góp phần rèn luyện cho học sinh thpt khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học đại số và giải tích

Giả thuyết khoa học Trong dạy học Toán nói chung, dạy học Đại số và Giải tích ở THPT nóiriêng, nếu chú trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên tởng và huy động kiến thức thì sẽ h

Môn Toán có độ liên kết lôgíc giữa các chủ đề kiến thức, muốn học Toán

có chất lợng thì ngời học phải biết liên hệ, phải biết tích luỹ những kiến thức

để rồi khi cần thì đem ra mà sử dụng

Liên tởng và huy động kiến thức là những năng lực rất quan trọng, cầnphải rèn luyện cho học sinh Nếu có năng lực liên tởng tốt thì nhiều khi đứngtrớc một bài toán rất khó, nhng ta vẫn nghĩ tới đợc một kiến thức nào đó liênquan, có vai trò quyết định trong việc tìm ra lời giải Ngợc lại, nếu ta liên tởngkém thì gặp một vấn đề nào đó ta chẳng biết đặt nó trong mối liên hệ với cáckiến thức đã biết, thành ra ta nhìn các vấn đề một cách cục bộ và rời rạc.Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có liên hệ khá mật thiếtvới nhau

Cha có công trình nào nghiên cứu sâu việc rèn luyện cho học sinh khả

năng liên tởng và huy động kiến thức, vì lý do đó chúng tôi chọn đề tài “Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tởng và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn vềliên tởng và huy động kiến thức, từ đó tìm ra những giải pháp để rèn luyện chohọc sinh THPT những năng lực này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp những vấn sau đây:

- Liên tởng và huy động kiến thức là gì?

- Vì sao lại cần phải bồi dỡng cho học sinh khả năng liên tởng và huy

động kiến thức?

- Vai trò của liên tởng và huy động kiến thức là nh thế nào?

- Tình hình thực tế của học sinh THPT trong việc liên tởng và huy độngkiến thức là ra sao?

- Làm thế nào để rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và huy độngkiến thức?

4 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học Toán nói chung, dạy học Đại số và Giải tích ở THPT nóiriêng, nếu chú trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên tởng và huy

động kiến thức thì sẽ hình thành đợc ở học sinh một hệ thống những kiến thứcvững vàng, làm sáng tỏ đợc mối liên hệ mật thiết và độ liên kết lôgíc giữa cácchủ đề kiến thức, góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bềnvững và sâu sắc hơn

Chơng 2: Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tởng

và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn1.1 Liên tởng

1.1.1 Khái niệm liên tởng

Theo Từ điển tiếng Việt thì liên tởng có nghĩa là: “Nhân sự vật, hiện tợngnào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tợng khác có liên quan”

1.1.2 Vai trò của liên tởng dới góc độ tâm lý học

Trong tâm lý học, trờng phái tiếp cận liên tởng vấn đề t duy(Đ.Ghatli,D.S.Milơ, H.Spenxơ, …) cho rằng: t) cho rằng: t duy là quá trình thay đổi tự do tập hợpcác hình ảnh, là sự liên tởng các biểu tợng

Theo các nhà liên tởng, có 4 loại liên tởng:

Liên tởng giống nhau, liên tởng tơng phản, liên tởng gần nhau về khônggian và thời gian, liên tởng nhân quả.

Liên tởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trítuệ Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích luỹ các mối liên tởng Sự khác biệt vềtrình độ trí tuệ đợc quy về sự khác nhau, về số lợng các mối liên tởng, về tốc

độ hoá các liên tởng đó

Tác giả Bùi Văn Huệ chia liên tởng thành 4 loại: liên tởng gần nhau vềkhông gian và thời gian, liên tởng giống nhau về hình thức hoặc nội dung, liêntởng trái ngợc nhau, liên tởng nhân quả

Theo tác giả, liên tởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại.Nhà tâm lý học P.A.Sêvarev đã nghiên cứu tỉ mỉ những mối liên tởng kháiquát độc đáo và vai trò của chúng trong dạy học Ông chỉ ra rằng: những mốiliên tởng khái quát bao gồm 3 kiểu cơ bản, những liên tởngđợc biến đổi 1 nửa,những liên tởng trừu tợng - biến thiên, những liên tởng cụ thể - biến thiên.L.B.Itenxơn cho rằng: T duy tốt tức là t duy đúng đắn và có hiệu quả, biếtthực hiên đợc những liên tởng khái quát, những liên tởng phù hợp với bài toáncần giải Vì vậy, để việc dạy t duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi phải tìmhiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối tợng,

mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán nào"

K.K.Plantônôv xem t duy nh là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế tiếpnhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là: xuất hiện liên tởng, sàng lọc liên t-ởng và hình thành giả thuyết

Theo tác giả Vũ Dơng Thuỵ: “Trong dạy học, cần chú ý rèn cho học sinh

kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngợc một cách song song với nhau, nhằm giúpcho việc hình thành các liên tởng ngợc diễn ra đồng thời với việc hình thànhcác liên tởng thuận”

Nh vậy có thể thấy rằng: Vai trò của liên tởng trong quá trình t duy là rấtquan trọng, liên tởng cũng đóng vai trò quan trọng trong hoạt động t duy giảitoán nói chung và giải toán Đại số và Giải tích nói riêng

1.1.3 Liên tởng trong Toán học

Về mức độ khó, dễ của bài toán, G.Pôlya cho rằng: “Không dễ dàng xét

đoán mức độ khó của một bài toán, lại càng khó hơn nữa khi xác lập giá trịgiáo dục của nó”

Theo G.Pôlya, thầy giáo nên nắm đợc cách phân loại mức độ khó, dễ củacác bài toán, vì đó là một điều có ích cho việc giảng dạy Ông đã ghi nhậncông lao của F.Denk về sự phân loại này trên cơ sở sự phân loại của F.Denk,G.Pôlya có điều chỉnh chút ít và phân loại nh sau:

Loại thứ nhất: các bài toán có thể giải đợc bằng cách vận dụng trực tiếp

quy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu Hơn nữa, quytắc hoặc ví dụ mẫu có ngay trớc mắt HS (vừa mới học song), thầy giáo thờngcho các bài toán nh thế vào cuối giờ học

Loại thứ hai khó hơn, nó đợc giải tuy cũng vận dụng trực tiếp quy tắc đã

đợc học trong lớp hoặc tuân thủ máy móc ví dụ mẫu đã đợc biết, tuy nhiên HScha rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nào hoặc ví dụ mẫu nào, HS cần phải có sựchọn lọc sơ bộ trong phạm vi nào đó

Loại thứ ba còn khó hơn nữa Để giải đợc chúng, HS cần phải kết hợp

một số quy tắc hoặc ví dụ đã học Bài toán sẽ không quá khó nếu một tổ hợpnào đó tơng tự với nó (nhng không phải chính nó) đã đợc thoả luận ở lớp Nếu

tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều phần của giáo trình(có thể rất xa nhau), thì bài toán thờng là rất khó

Có ngời đã ví, quá trình giải một bài toán giống nh quá trình xây mộtngôi nhà Đầu tiên, phải thu thập những vật liệu cần thiết, sau đó phải kết cấunhững vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một mẫu thiết kế đã đợchình dung trớc

Thực ra, thờng trớc khi xây nhà ta đã hình dung đợc cần đến những vậtliệu nào, có chăng, nếu thiếu vật liệu gì thì sau đó cũng có thể dễ dàng bổsung cho đủ

Trớc khi giải bài toán, thờng là cha khẳng định đợc chắc chắn mình sẽdùng những kiến thức (định nghĩa, định lý, mệnh đề, quy tắc, công thức, )nào, trừ khi đó là bài toán đã có thuật giải hoặc bài toán khá dễ Sau khi giảixong bài toán, ngời giải tự hỏi mình: thế mà ngay từ đầu tại sao mình lạikhông nghĩ đến định lý này nhỉ? (mặc dầu trớc đó họ phải mò mẫm, suy nghĩrất lâu mới biết cách sử dụng định lý này)

Ví dụ 1: Xét bài toán, Chứng minh rằng: với ABC ta luôn có

sin2Asin2Bsin2C94

Nếu bài toán yêu cầu học sinh giải khi cha học về các công thức lợnggiác (công thức hạ bậc) nhng đã học về định lý hàm số sin thì việc đa ra bàitoán này vẫn hợp lý Giáo viên dẫn dắt để học sinh liên tởng đến việc áp dụng

định lý hàm số sin cho vế trái của bất đẳng thức, có thể nêu câu hỏi: sinA,sinB, sinC gợi cho em liên tởng đến một cái gì đó rất quen thuộc ở phần giảitam giác thờng sử dụng?

Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: đó là định lý hàm số sin.Giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện ra và đa bất đẳng thức về dạng:

9R2  (a2  b2  c2)  0 (1)Giáo viên có thể đặt vấn đề: Chứng minh bất đẳng thức đã cho ta sẽkhông chứng minh trực tiếp mà có thể chứng minh bất đẳng thức (1), con đ-ờng để chứng minh (1) đúng? sử dụng công thức nào liên quan đến độ dàicạnh của tam giác?

Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: chứng minh (1) bằng phơngpháp hình học, sử dụng công thức tích vô hớng hai véc tơ và định lý hàm sốcôsin

Trong tam giác ABC thì OH                            OA OB                             OC

, với H là trực tâm, O làtâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Ta có OH              2                (OA OB                             OC) 2

OA2 OB2 OC2  2(OA OB                                                        OB OC                            OC OA )

áp dụng tích vô hớng và định lý hàm số côsin ta có:

OH2 9R2  (a2 b2 c2)  luôn đúng.0

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng

Nh vậy trong bài toán này nếu học sinh liên tởng đợc việc sử dụng hàm sốsin, tiếp theo đó liên tởng đến công thức tích vô hớng và định lý hàm số côsinbằng phơng pháp hình học sẽ giải quyết đợc một cách dễ dàng

Cũng đối với bài toán này, yêu cầu học sinh chứng minh khi đã học cáccông thức lợng giác, thì việc giải quyết bài toán có thể đơn giản nếu học sinhliên tởng đến hạ bậc, rồi liên tởng dùng tam thức bậc hai hoặc đánh giá

Đến đây ta có thể đặt câu hỏi cho học sinh:

Vế trái của bất đẳng thức (*) gợi cho em liên tởng đến cái gì? Một cái gì

đó liên quan khi giải bất phơng trình thờng dùng?

- Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng:

Vế trái của (*) là tam thức bậc hai đối với cosC

Sau đó giáo viên dẫn dắt học sinh phát hiện ra tam thức bậc hai này cóbiệt thức  chính là - sin2 (A - B) Lúc này học sinh có thể kết luận vế trái của(*) luôn không dơng, và đợc điều cần chứng minh

1.1.4 Vai trò của liên tởng trong dạy học Toán

Dạy học toán bao gồm dạy học khái niệm, định lý, mệnh đề, giải bài tậptoán…) cho rằng: t Năng lực liên tởng ở mỗi ngời một khác, khi đứng trớc một vấn đề cụthể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm…) cho rằng: t) Có ngời liên tởng đợc nhiều

định lý, mệnh đề, bài toán phụ, để hy vọng sẽ giúp cho việc giải quyết vấn đềkhá đơn giản Nhng có ngời không liên tởng đợc hay chỉ liên tởng đợc ít định

lý, mệnh đề, bài toán phụ thì vấn đề ấy sẽ bị bế tắc ngay

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

2

2

21

x y z

y z x

phải của các phơng trình trong hệ có liên quan đến một công thức mà ta gặp

ở trong lợng giác Vậy nên cần có sự thuyết trình, vấn đáp của giáo viên bằng

Đặt X= tan suy ra Y= tan2, Z = tan4,

Thay vào hệ ta sẽ đợc phơng trình: X = tan8

Đến đây học sinh có thể tìm đợc số nghiệm của hệ phơng trình là 7nghiệm

1.2 Huy động kiến thức

1.2.1 Khái niệm huy động kiến thức

Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đơng nhiên không cần

huy động đến mọi kiến thức mà ngời giải đã thu thập, tích luỹ đợc từ trớc Cần

huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào,

điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của ngời giải toán Ngời giải

toán đã tích luỹ đợc những tri thức ấy trong tri nhớ, giờ đây rút ra và vận dụngmột cách thích hợp để giải bài toán G.Pôlya gọi việc nhớ lại có chọn lọc các

tri thức nh vậy là sự huy động.

1.2.2 Vai trò của huy động kiến thức trong dạy học Toán

Năng lực huy động kiến thức không phải là điều bất biến, một bài toán cụthể nếu đặt vào thời điểm này có thể không giải đợc, chứng minh đợc, hoặcgiải đợc, chứng minh đợc một cách rất máy móc và dài dòng, nhng đặt trongthời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có năng lực huy động kiến thức tốt,học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất độc đáo, hay

Ví dụ 3: Giải bất phơng trình sau với ẩn n thuộc tập hợp số tự nhiên:

Sử dụng tiếp (2) và (5) đợc:

(n +3)! 5 n!

> n!3! 2 2(n -2)!

 n(n2 - 9n + 26) + 6 > 0 luôn đúng với mọi n  2

Nh vậy nếu chọn lọc công thức phù hợp thì việc giải quyết bài toán khá

đơn giản và nhanh Còn nếu, không huy động đợc các công thức đã học trên

((2) đến (6)) và áp dụng nó thì việc giải quyết bài toán sẽ dài dòng hơn, có khi

Yêu cầu bài toán đòi hỏi là tam giác ABC cân, ta phải huy động những

định nghĩa, định lý, tính chất liên quan đến tam giác cân

Để chứng minh một tam giác là cân, ta có thể chứng minh là tam giác đó

có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau Vấn đề ở đây là chứng minh hai cạnhbằng nhau hay hai góc bằng nhau?

ở đây, giả thiết bài toán cho ta một hệ thức giữa các góc thông qua cáchàm số lợng giác giữa chúng Do vậy, để chứng minh tam giác ABC cân,trong bài toán này ta sẽ chứng minh hai góc bằng nhau:

Để chứng minh A - B = 0, ta đã biết các cách sau:

Ta chọn cách nào trong hai cách đó?

Từ biểu thức sinA.sinB trong giả thiết, ta thu đợc cos(A - B)

Vì sinA.sinB = 1

2[cos(A - B) - cos(A + B)] Toàn bộ giả thiếtkhông thể biến đổi để làm xuất hiện sin(A - B) đ ợc Từ đó ta có đợccách giải bài toán

Để làm xuất hiện liên tởng, có khi ta phải biến đổi bài toán Nói cáchkhác, nếu giữ nguyên cách phát biểu của bài toán thì không làm xuất hiện liêntởng, nhng biến đổi chút ít thì lập tức xuất hiện một liên tởng có lợi cho việcgiải nó

Chẳng hạn, xét bài toán: Chứng minh rằng nếu 0

2

a b 

   thì:

bằng cách: Xét hàm số f(x) = tanx trên [a,b], trên đoạn này hàm số liên tục và

có đạo hàm, do đó theo định lý Lagrange thì tồn tại một số c(a,b) mà

cos

b a c

Từ đó rút ra điều phải chứng minh

Nh vậy, năng lực huy động và liên tởng kiến thức là rất quan trọng trongquá trình giải bài toán Giáo viên cần đặc biệt chú ý phát triển năng lực nàycho học sinh, giúp các em có khả năng độc lập giải quyết các bài toán

1.3 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán

Quá trình t duy không nảy sinh nếu để giải quyết nhiệm vụ nhận thức (trảlời câu hỏi, giải bài tập), học sinh chỉ vận dụng một cách máy móc, tự độngnhững kiến thức có sẵn, nhng quá trình t duy cũng không nảy sinh nếu nh đểgiải quyết đợc nhiệm vụ, nhận thức phải cần đến những kiến thức mà học sinhcha thể có đợc

T duy là thao tác lựa chọn các kiến thức phù hợp với nội dung và loạihình nhiệm vụ nhận thức đợc đặt ra

Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phơng tiện cơ bản, vừa làkết quả cuối cùng của quá trình t duy, kiến thức đợc nói tới ở đây bao hàmtrong nó có cả mặt khối lợng lẫn các mặt khác nh tính hệ thống, tính chínhxác, tính sâu sắc

Kiến thức và điều kiện của bài toán động viên hành động trí tuệ(thao tác

t duy) Phân tích điều kiện này trong khi phân tích điều kiện bài toán, trong

khi vạch ra những khía cạnh mới trong điều kiện bài toán, ngời ta đã tạo ra

đ-ợc những tiền đề phản ánh những khía cạnh này, đã động viên đđ-ợc những kiếnthức mới Những kiến thức mới về điều kiện của bài toán lại động viên nhữnghành động trí tuệ và cứ nh thế quá trình tiếp diễn

Những kiến thức tham gia vào quá trình t duy có thể chia làm 2 loại:

- Những kiến thức mà ngời giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện củabài toán khi đọc kĩ đầu bài

- Những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của bài toán, nhngkhông có chúng thì quá trình t duy không nảy sinh đợc, đó là các kiến thức về

định nghĩa, định lí, định luật toán học mà ngời giải toán đã thu thập đợc từ

tr-ớc Những kiến thức này cần thiết lập mối quan hệ logíc giữa điều kiện và kếtluận của bài toán

Quá trình t duy trong giải toán có tiến triển đợc hay không là tuỳ thuộc ởchỗ giữa 2 loại kiến thức trên có thiết lập đợc mối quan hệ qua lại hay không?Những mối quan hệ qua lại này đợc thực hiện thông qua những hành động trítuệ với những kiến thức thu nhận trực tiếp những điều kiện của bài toán Căn

cứ vào lý thuyết những hành động trí tuệ mà xem xét, những liên hội kiến thứctrực tiếp cũng đợc thực hiện bằng hành động trí tuệ

Những hành động trí tuệ này đợc rút gọn, trở nên tự động hoá, nên ngờigiải toán dờng nh không ý thức đợc chúng

Mỗi đại lợng toán học đợc phản ánh trong một khái niệm có rất nhiềumặt, nhiều vẻ, nhều khía cạnh, tạo lập những liên hội kiến thức khác nhau.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, không cần huy động mọi kiếnthức mà ngời giải đã thu thập đợc, không cần xét đến liên hội kiến thức có thể

có, không cần thiết lập mọi mối liên hệ qua lại có thể có giữa 2 loại kiến thức,cần huy động kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hội kiến thức nào,cần thiết lập những mối liên hệ qua lại nào giữa 2 loại kiến thức tất cả phụthuộc vào những hành động trí tuệ của ngời giải đã hớng tới với những mặtnào, những khía cạnh nào của điều kiện của bài toán và phụ thuộc vào cơ chếchung, của các hành động trí tuệ ấy

Sự phát triển của các năng lực t duy đòi hỏi sự phát triển cả mặt nội dung(các kiến thức) lẫn hành động của t duy (các hành động trí tuệ) Khái niệmdạy toán ở trờng phổ thông cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là chỉnghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay, vì kiến thức cha

nắm vững, cha có đầy đủ kiến thức đã thu thập từ trớc nên không giải đợctoán Có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít chịugiải bài tập, có hành động trí tuệ, ít đợc rèn dũa nên cũng không giải đợc cácbài toán đòi hỏi phải “động não” chút ít.

Theo Pôlya thành phần căn bản của quá trình giải bất cứ bài toán nào là ýmuốn, khát vọng, quyết tâm giải bài toán đó Bài toán mà anh có ý định giải,mặc dầu đã hiểu nó, vẫn cha phải là hoàn toàn là bài toán của anh Bài toánchỉ thực sự trở thành bài toán của anh, thực tế chiếm lĩnh anh, khi anh đã cóquyết tâm nghiên cứu bài toán, cố gắng giải bài toán Trong khi giải toán anh

có thể trở thành “tù binh” của bài toán đó, đôi khi nó thu hút sự chú ý của

ng-ời giải đến mức trở nên có vẻ đãng trí

Trong quá trình dạy học môn Toán, muốn nâng cao chất lợng nắm vữngkiến thức thì giáo viên cần coi trọng bồi dỡng động cơ học tập đúng đắn (độngcơ là sử thể hiện của nhu cầu có ý thức của con ngời), bồi dỡng hứng thú toánhọc cho học sinh của mình

Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình t duy,

là hành động tinh thần hớng tới mục đích nhận thức Mỗi hành động trí tụêbao hàm trong nó một loạt các thao tác đợc thực hiện trong một trật tự xác

định và phù hợp với những quy tắc nhất định Một tập hợp các hành động trítuệ để giải quyết đợc nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi là hoạt động trí tuệ trongviệc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy

Trong học tập môn toán có các thao tác t duy chính là phân tích và tổnghợp Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng bộphận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hoá đi một mặt nào đó những dấuhiệu và những phần riêng lẽ nào đó Tổng hợp là kết các phần riêng lẽ lại, làkhái quát các dấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là 2 mặt đốilập của một quá trình thống nhất Các thao tác phân tích và tổng hợp có mặttrong mọi hành động trí tuệ

Theo G Pôlya, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trongkhi giải toán Ngay sau khi đã đọc kĩ một đầu bài toán, ngời giảng cố gắng dự

đoán phạm vi bài giảng Phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thể cònphần nào không đúng, mặc dầu thật ra không phải lúc nào cũng quá sai lầm.Trên cơ sở dự đoán ta có đợc cái toàn thể ban đầu

Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán của G.Pôlya:

Trong t duy đã diễn ra 2 hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ chứckiến thức

Động viên kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên quan

đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với nhau.Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức động viênnhận biết và nhớ lại hành động trí tuệ động viên kiến thức thờng đợc bắt đầubằng thao tác nhận biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán Tiếp tụcbằng thao tác nhớ lại những kiến thức đã quen thuộc và có liên quan với yếu

tố vừa đợc nhận biết

Hành động trí tuệ tổ chức gồm các thao tác bổ sung và nhóm lại

Khi nghi cứu một đối tợng phức tạp có thể tách biệt một chi tiết, một bộphận cụ thể khỏi cái toàn thể Sau đó lại kết hợp liên kết những chi tiết, những

bộ phận đã đợc xem xét lại với nhau trong một cái toàn thể, đợc phản ánh đầy

đủ hơn trớc Hành động tách biệt dẫn đến hành động kết hợp, hành động kếthợp lại dẫn đến hành động tách biệt mới, tách biệt những chi tiết mới, những

bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho ngời giải hiểu bài toán và giải

đợc bài toán

Hành động trí tuệ dự đoán đợc đặt ở trung tâm hình vuông, các cặp hành

động trí tuệ đối lập nhng thống nhất: động viên tổ chức, cách biệt đối lập đợc

đặt ở những đỉnh đối nhau của hình vuông, các thao trí tuệ đợc đặt trên cáccạnh của hình vuông, và khi đọc từ trái sang phải chúng ta tóm tắt quá trình trítuệ nh sau: từ những chi tiết đợc động viên đi đến một cái toàn thể có tổ chức,một chi tiết vừa mới đợc phân biệt đợc tách biệt ra, đợc tập trung nghiên cứu,

có thể dẫn tới đợc thay đổi quan niệm của ngời về bài toán Cũng nh vậy mộtchi tiết mà chúng ta nhớ lại đợc và tỏ ra thích ứng khi kết hợp, sẽ làm cho hiểubiết của ngời giải về bài toán đợc phong phú thêm bổ sung cho cái toàn thể

Nhận biết

Dự đoán

Tập hợp các hành động trí tuệ, các thao tác trí tuệ cùng mối liên hệ giữachúng mà ở sơ đồ trên gợi ý cho ta ý niệm về cơ chế của hoạt động trí tuệ khigiải toán.

Khi giải quyết một bài toán cụ thể thì những thao tác trí tuệ có dạng xác

định phù hợp với những câu hỏi tơng ứng

1.4 Đôi nét thực trạng về khả năng liên tởng và hoạt động kiến thức của học sinh

Hiện nay học sinh nhìn vấn đề một cách rời rạc, ít có sự liên hệ các kiếnthức với nhau nên bế tắc trong nhiều bài toán mà lẽ ra có thể giải quyết tốt nếu

ở họ biết liên tởng và huy động kiến thức

Đối với học sinh dới trung bình thì việc giải bài toán này là khó, vì khốikiến thức ít và sức liên tởng có hạn

Đối với học sinh trung bình, có thể liên tởng đến phơng pháp đổi biến số,nhng việc giải đúng bài toán này theo phơng pháp đổi biến số không phải là

đơn giản vì còn liên quan đến nhiều kiến thức khác trong quá trình giải

Ta có: /2 cos

2

1 sin2

Đổi cận đợc I1 =

0

2

1 sin2

t cost dt t

Học sinh khá, giỏi thì sức liên tởng và huy động kiến thức có thể lớn hơnnên nhìn vấn đề bài toán ở đây có sự liên hệ cận đối nhau, nghĩ đến việc xéthàm số dới dấu tích phân:

Đây là một bài toán tổ hợp không phải là khó đối với mọi học sinh Khigặp bài toán này học sinh phải có sự liên tởng đến việc sử dụng công thức khaitriển Newton và phải huy động các công thức đã học về tổ hợp Nhng việc lựachọn đúng công tức và sử dụng khai triển nhị thức Newton nh thế nào đểchứng minh đợc bài toán là một vấn đề không phải học sinh nào cũng thựchiện đợc Nếu lựa chọn và liên tởng đợc:

Xét khai triển Newton x, n  N*:

toán không còn khó khăn nữa Đây là những bài toán trong kỳ thi tốt nghiệpphổ thông trung học và kỳ thi đại học thờng gặp.

Mỗi ngời (học sinh) có sức liên tởng và huy động kiến thức khác nhaunên khi giải bài toán gặp những khó khăn ở mức độ khác nhau

Hiện nay tình trang học sinh nhìn nhận về bài toán tổ hợp còn ít sự liên

hệ giữa các kiến thức với nhau và liên tởng các kiến thức vận dụng giải bàitoán

Khi dạy công thức nhị thức Newton giáo viên cần khắc sâu kiến thức,thông qua các bài tập củng cố Để từ đó học sinh ghi lại trong trí nhớ để rồikhi gặp các bài toán tơng tự đa ra mà vận dụng

Có thể tham khảo một số bài toán sau:

5 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1 x2(1 )x 8

1.5 Liên hệ với Phép duy vật biện chứng

Để góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh,trong quá trình giảng dạy Toán cần chú ý lồng ghép, cài đặt một cách hợp lýnhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức (thuộc về Phép biện chứng duyvật) Nói nh vậy không có nghĩa là chúng ta dạy Triết học trong môn Toán,

mà quan trọng ở chỗ tình huống nào, thời điểm nào trong quá trình dạy Toáncho học sinh, ngời thầy sẽ chốt lại về một cái gì đó để làm cho học sinh sáng

tỏ hơn nữa về Phép biện chứng duy vật, và khi nắm đợc những kiến thức về

Phép biện chứng duy vật thì học sinh có thêm những cơ sở để giải quyết cácvấn đề Toán học.

Quan điểm duy vật biện chứng không chỉ khẳng định bản chất vật chất,tình thống nhất vật chất thế giới mà còn khẳng định các sự vật, hiện tợng trongthế giới đó luôn luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động và phát triểnkhông ngừng theo những quy luật vốn có của nó, làm sáng tỏ những vấn đề đó

là nội dung cơ bản của phép biện chứng Ăngghen khẳng định rằng phép biệnchứng là lý luận về mối liên hệ phổ biến là môn khoa học về những quy luật phổbiến của sự vận động, của tự nhiên, của xã hội loài ngời và của t duy

Những nguyên lý và những quy luật cơ bản của Phép biện chứng duy vật

là: Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến; Nguyên lý về sự phát triển; Quy luật l

-ợng đổi - chất đổi; Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập; Quy luật phủ định của phủ định.

Thế giới nh một chỉnh thể thống nhất, các sự vật, hiện tợng và các quátrình cấu thành thế giới đó vừa tách biệt lẫn nhau vừa có mối liên hệ qua lại,thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau Từ nghiên cứu nguyên lý về mối liên hệphổ biến này, ta rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng nh tronghoạt động thực tiễn Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta phải xem xét nótrong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tínhkhác nhau của chính sự vật đó Phải xem xét trong mối liên hệ giữa sự vật đóvới các sự vật khác “Muốn thực sự hiểu đợc sự vật cần phải nhìn bao quát vànghiên cứu tất cả các mặt, các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của nó”(V.I.Lênin)

Liên tởng và huy động các kiến thức nó có gắn liền với việc nhìn các đốitợng Toán học trong mối liên quan mật thiết đối với các đối tợng khác Đóchính là quy luật về tính toàn diện của t duy biện chứng

Trong Toán học có vô vàn những ví dụ làm sáng tỏ điều vừa nêu trên.Thật vậy, ta thờng xuyên phải nhìn những đối tợng Toán học dới nhiều đối t-ợng khác nhau, phải nhìn trong mỗi liên hệ qua lại giữa các bộ phận, yếu tố,

và nhìn trong mối liên hệ với các đối tợng khác

Ví dụ: Ta cần làm cho học sinh nhìn mỗi đối tợng Toán học dới nhìn góc

độ và trong nhiều mối quan hệ khác nhau Chẳng hạn:

Giải và biện luận phơng trình: x4 - 2ax2 + a2 - x - a = 0 (*)

Với sự liên tởng và huy động kiến thức khác nhau của học sinh nên sẽ cócác lời giải khác nhau.

Cách 2: Nếu nhìn vế trái của (*) là phơng trình bậc hai ẩn a:

ta có phơng trình đối với u là:

Ta hãy nhìn cách khác đối với phơng trình (**).

Ta cách ly từng dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy rằng có thể xem đó chỉ

u  là độ dài đoạn thẳng nối điểm M và

điểm M trên trục số sao cho tổng khoảng cách đến A và B bằng 1

2 Đến đây,việc giải bài toán chỉ còn các bớc có tính chất kỹ thuật mà thôi

Có thể có nhiều cách giải nữa Việc tìm ra mỗi cách giải phụ thuộc chính

sự liên tởng, huy động kiến thức hoặc là việc nhìn bài toán ấy dới những góc

độ khác nhau Đó cũng chính là biểu hiện khả năng t duy biện chứng

Số liệu trong bài toán không thể là hoàn toàn ngẫu nhiên Một cách tổngquát thì ta đã gặp một số bài toán nếu sửa đi một con số thì không tài nào giải

đợc dù rằng trớc đó có lời giải đẹp Đó là những cặp phạm trù tất nhiên - ngẫunhiên

Kết luận chơng 1:

Trong chơng này luận văn đã đa ra các cơ sở khoa học lý luận và thựctiễn về liên tởng và huy động kiến thức, luận văn đã trình bày đợc vai trò, ýnghĩa của “liên tởng và huy động kiến thức” trong Toán học Khẳng định vị trícủa nó trong hoạt động trí tuệ khi giải toán Thực tiễn s phạm cho thấy việc

rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và huy động kiến thức trong dạyhọc Đại số và Giải tích là rất phù hợp với thực trạng hiện nay và hết sức cầnthiết

Chơng 2Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tởng và huy động kiến thức trong dạy học

Đại số và Giải tích

2.1 Các định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm

Định hớng 1: Các biện pháp s phạm đợc xây dựng phải dựa trên nền tảng

tri thức chuẩn của sách giáo khoa Toán hiện hành

Định hớng 2: Các biện pháp s phạm cần bảo đảm tạo ra khó khăn đúng

mức, nhằm làm cho học sinh đợc tham gia vào quá trình hình thành tri thức và

kỹ năng

Định hớng 3: Hệ thống các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng

thú học tập, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh

Định hớng 4: Các biện pháp s phạm đợc đề xuất phải dựa trên vốn kiến

thức của học sinh và việc liên tởng, huy động các kiến thức một cách hợp lý sẽgóp phần giải quyết các vấn đề Toán học

Định hớng 5: Các biện pháp s phạm đợc đề xuất phải đảm bảo tính khả

thi, và thông qua các biện pháp, học sinh phải thấy đợc vai trò của liên tởng,huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích

2.2 Một số biện pháp s phạm nhằm góp phần rèn luyện khả năng liên tởng và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích ở trờng THPT.

2.2.1 Biện pháp 1: Trong quá trình truyền thụ kiến thức Toán học

cho học sinh, cần nhấn mạnh khả năng ứng dụng của nó bằng việc lựa chọn một hệ thống bài tập phù hợp để học sinh thấy đợc mối liên quan giữa các nội dung Toán học.

Trong chơng trình Giải tích 11 và Giải tích 12, phần đạo hàm và ứngdụng đạo hàm giữ vai trò quan trọng, chủ đạo, có số tiết khá lớn và bằng ph-

ơng pháp đạo hàm có thể giải quyết đợc khá nhiều dạng Toán ở bậc trung họcphổ thông

Vậy nên khi dạy học về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm, giáo viên cầnnhấn mạnh đến khả năng ứng dụng của nó

Chẳng hạn: ứng dụng của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứngminh bất đẳng thức (trong Đ1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Giải tích 12)

Phơng pháp chung:

Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:

Nếu f’(x) ≥ 0, x [a; b]  hàm số f(x) đồng biến trên [a; b]  f(a)

Giáo viên hớng dẫn gợi ý cho học sinh giải bằng cách xét khoảng đơn

điệu của hàm số f(x) = x – sinx trên khoảng (0; 

2 )

- Xét hàm số f(x) = x - sinx (0  x <

2 ), ta có f’(x) = 1 - cosx ≥ 0 (f’(x) = 0 chỉ tại x = 0) nên theo định lý tính đơn điệu của hàm số ta có f(x) đồng biến

• ứng dụng của đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (Đ3 Giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Giải tích 12).

- So sánh các giá trị tìm đợc số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn

nhất của f(x) trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Sau khi giới thiệu cho học sinh ví dụ và cách tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số theo khảo sát lập bảng biến thiên hoặc cách so sánh các

giá trị f(x) trên đoạn [a; b], giáo viên đa ra một hệ thống bài tập yêu cầu về

 

 trên đoạn [0; 1]

Dạng 2: Khảo sát gián tiếp (đặt ẩn phụ)

Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = sin4x + cos4x Giáo viên gợi ý để giải bài toán cách sử dụng công cụ đạo hàm.

Ta nhận thấy rằng giải bài toán này ta nên đặt ẩn phụ

Với cách đặt t = sin2x, t  [0; 1] Khi đó học sinh có thể thực hiện đờng

Giá trị lớn nhất của hàm số f(t) = 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) bằng 1

2.Vậy từ bài toán này đa ra các bài tập đề nghị sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

- Tìm điều kiện của biến mới t = g(x) có thể lại dùng đạo hàm, có thể

dùng phơng pháp miền giá trị hoặc có thể đa về dạng bình phơng hay sử dụng

bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki…) cho rằng: t Từ đó tìm miền xác định của hàm số mớithiết lập theo biến đã chọn.

- Việc xác định của dấu đạo hàm f’(x) phải xác định dấu của g(x) thì mới

lập đợc bảng biến thiên

Dù khảo sát trực tiếp hay gián tiếp để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tuỳhọc sinh cũng phải thực hiện đợc các kỹ năng: tính đạo hàm, tìm điểm cực trị,xét chiều biến thiên của hàm số thông qua hệ thống bài tập

• ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giảimột bài toán trong thực tiễn: (SGK Giải tích 12 - Ban nâng cao và cơ bản Đ3.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số)

Giáo viên gợi ý các bớc thực hiện bài toán này nh sau:

Bớc 1: Chuyển bài toán thực tế về bài toán học bằng cách: lựa chọn ký

hiệu, xác định đại lợng biến thiên, đại lợng cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất thông qua việc thiết lập hàm số

Bớc 2: Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bớc 3: Chuyển kết quả tìm đợc về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế

Ví dụ 11: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Ngời ta cắt ở 4 góc 4

hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm nhôm lại nh hình vẽ bên để đợc một cáihộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khốihộp là lớn nhất

a 2

duy nhất là điểm cực đại x = a

6 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất bằng 2a3

27 Trên đây là một bài toán trong thực tiễn đợc chuyển về bài toán học, việcgiải bài toán thực tiễn đó nhờ ứng dụng đạo hàm, tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất Không phải bài toán nào đặt ra học sinh cũng có thể giải đợc, vì nóphụ thuộc vào năng lực từng đối tợng, cụ thể là năng lực liên tởng và huy độngkiến thức, nhớ lại các kiến thức đã học có chọn lọc và nhìn vào những yếu tố

đã cho trong bài toán nhớ đến mối liên hệ với đạo hàm Có khả năng liên tởngtốt và sự huy động kiến thức một cách chọn lọc phù hợp thì mỗi bài toán đặt

ra đều giải quyết một cách đơn giản Từ bài toán này giáo viên đa ra một sốbài tập đề nghị sau:

1 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật

hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định vị trí của M sao cho hình chữ nhật

có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

Các ví dụ và các bài tập đề nghị trên là những bài toán trong khi dạy Đ1.Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Ban nâng cao) hay Đ1 Sự đồng biến,nghịch biến của hàm số (Giải tích 12 - Ban cơ bản), và Đ3 Giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Ban nâng cao và cơ bản), giáo viêncần giới thiệu cho học sinh, mặc dù thời gian trên lớp không thể giới thiệu hếtcách giải của từng bài nhng với mức độ tiếp thu của học sinh giáo viên hớngdẫn yêu cầu về nhà hoặc trong các tiết luyện tập tại lớp phải hoàn thành Để từ

đó học sinh thấy đợc mối liên quan mật thiết của đạo hàm và sự đồng biến,nghịch biến, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số Thông qua hệ thống bài tập trên học sinh sẽ tiếp thu và khắc sâukiến thức đạo hàm, ứng dụng của nó Góp phần rèn luyện khả năng liên tởng

và huy động kiến thức trong giải toán Giải tích

Ngoài ra từ ứng dụng của đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số có thể sử dụng để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình

Giả sử f(x) là một hàm liờn tục trờn miền D, và giả thiết rằng tồn tại cỏc giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của f(x) trờn D kớ hiệu bởi maxx D f(x) và minx D f(x).Khi đú ta cần chỳ ý cỏc mệnh đề sau:

x

f ( )



cú nghiệm    maxx D f(x) 2/ Hệ bất phương trỡnh 







D x x

Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giải phương trình

Phương pháp:

- Chọn hàm số bằng cách đặt ẩn phụ

- Chỉ có những bài toán mà giữa các đại lượng tham gia trong một bàitoán có một mối liên hệ nào đó (được biểu hiện bởi các hệ thức toán học), nhờcác mối liên hệ này, các đại lượng được biểu diễn qua lại thì mới có khả năngdùng được ẩn phụ

Ví dụ 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m x

x x

Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giải hệ phương trình

có nghiệm  minx D f(x)   maxx D f(x)

Phương trình f(x) =  có nghiệm trên D

Bất phương trình m < f(x) có nghiệm  m < Max D f (x)

Ví dụ 14: Tìm m để phương bất trình sau có nghiệm: 2x2  3 x m (14)

Dạng 2:

Xét hàm số y=f(x) có tập xác định D

Bất phuơng trình mf (x) có nghiệm  mminD f(x)

Ví dụ 15: Tìm m để phương bất trình sau có nghiệm:

m x

- Nếu không xác định được các điểm tới hạn của hàm số f(x) thì ta dựa

vào f x ( ): Tính f x ( ) rồi từ dấu của f x ( ) ta tìm được các khoảng đơn điệucủa hàm số f x ( ),từ đó xác định được dấu của f x ( )

Khi d¹y ch¬ng 3 Nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông (Gi¶i tÝch 12 Ban c¬ b¶n vµ n©ng cao) gi¸o viªn sau khi ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh cã

thể khắc sâu cho học sinh nhận dạng đối với từng bài toán qua một số dấu hiệu nhận biết:

Trong phơng pháp đổi biến số để tính tích phân I = ( )

 thay cho việc tính tích phân trên

Nh vậy vấn đề ở đây là bài toán dạng nào thì vận dụng đợc phơng pháp

đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? ta phải tìm hiểubài toán đã cho để phát hiện ra điều đó Việc đặt ẩn phụ rất đa dạng tuỳ thuộcvào hàm số đã cho dới dấu tích phân; nhiều khi còn phụ thuộc vào cận a và bnữa Dới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩn phụ khi dạy học sinh giảibài tập tính tích phân:

* Phép đổi biến số:

Khi đặt x = u(t):

Cần chú ý các vấn đề sau:

+ f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

+ x=u(t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [α; β]

ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:

+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn

+ Phát hiện và đặt x = u(t), hoặc t=u(x) cho đúng là vấn đề then chốt củaphơng pháp giải bài toán tính tích phân

Giáo viên cho học sinh suy nghĩ, xem xét giả thiết để phát hiện các dấuhiệu đặc trng, tăng cờng khả năng liên tởng và huy động kiến thức dựa trênmột số gợi ý:

- Những bài toán có dạng nh thế nào thì vận dụng phơng pháp đổi biến số

đợc

- Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phơng pháp đổi biến số

Sau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh:

STT Dấu hiệu của hàm

dới dấu tích phân

Gợi ý cách đổi biến số trong giải toán

1 f( a2  x2 ) x= | a |.sint hoặc x=| a |.cost

sin

a t

 )( 121

x

x x



Một số ví dụ sử dụng phơng pháp tính tích phân bằng phép đổi biến số:

Ví dụ 16: Tính tích phân sau:

1

2 1

liên tởng đến tập giá trị của hàm số lợng giác sinx hoặc cosx Chẳng hạn cách

đặt ẩn phụ và dẫn đến việc đổi biến số tính tích phân nh sau:

Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t  ;

x







HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân gợi cho ta liên tởng

đến dấu hiệu hàm số f( a x 2 ) và huy động các công thức:

HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta liên

t-ởng tới công thức lợng giác : 1 cos 2

t cos t

2

dx I

x ta liên tởng đến sinx và cosx cũng có tập giá trị [-1; 1] khi đó ta

có cách đổi biến số của bài toán nh sau:

cos t



2

1.sin

cos

t dt cos t

I

t cos t

=

2 4 6

1.sin sin1

.cos

t dt cos t

HD Giải: Do d(x+1) = dx nên vai trò của x+1 tơng tự x khi lấy vi phân

mà đã biết nguyên hàm của x2007

Đặt 1 + x = t ta có: dt = dx, t 1;2

Khi đó:

2008 2

x x







HD Giải: Với bài toán này quan sát hàm số dới dấu tích phân gợi cho ta

liên tởng việc lấy vi phân : d(x2+1) = 2x.dx suy ra 1 2

HD Giải: Ta liên tởng ngay rằng (lnx)’ = 1

x khi đó dễ nhận ra u(x) = lnx

việc còn lại là nhờ huy động chọn lọc các kiến thức vận dụng phơng pháp đổibiến số

Nếu qua phép đạo hàm thì bậc của hàm đa thức sẽ giảm.

Nếu coi một hàm là u(x) và một hàm là v(x) thì việc tìm nguyên hàm củahàm u’(x).v(x) phải đơn giản hơn u(x).v’(x) Vậy chọn hàm đa thức đóng vaitrò u(x) trong phơng pháp trên là phù hợp Từ đó suy ra cách giải sau:

HD:

2

2

2.ln ln

suy ra

1

ln





Bµi to¸n 6 TÝnh tÝch ph©n sau:

4 2 3

.sin

x dx I

sin xdx suy ra du = dx; v = - cotx

Bµi to¸n 7 TÝnh tÝch ph©n sau:

1

2

.ln(1 )

I x x dx

HD: Đặt u = 2

ln(1x ) ; dv = x.dx suy ra du =

2

2.1

x dx x

2

12

v x

Nh vậy nhờ việc liên tởng các biểu thức liên quan các hàm số dới dấutích phân và huy động các kiến thức về công thức tính tích phân từng phần.Học sinh vận dụng thành thạo phơng pháp tích phân từng phần, từ đó bài toán

đợc giải quyết Ta cũng thấy rằng nếu việc liên tởng không chính xác và chọnlọc công thức và phơng pháp không phù hợp với dạng toán thì lời giải dẫn đếnsai hoặc bế tắc

2.2.2 Biện pháp 2: Chú trọng tính giải quyết vấn đề trong quá trình

rèn luyện khả năng liên tởng, huy động kiến thức của học sinh trên cơ sở vận dụng các cấp độ của dạy học Phát hiện và giải quyết vấn đề trong những tình huống phù hợp.

Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy có nét đặc trng là giáo viên trực tiếptạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện ra vấn đề,hoạt động tự giác và tích cực để GQVĐ Thông qua đó mà lĩnh hội tri thức,rèn luyện kỹ năng và đạt đợc các mục đích học tập khác

Đặc trng cơ bản của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ là tình huống có

vấn đề, ứng với một mục tiêu xác định, những thành phần chủ yếu của củamột tình huống bao gồm: Nội dung của môn học hoặc chủ đề, tình huống khởi

đầu, hoạt động trí tuệ của học sinh trong việc trả lời câu hỏi hoặc giải quyếtvấn đề, kết quả hoặc sản phẩm của hoạt động, đánh giá hiệu quả

Đặc trng thứ 2 là: Quá trình dạy học theo phơng pháp PH và GQVĐ đợc

chia thành những "thao tác", những giai đoạn có tính mục đích chuyên biệt,học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình

để giải quyết vấn đề

Đặc trng thứ 3 là: Mục đích dạy học không chỉ làm cho học sinh lĩnh hội

đợc kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ pháttriển khả năng tiến hành những quá trình nh vậy Quá trình dạy học theo ph-

ơng pháp giải quyết vấn đề bao gồm nhiều hình thức tổ chức đa dạng lôi cuốnngời học tham gia cùng tập thể, động não, tranh luận dới sự dẫn dắt, gợi mở,

cố vấn của thầy

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề tạo ra trớc học sinh những tìnhhuống có vấn đề làm cho các em học sinh ý thức đợc, thừa nhận và giải quyếtnhững tình huống này trong quá trình hoạt động chung của học sinh và giáo

viên Ngoài ra dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không những đặt ranhững vấn đề nhận thức và lôi cuốn học sinh vào công việc nhận thức tích cực

mà còn phải giúp đỡ họ thông hiểu các biện pháp của hoạt động nhận thứcnhằm tiếp thu kiến thức mới và nắm vững những biện pháp đó Nét bản chất củadạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải là sự đặt ra câu hỏi mà là tạothành tình huống có vấn đề

Những hình thức và các cấp độ của dạy học PH và GQVĐ:

Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề

mà ngời ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thứckhác nhau của dạy học PH và GQVĐ Có nhiều cách phân chia nhng theogiáo s Nguyễn Bá Kim (Phơng pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học S phạmnăm 2004) thì có thể đa ra bốn hình thức phân chia nh sau:

+ Ngời học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề: Đây là một hình thức

dạy học mà tính độc lập của ngời học đợc phát huy cao độ Thầy giáo chỉ tạo

ra tình huống có vấn đề, ngời học tự GQVĐ đó Hoặc cùng lắm là thầy giáogiúp học sinh phát hiện vấn đề Nh vậy trong hình thức này, ngời học độc lậpnghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiêncứu này

+ Ngời học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề: Trong hình thức này,

ngời học phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra một cách đơn lẻ ý, mà

có sự hợp tác giữa những ngời học với nhau, chẳng hạn dới hình thức họcnhóm, học tổ, làm dự án …) cho rằng: t

+ Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: Trong vấn đáp phát

hiện và giải quyết vấn đề, học trò làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sựgợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phơng tiện để thực hiện hình thức này lànhững câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò

Nh vậy, có sự đan kết, thay đổi sự hoạt động của thầy và dới hình thức vấn

đáp

+ Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề: ở hình thức này

mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở các hình thức trên Thầy giáo tạo ratình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy phát hiện vấn đề và trìnhbày quá trình suy nghĩ giải quyết Hình thức này đợc dùng nhiều hơn ở nhữnglớp trên: trung học phổ thông và đại học

Theo Lerner thì dạy học GQVĐ có thể phân chia nh sau: