hình thành cho học sinh trung học phổ thông một số kiến thức về phép bcdv trong quá trình dạy học toán

Những kiến thức chỉ nhằm cung cấp phơng tiện để giải một số loại bài tậpnào đó mà không cần thiết cho cuộc sống cũng nh cho việc học tập tiếp theo bịloại bỏ để không gây nặng nề cho HS,

Chơng 2 một số biện pháp nhằm hình thành cho HS thpt một số kiến thức về phép bcdv trong quá trình dạy học Toán.

2.1 Đặc điểm chơng trình môn Toán THPT

2.1.1 Một số đặc điểm đổi mới chơng trình giáo dục THPT môn Toán

Khác với chơng trình và SGK cũ, chơng trình mới phân chia hệ giáo dụcTHPT thành hai chơng trình với hai ban, chơng trình chuẩn cho HS đại trà và ch-

ơng trình nâng cao với HS ban khoa học tự nhiên SGK vì vậy cũng đợc biên soạnthành hai quyển tơng ứng

Chơng trình môn Toán nâng cao nặng hơn, cao hơn so với chơng trìnhchuẩn Việc suy luận đợc tăng cờng thông qua các biện pháp sau: Một là, bổsung một số kiến thức về lí thuyết hỗ trợ cho việc suy luận Chẳng hạn, ở chơngtrình nâng cao HS đợc học đầy đủ các phép biến đổi lợng giác (biến đổi tổngthành tích, tích thành tổng), trong khi ở chơng trình chuẩn chỉ học biến đổi biểuthức asinx + bcosx Hai là, trong những phần và nội dung lí thuyết hai chơngtrình nh nhau thì các bài tập của chơng trình nâng cao cũng khó hơn, đòi hỏi kĩnăng suy luận nhiều hơn

Hơn nữa, số tiết học dành cho chơng trình nâng cao cũng nhiều hơn so vớichơng trình chuẩn

Dới đây là một số đặc điểm chơng trình giáo dục THPT môn Toán:

2.1.1.1 Tăng cờng tính thực tiễn và tính s phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt chẽ về lý thuyết.

Tiếp nối một số kiến thức ban đầu về Thống kê mô tả ở bậc Trung học cơ

sở, HS THPT đợc cung cấp những hiểu biết về xác suất và thống kê một cách hệthống hơn và gắn với thực tiễn trong xã hội nớc ta

Những kiến thức chỉ nhằm cung cấp phơng tiện để giải một số loại bài tậpnào đó mà không cần thiết cho cuộc sống cũng nh cho việc học tập tiếp theo bịloại bỏ để không gây nặng nề cho HS, không làm cho việc giải bài tập Toán trởnên quá khó

2.1.1.2 Xây dựng nội dung chơng trình đáp ứng mục tiêu môn học, đồng thời chú ý đáp ứng yêu cầu của một số môn học khác nh Vật lí, Sinh học

Ngay từ đầu lớp 12 môn Vật lí đã cần đến khái niệm đạo hàm, do đó phần

đạo hàm HS đợc học ở lớp 11 Tơng tự, đầu lớp 12 môn Sinh học cần đến khái

niệm xác suất nên nội dung này đợc đa vào lớp 11 Một số vấn đề đợc tinh giản,dành chỗ cho những nội dung cần đa lên trớc, đồng thời bổ sung một số nội dung

mà các chơng trình trớc đây còn thiếu

2.1.1.3 Hội nhập

Các kiến thức đợc đa vào chơng trình giáo dục THPT phù hợp ở một mức

độ nhất định so với mặt bằng kiến thức chung bậc THPT của các nớc trên thếgiới Một số vấn đề, trớc đây khi chỉnh lí hợp nhất đã bắt đầu đa vào nh xác suất,

tổ hợp thì bây giờ cùng với thống kê lập thành một hệ thống các kiến thức cónhiều ứng dụng thực tiễn Ngoài ra trong việc trình bày hệ thống số trớc đây chỉdừng lại ở số thực, bây giờ đợc hoàn chỉnh hệ thống số bằng cách đa vào kháiniệm số phức

2.1.2 Một số đặc điểm đổi mới của SGK THPT môn Toán:

Đại số 10:

SGK Đại số 10 ngoài những chơng cũ còn có thêm hai chơng mới là thống

kê, cung và góc lợng giác và công thức lợng giác

Trong chơng trình SGK Đại số 10, HS đợc học một cách có hệ thống cácvấn đề chủ yếu trong môn Đại số ở bậc trung học cơ sở là ph ơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình

Lần đầu tiên, bài tập trắc nghiệm đợc đa vào SGK

Hình học 10:

Chơng trình Hình học 10 bổ sung thêm một số kiến thức về hình họcphẳng đã học ở cấp Trung học cơ sở, đặc biệt là về vectơ và phơng pháp toạ độ

đầu của SGK Đại số và giải tích 11

Chơng trình chuẩn môn Đại số và giải tích mới gồm ba phần:

Phần I Lợng giác

Phần II Tổ hợp – Xác suấtPhần III Dãy số – Giới hạn - Đạo hàmPhần thứ nhất hoàn thành môn Lợng giác.

Phần thứ hai, lần đầu đợc đa vào chơng trình lớp 11, giúp HS sớm tiếp cậnvới Toán ứng dụng

Đại số tổ hợp, trớc kia là chơng cuối của Giải tích 12, nay đợc đa vào lớp

11 để làm cơ sở cho việc trình bày lí thuyết xác suất

Phần thứ ba là mở đầu của Giải tích

Chơng đạo hàm, trớc đây học ở lớp 12, nay đợc đa xuống lớp 11 nhằmphục vụ cho việc học Vật lí, Hoá học Hai chơng "Dãy số – Cấp số cộng và cấp

số nhân" và "Giới hạn" trình bày cơ sở của Giải tích

Chơng hàm số mũ và hàm số lôgarit đợc chuyển sang lớp 12 cho nên ở đâycha nói đến đạo hàm của các hàm số này

Cũng nh vậy, phần ứng dụng hình học của đạo hàm không đợc học tiếpngay ở đây mà chuyển sang lớp 12

Giải tích lớp 12 :

HS lớp 12 đợc học thêm một số nội dung mới nh :

Mở rộng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Đa vào một số kiến thức cơ bản về số phức Chơng đạo hàm và đại số tổ hợp đợc chuyển xuống lớp 11, thay vào

đó là chơng hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit và chơng số phức

Hình học 12 :

SGK Hình học 12 gồm 3 chơng, nội dung gồm có :

Phần I : Hình học không gian đợc nghiên cứu bằng phơng pháp tổng hợpgồm có 2 chơng : Chơng I nghiên cứu về khối đa diện và chơng II nghiên cứu vềcác mặt và các khối tròn xoay

Phần II : Phơng pháp toạ độ trong không gian nghiên cứu điểm, đờngthẳng và mặt phẳng bằng toạ đọ và phơng trình của chúng

2.2 Các định hớng nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán

2.2.1 Định hớng 1: Trong điều kiện có thể, khi dạy học môn Toán, cần làm cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn

Đây là việc làm cần thiết của ngời thầy trong quá trình dạy học Toán, đặcbiệt là trong giai đoạn hiện nay, nó góp phần làm tăng tính thực tiễn của Toán

học, làm cho HS thấy rằng Toán học gần gũi với đời sống hơn Dạy học Toán là

điều kiện thuận lợi để ngời thầy có thể làm cho HS thấy giữa Toán học và thựctiễn có mối quan hệ qua lại với nhau, không tách rời nhau; nó là câu trả lời chonhững thắc mắc ngây thơ nhng đáng để suy nghĩ của HS nh "Học cái này dùng

để làm gì nhỉ?", "Cái này liên quan nh thế nào đến cuộc sống hàng ngày củachúng ta?" Điều đó cũng có nguyên nhân của nó Cũng có khi chúng ta cứ chorằng nhiệm vụ của mình là làm sao truyền thụ đợc các kiến thức Toán học trongchơng trình SGK không thôi, còn những điều đó HS có thể tự rút ra trong cuộcsống; cũng có khi chúng ta cứ đổ lỗi cho thời lợng giảng bài ở trên lớp không đủ

để cho chúng ta làm việc đó Việc đổi mới SGK hiện nay một phần khắc phụcnhững hạn chế của chơng trình SGK cũ là đã cố gắng đa Toán học gần gũi vớithực tế hơn Bằng chứng là đã có những phần đọc thêm nói về các nhà Toán họccùng những phát minh nổi tiếng của họ, đã có nhiều hơn những bài Toán ứngdụng vào thực tiễn

Tuy nhiên muốn thực hiện đợc định hớng này, ngời thầy phải biết kết hợp

đan xen giữa việc truyền thụ tri thức và việc làm cho mối liên hệ giữa Toán họcvới thực tiễn trở nên rõ ràng hơn một cách hợp lý Muốn vậy ngời thầy phải khéoléo, phải bằng những kinh nghiệm giảng dạy của mình, bằng những biện pháp sphạm để làm rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học, làm rõ sự phản ánh thực tiễncủa Toán học cũng nh làm rõ những ứng dụng thực tiễn của Toán học trong quátrình dạy học Toán

2.2.2 Định hớng 2: Trong quá trình dạy học Toán cần tổ chức cài đặt, lồng ghép một số kiến thức về phép BCDV một cách khéo léo để dần dần trang bị cho HS về thế giới quan DVBC, tức là cần xây dựng cơ sở khoa học để HS có thể nhận thức đợc các nguyên lý, các quy luật của phép DVBC.

Chẳng hạn khi dạy cho HS về hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc trong mặtphẳng ở lớp 10 và hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian ở lớp 12.Bên cạnh việc truyền thụ các kiến thức, GV cũng cần cài đặt, lồng ghép vào một

số vấn đề sau:

- Làm rõ sự hình thành và phát triển của hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc:Tia số (Số học – lớp 6), trục số hữu tỷ (Đại số – lớp 7), trục số thực và mặtphẳng toạ độ (Đại số – lớp 9), trục toạ độ và hệ trục toạ độ Đêcac vuông góctrong mặt phẳng (Hình học – lớp 10) và hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc trongkhông gian (Hình học – lớp 12)

- Cần cho HS thấy rằng mối quan hệ biện chứng giữa Đại số và Hình học.

- Nói qua về ngời sáng lập ra hệ trục toạ độ là Rơnê Đêcac (1596 –1650) Có thể nói qua về một số quan điểm duy vật về tự nhiên của ông và các

đóng góp của ông về lĩnh vực Toán học Chẳng hạn nh luận văn "hình học" –công trình nghiên cứu đầu tiên trong khoa học xét tới các đại lợng biến đổi vàhàm số Ông là ngời đầu tiên sáng lập môn hình học giải tích một cách độc lậpvới Pie Fecma (ngời cùng một nớc với ông) Cơ sở của môn này là phơng pháptoạ độ do ông phát minh (toạ độ Đêcac), nó cho phép ta đa những hình ảnh hìnhhọc về ngôn ngữ đại số tức là dạng phơng trình

Bằng cách đó, ta có thể thấy đợc lợi ích của việc làm trên bên cạnh việctruyền thụ tri thức nh sau:

- Thấy đợc quan điểm phát triển rút ra từ nguyên lý về sự phát triển củaphép DVBC, điều đó có nghĩa l khi xem xét các sự vật v hiện tà khi xem xét các sự vật và hiện t à khi xem xét các sự vật và hiện t ợng phải nhậnthức chúng trong sự phát triển, trong sự vận động của nó

- Thấy đợc quan điểm toàn diện trong nhận thức, tức là phải xem xét sự vậttrong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tính khácnhau của chính sự vật đó, xem xét nó trong mối quan hệ qua lại giữa sự vật đóvới các sự vật khác; cụ thể ở đây giữa các phân môn Toán học có mối liên hệqua lại với nhau

- Phần nào đó cung cấp cho HS một số quan điểm duy vật về thế giới (kiếnthức về Triết học mặc dù HS THPT cha đợc tiếp cận với môn học này), mặt kháckhi nói về cuộc đời của các nhà khoa học cũng sẽ làm tăng sự chú ý và gây hứngthú trong học tập cho HS hơn

2.2.3 Định hớng 3: Tổ chức những hoạt động Toán học thích hợp (phát hiện,

mở rộng, đào sâu, nâng cao ), vận dụng linh hoạt các thao tác t duy (khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự) trong quá trình dạy học Toán nhằm giúp HS t duy theo các quy luật của lôgic biện chứng, tức là góp phần vào việc bồi dỡng

t duy biện chứng cho HS.

Trong quá trình dạy học Toán, ngời thầy cần tổ chức những hoạt độngToán học thích hợp giúp HS biết phát hiện ra những vấn đề mới, những bài Toán

mới, hoặc giúp HS nhìn thấy đợc sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau Nhờ đó

HS có thể biết suy nghĩ tìm tòi để có thể mở rộng, đào sâu thêm kiến thức, bằng

cách nêu lên và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tơng tự,

hoặc đi sâu vào những trờng hợp đặc biệt, có ý nghĩa về mặt nào đó (kết quả lý

thú, có ứng dụng thực tế, v.v )

Khi dạy học, ngời thầy cần nhấn mạnh rằng có những kiến thức Toán học

hiện tại là mở rộng, tổng quát hoá những kiến thức Toán học trớc đây Chẳng hạn

"tỷ số lợng giác của góc bất kỳ" ở lớp 10 là mở rộng của "tỷ số lợng giác của gócbất kỳ" ở lớp 8, hệ thức lợng trong tam giác thờng là mở rộng của hệ thức lợngtrong tam giác vuông Có khi, sau một vấn đề tổng quát, chúng ta lại đi sâu vàomột số trờng hợp đặc biệt, chẳng hạn sau khi học lôgarit nói chung, chúng ta lại

đề cập đến trờng hợp đặc biệt là lôgarit thập phân (logarit với cơ số đặc biệt là10), có nhiều ứng dụng thực tế Sau khi học tổng quát về dãy số, chúng ta đi sâuvào hai dãy số quan trọng: cấp số cộng và cấp số nhân

Trong hình học không gian, chúng ta thấy rất nhiều kết quả tơng tự với kếtquả trong hình học phẳng Ví dụ định lý: "Hai mặt phẳng cùng song song với mặtphẳng thứ ba thì song song với nhau" tơng tự với định lý "Hai đờng thẳng cùngsong song với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau" Có thể kể ra rất nhiều

định lý tơng tự nh vậy

Nhng Toán học phát triển không chỉ ở chỗ phát hiện ra ngày càng nhiềunhững sự kiện mới, mà cùng với điều đó, bản chất của nhiều vấn đề đợc sáng tỏ,

mối liên hệ và sự thống nhất giữa nhiều sự kiện (mà trớc đó tởng nh xa lạ, có khi

có vẻ nh mâu thuẫn) đợc xác lập Chẳng hạn khi học về sự mở rộng khái niệm về

số mũ của luỹ thừa, đi đến luỹ thừa với số mũ hữu tỉ, thì phép khai căn (mà trớc

đó đợc xem là một phép Toán ngợc với phép nâng lên luỹ thừa) cũng là một phépnâng lên luỹ thừa, và trong nhiều trờng hợp, nếu chuyển các phép tính về cănthức sang phép tính về luỹ thừa (với số mũ hữu tỉ) thì việc tính Toán sẽ thuận tiệnhơn

Cần cho HS thấy, để giải một bài Toán chúng ta phải biết phối hợp nhiều

phơng pháp nh đặc biệt hoá, tổng quát hoá, nhiều khi cần tìm cách liên hệ nó với

một bài Toán tơng tự đơn giản hơn, rồi vận dụng kết quả hoặc phơng pháp giảicủa bài Toán tơng tự này để giải bài Toán đã cho Lấy thí dụ bài Toán hình họckhông gian sau:

"Cho hai nửa mặt phẳng cắt nhau (P), (Q) giao tuyến là  và một đờngthẳng d cắt (P) và (Q) Một đờng thẳng di động, luôn song song với d, cắt (P),(Q) ở A và B Tìm quỹ tích trung điểm M của AB"

Ta có thể liên hệ bài Toán này với bài Toán tơng tự trong hình học phẳng bằng cách thay từ "mặt phẳng" bởi "đờng thẳng" : " Cho hai nửa đờng thẳng p, q cắt nhau tai I và một đờng thẳng d cắt p và q Một đờng thẳng di động, luôn song song với d, cắt p, q ở A và B Tìm quỹ tích trung điểm M của AB" Bài Toán này rất đơn giản: Quỹ tích là nửa đờng thẳng IM

I

P Q

I

p q

Bây giờ ta tìm cách đa bài Toán đã cho về bài Toán tơng tự này: Ta xét tr-ờng hợp đặc biệt khi đtr-ờng thẳng di động nằm trong mặt phẳng (R) chứa đtr-ờng thẳng d cắt  ở I (R) cắt (P), (Q) theo hai đờng thẳng p, q Trong (R), quỹ tích

là nửa đờng thẳng IM (bài Toán tơng tự) Cho (R) di động song song với chính

nó, thì IM vạch nên nửa mặt phẳng (, M) và đó là quỹ tích phải tìm

2.2.4 Định hớng 4: Đến một chừng mực nào đó, HS đã có một số kiến thức về DVBC (ở dạng ẩn tàng), tập cho HS biết cách vận dụng chúng vào việc học các khái niệm, các định lí và giải các bài tập Toán.

SGK mới hiện hành đã phần nào tránh đợc việc áp đặt kiến thức cũng nh tránh các suy luận lôgic chặt chẽ nhng quá phức tạp khi trình bày các khái niệm

và định lý Vì vậy khi mà HS đã đợc trang bị phần nào các kiến thức về phép BCDV thì ngợc lại sẽ giúp các em tiếp thu đợc các khái niệm và định lý trong SGK một cách dễ dàng hơn Các em sẽ hiểu đợc vì sao SGK lại trình bày từ các

ví dụ cụ thể rồi đi đến khái niệm tổng quát, chẳng qua là chúng đợc đa vào theo

con đờng từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng mà thôi Các phép chứng

minh phức tạp đợc giảm nhẹ đến mức tối đa, đôi khi chỉ còn là việc rút ra kết luận từ hình ảnh trực quan Chẳng hạn: Trong chơng II sách đại số 10 nâng cao – NXB GD 2006, việc khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng phơng pháp đại

số mặc dù có đợc giới thiệu, nhng trên thực tế, các kết quả khảo sát hàm số này

đều đợc suy ra từ đồ thị (điều này lý giải tại sao nhiều bài Toán yêu cầu HS vẽ đồ

P

d d



thị trớc rồi mới suy ra sự biến thiên) Do đó HS có thể rút ra các tính chất củahàm số thông qua đồ thị

Khi đứng trớc một bài Toán, để định hớng và tìm tòi lời giải phải biết nhìnnhận nó dới nhiều góc độ, phải xem xét nó có mối liên hệ nh rhế nào với các bàiToán đã từng giải, phải nhìn nhận mối liên hệ giữa các yếu tố trong giả thiết bàiToán, giữa giả thiết và kết luận của bài Toán; tức là HS đợc hiểu đợc quan điểmtoàn diện trong nhận thức

Hoặc có những lớp bài Toán mà đờng lối giải của chúng có nguồn gốc lànhững suy luận mang tính chất có quy luật Chẳng hạn khi giải các bài Toán chứanhiều đại lợng thay đổi (nhiều ẩn) thì thông thờng ta tìm cách chuyển về bàiToán chứa ít đại lợng biến đổi hơn Ngợc lại, có những bài Toán chứa ít ẩn nhngkhó giải vì tính chất phức tạp của các biểu thức có mặt trong bài Toán đó ta lạiphải tìm cách chuyển về bài Toán nhiều ẩn nhiều phơng trình hơn Nh vậy cónghĩa là đã phần nào hiểu đợc mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hìnhthức hoặc quy luật "lợng đổi – chất đổi", tức là "chịu thiệt về "mặt lợng" nhng

đợc về "mặt chất"" (Nguyễn Thái Hoè)

2.2.5 Định hớng 5: Góp phần vào việc làm tăng hứng thú học tập cho HS, vào phơng pháp học tập tích cực của HS và vào việc đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay.

Việc đổi mới SGK hiện nay tuy còn cha thật hoàn thiện nhng đang là cơhội thuận tiện để ngời thầy có thể suy nghĩ tự tìm tòi cho mình những phơngpháp dạy học tích cực, có hiệu quả Trớc đây SGK đợc viết theo lối diễn giảng từ

đặt vấn đề đến trình bày các khái niệm mới, các định lí và những ví dụ áp dụng.Cách viết đó có hai nhợc điểm:

HS không hiểu đợc vấn đề đợc đa ra từ đâu và tại sao có vấn đề đó Nh vậymuốn hiểu và nắm đợc nội dung phần này, đòi hỏi phải có GV hớng dẫn, còn nếu

đọc SGK không thôi thì quá khó đối với HS Từ đó tạo cho thầy và trò thói quen

"thầy giảng, trò ghi", một phơng pháp dạy học không hiệu quả, không phát huy

đợc năng lực tìm tòi, tự học của HS

Với cách trình bày của SGK nh trên, chúng ta đã coi mọi đối tợng HS cótrình độ đồng đều nh nhau và không tác động đợc đến những HS có trình độ khácnhau Mọi đối tợng đều tiếp thu kiến thức mới theo đúng nh trình tự đã trình bàytrong SGK, cùng thụ động tiếp thu cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề nh nhau,không kích thích đợc năng lực tìm tòi và suy nghĩ sáng tạo của mỗi HS

SGK mới đã phần nào khắc phục đợc những nhợc điểm trên Sách đã chỉ racác hoạt động tại từng thời điểm để thầy và trò xem xét Những hoạt động này rất

đa dạng: Ôn kiến thức cũ, nêu lí do xuất hiện các khái niệm mới và nhất là đặtbài Toán để HS tự mình khám phá, giải quyết; nêu các ví dụ gợi ý phơng pháp,hoặc áp dụng trực tiếp lí thuyết, Thiết nghĩ đây là điều kiện thuận lợi để ngờithầy có thể thực hiện đợc mục đích góp phần vào việc làm tăng hứng thú học tậpcho HS, vào phơng pháp học tập tích cực của HS và vào việc đổi mới phơng phápdạy học Toán hiện nay Bởi có thể với cách dạy học nh trớc đây, HS có thể dễnhầm Toán học là kết quả thần tuý của hoạt động trí tuệ, tách rời với hiện thựckhách quan Giờ đây với những mẩu chuyện lịch sử Toán học, những bài Toándân gian hay những điều "có thể bạn cha biết" đã phần nào làm cho Toán học gầnvới đời sống hơn Song song với những cố gắng đó, trong quá trình dạy học Toán,ngời thầy biết đan xen những kiến thức về Triết học, những quy luật khách quancủa hiện thực, làm cho HS thấy đợc Toán học luôn gắn liền với thực tiễn

2.3 Một số biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán.

2.3.1 Biện pháp 1: Làm cho HS thấy rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học trong quá trình dạy học Toán.

Ngay từ thời con ngời còn sống bầy đàn, hái lợm, săn bắn để nuôi thân,nhu cầu cuộc sống đòi hỏi con ngời phải so sánh các tập hợp, ví dụ so sánh cáctập hợp những ngời lao động với tập hợp công cụ lao động Phơng pháp so sánh

đầu tiên là đem phân phát cho mỗi ngời một công cụ, tức là thực hiện một đơn

ánh từ tập hợp công cụ vào tập hợp ngời; nhng làm ánh xạ trực tiếp nh vậy nhiềukhi rất phiền phức nên ngời ta cải tiến phơng pháp bằng cách dùng một tập hợptrung gian, chẳng hạn nh tập hợp các ngón tay, ngón chân; từ đó xuất hiện dần

các số tự nhiên coi nh công cụ của phép đếm Khi con ngời đã biết sản xuất thì

nhu cầu về cân đối, đồng bộ càng tăng, chỉ đếm cha đủ, cần phải cân, đong, đo,

so sánh, sắp xếp thứ tự: đo độ dài, so sánh gần xa, ớc lợng diện tích, so sánh tonhỏ, đong thể tích, cân trọng lợng, so sánh nhiều ít, xác định phơng hớng vớiphép đo góc v.v Lúc đầu nhu cầu chính xác còn thấp, số lợng việc đong, đo, ớclợng cha nhiều, ngời ta có thể đong, đo trực tiếp hoặc ớc lợng bằng kinh nghiệm

nh dùng nớc hay cát để đong mà so sánh các thể tích Dù sao, việc đong, đo đãlàm nảy sinh nhu cầu phải nghiên cứu các hình, phải bổ sung vào các số tự nhiên

một loại số mới là phân số Việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lũ lụt của

sông Nil (Ai Cập), khiến cho lu vực sông Nil là cái nôi sinh ra môn hình học;

việc sử dụng cát để đong nhiều khi lại thuận lợi hơn là dùng nớc hay chất lỏngnào khác vì dụng cụ chứa cát có thể không thật kín mà cát vẫn không chảy rangoài; có lẽ vì vậy mà ngày xa đã có mục từ "hình học cát"

Khi sản xuất phát triển đến mức ngoài việc tự cung, tự cấp còn dôi ra đểtrao đổi, hình thành nên hàng hoá để lu thông, nh vậy thì yêu cầu cân, đo, đong,

đếm càng phát triển và càng đòi hỏi chính xác, không thể làm trực tiếp, lại khóbằng lòng với mức độ chính xác thấp của ớc lợng; trớc tình hình đó, ngời ta bắt

đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lợng xuất hiện trong cùng mộtvấn đề và từ đó rút ra kết luận là không nhất thiết phải cân, đo, đếm tất cả nhữngtập hợp, đại lợng cần cân, đong, đo, đếm mà chỉ cần làm cho một số nào đó rồidùng lý lẽ mà suy ra các kết quả khác Từ đó, trong hình học xuất hiện lý luận về

so sánh các hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳng hay góc nào đó (ví dụ nhtròng hợp bằng nhau hay đồng dạng của các tam giác), quy tắc tính diện tích, thểtích một số hình đơn giản, quen thuộc theo một số đoạn thẳng nào đó (cạnh,chiều cao, v.v )

Rõ ràng Toán học bắt nguồn từ nhu cầu thực tiễn Ngày nay ngời ta có dịpchiêm ngỡng kim tự tháp, đền đài, lăng tẩm, mà ngời xa để lại cũng là do cóToán học Do nhu cầu xây dựng của các vua chúa lúc bấy giờ mà Toán học pháttriển ngày càng hoàn thiện hơn

Nguồn gốc thực tiễn của Toán học cũng gắn liền với nguồn gốc ra đời của

nó Cũng cần cho HS biết đợc công lao to lớn của các nhà Toán học gắn với sự ra

đời các kiến thức Toán học Trong điều kiện có thể khi dạy học các khái niệm,các định lý thì có thể nhắc đến nguồn gốc ra đời của chúng

Chẳng hạn nh khi học về định lý Talet (Thalès) thì cũng cần nhắc cho HS

biết rằng Thalès (624 – 547 tr.CN) là "nhà Toán học đầu tiên của nhân loại".Ngời ta truyền rằng ông đo đợc chiều cao của kim tự tháp chỉ nhờ một cái gậythẳng và bóng của nó (tính chất tam giác đồng dạng)

HS Trung học ngày nay đều đã đợc học định lý Pitago nổi tiếng: "Trong

một tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền bằng tổng các bình phơng của haicạnh góc vuông" Cần cho HS biết rằng nó đợc biết đến bởi nhà Toán học HylạpPitago sống vào khoảng 580 – 500 tr.CN

Đêmôkrit (Démocrite 460 – 370 tr.CN) đã đa ra các khái niệm "vô cùng"

và chính nhờ quan niệm này mà ông đã tìm ra thể tích hình chóp và đã chứng

minh thể tích hình chóp bằng một phần ba thể tích hình trụ có cùng đáy và chiềucao.

Mennechme có khám phá nổi tiếng là tiết diện conic, ông đã tìm ra các

tính chất của parabol, hypebol và elip nhng thời đó ông cha dùng các từ này mà

mãi sau này Apollonius mới dùng đến các từ ấy

Aristote (384 – 322 tr.CN) là ngời đã nêu những phân biệt rõ ràng chính

xác thế nào là tiên đề, định nghĩa, giả thiết, Ông đã đa ra những khái niệm về liên tục, vô hạn, chuyển động,

Ơclit (Euclide thế kỷ thứ III tr.CN) nổi tiếng với tác phẩm "Eléments" gồm

13 tập, trong đó các tập 11, 12, 13 chủ yếu là về hình học không gian.

Tập 11: Có 39 mệnh đề, 28 định nghĩa mặt phẳng, mặt phẳng songsong, về các khối đồng dạng, các khối chóp, trụ cầu, lập phơng

p  

Ngoài ra ông còn ngiên cứu cách tính thể tích hình nón, hình trụ, hình hộp chữ nhật, hình chóp, hình chóp cụt, hình cầu, hình xuyến, các hình đa diện đều.

Nói về cách giải phơng trình bậc ba: x 3 + px = q không thể không nói đến

công lao của Girolamo Cardano (1501 – 1576) Việc giải phơng trình bậc ba đó

là một bớc tiến dài sau hàng nghìn năm phát triển môn Đại số kể từ thời

Babylone nhng nó cũng đa các nhà Toán học đến những vấn đề mới: số vô tỉ, số

âm, số ảo.

Khi HS học đến phần Lợng giác, cần nói đến công lao của nhà Toán học

BaLan Nicolas Copernic (1473 – 1543) đã góp phần tích cực thúc đẩy sự pháttriển môn Lợng giác dới thời Phục hng ở Châu Âu Ông đã để lại công trình nổitiếng về thiên văn nhng có chứa những chơng về lợng giác

HS THPT ngày nay đợc làm quen với thuật ngữ "quy nạp Toán học" ít đợc

biết rằng lần đầu tiên đợc Francisco Maurolico (1494 – 1575) phát biểu và ápdụng nguyên lý này là một nguyên lý do Levi Ben Gerson (thế kỷ XIV) đãnghiên cứu, về sau đợc A.De Morgan phổ biến từ thế kỷ XIX

HS THPT cũng đợc học định lí Viet (Viète) Francois Viète (1540 –

1603) nổi tiếng với quyển Đại số xuất bản năm 1591 Đây là một quển sách vớinhững sáng tạo trong việc dùng kí hiệu rõ ràng và ngày nay ngời ta dùng côngthức của ông về mối liên quan giữa nghiệm và hệ số của phơng trình bậc hai.Viet có lẽ là ngời đầu tiên nêu mối liên hệ chặt chẽ giữa Đại số và Lợng giác Ví

dụ xuất phát từ phơng trình x3 + 3px + q = 0 nếu dùng y = mx thay vào ta có mộtphơng trình mới y3 + 3pm3y + m3q = 0 trực giác thấy nó hao hao giống phơng

4

1 cos 4

3

với y = cos , 3pm2 = -3/4, m3q = cos3 Ta có thể xác định dễ dàng 3 rồi 

theo p, m, q Biết cos thì xác định đợc y rồi x

Cái tên Đêcac (René Déscartes) (1596 – 1650) đợc nhắc nhiều khi học

sinh học đến hệ toạ độ Đêcac vuông góc Ông đã phát minh ra cho nhân loại một

phơng pháp nghiên cứu Hình học mới kết hợp giữa Hình học và Đại số (Phơngpháp toạ độ) Ông là nhà Toán học đầu tiên đa ra phơng pháp xác định toạ độmột điểm bằng một hệ trục vuông góc và ông đã chứng minh rằng khi điểm nàychuyển động vạch nên một đờng thì mối quan hệ giữa x và y đợc thể hiện bằngf(x,y) = 0 Đây là ý nghĩ sản sinh ra môn Hình học giải tích và mối quan hệ hàmgiữa các đại lợng Triết học gọi đây là quan hệ biện chứng trong Toán học

HS lớp 12 đợc làm quen với khái niệm cực đại, cực tiểu, định lý Fermat

phải biết rằng Pierre de Fermat (1601 – 16650) là ngời sáng lập ra môn tính viphân, tích phân sau khi công bố tác phẩm "phơng pháp nghiên cứu cực đại và cựctiểu" Ông đã để lại định lý Fermat: "phơng trình xn + yn = zn chỉ có nghiệmnguyên với n  2" mà cho đến tận ngày nay cha ai chứng minh đợc

"Tam giác Pascal" lại nhắc HS lớp 11 nhớ đến nhà Toán học ngời Pháp

Blaise Pascal (1623 – 1662) Ông đã đặt nền móng cho môn xác suất thống kê

18 tuổi ông đã phát minh ra máy tính số học để giúp cha trong việc tính Toán

Cũng không thể không nhắc đến nhà Toán học Ơle (Leonhard Euler)(1707 – 1783) đã đặt đợc mối liên hệ giữa hàm lợng giác và hàm luỹ thừa bằngcông thức mang tên ông: cos + isin = ei

HS lớp 12 cũng không thể quên đợc định lý Lagrăng Nó nhắc đến nhà

Toán học ngời Pháp Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)

Một nhà Toán học ngời Pháp nữa mà tên ông đợc nhắc đi nhắc lại khánhiều trong quá trình học tập của HS Trung học đó là Augustin Cauchy (1789 –1857)

2.3.2 Biện pháp 2: Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của Toán học trong quá trình dạy học.

Khi dạy học các khái niệm dĩ nhiên chúng ta không thể nói tất cả các kháiniệm đó đều phản ánh thực tiễn, bởi vì "quá trình t duy có thể đẻ ra những kháiniệm không gắn trực tiếp với một cái gì trong thực tiễn"(Nguyễn Cảnh Toàn) Vìvậy trên quan điểm DVBC không có nghĩa là đòi hỏi mỗi khái niệm, mỗi định lý,mỗi công thức đều có một ý nghĩa thực tế trực tiếp Tuy nhiên dù sao các kháiniệm, định lý, công thức đó cũng đợc kích thích ra đời bởi nhu cầu thực tiễn vàcũng hớng vào cái đích thực tiễn Bởi vậy trong quá trình dạy học ngời thầy cũngcần làm rõ sự phản ánh thực tiễn của các kiến thức Toán học Dới đây là một số

ví dụ:

Khái niệm vectơ phản ánh những đại lợng đặc trng không phải chỉ bởi số

đo mà còn bởi hớng nữa nh lực, vận tốc,

Khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng nhng khác

nhau về độ lớn ví dụ nh các lá cây của một loại cây

Khái niệm phép dời hình phản ánh những sự muôn hình muôn vẻ của tự

nhiên, xã hội và con ngời Chẳng hạn nh sự đối xứng của các hình, của hai bàntay,

Khái niệm cung và góc lợng giác phản ánh những góc quay trong thực tế

không chỉ giới hạn ở một vòng quay (từ 00 đến 3600) mà còn lớn hơn nữa chẳnghạn nh vòng quay của bánh xe, của cánh quạt điện,

Khái niệm mệnh đề phản ánh những câu nói chỉ hoặc đúng hoặc sai trong

cuộc sống chứ không phải vừa đúng vừa sai, đồng thời nó phản ánh tính chínhxác của một khoa học là Toán học

Các phép Toán lôgic của mệnh đề: phép phủ định, phép hội, phép tuyển,

phép kéo theo, phép tơng đơng phản ánh tính đa dạng, biện chứng của cuộc sống

Khái niệm tập hợp phản ánh sự so sánh số lợng giữa các tập, so sánh tính

chất giữa tập này với tập khác

Khái niệm số gần đúng, sai số phản ánh các số liệu của các phép đo đạc,

tính Toán vì những lí do khách quan và chủ quan mà không thể đúng tuyệt đối100% Điều đó cũng nói lên tính chủ quan của con ngời khi xem xét các sự vật,

hiện tợng Từ đó con ngời cố gắng đa ra những biện pháp để khắc phục tính chủquan của mình bằng cách đa ra các khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tơng đối.

Khái niệm hàm số phản ánh sự tơng quan phụ thuộc giữa các đại lợng biến

thiên, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các sự vật, hiện tợng, mốiliên hệ lợng chất hay mối liên hệ nhân quả trong cuộc sống

Việc giải và biện luận đúng các phơng trình tham số, không bỏ sót một

tr-ờng hợp nào phản ánh t duy trong cuộc sống không đợc nhìn nhận sự việc mộtcách hời hợt mà phải xét hết tất cả các trờng hợp có thể xảy ra Có nh vậy mớihiểu sâu sắc đợc nó và từ đó có đợc hớng giải quyết đúng trong mọi vấn đề trongcuộc sống

Khái niệm thống kê phản ánh quá trình điều tra nghiên cứu một hiện tợng

kinh tế xã hội nào đó để từ đó đa ra những sự so sánh giữa các giai đoạn, các thờikì phát triển giúp ích cho sự tăng trởng kinh tế xã hội

2.3.3 Biện pháp 3: Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của Toán học trong quá trình dạy học.

Toán học vốn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn Chẳng hạn nh ứngdụng Lợng giác để đo những khoảng cách không thể đo trực tiếp đợc, ứng dụng

hệ thức trong tam giác để tính các đại lợng,

Muốn vậy cần cho HS tiếp cận với những bài Toán có nội dung thực tiễntrong khi học lý thuyết cũng nh làm bài tập

10) vào bài Toán thực tiễn:

Quy tắc hình bình hành của phép cộng hai vectơ (Hình học 10 nâng cao):

theo một góc nhọn, gần bằng 1/2 góc vuông đối với chiều gió thổi

Chuyển động này đợc thực hiện theo đờng dích dắc nhằm tới hớng cần đếncủa mục tiêu Để làm đợc điều đó ta đặt thuyền theo hớng TT' và đặt buồm theophơng BB' nh hình vẽ

Khi đó gió thổi tác động lên mặt buồm một lực Tổng hợp lực là lực f có

điểm đặt ở chính giữa buồm Lực f đợc phân tích thành hai lực: lực pvuông gócvới cánh buồm BB' và lực qtheo chiều dọc cánh buồm Ta có f = p+ q Lực q

này không đẩy buồm đi đâu cả vì lực cản của gió đối với buồm không đáng kể.Lúc đó chỉ còn lực pđẩy buồm dới một góc vuông Nh vậy khi có gió thổi, luônluôn có một lực p vuông góc với mặt phẳng BB' của buồm Lực pnày đợc phântích thành lực r vuông góc với sống thuyền và lực s dọc theo sống thuyền TT'

hớng về mũi thuyền Khi đó ta có p= s  r Lực r rất nhỏ so với lực cản rất lớncủa nớc, do thuyền buồm có sống thuyền rất sâu Chỉ còn lực s hớng về phía tr-

ớc dọc theo sống thuyền đẩy thuyền đi một góc nhọn ngợc với chiều gió thổi.Bằng cách đổi hớng thuyền theo con đờng dích dắc, thuyền có thể đi tới đích theohớng ngợc chiều gió mà không cần lực đẩy

vào bài Toán thực tiễn:

Định lý cosin trong tam giác (Hình học 10 NC):

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a2 = b2 +c2 – 2bccosA

b2 = a2 + c2 – 2accosB

c2 = a2 + b2 – 2abcosC

Định lý sin trong tam giác (Hình học 10 NC):

Với mọi tam giác ABC, ta có:

A

aB

R

C

c B

b A

a

2 sin sin

trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài Toán thực tiễn:

Bài Toán 1: Một hồ nớc nằm ở góc tạo bởi hai con đờng nh hình vẽ.

45 sin 4 , 20 sin

45

AB CB

17,4 (m)

Vậy chiều cao của cây là 17,4 m

độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng đợc đá lên; h

là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng giả thiết rằng quả bóng đợc đá từ độ cao1,2 m Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao6m (Hình vẽ)

O

h 8,5 6

4

1,2

t 2

1

Hãy xác định độ cao lớn nhất của quả bóng? Sau bao lâu thì quả bóng sẽchạm đất kể từ khi đá lên?

Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m nên f(1) = a+ b + 1,2 = 8,5

Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6 m, nghĩa là

3 , 7

b a b a

09 , 43

Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất) ?

43

y

x 162

10

Do đó f(x) =

-1520

43

x2 + 760

Bài Toán 1: Trên hai con đờng A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h)

của 30 chiếc ôtô trên mỗi con đờng nh sau:

Con đờng A: 60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72 67

88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65 73 76 Con đờng B: 76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79

Trên con đờng B: Số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn của mẫu sốliệu là: x 70,7 km/h ; s2 38,21 ; s  6,18 km/h.

Nhận xét: Lái xe trên con đờng B an toàn hơn trên con đờng A vì vận tốctrung bình của ôtô trên con đờng B nhỏ hơn trên con đờng A và độ lệch chuẩncủa ôtô trên con đờng B cũng nhỏ hơn trên con đờng A

Bài Toán 2:

Ngời ta tiến hành thăm dò ý kiến khách hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4, 5 của

một loại sản phẩm mới đợc sản xuất ở một nhà máy Dới đây là bảng phân bố tần

số theo số tín nhiệm dành cho các mẫu kể trên

Dễ thấy mốt của bảng phân bố tần số trên là 1

Do đó trong sản xuất nhà máy nên u tiên cho mẫu 1

2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho HS kỹ năng phát hiện những mối liên hệ giữa các đối tợng Toán học.

Phép DVBC chỉ rõ thế giới nh một chỉnh thể thống nhất Các sự vật, hiện ợng v các quá trình cấu th nh thế giới đó vừa tách biệt nhau, vừa có mối liên hệà khi xem xét các sự vật và hiện t à khi xem xét các sự vật và hiện tqua lại, thâm nhập v chuyển hoá lẫn nhau à khi xem xét các sự vật và hiện t

t-Vì vậy trong hoạt động học tập môn Toán cần tập cho HS nhận thức theoquan điểm toàn diện, nghĩa là chúng ta phải xem xét các đối tợng Toán học trongmối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tính khác nhaucủa chính sự vật đó; phải xem xét trong mối liên hệ qua lại giữa các sự vật đó vớicác sự vật khác Cần cho HS hiểu đợc giữa các đối tợng Toán học có mối liên hệvới nhau, và từ chỗ hiểu, nắm vững những mối liên hệ đó, HS biết vận dụng vàotrong quá trình học Toán một cách linh hoạt để có thể hiểu sâu sắc bản chất Toánhọc, giải quyết tốt các vấn đề Toán học

Muốn làm đợc điều đó, theo chúng tôi GV cần quan tâm đến những vấn đềsau:

Thứ nhất, cần cho HS thấy đợc mối liên hệ biện chứng giữa các phân môn trong nội bộ Toán học: Đại số và Hình học, Đại số và Lợng giác, Hình học và L- ợng giác, Đại số và Giải tích

chỉ cho HS thấy đợc mối quan hệ biện chứng giữa Hình học và Đại số Từ việcnắm vững mối quan hệ đó HS có thể áp dụng vào làm bài tập nh chuyển các bàiToán Hình học sang các bài Toán Đại số và ngợc lại chuyển các bài Toán Đại sốsang các bài Toán Hình học

Bài Toán 1:

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

m x

x x

x2   1  2   1  (1) Nếu một HS luôn ý thức đợc mối quan hệ biện chứng giữa Đại số và Hìnhhọc thì sau bớc biến đổi phơngtrình

m x

x x

2 2

2

3 2

1 2

3 2

sẽ liên hệ đến khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng toạ độ Cụ thể là

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét

2

3 2

2

3 2

y x y x y x

Trong tất cả các nghiệm của hệ, hãy tìm nghiệm sao cho A = x + y đạt giátrị lớn nhất

Nếu một HS luôn ý thức đợc mối quan hệ biện chứng giữa Đại số và Hìnhhọc thì sẽ nghĩ ngay đến phơng trình đờng tròn, và biến đổi hệ về dạng

(1)

x2 y2  4

Rõ ràng nghiệm của (1) là toạ độ những điểm thuộc miền ngoài của đờngtròn có phơng trình x2 + y2 = 4 (kể cả biên), nghiệm của (2) là toạ độ những điểmthuộc miền ngoài của đờng tròn có phơng trình (x-1)2 + (y-1)2 = 1(kể cả biên)

Ta vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy

thì miền nghiệm của hệ là miền gạch sọc

.

.

' '

CC BB AA

CI BI AI

Bằng cách đặt x = SIBC, y = SICA, z = SIAB (x + y + z = SABC) ta sẽ chuyển về

đợc bài Toán đại số: Chứng minh: ( ( )( )()3 ) 278

x z z y y x

với x, y, z > 0.Thật vậy:

Ta có:

z y x

x S

S AA

x AA

1

2

z y x

z y AA

x z BB

y x CC

) )(

)(

(

.

.

z y x

x z z y y x CC BB AA

CI BI AI

) )(

x z z y y x

x z z y x

z y z y x

y x z

y x

x z z y y x

3

1 )

(

) )(

(

) )(

x z z y y x

Vậy

27

8

.

.

' '

CC BB AA

CI BI AI

Trong quá trình dạy học, cần lu ý với HS rằng mối quan hệ giữa Đại số vàHình học còn thể hiện ở chỗ nếu nắm vững những kiến thức về Đại số thì sẽ tạothuận lợi cho việc nắm vững các kiến thức về Hình học và giải quyết tốt các bàiToán Hình học và ngợc lại Chẳng hạn nh khi giải các bài Toán cực trị Hình học,các bài Toán BĐT Hình học, HS sẽ không lúng túng trong việc chứng minh nếu

nh đã nắm vững những kiến thức về Đại số trớc đó Ví dụ:

MO

a AB

BM OA

b AB

AM OB

a OA

OA

b OB OB

a b

.

rằng nó có mối liên hệ với các môn khác chẳng hạn nh Đại số Có thể cho một số

ví dụ để chứng tỏ cho các em thấy điều đó Từ đó, các em ý thức đợc về mốiquan hệ giữa Đại số và Lợng giác, dẫn đến có cái nhìn biện chứng khi giải quyếtcác bài Toán Đại số và Lợng giác

Bài Toán 1: Giải hệ phơng trình : 

z z

z z

y y

y y

x x

2 2

2 2

(I)Nếu một HS luôn ý thức đợc mối quan hệ biện chứng giữa Đại số vàLuợng giác thì sau bớc biến đổi hệ

2

) 2 ( 1

2

) 1 ( 1

2

2 2 2

z x

y z

x y

Vậy hệ phơng trình đã cho có 7 nghiệm :

k t

§Æt u = sin2x, v = cos2x víi 0  u, v  1 vµ u + v = 1

u

 3

v

 3

Hàm y chứa tích của 5 thừa số không âm mà tổng của 5 thừa số đó không

3 5

2 3 2

số liên tục, cần cho HS thấy đợc mối quan hệ giữa Đại số và Giải tích Mối quan

hệ đó còn đợc thể hiện khi ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trịlớn nhất của hàm số, sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Nếu một HS luôn có ý thức về mối quan hệ giữa Lợng giác và Đại số thì

sau khi GV yêu cầu hãy chứng minh hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất là

16

1

thì sẽbiết sử dụng công cụ đạo hàm để giải bài Toán này Đặt y = x5 + (1-x)5

y' = 5x4 – 5(1 – x)4

= 5[x2 + (1 – x)2].[x2 - (1 – x)2] = 5(2x2 – 2x + 1)(2x – 1)

Do 2x2 – 2x + 1 > 0 , x nên y' = 0  x =

2

1

.Lập bảng:

y

16 1

và phơng pháp toạ độ có liên quan mật thiết với nhau ở bậc Trung học cơ sở HS

đợc học hình học bằng phơng pháp tổng hợp, khái niệm trục toạ độ, hệ trục toạ

độ đợc giới thiệu trong phần đại số ở lớp 10 đề cập đến vectơ và mở đầu về toạ

độ trong mặt phẳng, tiếp đó sử dụng công cụ mới này và phơng pháp Toán họcmới – phơng pháp vectơ để khảo sát các hệ thức lợng trong tam giác, đờng tròn

và đợc ứng dụng một phần để nghiên cứu một số phép biến hình ở lớp 11 Đếnlớp 11 HS đợc học hình học không gian bằng phơng pháp tổng hợp và phơngpháp vectơ Sang lớp 12 sử dụng vectơ để xây dựng hệ toạ độ trong không gian vànghiên cứu hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ Trong chơng trình hìnhhọc ở phổ thông, phơng pháp vectơ và phơng pháp toạ độ đợc xem là những ph-

ơng pháp Toán học cơ bản kết hợp với phơng pháp tổng hợp để nghiên cứu những

đối tợng và quan hệ hình học trên mặt phẳng và trong không gian

Nh vậy nội dung hình học trình bày ở SGK phổ thông đã tạo những mạchnối khớp giữa nội dung và hình thức Hình học tổng hợp là cơ sở nội dung, cơ sởtrực quan để trình bày phơng pháp vetơ hay nói cách khác ngôn ngữ vectơ là hìnhthức hoá nội dung của hình học tổng hợp vectơ là cơ sở trực quan của phơngpháp toạ độ hay nói cách khác ngôn ngữ toạ độ có cơ sở nội dung là phơng phápvectơ Cần lu ý HS một nội dung, một khái niệm hình học có thể diễn đạt theonhững ngôn ngữ, ký hiệu khác nhau Chẳng hạn:

- Quan hệ hình học M là trung điểm của đoạn thẳng AB

M là trung điểm của AB  MAMB 0 (Theo ngôn ngữ vectơ)

2

; 2

B A M B A M

y y y x x

với M (xM ; yM) , A (xA ; yA) , B (xB ; yB)

- Khái niệm đờng thẳng AB

Đờng thẳng AB  M /AM t AB,tR (Theo ngôn ngữ vectơ)

A A

B

A

y y

y y x x

x x y x

M( ; ) / (Theo ngôn ngữ toạ độ)với A (xA ; yA) , B (xB ; yB)

Có thể thấy rằng, cùng một tri thức Toán học có thể ẩn náu dới các vỏngôn ngữ khác nhau, và dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau

ấy có thể định hớng để tìm ra các phơng pháp khác nhau để giải quyết một bàiToán hình học Chẳng hạn, dựa vào cách diễn đạt khái niệm hai mặt phẳng vuônggóc với nhau trong không gian ta định hớng cách chứng minh 2 mặt phẳng vuônggóc

- Theo ngôn ngữ tổng hợp: Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc vớinhau ta chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng đó là một góc vuông

- Theo ngôn ngữ vectơ: Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau tachứng minh tích vô hớn của 2 vectơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng đó bằng 0

- Theo ngôn ngữ toạ độ: Để chứng minh 2 mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1

= 0 và A2x + B2y + C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau ta chứng minh A1A2 + B1B2

Ví dụ 1:

Việc dạy hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ ở lớp 12 cần liên hệchặt chẽ với những kiến thức hình học không gian lớp 11

Chẳng hạn: Khi dạy khái niệm “góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng” cầnchú ý: góc  giữa đờng thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đờng thẳng d vàhình chiếu của nó lên (P) Kí hiệu  là góc giữa d và một đờng thẳng d’ vuônggóc với (P) thì  và  là hai góc phụ nhau, do đó sin = cos Từ đó, ta có thểtính cos nếu biết một vectơ pháp tuyến n = (A;B;C) của (P) và một vectơ chỉphơng u = (a;b;c) của d rồi suy ra công thức tính sin của góc giữa d và mặtphẳng (P).

Ví dụ 2:

Bài Toán: Cho tam giác ABC và A’ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

(P) chứa cạnh BC Gọi , ,  là số đo của các góc BAC, ABA’, ACA’ Tìm số đocủa góc BA’C

Đây là một bài Toán hình học không gian lớp 11, lời giải sau phải huy

động kiến thức ở lớp 10 mà cụ thể là sử dụng định lý cosin trong tam giác:

áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos

Gọi x là số đo của góc BA’C áp dụng định lý cssin trong tam giác A’BC tacó:

BC2 = A’B2 + A’C2 – 2A’B.A’C.cosx,với AB =

1 sin

1

2 2

= AA’2(cot2 + cot2 - 2cot.cot.cosx)Suy ra 2cot.cot.cosx = cot2 -

1 cot

sin

1

2 2

=   (cos  1 ) 

sin

1 ) 1 (cos sin

2 2

cos 2

 2cot.cot.cosx = (cos sin sin )

sin sin

sin sin cos 

sin sin cos 

2.3.5 Biện pháp 5: Rèn luyện cho HS kỹ năng nhìn các đối tợng Toán học dới nhiều góc độ khác nhau.

Từ chỗ cho HS có thói quen nhìn các đối tợng Toán học trong mối liên hệvới nhau, tự khắc HS sẽ có thói quen nhìn chúng dới các góc độ khác nhau Vìvậy trong khi dạy Toán GV cần nhấn mạnh đến điều này Rèn luyện cho HS cáchnhìn các đối tợng Toán học dới nhiều góc độ khác nhau cũng là một cách tập cho

HS biết cách rút ra cho mình mối quan hệ giữa các cặp phạm trù của phép BCDV

nh mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, mối quan hệ giữa nội dung và hìnhthức đồng thời rèn luyện khả năng biết phân tích bài Toán

sẽ đa ra đợc nhiều cách giải khác nhau

tan2x + cot2x = (tanx + cotx)2 – 2

ta nghĩ ngay đến việc chọn ẩn phụ:

u = tanx + cotxKhi đó ta thu đựoc phơng trình đối với u có dạng:

u2 + 2u – 8 = 0Chỉ cần giải phơng trình tìm u rồi trở về tìm x

là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.

3 2 2

) 1 (

2 ).

1 ( 2 ).

1 ( 4 ) 1 (

x

x x x

x x

) 1 (

) 1 )(

1 ( 4

x

x x x

Căn cứ vào bảng ta có: ymax = y(0) = 1, ymin = y(1) =

2

1

Lời giải 2: (Dùng các biến đổi sơ cấp)

Theo định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài Toánquy về việc tìm các số m và M sao cho m  y  M với mọi x

Khi đó ymax = M, ymin = m và các giá trị đó đạt đợc tại các giá trị của x làmcho các bất đẳng thức trên có dấu đẳng thức

Ta biến đổi y nh sau:

2 2

2

2 2

2

) 1 (

2 1 )

1

(

2 )

1

(

x

x x

x x

với mọi x, dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0

Từ đó ta suy ra: y  1 với mọi x, dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0, tức là

Lời giải 3: (Dùng công cụ lợng giác)

Ta nghĩ đến việc dùng công cụ lợng giác bởi vì do hàm y xác định với mọi

x, điều đó có nghĩa là biến x nhận giá trị tuỳ ý; mặt khác biểu thức 1 +x2 gợi ý

cho phép ta đặt x = tan với  có thể chọn : -

3 cos sin

cos 1 cos

sin 1 ) tan 1 (

tan

4

4 4

2 2

t-ợng hình học dới nhiều góc độ khác nhau: Góc độ hình học tổng hợp, góc độhình học vectơ, góc độ hình học toạ độ Từ đó khi đứng trớc một bài Toán hìnhhọc không gian HS có thể sử dụng các phơng pháp giải khác nhau: Phơng pháptổng hợp, phơng pháp vectơ, phơng pháp toạ độ

1

GA

GO AC

AO C

1

1 3

2

1 1 1

1 1

1

1 A G AA A O A A A B A D AA

1G k A A l A C

A   , víi k + l = 1

Ta cã:

) (

3

1 3

2

1 1 1

2 ) (

3

1 3

2

C A A A D

A B A A

; 3

c b a

; 3

c b

y a

x c

c z b

y a

0 0

; 3

c b a

thoả mãn phơng trình AC1, suy ra G  AC1.Vậy A, G, C1 thẳng hàng

2 4 3

y x

xy y





Lời giải 1: Nhìn u dới góc độ là hàm hai biến.

Biến đổi hàm u về dạng sau:

x y

u = 4-  2 2

2

2

y x

x y

Lời giải 2: Nhìn dới góc độ đa hàm u về hàm một biến.

Để ý rằng do x2 + y2  0 nên ta có thể giả thiết x  0 Chia cả tử và mẫu

của u cho x2 rồi đặt t =

x y

ta có:

u(x,y) = u(t) =

1

4 3

2 2

u =

1

4 3

2 2

Từ đó ta suy ra:

Hàm z(t) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1 và hàmu(t) có giá trị lớn nhất bằng 4 (khi z(t) nhỏ nhất) và giá trị nhỏ nhất bằng –1 (khiz(t) lớn nhất)

Lời giải 3: Nhìn dới góc độ đa hàm u về hàm lợng giác.

Do tử và mẫu của hàm u là các hàm đẳng cấp bậc hai đối với x và y và sự

có mặt của biểu thức x2 + y2 ta nghĩ đến việc “lợng giác hoá” hàm u bằng cách

y

r x

.Khi đó hàm u(x,y) trở thành hàm u(r,) và u(r,) = 3sin2 - 4sin.cos

.Bằng cách dùng bất đẳng thức - a2 b2 asinubcosu a2 b2 , ta thu đợc -

2

5 2 cos 2

3 2

5 2

Cần lu ý HS trong khi giải Toán, có những lớp bài Toán mà đờng lối giảicủa chúng có nguồn gốc là những suy luận mang tính chất có quy luật Chẳnghạn khi giải các bài Toán chứa nhiều đại lợng thay đổi (nhiều ẩn) thì thông thờng

ta tìm cách chuyển về bài Toán chứa ít đại lợng biến đổi hơn Ngợc lại, có nhữngbài Toán chứa ít ẩn nhng khó giải vì các tính chất phức tạp của các biểu thức cómặt trong bài Toán đó, ta lại phải tìm cách chuyển về bài Toán nhiều ẩn nhiềuphơng trình hơn

Điều kiện tồn tại của phơng trình: - 1  x  1

Tìm tòi lời giải bài Toán Vận dụng các quy luật

Nếu dùng phép biến đổi tơng

đ-ơng thì khả năng hữu tỷ hoá phđ-ơng

trình đã cho là vô cùng khó khăn vì

trong phơng trình chứa nhiều căn thức

Vì vậy có thể hữu tỷ hoá bằng

Mâu thuẫn là động lực của sựphát triển

cách đa vào các ẩn phụ để chuyển

Nh vậy việc giải phơng trình đã

cho chuyển về việc giải hệ phơng trình

2 2

v u

v u

Từ đây ta có:

u2 = 1 – x = 1 +

2 2

Vấn đề đặt ra ở đây là đành chịu

“thiệt về mặt lợng” (tức tăng số ẩn và

số phơng trình lên) nhng lại “đợc vềmặt chất” (bài Toán vốn khó giải hoặckhông giải đợc chuyển về bài Toán dễgiải hơn)

Các sự vật, hiện tợng luôn luônliên quan mật thiết với nhau trong quátrình vận động và phát triển

Sự ra đời cái mới là kết quả của

sự phủ định cái cũ

hay x = -

2

2 Vậy nghiệm của phơng trình là

Theo quan điểm của phép BCDV, giữa cái riêng và cái chung có mối quan

hệ biện chứng với nhau Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thôngqua cái riêng; ngợc lại, cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, baohàm cái chung; cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung làcái bộ phận nhng sâu sắc hơn cái riêng

Khi dạy học Toán cần lu ý cho HS biết tìm cái riêng trong cái chung, biếtnhận thức sâu sắc mối quan hê giữa cái riêng và cái chung

Chẳng hạn giải phơng trình:

2

1 cos 2

3 cos 16

9 cos

2

1 cos 16

Quá trình suy nghĩ thông thờng đi từ đơn giản đến phức tạp, từ cái riêng

đến cái chung Cái riêng ở đây là xét xem các biểu thức dới dấu căn có phải làcác bình phơng đúng hay không? Còn cái chung ở đây là tính chất vô tỉ (nếu có)

Ngoài ra cũng nên nghĩ thêm rằng nếu phơng trình đã cho mang tính chấtvô tỉ thì quả là bài Toán không có gì hay ngoài sự phức tạp của nó

Nhằm vào cái riêng, ta xét thấy các biểu thức dới căn là các bình phơng

đúng Cụ thể là:

2 2

2 4

4

1 cos cos

2

1 cos 16

2 4

4

3 cos cos

2

3 cos 16

1 4

3 cos 4

1 cos 2 2

Phơng trình (1) là một phơng trình lợng giác có dấu giá trị tuyệt đối Do

đặc điểm về dạng của phơng trình, có thể đặt: u = cos2x với 0  u  1

Khi đó ta có phơng trình đối với u là:

2

1 4

3 4

Trong quá trình dạy học Toán tuân theo cặp phạm trù cái chung – cáiriêng cần đặc biệt rèn luyện cho HS một số thao tác t duy nh: Khái quát hoá, đặcbiệt hoá, tơng tự

Khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng đến cái chung, là "chuyển từ việcnghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, baogồm cả tập hợp ban đầu" (G.Pôlya) Đặc biệt hoá là thao tác t duy ngợc của kháiquát hoá, là "chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho sang việcnghiên cứu một tập nhỏ hơn cha trong tập hợp đã cho" Trong quá trình dạy họckhông chỉ yêu cầu HS đi từ cái riêng đến cái chung (khái quát hoá) mà còn đòihỏi họ đi từ cái chung đến cái riêng (đặc biệt hoá) và làm rõ mối quan hệ chungriêng giữa cái đạt đợc và cái xuất phát Tơng tự đợc xem nh tiền thân của kháiquát hoá, bởi vì việc chuyển từ một trờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêngkhác của cùng một cái tổng quát, là một bớc để đi tới những trờng hợp riêng bấtkì của cùng một cái tổng quát đó Nhiều khi HS đã có một sự hình dung nhất

định về cái chung nhng cha hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đa ra những hiệntợng riêng lẻ coi nh đại biểu của cái chung Vì thế trong những trờng hợp nhất

định, ta có thể coi thực hiện phép tơng tự nh là biểu hiện của khái quát hoá

Cần làm cho HS hiểu rằng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tơng tự là phơngpháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức Từnhững kiến thức đã có có thể vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự để