Bài tập chương 6: Lý thuyết cơ bản về thấm

Thủy lực công trình_Bài tập chương Thấm

Thí dụ 6.1 : Một tầng chứa nước không bị chặn có hệ số chứa nước S = 0,13, diện tích 30 km2 Nếu vào mùa nắng mực nước ngầm sụt xuống 1,5 m.Xác định lượng nước bị mất từ tầng chứa nước

Giải : Thể tích nước mất đi do sự hạ thấp mực nước ngầm là:

30 x 106 x 1,5 x 0,13 = 5,85 106 m3

Thí dụ 6.2: Xét ống hình trụ thẳng đứng (hình 6.3), nước được cung cấp vào ống để giữ mực nước

mặt thoáng cố định và cách lớp đất thấm một đoạn là y=6cm Lớp đất thấm có chiều dài L=2m, hệ số thấm k=1,1x10-3cm/s cuối ống hình trụ có đặt một ống tháo nước có miệng vòi ngang với mặt đáy của lớp đất thấm tính vận tốc thấm

Giải: Chọn mặt đáy lớp thấm làm mặt chuẩn và áp suất tại

đây bằng không vì miệng của ống tháo nước ngang với mặt đáy Cột nước đo áp tại mặt trên của lớp đất thấm là:

H1 = 2 + 0,06 = 2,06 m Aùp dụng phương trình (6.12), vận tốc thấm qua lớp đất là :

V =

2

06 , 2 0 10 1 ,

 x  = 1,13 x 10-3 cm/s

Thí dụ 6.3: Một dòng thấm có áp qua môt lớp đất đồng chất và đẳng hướng có hệ số

thấm k = 3x10-4 m/s như hình 6.6 Biết y1 = 6 m, y2 = 4 m, H1 = 10 m, H2 = 7 m và L=400 m Xác định đường cột nước đo áp và lưu lượng thấm trên 1m dài (thẳng góc với trang giấy ) của lớp đất

Giải:

H 1

H2

y2

y1

L

x

b

Hình 6.6

Tầng không thấm Đưởng cột nước thủy lực

Tầng không thấm

h Tầng thấm

k

dx

y = 6cm

L = 2 m

Lớp đất thấm

Hình 6.3

Bề dầy lớp đất thấm b x 6 0,005x

400

) 4 6 (

Phương trình (6.23) cho trường hợp dòng chảy ổn định qua lớp đất đồng chất và đẳng hướng theo phương x

hay (6 0,005 ) 0













dx

dh x dx

d

(6.25)

dx

dh

0,005 ) 6

(

) 005 , 0 6

Adx dh



 => h A ln(60,005x)B

005 , 0 trong đó A và B là 2 hằng số được xác định từ điều kiện biên: x= 0, H1= 10 m và x=400 m, H2=7m

Phương trình của đường cột nước đo áp : ln(6 0,005 ) 3,26

005 , 0

037 , 0





Xét một mặt cắt cách gốc một đọan x, lưu lượng thấm q qua 1m dài của lớp đất là





















005 , 0

037 , 0 ) 005 , 0 6 (

10

dx

d x x

dx

dh

s m x x

q3 104.(0,037)0,111 104 2 /

Thí dụ 6.4: Một dãi đất rộng L = 1 Km, đồng chất và đẳng hướng nằm giữa hai con kênh song song

với nhau Độ sâu trong hai kênh là H1 = 12 m và H2 = 10 m Dãi đất có hệ số thấm k = 12 m/ngày, cả dãi đất và hai kênh đều nằm trên một tầng đất không thấm nằm ngang ( hình 6.7) Biết lượng mưa rơi trên dãi đất có cường độ P = 0,24 m/ ngày Xác định đường bão hoà của dòng thấm trong dãi đất và lưu lượng thấm trên một mét dài của kênh

Giải:

Chọn gốc tọa độ và phương ox như hình 6.7, phương trình (6.24) cho trường hợp dòng thấm ổn định, đồng chất đẳng hướng được viết lại :

H 1

H 2

Hình 6.7

h

h

o

x Đường bảo hòa

L

P

dx

x

q

0

dx

dh

b

dx

d































P dx

dh h dx

d

Tích phân lên có :

B Ax x k

P

Trong đó A và B là hằng số

Với điều kiện biên : h (0) = H1 và h (L) = H2 , các hằng số được xác địmh

k

PL L

H H

2 1 2

1

H

Thay vào (6.28)

k

Px L

x H H H

thay các giá trị của H1, H2, L , P và k vào (6.29) , có phương trình bão hoà

x x

12

24 , 0 1000

44 144

Xét một đoạn vi phân dx cách gốc o một dọan x, lưu lượng thấm qua đọan nầy là :

























2

2

h dx

d k dx

dh kh u

kh

trong đó ux là vận tốc thấm qua tại mặt cắt cách gốc đoạn x



















L

H H k q

2 2

2 2 2

Thay các giá trị của H1, H2, L , P và k vào (6.32), lưu lượng thấm qua dãi đất là :

2000

44

Phương trình (6.23) ứng với x = 0 sẽ cho lưu lượng thấm vào kênh có độ sâu H1 = 12 m trên 1m dài

q1 = -119,74 m2/ngày và ứng với x = 1000 m sẽ cho lưu lượng thấm vào kênh có độ sâu H2 = 10 m trên 1m dài

q2 = 120,26 m2/ngày Lưu lượng q1 có dấu âm vì chảy ngược chiều và vị trí mặt phân chia chiều dòng thấm được xác định bằng cách cho 0

dx

dh

hoặc q = 0, suy ra:

x = 498,9 m và h = 71,57 m

Thí dụ 6.5 : Một giếng phun có đường kính d =30 cm được đào vào một tầng đất thấm bị chặn sâu

30m Sau một thời gian dài bơm với lưu lượng Q = 1200 lít/ phút, dòng thấm vào giếng ổn định Người ta quan sát mực nước 2 giếng cách giếng bơm một bán kính r1 = 20m và r2 = 45m thấy chiều sâu hút nước lần lượt là s1 = 2,2 m và s1= 1,8 m Xác định hệ số dẫn nước T và mực nước hạ thấp trong giếng bơmho

Giải

Từ (6.35) có:

















1 2

2 1

2

r

r Ln T

Q h h



hay















1 2

2 2

1

r

r Ln T

Q s s



suy ra













1 2

2 2

r Ln s s

Q T



Thay số vào :















20

45 8

, 1 2 , 2 2

10

Ln T

Thí dụ 6.6: Xác định độ hạ thấp cột nước đo áp trong một lớp đất bị chặn tại vị trí cách tâm giếng r1

= 0,3m và r2 = 25m sau 7 giờ bơm với lưu lượng không đổi Q = 0,0315 m3/s Lớp đất thấm có hệ số chứa nước S= 0,001 và hệ số dẫn nước T = 0,0094 m2/s

Giải: Từ (6.48) có :

8 2

3600 7 0094 , 0 4

001 0 3 ,





4 2

3600 7 0094 , 0 4

001 0





u

Aùp dụng (6.49) và chỉ cần lấy 2 số hạn đầu tiên vì u1 và u2 khá nhỏ (< 0,01), độ hạ thấp cột nước đo áp sau 7 giờ bơm là :

10 499 , 9

1 ln

0094 , 0 4

0315 , 0



























10 596 , 6

1 ln

0094 , 0 4

0315 , 0



























Ví dụ 6.7 : Một đập đất có hệ số thấm k = 2m/ngày đêm Mái dốc thượng lưu m = 4 và hạ lưu m1 =

1 Thượng lưu chứa nước ở độ sâu H = 15m Biết đáy đập rộng l = 110 m và hạ lưu đập không có nước Xác định lưu lượng thấm qua một đơn vị chiều dài đập

Giải: Từ (6.54) có :





1 4 2

4

Khoảng cách Lo từ vị trí nước thấm vào mái dốc thượng lưu đến chân mái dốc hạ lưu :

L0 = 110 – 4 15 = 50 m Chiếu cao a0 của dòng thấm ra ở mái dốc hạ lưu (6.60)

1

15 1 ) 15 444 , 0 50 ( ) 15 444 , 0 50

0











Lưu lượng thấm trên một đơn vị chiều dài đập (6.58)

1

02 , 2 2



q = 4,04 m2/ngày đêm

Ví dụ 6.8: Một đập bêtông có bề rộng 60m, thượng lưu chứa nước có độ sâu 10m, hạ lưu không có

nước Đập được xây trên một tầng đất thấm nước đồng chất dầy 80m, với hệ số thấm là k = 10-4 m/s

Một hàng cừ được đóng ở giữa đáy đập sâu 35m để giảm lưu lượng thấm qua đập Xác định lưu lượng thấm qua đáy đập nếu xem dòng thấm chỉ ảnh hưởng trong phạm vi 105m về phía thượng lưu đập và 135m về phía hạ lưu đập

Giải: Miền thấm được rời rạc hóa thành ô lưới theo phương x có 31 điểm và theo phương z có 9

điểm, khoảng cách giữa các điểm x = z = 10m

Ta có giá trị cột nước đo áp h tại các điểm trên biên như sau:









z

h

u z









x

h

u x

Trên FG = 135 m và GH = 80 m: h = 0









z

h

u z

Trên IA = 80 m được xem như có cột nước thủy lực bằng H1: h = 10 m

H=10 m

B

D

H

I

Hình 6.13

Aùp dụng phương pháp sai phân hữu hạn theo sơ đồ sai phân trung tâm để giải phương trỉnh (6.55) Các giá trị đạo hàm riêng phần được viết dưới dạng sai phân như sau:

x

h h

x

j

j









2

, 1 , 1 ,

,























2 , 1 , , 1 2

, , 2

2

x

h h h

x

j

j

(6.67)

Tương tự























2

1 , , 1 , 2

, , 2

2

z

h h h

z

j

j

Thay (6.58) và (6.59) vào (6.55):

1, 2 ,2 1, , 1 2 ,2 , 10





































z

h h h

x

h h

(6.69)

Sắp xếp lại

1, 2 1, 2 12 12 , , 1 2 , 1 0































z

h h

h z x x

h

j j

i j i

(6.70) Từ (6.61) rút ra được giá trị cột nước thủy lực tại các nút i, j

1 , 1 , 2

, 1 , 1 2 2

2 2































z

h h

x

h h z x

z x

Tại mỗi điểm (i,j) ta có phương trình tuyến tính dạng (6.61) với các ẩn số là các cột nước thủy lực, như vậy với tất cả các điểm trong miền tính toán ta có một hệ phương trình tuyến tính, kết hợp với điều kiện biên ta có thể giải hệ phương trình này cho giá trị h tại các điểm trong miền thấm

Hệ phương trình tuyến tính này có thể giải bằng nhiều cách, ở đây dùng phương pháp lặp Gauss-Seidel để giải Trình tự như sau :

(i) Giả sử một giá trị hi,j trong toàn miền tính toán, ngoại trừ các điểm trên biên đã biết

giá trị h Thí dụ cho h1i,j = 0 ( chỉ số 1 trong ký hiệu chi bước tính 1) (ii) Dùng (6.58) để tính lại giá trị h2i,j cho toàn miền

(iii) So sánh h2i,j và h1i,j, tại tất cả các điểm, nếu h2i,j xấp xỉ h1i,j,thì dừng lại,

(iv) Nếu h2i,j và h1i,j không xấp xỉ thì thay h2i,j vào (6.58) và lập lại bước (ii) cho đến khi

đạt được điều kiện ở (iii)

Vận tốc thấm tại điểm (i,j) được tính từ công thức Darcy, bằng cách xấp xỉ:

x

h h

k x

h k

j

j x















2

, 1 , 1 ,

,

(6.72)

z

h h k z

h k

j

j z















2

1 , 1 , ,

,

(6.73)

Để xác định lưu lượng thấm dưới đáy đập, ta xác định lưu lượng thấm đi qua mặt cắt dưới hàng cừ, trên mặt cắt này chỉ có vận tốc thấm theo phương ngang

Kết quả tính toán vận tốc thấm tại các điểm trên mặt cắt này là:

u1 = 0,159x10-4 m/s u2 = 0,101x10-4 m/s u3 = 0,810x10-4 m/s

u4 = 0,743x10-4 m/s u5 = 0,101x10-4 m/s

Lưu lượng thấm trong 1 ngày đêm là: q = 39,006 m3/m ngàyđêm

Chương trình tính thí dụ trên được viết bằng ngôn ngữ Fortran và trình bày trong phụ lục

Thí dụ 6.9: Thể tích đất trung bình của một lớp đất bị chặn trên một diện tích 1 km2 là 3x10-7 m3 Hệ số chứa nước đo đạc tại vị trí của lớp đất có chiều dầy b = 50 m là S = 3,4.10-3 Xác định thể tích nước được trử vào trong lớp đất bị chặn có diện tích bề mặt 1 km2 khi cột nước áp suất giảm đi 25 m Nếu độ rỗng của đất là n = 0,30, tính tỉ lệ thể tích nước trử vào so với phần rỗng

Giải: Hệ số chứa nước riêng Ss :









50

10 4 ,

b

S

S s 6,8 10-5 m-1 Thể tích nước trử vào lớp đất có diên tích bề mặt 1 km2 là :

25 10 3 10 8 ,



(Chú ý rằng nếu chấp nhận S = 3,4x10-3 áp dụng cho toàn bộ lớp đất bị chặn, thì khối nước trử vào lớp đất có diện tích bề mặt 1 km2 sẽ là : 3,4.104 x 1 km2 x 25 = 8,5.104 m2 Kết qủa nầy sai

vì đã không kể đến ảnh hưởng của bề dầy của lớp bị chặn đến hệ số chứa nước S)

Thể tích phần rỗng của lớp đất bị chặn có bề mặt diện tích 1 km2 :

W = 3.107 0, 30 = 0,9 107 m3

Tỉ lệ thể tích nước trử vào so với phần rỗng:





4

10 9 , 0

10 1 , 5

W

w

Thí dụ 6.10: Hệ số thấm của nước đo được của một loại đất là k = 4,8.10-4 cm/s Xác định hệ số thấm thực của loại đất đó và hệ số thấm khi chất lỏng là dầu Biết nước có trọng lượng riêng là 1g/cm3 và độ nhớt độg lực là 1 centi-poise Dầu có trọng lượng riêng là 0,73 g/cm3 và độ nhớt động lực là 1,8 centi-poise

Giải: Từ phương trình (6.10) , hệ số thấm thực của đất:





) / ( 981 )

/ ( 1

)) /(

( 01 , 0 ) / ( 10 8 ,

s cm cm

g

cms g s

cm g

k

k i





4,89 10-9 cm2

Hệ số thấm đối với dầu (6.10) :



018 , 0

981 73 , 0 10

89

,

dau

Thí dụ 6.11 : Ống đo áp như hình vẽ được dùng

để đo cột nước đo áp trong lớp đất 3, mực nước

trong ống đo áp cao 6,1 m Lớp đất 1 có mực nươcù

ngầm cao 2 m, lớp đất 2 có bề dầy 3m và có hệ số

thấm k = 7,2 10-5 cm/s Xác định lưu lượng thấm

qua lớp đất 2 trên một đơn vị diện tích bề mặt

Giải : Từ (6.12) , vận tốc thấm qua lớp đất 2 là :

3

1 , 6 ) 3 2 ( ) / ( 10

2

,



V

= 2,64.10-7m/s

3m 2m

Mực nước ngầm 6,1m

Lớp 2 Lớp 1

Lớp 3

k

Hình 6.14

Vậy lưu lượng thấm qua một đơn vị diện tích bề mặt sẽ là 2,64 10-7 m3/(s m2) theo chiều từ dưới lên

Thí dụ 6.12: Xem một dòng thấm ngang trên n lớp

đất song song có hệ số thấm khác nhau như hình

Chứng tỏ rằng có thể thay hệ số thấm ktd tương

đương cho n lớp:









i i

n

i i i td

a

k a k

1 1

Giải:

Lưu lượng thấm trên một đơn vị bề rộng là:

L

h h k a L

h h k a L

h h

k

a

2 2 1 2

1

1























n

i i

i k a L

h h q

1

1 2

Nếu gọi ktd là hệ số thấm tương đương thì lưu lượng thấm trên một đơn vị bề rộng là :

td n

i

i k a L

h h















1

1 2

So sánh ta có :











n

i i

n

i i i td

a

k a k

1 1

Thí dụ 6.13 Hai con kênh song song có mực nước chênh nhau

1,3 m và cách nhau 10m Người ta thấy lưu lượng thấm giữa 2

kênh qua một lớp đất thấm đồng chất dầy 4m trên một đơn vị

chiều dài kênh là 1,82 10-5 m3/(ms) Để giảm lưu lượng thấm

giữa 2 kênh, trên thành kênh bị thấm người ta đắp một lớp

đất dầy 4 cm có hệ số thấm k = 1,4.10-5 cm/s ( hình vẽ) Xác

định lưu lượng thấm giảm được trên 1 km dài của kênh

Giải :

Vận tốc thấm khi chưa đắp lớp đất chống thấm :

V = 1,82.10-5/ 4 = 4,55 10-6 m/s

Hệ số thấm của lớp đất giữa hai kênh







3 , 1

10 10 55 ,

d

Tầng không thấm

Tầng không thấm

a1

a2

an

L

h 2

h1

Hình 6.15

k1

k2

k n

1,3m

Tầng không thấm

Hình 6.16

4 m

k d

Vì tieât dieôn thaâm khođng ñoơi neđn vaôn toâc thaâm qua lôùp ñaât choâng thaâm vaø qua lôùp ñaât giöõa 2 keđnh baỉng nhau Gói h laø ñoô cheđnh coôt nöôùc ño aùp qua lôùp ñaât choâng thaâm, ta coù vaôn voâc thaâm qu a lôùp ñaât naăy laø :

04 , 0 10 4 ,

vaø vaôn toâc thaâm qua lôùp ñaât giöõa hai keđnh laø:

10

) 3 , 1 ( 10 5 ,

Hay

10

) 3 , 1 ( 10 5 , 3 04 , 0 10 4 ,









10

10 5 , 3 04 , 0

10 4 , 1

10 / 10 5 , 3 3 , 1

5 7

5

Vaôn toâc thaẫm qua lôùp ñaât choâng thaâm :

04 , 0

65 , 0 10 4 ,



Löu löôïng thaâm qua chieău 1 km chieău daøi keđnh

q = 22,75 10-7 4 1000 = 9,1 10-3 m3/(s km) Vaôy löu löôïng thaâm giạm ñöôïc laø :

q = 1,82 10-5 1000 - 9,1 10-3 = 9,1 10-3 m3/(s km)

BAØI TAÔP 6.1 : Chöùng toû raỉng ñoô roêng n coù theơ tính theo cođng thöùc sau:

s

b

n







 1

Trong ñoù  b vaø  s laø khoâi löôïng rieđng cụa phaăn ñaịc vaø khoâi löôïng

rieđng cụa toaøn khoâi Xaùc ñònh ñoô roêng cụa vaôt lieôu coù  b = 1,42

g/cm3 vaø  s = 2,68 g/cm3

ÑS : n = 0,74

6.2 Ñeơ xaùc ñònh heô soâ thaâm trong phoøng thí nghieôm, ngöôøi ta duøng

moôt dúng cú nhö hình veõ Trong ñoù h0 laø möïc nöôùc ôû luùc baĩt ñaău

thí nghieôm ( t = 0), h laø möïc nöôùc sau thôøi gian t, L laø chieău daăy

lôùp ñaât caăn xaùc ñònh heô soâ thaâm Chöøng toû raỉng heô soâ thaâm ñöôïc

suy ra töø bieơu thöùc :

h

h At

aL

6.3 Hai bình chöùa hình trú noâi vôùi nhau baỉng moôt oâng chöùa ñaăy caùt, ñöôøng kính 3cm vaø daøi 2m, heô

soâ thaâm cụa caùt k = 9,1 x 10-4 cm/s Tieât dieôn ngang cụa bình lôùn vaø bình nhoû laăn löôït laø 1000 cm2

h o

h

Tieât dieôn A

Tieât dieôn a

L

Hình 6.17

và 250 cm2 Nếu chiều sâu của nước trong bình lớn 40cm và trong bình nhỏ là 10cm vào thời điểm t=0, tìm thời gian để mực nước trong bình lớn còn lại 35cm

ĐS: 129 ngày

6.4 Một dòng thấm qua hai lớp đất có chiều dài La, Lb và

hệ số thấm ka, kb như hình vẽ Chứng tỏ rằng có thể thay

bằng một lớp đất đồng chất có hệ số thấm tương đương ktd

b b a a

b a td

k

L k L

L L k







6.5: Làm lại thí dụ 6.13 bằng cách dùng hệ số thấm tương đương của bài 6.4

6.6 Một dòng thấm qua một lớp đất thấm không đồng chất, thẳng đứng, trong đó hệ số thấm thay đổi

dọc theo dòng chảy với k(x) = ko e(x/L), ko là hệ số thấm tại x = 0 và L là chiều dài của lớp đất thấm cho k0 = 0,019 cm/s, L=1,3m và sự khác biệt cột nước thủy lực trên chiều dài L là 3m Tính vận tốc thấm và vẽ sự phân bố cột nước áp suất dọc theo lớp đất thấm biết vận tốc thấm không đổi dọc theo chiều dài thấm

ĐS: V=2,55x10-2 cm/s

6.7 Một giếng nước ngầm thường có đường kính d=30cm có độ sâu hút nước s=4m, độ sâu nước bão

hòa H=14m, bán kính ảnh hưởng R=400m, hệ số thấm k=10m/ngày đêm Xác định lưu lượng của giếng

ĐS: Q = 4,42 lít/s

6.8 Một giếng nước ngầm thường có đường kính d=30cm, độ sâu nước bão hòa H =16m khi chưa

bơm , Biết bán kính ảnh hưởng R=300 m, hệ số thấm k=10m/ngày đêm Khi lưu lượng của giếng lấy lên là 10l/s xác định độ sâu lớp nước bão hòa h cách giếng bán kính r=100m

ĐS: h = 13,96 m/s

6.9 Để xác định hệ số thấm, người ta khoan một giếng tiêu nước ngầm thường có d=0,2m người ta

đổ vào giếng một lưu lượng Q=0,87 lít/s thì mực nước trong giếng nâng cao lên một đoạn s=5,66m Cách giếng các khoảng r1 = 2,5 m và r2 = 10 m người ta khoan hai lỗ kiểm tra và đo thấy mực nước ngầm dâng cao thêm một đoạn s1 = 1,51 m và s2 = 0,37 m m Biết mực nước ngầm bão hòabình thường có bề dầy H=5,75m xác định hệ số thấm của đất và bán kính ảnh hưởng

6.10 Người ta đào một hố móng hình tròn đường kính a=20m, đáy hố móng nằm trên một tầng

không thấm có mực nước ngầm trong hố sâu h=0,3m Tính lưu lượng nước thấm vào hố và vẽ đường bão hòa ứng với các khoảng cách x=3m, 10m, 25m, 75m, 150m, kể từ mép hố trở ra

Cho biết độ sâu tầng bão H=4m và giới hạn ảnh hưởng thấm của hố là L=150m kể từ mép hố móng Hệ số thấm của đất là k=15m/ngày đêm

Hình 6.18