực tiếp x 0, chẳng hạn như gia

tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong một khoảng thời gian cho phép Trong trường hợp phải quan sát, người ta nói

điểm trạng thái x 0 của một hệ là quan sát được nếu ta có thể xác định được nó

thông qua việc đo các tín hiệu vào/ra trong một khoảng thời gian hữu hạn

1.2 Phân tích tính ổn định

Các tiêu chuẩn đã biết như Routh, Hurwitz, Michailov, Chipart,… đều sử dụng được để kiểm tra tính ổn định hệ (1.1) Vấn đề hạn chế chính có lẽ còn làm cho ta không được thoải mái khi sử dụng chúng là

Lienard-phải xây dựng được đa thức đặc tính p(s)=det(sI-A), đặc biệt khi A có số

chiều khá lớn

1.2.1 Định lý Gerchgorin

Định lý Gerschgorin trình bày sau đây và hệ quả của nó sẽ là một tiêu chuẩn bổ sung, giúp cho ta xét được tính ổn định của hệ (1.1) mà không cần

phải có đa thức đặc tính Tuy nhiên định lý này chỉ là một điều kiện đủ Điều

đó nói rằng nếu như ma trận A không thoả mãn định lý thì hệ (1.1) vẫn có thể

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

ii

s

1 1

i k ii j

ij v a s v a

ii

s

1 1

với i=1,2…,n Chọn chỉ số i sao cho:

i ij n

j j j ij i

ii

s

1 1 1

s

1 1 (đ.p.c.m)

Theo định lý 1.1, mỗi giá trị riêng s i của A đều được bao bởi một đường tròn có tâm là a ii và bán kính là R i , i= 1,….,n Do đó nếu như các đường tròn

đó đều nằm bên trái trục ảo thì chắc chắn tất cả các giá trị s i , i=1,….,n đều

phải có phần thực âm ( hình 1.2)

Ta đi đến điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ như sau:

Định lý 1.2 (Hệ quả Gerschgorin): Ký hiệu 





 n

j j ij

R

1 1 Vậy thì hệ (1.1)

với a ijR sẽ ổn định nếu a ii +R i <0 với mọi i = 1, 2,…,n

Ví dụ 1.1 Minh hoạ ý nghĩa định lý Gerschgorin

Cho hệ mô tả bởi:

u x dt

4 1 2

0 3 2

0 1 3

4(41

2

032

01

3det)det(

s A

sI s

Ví dụ 1.2 Minh hoạ ý nghĩa định lý Gerschogorin

Định lý 1.2 chỉ là điều kiện đủ, bởi vậy nếu hệ thống thoả mãn định lý 1.2 thì có thể nó vẫn ổn định Ta xét hệ sau:

u x

112

024

012

Hệ có đa thức đặc tính:

 

 2 4

) 1 ( 1 1

2

0 2 4

0 1 2 det ) det(

s

A sI s

1.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov - Hàm Lyapunov

Giống như định lý của Geschgorin, tiêu chuẩn Lyapunov trình bày sau đây là phương pháp xét tính ổn định một cách trực tiếp trong không gian trạng thái rất thích hợp cho những hệ thống mô tả mô hình trạng thái Xuất phát điểm của tiêu chuẩn Lyaunov là định lý sau:

Định lý 1.3 Hệ (1.1) ổn định BIBO khi và chỉ khi nó ổn định tiệm cận

Lyapunov, tức là khi và chỉ khi các qũy đạo trạng thái tự do có hướng tiến về gốc toạ độ và kết thúc tại đó

Định lý 1.4 (Lyapunov): Nếu tồn tại hàm V(x), thoả mãn các điều kiện:

a) Khả vi, xác định dương, tức là V(x)>0 với x≠0 và V(x)=0 x = 0

là đạo hàm của V(x) dọc theo qũy đạo trạng thái tự do

thì hệ sẽ ổn định tiệm cận Lyapunov tại 0 (ổn định BIBO) Hàm V(x) khi đó được gọi là hàm Lyapunov Nói cách khác, hệ ổn định tiệm cận tại 0

nếu nó có hàm Lyapunov

Ví dụ 1.3.: Minh hoạ tiêu chuẩn Lyapunov

Cho hệ mô tả bởi:

3 2

3 2 1

2 1

3 2 1

3 2

1

2 2

5 2

2 4

1 0

2 1

0 1

2 1 0

1 5 2

0 2 4

u

u u u

x x

x x x

x x

u u u

x x x dt

x

d

u x

Sử dụng hàm khả vi, xác định dương:

3 2 2 2

1 x x x

2 4

2 2

3 2

3 2 1

2 1

3 2

x x x

x x x

x x dt

Bởi vậy, hệ ổn định theo định lý 1.4

Thông thường với hệ tuyến tính có mô hình trạng thái (1.1), người ta

hay sử dụng hàm trơn, xác định dương V(x) có dạng:

 x x P x

trong đó P là ma trận đối xứng kiểu n x n với n là biến trạng thái của

hệ thống (số chiều của không gian trạng thái) Chẳng hạn như ở ví dụ 1.3 ta

đã sử dụng ma trận P là ma trận đơn vị

Một ma trận đối xứng P R n xn làm cho:

x x

P

x T  0 ,  và x T P x 0 khi và chỉ khi x 0

được gọi là ma trận xác định dương

Sử dụng hàm V(x) xác định dương dạng (1.3) và mô hình trạng thái (1.1) của hệ thống thì với qũy đạo trạng thái tự do (u = 0) ta có:

x P A x x PA x x P dt

x d dt

x d P x dt

Bởi vậy hệ tuyến tính (1.1) sẽ ổn định nếu như tồn tại một ma trận Q

xác định dương sao cho:

x T PA A T P x với mọi x≠0

Ma trận

PAA T P Q

khi đó được gọi là xác định âm Ta đi đến hệ quả:

Định lý 1.5 (Hệ quả Lyapunov): Cho một hệ tuyến tính mô tả bởi mô hình

trạng thái (1.1) Hệ sẽ ổn định nếu một trong hai điều sau được thoả mãn:

a) Tồn tại ma trận vuông P R n xn xác định dương sao cho ma trận

Định lý 1.6 (Sylvester): Cần và đủ để ma trận vuông, đối xứng:

,

2 1

2 22

21

1 12

n

n n

q q

q

q q

q

q q

, 0

11 

22 21

12 11

q q

33 32 31

23 22 21

13 12 11

q q q

q q q

Tất nhiên rằng định lý Sylvester nêu trên cũng được sử dụng để xác

định tính xác định âm của một ma trận Q bằng cách kiểm tra xem ma trận -Q

có xác định dương hay không Nếu -Q xá định dương thì Q xác định âm

Ví dụ 1.4 Minh hoạ tiêu chuẩn Lyapunov

Xét hệ mô tả bởi:

u x

x a b

b a dt

b a a b

b a

0 1

2a

q P

Theo định lý 1.6 thì hệ sẽ ổn định nếu như P xác định dương, tức là khi:

1.3 Phân tích tính điều khiển được

1.3.1 Khái niệm điều khiển được và điều khiển được hoàn toàn

Một nguyên tắc luôn phải tuân thủ khi đi tìm lời giải cho một bài toán,

có thể là một bài toán thuộc lĩnh vực kỹ thuật, nhưng cũng có thể thuộc các lĩnh vực khác như xã hội, kinh tế hay tự nhiên, là trước khi bắt tay vào công việc tìm kiếm lời giải ta phải xác định xem có thực sự tồn tại hay không lời giải của bài toán đó

Ở bài toán điều khiển cũng vậy Nói chung, một bài toán điều khiển có hai phần:

- Xác định những tín hiệu điều khiển u(t) để đưa hệ từ một điểm trạng

thái ban đầu không mong muốn tới một điểm trạng thái mong muốn khác Ví

dụ, hệ đang làm việc ổn định ở trạng thái cân bằng x T thì có một tín hiệu nhiễu tác động vào hệ làm cho hệ ra khỏi điểm làm việc cân bằng đó và chuyển tới

một điểm trạng thái x 0 không mong muốn nào đó Nhiệm vụ của điều khiển là

phải tìm tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ từ x 0 quay trở về điểm trạng thái

cân bằng x T ban đầu trong một khoảng thời gian hữu hạn (hình 1.3)

- Tìm trong số những tín hiệu

u(t) đã xác định được một (hoặc nhiều)

tín hiệu mang đến cho quá trình chuyển

dổi đó một chất lượng như đã yêu cầu

Chẳng hạn trong số các tín hiệu có khả

năng đưa hệ từ x 0 về lại được x T thì phải

xác định một tín hiệu sao cho với nó, chi

phí cho quá trình chuyển đổi là thấp nhất

Như vậy, rõ ràng ta chỉ có thể thực sự điều khiển được hệ thống nếu

như đã tìm được ít nhất một tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ từ điểm trạng thái đầu x 0 tới được điểm trạng thái đích x T trong khoảng thời gian hữu hạn Điều này phụ thuộc hoàn toàn vào bản chất động học của từng hệ thống Không phải mọi hệ thống hay đối tượng tồn tại trong tự nhiên có khả năng động học là đưa được về trạng thái mong muốn Một hệ thống có khả năng

đưa được từ điểm trạng thái x 0 về trạng thái x T được gọi là hệ điều khiển được

(hoàn toàn) tại x 0

Định nghĩa 1.1 Một hệ thống tuyến tính, liên tục được gọi là điều

khiển được nếu tồn tại ít nhất một tín hiệu điều khiển đưa được nó từ một

điểm trạng thái ban đầu x 0 (tuỳ ý) để được gốc tọa độ 0 trong khoảng thời

ax u

x

x b

a dt

x

d

2

1 2

1 1

0 0

x thì x 1 (t)cũng vẫn tiến tới 0 khi a có phần thực âm, tức

là hệ cũng có thể tự về được gốc toạ độ, nhưng trong một khoảng thời gian vô hạn

1.3.2 Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được cho hệ tham số hằng

Xét hệ tuyến tính tham số hằng mô tả bởi:

R B R

1 Tiêu chuẩn Hautus

Định lý 1.7 (Hautus): Cần và đủ để hệ tuyến tính (1.5) điều khiển được là:

Rank(sI - A,B) = n với mọi sC

0

) ( 0

x

cũng có nghiệm u(t) và ngược lại Điều này cũng phù hợp với nội dung

của phần giải thích thứ ba cho định nghĩa 1.1 ở mục trước rằng hệ điều khiển

được tại x 0 , khi và chỉ khi nó đạt tới được x 0 Do đó để chứng minh định lý ta

sẽ chỉ rằng:

Rank (sI - A, B) = n  s

là điều kiện cần và đủ để mọi điểm x 0 trong không gian trạng thái đạt tới được

Gọi X(s) là ảnh Laplace của x(t) và U(s) là ảnh của u(t) Chuyển hai vế của (1.5) sang miền phức với toán tử Laplace, trong đó giá trị đầu của x(t) được giả thiết là bằng 0 và giá trị cuối x 0 của nó là tuý ý, ta được:

Vì x 0 là tuỳ ý nên X(s) cũng là tuỳ ý Xem các ma trận (sI-A)và B như những ánh xạ tuyến tính thì rõ ràng (1.6) có nghiệm U khi và chỉ khi:

Im(sI-A)  Im(B)

và để điều đó không phụ thuộc s thì ta phải có:

Rank (sI-A, B) =n với mọi s C

Ví dụ 1.5 Minh hoạ tiêu chuẩn Hautus

Tính không điều khiển được của hệ được nhận biết trực quan từ chỗ

x 1 (t) không phụ thuộc u(t) và do đó u(t) không điều khiển được x 1 (t) Ma trận

A và B của hệ có dạng:

, 0

0 0

b s

a s

Như vậy nếu s = a thì:

Rank (sI-A, B) = 1 < 2

và do đó hệ không điều khiển được

Bên cạnh tiêu chuẩn Hautus, một tiêu chuẩn khác cũng rất được ưu

dùng là tiêu chuẩn Kalman

Khái niệm điều khiển cũng được Kalman định nghĩa năm 1960 và cùng với định nghĩa đó ông đã đưa ra tiêu chuẩn xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính tham số hằng

2 Tiêu chuẩn Kalman

Định lý 1.8 (Kalman): Cần và đủ để hệ tuyến tính (1.5) điều khiển

d u B e x

0

(1.7)

nên hệ sẽ điều khiển được khi và chỉ khi phương trình trên với x 0 tuỳ ý

cho trước luôn có ít nhất một nghiệm u(t)

Theo định lý 3.9, cụ thể là công thức (3.22) [Lý thuyết điều khiển nâng cao – Nguyễn Doãn Phước,tr259] được suy ra từ định lý Cayley - Hamilton thì:

 a t I a t A a t A  B B

) ( ,

t a B A AB B

n

n  (1.8)

0 0

1 0

) (

) ( ,

.

t z

t n

t

n

d u t a

d u t a

B A AB B x

Tiêu chuẩn Kalman còn có thể được suy ra từ ý nghĩa hình học của đại

số tuyến tính như sau: Một không gian vector con V trong R n

được gọi là bất biến với A nếu:

dt

x

Điều này chỉ mọi rằng quỹ đạo trạng

thái x(t), tức là nghiệm của (1.5), có điều kiện

đầu x(0) = x 0 thuộc V sẽ luôn có vector tiếp

tuyến nằm trong V Như vậy bản thân x(t)

Với không gian V bất biến này, ta có thể thấy ngay được điều kiện cần và

đủ để hệ tuyến tính (1.5) điều khiển được, tức là để với mọi x 0 R n cho trước

luôn tồn tại một tín hiệu điều khiển u(t) đưa hệ từ x 0 về gốc toạ độ trong khoảng

thời gian hữu hạn, phải là:

x b

a dt

x

d

B A

0 0 )

B Rank

Vậy hệ không điều khiển được

Ví dụ 1.8 Minh hoạ tiêu chuẩn Kalman

Cho hệ với mô hình trạng thái:

u b

b x

s s s

1

1

0

0 0

0 0

0 1

2 2 1 2 1 2

2 1 2 2

2 0

) , ,

(

b s b s b

b s b s b

b s b

B A AB

B

Ma trận vuông này có định thức:

0 ) (

2 0

3 2 2 3 2 3

2 2 1 2 1 2

2 1 2

b s b s b

b s b s b

b s b

Nên

Rank (B, AB, A 2 B) = 3

Vậy hệ là điều khiển được

1.4 Phân tích tính quan sát được

1.4.1 Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn

Trong bài toán điều khiển người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi các tín hiệu trạng thái hoặc các tín hiệu ra Vấn đề muốn nói ở đây không phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào để thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó Tất nhiên rằng ta phải đo chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi

Thông thường, việc xác định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là

đo trực tiếp nhờ các thiết bị cảm biến (sensor) Song không phải mọi tín hiệu đều có thể đo được một cách trực tiếp Rất nhiều các tín hiệu chỉ có thể có được một cách gián tiếp thông qua những tín hiệu đo được khác….Chẳng hạn:

- Gia tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong một khoảng thời gian

- Giá trị công suất có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp

Để thống nhất chung, người ta sử dụng khái niệm quan sát một tín hiệu

để chỉ công việc xác định tín hiệu một cách gián tiếp thông qua các tín hiệu

đo được khác (thường là các tín hiệu vào/ra)

Định nghĩa 1.2 Một hệ thống có tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t)

được gọi là:

a) Quan sát được tại thời điểm t 0, nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn

T>t 0 để điểm trạng thái x(t) = x 0 xác định được một cách chính xác thông qua

vector các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t 0 , T]

b) Quan sát được hoàn toàn tại thời điểm t 0 , nếu với mọi T>t 0, điểm

trạng thái x 0 = x(t 0 ) luôn xác định được một cách chính xác từ vector các tín

hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t 0 , T]

Chú ý: Yêu cầu phải đo trong khoảng thời gian hữu hạn là rất quan

trọng Khoảng thời gian quan sát càng ngắn sẽ càng tốt cho công việc điều

khiển sau này Nếu thời gian quan sát quá lớn, điểm trạng thái x 0 vừa xác định

được sẽ mất ý nghĩa ứng dụng cho bài toán điều khiển, ví dụ khi có được x 0

thì có thể hệ đã chuyển đến một điểm trạng thái mới cách rất xa điểm trạng

thái x 0

1.4.2 Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính

Một cách tổng quát, sau đây ta sẽ xét hệ tuyến tính có thể không dừng với:

y

u t B x t A dt

x

d

) ( ) (

(1.10)

trong đó n n

R t

A( )   , n m

R t

B( )   , r n

R t

C( )   , r m

R t

D( )   là những ma trận

có phần tử có thể là hàm số phụ thuộc t

Định lý 1.9 Hệ không dừng (1.10) sẽ

a) Quan sát được tại t 0 khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một giá trị T>t 0 hữu

hạn sao cho các vector cột của ma trận C(t)(t-t 0 ) độc lập tuyến tính trong

khoảng thời gian t 0 t<T

b) Quan sát được hoàn toàn tại t 0 khi và chỉ khi với mọi giá trị T>t 0, các

vector cột của ma trận C(t)(t-t 0 ) độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian t 0 t<T

t t t

x

0

) ( ) ( )

( )

Thay vào phương thứ hai được:

u t D d u B t t C x t t t C t

y

t

).

(

) ( ) ( ( )

( ) ( )

(

0 0

0 x C t t B u d D t u y t t

t t C

Theo định nghĩa 1.2, hệ (1.10) quan sát được tại t 0 nếu tồn tại một

khoảng thời gian hữu hạn [t 0 , T] để x(t 0 )=x 0 xác định được từ u(t) và y(t) khi t 0

t<T Điều này đồng nghĩa với việc phương trình (1.11) có nghiệm x 0 duy nhất

Do chỉ có thành phần C(t)(t-t 0 ) x 0 chứa x 0 nên (1.11) sẽ có nghiệm x 0

duy nhất nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn T>t 0 sao cho các vector cột

của C(t)(t-t 0 ) không phụ thuộc tuyến tính trong toàn bộ khoảng [t 0 , T] và đó

chính là điều phải chứng minh

u B x dt

x

d

1 1 , 1

0 0

1 0

trong đó B, D là hai ma trận tuỳ ý Hệ có:

, 1 0

1 ) (

0 0

Bởi vậy:

1 0

1 1 1 , 1 )

t t t

1

0

0 0

t t

t t

t t

Khi t 0 là tuỳ ý, ta chọn T>t 0 và T>1 Hai (vector) cột của C t  (tt0)sẽ

độc lập tuyến tính trong khoảng 1< t<T, tức là sẽ không phụ thuộc tuyến tính trên toàn bộ khoảng [t 0 , T], bởi vậy hệ quan sát được t 0 Khi t 0>1 hai cột của

hệ C t  (tt0) sẽ độc lập tuyến tính trong mọi khoảng [t 0 , T] có t 0 <T, nên tại

t 0>1 hệ không những quan sát được mà còn quan sát được hoàn toàn

Định lý 1.10 Nếu hệ không dừng (1.10) quan sát được tại thời điểm t 0

nếu tồn tại T 1 >t 0 hữu hạn sao cho các vector cột của C  (tt0)không phụ

thuộc tuyến tính trên tòn khoảng [t 0 , T 1 ] Vì C là ma trận hằng nên  (tt0)là thành phần duy nhất phụ thuộc t trong tích C (tt0) Do  (tt0) không suy

biến với mọi t (định lý 3.12 – Lý thuyết điều khiển nâng cao, Nguyễn Doãn Phước tr263) nên điều này cũng đúng với mọi khoảng [t 0 , T 1 ], trong đó T là số tuỳ ý lớn hơn t 0

u x t dt

x

d

1 , 1

2

1 1 0 0

Theo kết quả của ví dụ 3.11 thì hệ này có:

e

e

t e t

0 2 2

(hằng số) khi t≤1 khi t>1

0 0

2 0

2 1

1

2 0

2 0 0

t t t t t

t t

t

t t t

t

e e t t e e

e t t e t

2 0

0

0 0

t t e

e e t

t

t t

t t t t

hằng số

với mọi t nên chúng độc lập tuyến tính với nhau trong mọi khoảng [t 0 ,

T 1] Nói cách khác hai cột của Ctt0 là độc lập tuyến tính với mọi t[t 0 ,

T 1] và do đó hệ là quan sát được hoàn toàn

Định lý 1.11: Nếu hệ không dừng (1.10) quan sát được tại thời điểm t 0

thì nó cũng quan sát được mọi thời điểm t0

Chứng minh:

Khi hệ (1.10) quan sát được tại t 0 thì sẽ tồn tại một giá trị hữu hạn T>t 0

để các vector cột của ma trận C t  (t0t1)độc lập tuyến tính trong khoảng thời

gian t 0 t<T

Xét tại một thời điểm t 10 bất kỳ, từ định lý 1.10 về tính chất của (t), ta có:

 t (t0 t1) C t (t0 t1) (t0 t1)

Nhưng do  (t0t1)là ma trận hằng không suy biến nên các vector cột của

ma trận hàm C t  (t0t1)cũng vì thế mà độc lập tuyến tính trong khoảng thời

gian t 1 t<T Bởi vậy theo định lý 1.9, hệ quan sát được tại thời điểm t 1 (đ.p.c.m)

Trên cơ sở định lý 1.11 thì riêng đối với hệ tuyến tính, từ nay về sau ta

sẽ nói ngắn gọn là hệ quan sát được thay vì hệ quan sát được tại điểm thời gian t 0

1.4.3 Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham

y

u B x A dt

y

u C x A dt

x

d

T T

T T

(1.13)

được gọi là hệ đối ngẫu với hệ (1.12) đã cho

Có thể thấy ngay được là từ là ma trận truyền đạt của hệ (1.12):

D B A sI C s

G( )  (  ) 

ta cũng có ma trận truyền đạt G T (s)cho hệ đối ngẫu (1.13) với nó

Định lý 1.12: Hệ tham số hằng (1.12) quan sát được khi và chỉ khi hệ

(1.13) đối ngẫu với nó điều khiển được

Chứng minh:

Nếu hệ (1.12) quan sát được tại T *

thì theo định lý 1.9, các vector cột của )

(

) (t T Ce A t T

Ce ( *)  T( *)

là độc lập tuyến tính Vậy theo định lý 1.9, hệ (1.13) điều khiển được Chứng minh tương tự ta có điều ngược lại là khi hệ (1.12) điều khiển được thì hệ (1.13) sẽ quan sát được

Dựa vào nội dung định lý 1.12 và cùng với các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính tham số hằng đã biết, ta sẽ có:

Định lý 1.13: Cho hệ tham số hằng (1.12) Các phát biểu sau là tương

a)  b): Theo định lý 1.12, để hệ (1.12) quan sát được thì cần và đủ là

hệ (1.13) điều khiển được Tiếp tục, với định lý 1.6 về tiêu chuẩn Hautus thì

hệ (1.13) điều khiển được khi và chỉ khi:

n C A sI Rank(  T, T)  với mọi s

Suy ra:

n C

A sI Rank C

A sI

a)  c): Để hệ (1.12) quan sát được thì cần và đủ là hệ (1.13) điều khiển được và theo định lý 1.7 của Kalman, điều đó tương đương với:

n C A C

A C Rank T T T n T T 

) ) ( , , ,

A C

A

n

T T n

T

Rank )

( , , ,

C Rank



Ví dụ 1.11 Minh hoạ định lý 1.13

Cho hệ tham số hằng mô tả bởi:

u x

2 1

1 0

3 1 0

4 0 1

2 0 0

1 0 1

Sử dụng tiêu chuẩn Kalman để kiểm tra tính quan sát được ta thấy:

, 1 1 0

1 0 1

1 1 0

3 1 0

4 0 1

2 0 0

1 1 0

1 0 1

1 1 1

3 1 0

4 0 1

2 0 0

7 1 1

1 1 0 2

CA

Do đó:

3

15 7 1

1 1 1

7 1 1

1 1 0

1 1 0

1 0 1

CA C

Vậy hệ là quan sát được

Chương 2

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI TỐI ƯU

2.1 Phương pháp biến phân

2.1.1 Nội dung phương pháp

Biến phân là một phương pháp được xây dựng từ điều kiện cần phải

có của nghiệm tối ưu u(t) của bài toán tối ưu động, liên tục, có khoảng thời gian T xác định, cho trước và không bị ràng buộc bởi điều kiện U, hoặc nếu có bị ràng buộc thì tập U của các (vector) tín hiệu điều khiển thích hợp phải là một tập hở

Ý tưởng chính của biến phân có thể được tóm tắt như sau:

- Từ giả thiết u(t) là tín hiệu điều khiển tối ưu, x(t) là quỹ đạo trạng thái tối ưu, người ta xây dựng một tín hiệu điều khiển khác có một sai lệch nhỏ so với nó là:

)()

Và xem u ~ t( ) chưa phải là tín hiệu tối ưu

- Tiếp theo, người ta giả thiết quỹ đạo trạng thái ~ t x( )do u ~ t( ) tạo ra cho hệ thống cũng chỉ có một sai lệch rất nhỏ so với quỹ đạo trạng thái tối ưu )

x

d   , A R nxn , B R nxm (2.4)

Xét bài toán tìm bộ điều khiển R tĩnh, phản hồi trạng thái để điều khiển

đối tượng (2.4) Mục đích của phương pháp thiết kế bộ điều khiển R sao cho sau khi bị nhiễu đánh bật ra khỏi điểm cân bằng (hoặc điểm làm việc ) đến

một điểm trạng thái x 0 nào đó, bộ điều khiển R sẽ kéo được hệ từ x 0về toạ độ 0 (hay điểm làm việc cũ) và trong quá trình trở lại này sự tổn hao năng lượng,

đánh giá bởi phiếm hàm mục tiêu:

0

min )

Giả sử u(t) là tín hiệu điều khiển được tạo ra bởi R đã thoả mãn điều

kiện tối ưu (2.5), tức là trong số tất cả các tín hiệu u ~ t( ) đưa hệ từ x 0 về gốc toạ

độ 0 thì u(t) sẽ là vector tín hiệu mà:

        

0 0

)

~

~

~ ( 2

1

~ )

( 2

1

dt u F u x E x u

Q dt u F u x E x u

như x(t) nên

0 ) ( )

0

) (

2





Trừ vế với vế của (2.8) và (2.6) được:

Để kết hợp được điều kiện biên (2.7) với (2.9) ta tạo ra tích vô hướng của

vector 0 trong (2.7) bằng cách nhân hai vế của nó với một vector p T bất kỳ:

0)

T

B A

A dt

d p E u E

u T x T

x A p dt

p d F

u B p

T u

T T x

) (

)



dt E

x A p dt

p d F

u B

T u

T T

2

1 ) (A x B u x E x u F u p

1 u r

H u

H u

Chú ý: Ký hiệu đạo hàm được sử dụng là đạo hàm Jacobi:

T

L x d

L x

trong đó H là hàm Hamilton định nghĩa theo (2.11) Ngoài ra, cùng với

ký hiệu của hàm Hamilton thì:

T

p

H dt

x d

H dt

p d

và chúng được gọi là phương trình Euler - Lagrange

Định lý 2.2: Nếu u(t) là tín hiệu điều khiển tối ưu thì tín hiệu đó phải

thoả mãn:

u(t) = F -1 B T p(t)

2.1.2 Ứng dụng phương pháp biến phân để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu

1 Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương

Xét hệ có mô hình (2.4), thông thường, nếu hệ ổn định thì khi không bị kích thích hệ sẽ luôn có xu hướng tiến về điểm trạng thái cân bằng

(equilibrium point), tức là điểm mà khi không có tác động từ bên ngoài (u =0)

hệ sẽ nằm nguyên tại đó (  0 )

dt

x d

Như vậy rõ ràng điểm trạng thái cân bằng phải là nghiệm của:

0



x

A

và nếu có giả thiết A là ma trận không suy biến thì hệ tuyến tính (2.4)

luôn chỉ có một điểm cân bằng là gốc toạ độ 0

R

u B x A dt x

Xét bài toán tìm bộ điều khiển R tĩnh, phản hồi trạng thái để điều khiển

đối tượng (2.4) Phương pháp thiết kế khác sao cho sau khi bị nhiễu đánh bật

ra khỏi điểm cân bằng (hoặc điểm làm việc ) đến một điểm trạng thái x 0 nào

đó, bộ điều khiển R sẽ kéo được hệ từ x 0về toạ độ 0 (hay điểm làm việc cũ) và

trong quá trình trở lại này sự tổn hao năng lượng, đánh giá bởi phiếm hàm

mục tiêu:

0

min )

( 2

1 ,u x E x u F u dt

x

là nhỏ nhất Bài toán này còn có tên gọi là LQR (linear quadratic regulator)

Để bài toán có nghiệm, trong (2.12) ma trận E được giả thiết là ma trận đối xứng không xác định không âm và F là ma trận đối xứng xác định dương,

tức là:

và

a T Fa =0 khi và chỉ khi a =0

Do mục đích đặt ra của bài toán có chứa nhiệm vụ là bộ điều khiển phải

đưa hệ đi được từ mọi điểm trạng thái ban đầu tuỳ ý x 0 về gốc toạ độ 0 (hay điểm

trạng thái làm việc cũ) nên nếu tồn tại một bộ điều khiển R thoả mãn nhiệm vụ đặt ra, thì chắc chắn R sẽ làm cho hệ kín ổn định (theo nghĩa Lyapunov) Nói cách khác với R tìm được, ma trận A+BR của hệ kín (phản hồi dương):

w B x BR A dt

x

d  (  ) 

sẽ có các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo

Định lý 2.2 của tín hiệu điều khiển tối ưu chỉ ra rằng giữa tín hiệu u(t) tối ưu và biến đồng trạng thái p(t) có quan hệ tĩnh Do khi w(t)=0 thì giữa u(t)

và vector trạng thái x(t) cũng có một quan hệ tĩnh:

u(t) = Rx(t)

nên giữa p(t) và x(t) cũng phải có quan hệ tĩnh tương ứng Nếu gọi quan

hệ đó là: