góp phần bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh thpt theo quan điểm kiến tạo thông qua dạy học giải bài tập toán

Đối với họcsinh, giải Toán có thể xem là một hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học.Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và khôngthay thế được trong việc

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài:

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Đối với họcsinh, giải Toán có thể xem là một hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học.Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và khôngthay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,hình thành kỷ năng kỷ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn

Hơn nữa, việc kết hợp giữa hoạt động Toán học với kiến tạo tri thức.Nhằm tổ chức các hoạt động học tập của học sinh, các kiến thức và kinhnghiệm đã có của học sinh là tiền đề quan trọng trong việc thiết kế và tổ chứccác hoạt động học tập Các hoạt động cá nhân, hoạt động theo nhóm, trao đổigiữa giáo viên và học sinh…mang tính chủ đạo trong quá trình dạy học

Đồng thời, hành động trí tuệ là hành động tình thần có liên quan đếnquá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức Mỗihành động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trongmột trật tự xác định phù hợp với những quy tắc nhất định

Nhiều tài liệu của các tác giả trong nước cũng đã đề cập đến các hànhđộng trí tuệ xuất hiện trong quá trình tư duy Tuy nhiên do tính khái quáttrong cách trình bày, các tài liệu cũng chưa có dịp đi sâu vào những vấn đề rất

cụ thể trong nội bộ môn toán

Chúng ta đã biết rằng, dạy Toán là dạy hoạt động toán học Dạy họcgiải bài tập toán là một quá trình tư duy Trong đó xuất hiện các thao tác trítuệ: Tổ chức và động viên kiến thức; bổ sung và nhóm lại; tách biệt và kếthợp

Theo nhà khoa học Brooks (1993) Kiến tạo trong dạy học còn khẳngđịnh rằng, học sinh cần phải tạo nên những hiểu biết về thế giới bằng cáchtổng hợp những kinh nghiệm mới vào trong vào trong những cái mà họ đã có

trước đó Họ thiết lập nên những qui luật thông qua sự phản hồi trong mốiquan hệ tương tác với chủ thể khác.

Việc giải các bài toán, xây dựng nên hệ thống các bài toán liên quan sẽgiúp học sinh phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việc mộtcách khoa học cho học sinh Bởi vì, khi giải các bài toán học sinh phải tậptrung chú ý vào cái bản chất của đề toán, phải biết gạt bỏ những cái thứ yếu,phải biết phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải biết phân tích, bắt chước

để tìm ra những đường dây liên hệ giữa các yếu tố Nhờ đó mà đầu óc các emsáng suốt hơn, cách suy nghĩ và làm việc khoa học hơn

Hơn nữa, việc phát triển chuỗi bài toán từ bài toán gốc, dẫn đến các bàitoán khó, đòi hỏi học sinh biết tự mình xem xét vấn đề, tự mình tìm tòi cáchgiải quyết vấn đề, từ việc thực hiện các phép biến đổi, chứng minh, kiểm tralại kết quả, bắt chước bài toán Do đó, việc tiếp cận bài toán khó theo phươngthức dạy hệ thống các bài toán liên quan, nhằm trang bị bồi dưỡng năng lực,huy động kiến thức, năng lực thích nghi của học sinh

Những nội dung đã trình bày ở trên, làm tiền đề để chúng tôi chọn đề tài:

THPT theo quan điểm kiến tạo thông qua dạy học giải bài tập Toán”

2 Mục đích nghiên cứu:

Xác định những thành tố đặc trưng đối với phương thức huy động kiếnthức Từ đó xây dựng một số biện pháp sư phạm kiến tạo kiến thức thông quadạy học giải bài tập Toán Nhằm nâng cao năng lực nhận thức cho học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

3.1 Những quan điểm lý luận về hoạt động kiến tạo nhận thức của học sinh trong quá trình học tập và giải các bài tập Toán

3.2 Xác định những thành tố của năng lực huy động kiến thức và vai trò của chúng trong hoạt động kiến tạo kiến thức mới

3.3 Vị trí và vai trò của SGK phân ban, và thực trạng dạy học hiện nay

ở trường phổ thông

3.4 Xây dựng một số biện pháp bồi dưỡng năng lực huy động kiếnthức cho học sinh THPT theo quan điểm kiến tạo thông qua dạy học giải bàitập Toán

3.5 Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu quả củacác biện pháp được đề xuất trong luận văn

4 Giả thuyết khoa học.

Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa hiện hành, nếu xác định đượccác năng lực huy động kiến thức Đồng thời khai thác và vận dụng các biệnpháp sư phạm theo quan điểm kiến tạo thông qua dạy học giải bài tập Toán,nhằm nâng cao nhận thức cho học sinh thì sẽ góp phần đổi mới phương phápgiảng dạy Toán ở trường phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu:

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu

về các vấn đề liên quan đến luận văn

5.2 Nghiên cứu thực tiễn qua điều tra, thăm dò về lĩnh vực phát hiệnnăng lực huy động kiến thức trong dạy học Toán

5.3 Thực nghiệm kiểm chứng: tổ chức thực nghiệm sư phạm để xemxét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Quan điểm về dạy học kiến tạo và vai trò của việc bồi dưỡng

năng lực huy động kiến Toán học vào giải bài tập

1.2 Một số luận điểm về bài toán và giải bài tập Toán

1.3 Thực trạng bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức, dạy học huy

động kiến thức của học sinh và giáo viên

1.4 Kết luận chương 1

Chương 2: Một số dạng biểu hiện năng lực huy động kiến thức và biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh THPT theo quan điểm kiến tạo thông qua dạy học giải bài tập Toán.

2.1 Một số dạng biểu hiện năng lực huy động kiến thức

2.2 Một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực huy động kiến thứccho học sinh THPT theo quan điểm kiến tạo thông qua dạy học giải bài tậpToán

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Chương 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Quan điểm về dạy học kiến tạo và vai trò của việc bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức Toán học vào giải bài tập

1.1.1 Các quan điểm chủ đạo về lý thuyết kiến tạo của J Piaget

Theo từ điển tiếng việt, kiến tạo có nghĩa là xây dựng nên TheoMebrien và Brandt (1997) thì: “Kiến tạo là một cách tiếp cận “Dạy” dựa trênnghiên cứu về việc “Học” với niềm tin rằng: tri thức được kiến tạo nên bởimỗi cá nhân người học sẽ trở nên vững chắc hơn rất nhiều so với việc nóđược nhận từ người khác” Còn theo Brooks (1993) thì: “Quan điểm về kiếntạo trong dạy học khẳng định rằng học sinh cần phải tạo nên những hiểu biết

về thế giới bằng cách tổng hợp những kinh nghiệm mới vào trong những cái

mà họ đã có trước đó Học sinh thiết lập nên những quy luật thông qua sựphản hồi trong mối quan hệ tương tác với những chủ thể và ý tưởng …”

Vào năm 1993, M Briner đã viết: “Người học tạo nên kiến thức củabản thân bằng cách điều khiển những ý tưởng và cách tiếp cận dựa trên nhữngkiến thức và kinh nghiệm đã có, áp dụng chúng vào những tình huống mới,

hợp thành tổng thể thống nhất giữa những kiến thức mới thu nhận được vớinhững kiến thức đang tồn tại trong trí óc”.

Mặc dù có những cách diễn đạt khác nhau về kiến tạo trong dạy học,nhưng tất cả các cách nói trên đều nhấn mạnh đến vai trò chủ động của ngườihọc trong quá trình học tập và cách thức người học thu nhận những tri thứccho bản thân Theo những quan điểm này, người học không học bằng cáchthu nhận một cách thụ động những tri thức do người khác truyền cho mộtcách áp đặt, mà bằng cách đặt mình vào trong một môi trường tích cực, pháthiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề bằng những kinh nghiệm đã có sao chothích ứng với những tình huống mới, từ đó xây dựng nên những hiểu biết mớicho bản thân

Cơ sở tâm lý học của lý thuyết kiến tạo là tâm lý học phát triển của J

Piaget và lý luận về : “Vùng phát triển gần nhất” của Vưgotski Hai khái niệm quan trọng của J Piaget được sử dụng trong “Lý thuyết kiến tạo” là

đồng hóa (assimi - lation) và điều ứng (accommodation).

Đồng hóa là quá trình, nếu gặp một tri thức mới, tương tự như tri thức

đã biết, thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào sơ đồ nhận thứcđang tồn tại, hay nói cách khác học sinh có thể dựa vào những kiến thức cũ đểgiải quyết một tình huống mới

Điều ứng là quá trình, khi gặp một tri thức mới có thể hoàn toàn khác

biệt với những sơ đồ nhận thức đang có thì sơ đồ hiện có được thay đổi đểphù hợp với tri thức mới

Theo Vưgotski, mỗi cá nhân đều có một “Vùng phát triển gần nhất”

của riêng mình, thể hiện tiềm năng phát triển của cá nhân đó Nếu các hoạt

động dạy học được tổ chức trong “Vùng phát triển gần nhất” thì sẽ đạt được

hiệu quả cao Vưgotski còn nhấn mạnh rằng văn hóa, ngôn ngữ và các tươngtác xã hội cũng tác động đến việc kiến tạo nên tri thức của mỗi cá nhân

Lý thuyết kiến tạo nhận thức của J Piaget (1896 - 1980) là cơ sở tâm lýhọc của nhiều hệ thống dạy học, đặc biệt là dạy học phổ thông Do vậy ta có

thể nêu vắn tắt các quan điểm chủ đạo chính của lý thuyết kiến tạo nhận thứcnhư sau:

1.1.1.1 Học tập là quá trình cá nhân hình thành các tri thức cho mình Có

hai loại tri thức: tri thức về thuộc tính vật lý, thu được bằng các hoạt độngtrực tiếp với các sự vật và tri thức về tư duy, quan hệ Toán, logic thu đượcqua sự tương tác với người khác trong các quan hệ xã hội Đó là quá trình cánhân tổ chức các hành động tìm tòi, khám phá thế giới bên ngoài và cấu tạolại chúng dưới dạng các sơ đồ nhận thức Sơ đồ là một cấu trúc nhận thức baogồm một lớp các thao tác giống nhau theo một trật tự nhất định Sơ đồ nhậnthức được hình thành từ các hành động bên ngoài và được nhập tâm Sự pháttriển nhận thức là sự phát triển hệ thống các sơ đồ, bắt đầu từ các giản đồ cảmgiác và vận động

1.1.1.2 Dưới dạng chung nhất, cấu trúc nhận thức có chức năng tạo ra sự

thích ứng của cá thể với các kích thích của môi trường Các cấu trúc nhậnthức được hình thành theo cơ chế đồng hóa và điều ứng

1.1.1.3 Quá trình phát triển nhận thức phụ thuộc trước hết vào sự trưởng

thành và chín muồi các chức năng sinh lí thần kinh của học sinh, vào sự luyệntập và kinh nghiệm thu được thông qua hành động với đối tượng, vào tươngtác của các yếu tố xã hội và vào tính chủ thể và sự phối hợp chung của hànhđộng Chính yếu tố chủ thể làm cho các yếu tố trên không tác động riêng rẽ,rời rạc chúng được kết hợp với nhau trong một thể thống nhất trong quá trìnhphát triển của học sinh

1.1.2 Mô hình dạy học theo lý thuyết kiến tạo

Bản chất của quá trình dạy học là quá trình nhận thức của học sinh, đóchính là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào ý thức của học sinh Quátrình nhận thức của học sinh về cơ bản giống như quá trình nhận thức chung,

tức là cũng diễn ra theo quy luật: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu

tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn” Tuy nhiên, quá trình nhận

thức của học sinh lại có tính độc đáo so với quá trình nhận thức của các nhàkhoa học, bởi vì được tiến hành trong những điều kiện sư phạm nhất định.Quá trình nhận thức của học sinh không phải là quá trình tìm ra cái mới chobản thân rút ra từ kho tàng hiểu biết chung của loài người.

Theo những nghiên cứu của nhà tâm lý học nổi tiếng Jean Piaget về cấutrúc của quá trình nhận thức thì trí tuệ của học sinh không bao giờ trống rỗng

và nhận thức của con người ở bất cứ cấp độ nào đều thực hiện các thao tác trí

tuệ thông qua hai hoạt động đồng hóa và điều ứng Sự đồng hóa xuất hiện

như một cơ chế gìn giữ cái đã biết trong trí nhớ và cho phép người học dựatrên những khái niệm quen biết để giải quyết tình huống mới Sự điều ứngxuất hiện khi người học vận dụng những kiến thức và kỹ năng quen thuộc đểgiải quyết tình huống mới nhưng đã không thành công và để giải quyết tìnhhuống này người học phải thay đổi, điều chỉnh, thậm chí phải loại bỏ nhữngkiến thức và kinh nghiệm đã có Khi tình huống mới đã được giải quyết thìkiến thức mới được hình thành và được bổ sung vào hệ thống kiến thức đã có

Như vậy, quá trình nhận thức của học sinh, về thực chất là quá trìnhhọc sinh xây dựng nên những kiến thức cho bản thân thông qua các hoạt động

đồng hóa và điều ứng các kiến thức và kỹ năng đã có để thích ứng với môi

trường học tập mới Đây chính là nền tảng của Lý thuyết kiến tạo trong dạyhọc

1.1.3 Một số luận điểm cơ bản của lý thuyết kiến tạo trong dạy học.

Xuất phát từ quan điểm của J Piaget về bản chất của quá trình nhậnthức, các vấn đề về kiến tạo trong dạy học đã thu hút ngày càng nhiều cáccông trình của các nhà nghiên cứu và xây dựng nên những lý thuyết về kiếntạo Là một trong những người tiên phong trong việc vận dụng lý thuyết kiếntạo vào dạy học, Von Glaerfed đã nhấn mạnh một số luận điểm cơ bản làmnền tảng của LTKT

1.1.3.1 Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức

chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài

Quan điểm này hoàn toàn phù hợp với thực tiễn nhận thức trong dạyhọc, điều này cũng được thể hiện rất rõ ràng Chẳng hạn ý tưởng về quan hệ

“lớn hơn” và “nhỏ hơn” được trẻ em kiến tạo nên thông qua quá trình phản

ánh các hoạt động được thực hiện trên tập hợp các đồ vật

1.1.3.2 Nhận thức là quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của

chính mỗi người Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lậpđang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể

Theo quan điểm này nhận thức không phải là quá trình người học thụđộng thu nhận những kiến thức chân lí do người khác áp đặt lên Nếu ngườihọc được đặt trong môi trường xã hội tích cực, thì ở đó người học có thể đượckhuyến khích vận dụng những tri thức và kỹ năng đã có để thích nghi với môitrường mới và từ đó xây dựng nên tri thức mới Đây chính là quá trình nhậnthức của học sinh theo quan điểm kiến tạo

1.1.3.3 Kiến thức và kinh nghiệm mà cá nhân thu nhận phải “Tương xứng” với những yêu cầu mà tự nhiên và xã hội đặt ra.

Luận điểm này định hướng cho việc dạy học theo quan điểm kiến tạo,tránh việc để người học phát triển một cách quá tự do dẫn đến tình trạng hoặc

là tri thức người học thu được trong quá trình học tập là quá lạc hậu, hoặc quá

xa vời với tri thức khoa học phổ thông

1.1.3.4 Học sinh đạt được tri thức mới theo chu trình: Dự báo  Kiểm

nghiệm  (Thất bại)  Thích nghi  Kiến thức mới

Hai loại kiến tạo trong dạy học

1.1.3.4.1 Kiến tạo cơ bản (Radical Constructivism).

Kiến tạo cơ bản là một quan điểm nhận thức, nhấn mạnh tới cách thức

cá nhân xây dựng tri thức cho bản thân trong quá trình học tập

Nerida F Ellerton và M A Clementes cho rằng: “Tri thức được kiến

tạo một cách cá nhân” Điều này cũng phù hợp với luận điểm của Ernt Von

Glaserfeld là “Kiến thức là kết quả của hoạt động kiến tạo của chính chủ thể

nhận thức, không phải là thứ sản phẩm mà bằng cách này hay cách khác tồn tại bên ngoài chủ thể nhận thức và có thể được truyền đạt hoặc thấm nhuần bởi sự cần cù nhận thức hoặc giao tiếp”.

Như vậy, có thể nói kiến tạo cơ bản đề cao vai trò của mỗi cá nhântrong quá trình nhận thức và cách thức cá nhân xây dựng tri thức cho bảnthân Kiến tạo cơ bản quan tâm đến quá trình chuyển hóa bên trong của cánhân trong quá trình nhận thức Sự nhấn mạnh tới kiến tạo cơ bản trong dạyhọc là sự nhấn mạnh tới vai trò chủ động của người học, nhưng cũng nhấnmạnh tới sự cô lập về tổ chức nhận thức của người học

1.1.3.4.2 Kiến tạo xã hội (Social Constructivism)

Theo Nor Joharuddeen Mohdnor: “Kiến tạo xã hội là quan điểm nhấn

mạnh đến vai trò của các yếu tố văn hóa và các điều kiện xã hội và sự tác động của các yếu tố đó đến sự hình thành kiến thức” Kiến tạo xã hội xem xét

cá nhân trong mối quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực xã hội Nhân cách củachủ thể được hình thành thông qua sự tương tác của họ với những người khác.Kiến tạo xã hội nhìn nhận chủ thể nhận thức trong mối quan hệ sống động vớimôi trường xã hội

Về kiến tạo xã hội trong dạy học môn Toán ở nhà trường, Jim Neyland

đã nói: “… Toán học phải được xem xét như sự kiến tạo mang tính xã hội.

Giáo dục toán học có ý nghĩa tích cực thông qua những gì mà học sinh kiến tạo lại một cách xã hội những tri thức của quá khứ thành những tri thức hiện

1.1.4.1 Người học phải chủ động và tích cực trong việc đón nhận tình

huống học tập mới, chủ động trong việc huy động những kiến thức, kỹ năng

đã có vào khám phá tình huống học tập mới

1.1.4.2 Người học phải chủ động bộc lộ những quan điểm và những khó

khăn của mình khi đứng trước tình huống học tập mới

1.1.4.3 Người học phải chủ động và tích cực trong việc thảo luận, trao đổi

thông tin với bạn bè và với giáo viên Việc trao đổi này phải xuất phát từ nhucầu của chính bản thân trong việc tìm những giải pháp để giải quyết tìnhhuống học tập mới hoặc khám phá sâu hơn các tình huống đã có

1.1.4.4 Người học phải tự điều chỉnh lại kiến thức của bản thân sau khi

đã lĩnh hội được các tri mới, thông qua việc giải quyết các tình huống tronghọc tập

Giáo viên có vai trò quan trọng trong việc dạy học theo lý thuyết kiếntạo Khi dạy học theo lý thuyết kiến tạo, giáo viên có những nhiệm vụ sau:

Thứ nhất: Giáo viên cần nhận thức được kiến thức mà học sinh đã có được

trong những giai đoạn khác nhau để đưa ra những lời hướng dẫn thích hợp.Lời hướng dẫn phải thỏa mãn ba yêu cầu sau:

Yêu cầu 1: Lời hướng dẫn phải dựa trên những gì mà mỗi học sinh đã biết Yêu cầu 2: Lời hướng dẫn phải tính đến các ý tưởng toán học của học sinh

phát triển tự nhiên như thế nào

Yêu cầu 3: Lời hướng dẫn phải giúp học sinh có sự năng động tinh thần

khi học toán

Thứ hai: Giáo viên cũng là người “Cộng tác thám hiểm” với học sinh hay

nói cách khác giáo viên cũng là người học cùng với học sinh Vì việc học tập

và xây dựng kiến thức cũng diễn ra thông qua mối quan hệ xã hội, giáo viên,học sinh, bạn bè Do đó khi giáo viên cùng tham gia học tập, trao đổi với họcsinh thì mỗi học sinh có được cơ hội giao tiếp với nhau, với giáo viên Từ đómỗi học sinh có thể diễn đạt thành lời những suy nghĩ, những thắc mắc củamình, có thể đưa ra lời giải thích hoặc chứng minh Và chính lúc đó giáo viên

sẽ trao đổi, trả lời, hoặc hỏi những câu hỏi mở rộng hơn, đào sâu hơn nhữngvấn đề mà các em vừa nêu, đồng thời cũng giúp học sinh tổng hợp các ý kiến

để trả lời những thắc mắc của mình

Thứ ba: Giáo viên có trách nhiệm vận động học sinh tham gia các hoạt

động có thể làm tăng các hiểu biết toán học thực sự cho học sinh

Cần lưu ý rằng, tuy đề cao vai trò trung tâm của người học trong quá

trình dạy học, nhưng quan điểm kiến tạo không làm lu mờ “Vai trò tổ chức và

điều khiển quá trình dạy học” của giáo viên Trong dạy học kiến tạo, thay cho

việc nổ lực giảng giải, thuyết trình nhằm truyền thụ tri thức cho học sinh, giáoviên phải là người chuyển hóa các tri thức khoa học thành các tri thức dạy họcvới việc xây dựng các tình huống dạy học chứa đựng các tri thức cần lĩnh hội,tạo dựng nên các môi trường mang tính xã hội để học sinh kiến tạo, khám phánên kiến thức cho mình

Trong tất cả các xu hướng dạy học hiện nay, dạy học theo LTKT cótiếng nói mạnh mẽ trong giáo dục đặc biệt là trong dạy học Toán LTKT đã vàđang là một vấn đề mang tính xã hội, được chấp nhận như là một ngôn ngữcủa xã hội Tuy nhiên việc áp dụng LTKT trong dạy học là rất khó Bất kỳ

người giáo viên nào muốn dùng LTKT để “Chuyển tải kiến thức” đều có thể

thất bại Muốn thành công trong việc sử dụng LTKT thì phải dạy theo quanđiểm học sinh tự xây dựng kiến thức cho chính mình Việc dạy học theoLTKT, là lôi cuốn, hấp dẫn HS, nhưng nó đòi hỏi sự nổ lực cố gắng của cảgiáo viên và học sinh Theo nhà nghiên cứu Cobb và Steef (1983) thì giáo

viên cần phải “Liên tục cố gắng để nhìn nhận cả hành động của chính mình

và của cả học sinh từ quan điểm của học sinh” Nếu ta thực hiện việc dạy học

theo LTKT tốt thì hiệu quả của việc dạy học là rất cao [Trần Vui (2001);Using Mathematics Investigation to Enhance Students Citical And CreativeThing king, SEAMEO RECSAM – Penang, Malaysia]

LTKT là lý thuyết về việc học nhằm phát huy tối đa vai trò tích cực vàchủ động của người học trong quá trình học tập LTKT quan niệm quá trìnhhọc toán là học trong hoạt động; học là vượt qua chướng ngại, học thông qua

sự tương tác xã hội; học thông qua hoạt động giải quyết vấn đề Tương thíchvới quan điểm này về quá trình học tập, LTKT quan niệm quá trình dạy học làquá trình: giáo viên chủ động tạo ra các tình huống học tập giúp học sinh thiếtlập các tri thức cần thiết; giáo viên kiến tạo bầu không khí tri thức và xã hộitích cực giúp người học tự tin vào bản thân và tích cực học tập; giáo viên phảiluôn giao cho học sinh những bài tập giúp họ tái tạo cấu trúc tri thức một cáchthích hợp và giáo viên giúp đỡ học sinh xác nhận tính đúng đắn của các trithức vừa kiến tạo

Như vậy, LTKT là một lý thuyết mang tính định hướng mà dựa vào đógiáo viên lựa chọn và sử dụng một cách có hiệu quả các phương pháp dạy họcmang tính kiến tạo đó là: Phương pháp khám phá có hướng dẫn, học hợp tác,phát hiện và giải quyết vấn đề Trong quá trình dạy học, giáo viên phải làngười biết phối hợp và sử dụng các phương pháp dạy học mang tính kiến tạo

và các phương pháp dạy học khác một cách hợp lý sao cho quá trình dạy họctoán vừa đáp ứng được yêu cầu của xã hội về phát triển toàn diện con người

LTKT chú trọng đến vai trò nhận thức của những quá trình nhận thức

nội tại và “Cài đặt dữ liệu” của riêng từng cá nhân học sinh trong việc học

của chính mình Học sinh học tốt nhất khi các em được đặt trong một môitrường xã hội tích cực, ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết riêngcủa chính mình Học hợp tác được tổ chức nhằm tạo cơ hội cho học sinh traođổi thảo luận cách hiểu và cách tiếp cận vấn đề của mình

Như vậy, theo quan điểm của LTKT thì học Toán không phải là mộtquá trình tiếp thu một cách kỹ lưỡng những kiến thức được đóng gói, đượcgiáo viên truyền đạt một cách áp đặt, mà phải được tiếp thu một cách chủđộng Nghĩa là, học sinh phải cố gắng tự tìm tri thức cho mình thông qua việc

tái tổ chức các hoạt động của giáo viên Các hoạt động này được hiểu mộtcách rộng rãi là bao gồm những hoạt động về nhận thức hoặc về ý tưởng.

1.1.5 Quy trình tổ chức dạy học toán ở trường Phổ thông theo quan điểm kiến tạo

Trong nhà trường, hiện nay môn Toán có vai trò quan trọng trong việcthực hiện mục tiêu của nền giáo dục, đó là cung cấp cho học sinh nền tảngkiến thức toán học cơ bản, phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích,tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá phát triển khả năng độc lập, sángtạo, rèn luyện tính chính xác, cần cù cho học sinh

1.1.5.1 Khái niệm tổ chức dạy học theo quan điểm kiến tạo:

Là tổ chức các biện pháp sư phạm của giáo viên và học sinh theo mộtlôgic nhất định, theo định hướng kiến tạo qua đó giúp các em xây dụng nêncác tri thức mới và củng cố các tri thức và kỹ năng đã có

1.1.5.2 Một số đặc trưng trong việc tổ chức dạy học theo quan điểm kiến tạo:

Từ những luận điểm của lý thuyết kiến tạo và khái niệm tổ chức dạyhọc theo quan điểm kiến tạo có thể rút ra một số đặc trưng:

Dạy học là quá trình tổ chức các hoạt động học tập của học sinh nhằmgiải quyết một nhiệm vụ học tập, qua đó để học sinh tạo lập tri thức, rèn luyện

kỹ năng đồng thời phát triển tư duy Dạy cách học, cách tư duy đã trở thànhmục tiêu quan trọng của quá trình dạy học chứ không phải là biện pháp nângcao hiệu quả dạy học Kết quả của quá trình dạy học trong trường phổ thôngkhông chỉ là hệ thống tri thức mà quan trọng hơn là sự chủ động, sự thích ứngcao với những thay đổi của cuộc sống và đặc biệt là sự phát triển tư duy củangười học

Các kiến thức và kinh nghiệm đã có của học sinh là tiền đề quan trọngtrong việc thiết kế và tổ chức các hoạt động học tập Các hoạt động học tậpđược giáo viên thiết kế dựa trên đặc điểm nội tại của kiến thức chứa trong nó

và quan trọng hơn nữa là xuất phát từ kiến thức và kinh nghiệm đã có của học

sinh có liên quan đến kiến thức cần dạy nhằm gợi nhu cầu nhận thức và gâyniềm tin ở khả năng.

Các hoạt động cá nhân, các hoạt động thảo luận theo nhóm, trao đổi

giữa giáo viên và học sinh là các hoạt động mang tính chủ đạo trong quá trình

dạy học Tôn trọng các ý tưởng, giải pháp của học sinh từ đó thúc đẩy khátvọng học tập, phát huy tiềm lực của cá thể, đồng thời với tiềm lực của tập thểtrong quá trình kiến tạo tri thức

1.1.5.3 Quy trình tổ chức dạy học theo quan điểm kiến tạo.

Giai đoạn chuẩn bị: Phân tích, xác định đúng và hiểu rõ kiến thức

trọng tâm của bài học Kiến thức trọng tâm của bài học, có liên quan đến hầuhết các nội dung khác của bài học và kiến thức sau đó Việc xác định và hiểu

rõ kiến thức trọng tâm của bài học giúp GV đặt được đúng các mục tiêu củabài và thiết kế các hoạt động phù hợp Xây dựng các tình huống dạy học ở cácmức độ khác nhau, có thể kiến tạo các tình huống dạy học khác nhau để cùng

đi đến kiến thức trọng tâm, sự khác nhau đó phụ thuộc vào việc dự đoán cáckhó khăn và chướng ngại mà học sinh gặp phải khi tiếp xúc với tình huốnghọc tập mới

Thực hành giảng dạy: - Giáo viên cần điều tra các kiến thức đã có của

học sinh có liên quan đến vấn đề dạy bằng việc sử dụng các câu hỏi mà giáoviên đã chuẩn bị từ trước, nếu giáo viên sử dụng nhiều câu hỏi thì các câu hỏi

đó được in thành các phiếu học tập và yêu cầu học sinh làm các phiếu học tập

đó theo nhóm hoặc cá nhân Nếu giáo viên chỉ sử dụng một hoặc hai câu hỏithì có thể đặt câu hỏi đó trước lớp và gọi học sinh trả lời Tuy nhiên hoạt độngnày có thể không diễn ra nếu giáo viên dự đoán được khó khăn và chướngngại của học sinh

- Từ kết quả thu được ở bước 1, Giáo viên lựa chọn tình huống dạy họcphù hợp và cho học sinh tiếp xúc với tình huống học tập đó Tình huống này

có thể được in thành các phiếu học tập hoặc giáo viên trình bày trước toàn

lớp Học sinh tiếp nhận tình huống học tập, đọc, hiểu yêu cầu tình huống đặt

ra, huy động các kiến thức đã có để dự đoán câu trả lời cho tình huống

- Điều khiển việc thảo luận của học sinh để đưa ra phán đoán

- Tổ chức cho học sinh trao đổi, thảo luận, đánh giá về các phán đoánđược đưa ra, lựa chọn phán đoán thích hợp Đại diện học sinh hoặc nhóm họcsinh trình bày phán đoán của mình trước lớp, các học sinh khác nghe, so sánh,

bổ sung hoặc bác bỏ nếu cần thiết, sau đó lựa chọn phán đoán mà đại đa sốhọc sinh đều nhất trí

- Tổ chức điều khiển học sinh trao đổi để kiểm nghiệm phán đoán bằnglập luận lôgic Giai đoạn này giáo viên cần có những chỉ dẫn để cho quá trìnhkiểm nghiệm được diễn ra thuận lợi Học sinh phải huy động nhiều kiến thức

đã có và dùng lập luận lôgic để bác bỏ hoặc khẳng định sự đúng đắn các dựđoán, qua đó xá lập tri thức mới

- Tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức vừa xác lập vào tình huốngmới nhằm kiểm tra mức độ nắm vững tri thức của học sinh bằng cách sử dụngkiến thức đó vào giải bài tập, hoặc khái quát hoá kiến thức vừa xây dựngđược

Kiểm tra, đánh giá: Nhằm xem xét mức độ đạt được về tri thức – kỹ

năng – thái độ của học sinh so với các mục tiêu đã đặt ra Đồng thời cũng làbước chuẩn bị cho việc tổ chức dạy học kiến thức tiếp theo

1.1.6 Vai trò của việc bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh vào giải bài tập toán - nhìn từ một số quan điểm về năng lực toán học

Luận văn đề cập đến một vài quan điểm về cấu trúc năng lực toán họccủa một số nhà khoa học - nhằm chỉ ra rằng, năng lực huy động kiến thứctoán học là một yếu tố của năng lực toán học; đồng thời, cũng bình luận đểthấy được việc rèn luyện cho học sinh năng lực huy động kiến thức Toán họcvào giải bài tập là góp phần phát triển năng lực toán học ở học sinh

Theo V A Cruchetxki: ''Năng lực Toán học được hiểu là những đặc

điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học'' (dẫn theo [19])

Theo quan điểm này, những năng lực toán học có liên quan đến nhữngđặc điểm tâm lí cá nhân Trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ.Những điều kiện tâm lí chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng lợi hoạtđộng, chẳng hạn như: khuynh hướng hứng thú; các tình trạng tâm lí; kiếnthức kỹ năng, kỷ xảo trong lĩnh vực Toán học Việc rèn luyện cho học sinhnăng lực huy động kiến thức vào giải bài tập toán Có tác dụng tích cực, gópphần phát triển năng lực Toán học cho học sinh

Cũng theo V A Cruchetxki, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toánhọc ở lứa tuổi học sinh bao gồm:

1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:

Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm đượccấu trúc hình thức của bài toán;

2) Về mặt chế biến thông tin toán học:

a) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và cácquan hệ không gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ vớicác ký hiệu toán học;

b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ,các phép toán của Toán học;

c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phéptoán tương ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn;

d) Tính mềm dẻo của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học;

Trong quan điểm này, Toán học được hiểu theo nghĩa đầy đủ của nó,chẳng hạn: ở tài liệu toán học trong đó có nói đến bài toán; năng lực huyđộng kiến thức Toán hoc vào giải bài tập toán; và như vậy việc rèn luyệncho học sinh năng lực huy động kiến thức Toán học vào giải bài tập sẽ gópphần tích cực trong việc phát triển năng lực Toán học của học sinh Về bàitập Toán, ta có thể phân chia thành các loại bài toán như: bài toán vận dụngthuần túy kiến thức Toán học; bài toán vận dụng kiến thức Toán học dướihình thức suy luận, lập luận, chứng minh, Cùng về một kiến thức Toánhọc nào đó, học sinh có thể vận dụng dễ dàng cho các loại bài toán

Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, theo quan điểmnày ta thấy, để phát triển năng lực toán học, cần thiết phải rèn luyện cho họcsinh năng lực huy động kiến thức Toán học và đặc biệt là ứng dụng kiến thứcToán học vào giải quyết các bài toán Do đó, việc rèn luyện cho học sinhnăng lực huy động kiến thức Toán học vào giải bài tập góp phần phát triểnnăng lực toán học này

Trong cấu trúc năng lực toán học của V A Cruchetxki, các thành phầnnăng lực có tác dụng tương hỗ nhau, đan xen nhau; chính vì vậy trong việcphát triển năng lực toán học ở học sinh, việc rèn luyện, phát triển năng lực nàythường liên quan đến kỹ năng, năng lực khác; chẳng hạn, năng lực nắm đượccấu trúc hình thức của bài toán là cơ sở góp phần quan trọng cho năng lực tưduy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian (nếukhông nắm được cấu trúc hình thức của bài toán thì năng lực tư duy lôgictrong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian của học sinh

bị hạn chế đi rất nhiều), Việc rèn luyện cho học sinh năng lực huy độngkiến thức Toán học vào giải bài tập vừa nhằm hình thành, củng cố cho họcsinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, vừa phát triển năng lực tư duy của họcsinh Đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, góp phần phát triển nănglực toán học ở học sinh

Theo các quan điểm, rõ ràng việc phát triển năng lực toán học cho họcsinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của thầy, cô giáo thể hiện rõ nét ởhai lí do sau:

Thứ nhất, Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các

ngành khoa học; kỹ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết, có một đội ngũnhững người có năng lực toán học

Thứ hai, như Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần thứ IV

đã ghi rõ: "Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cuộc sống cộng đồng, của

quyền làm chủ tập thể" phải ''Bảo đảm sự phát triển phong phú của nhân cách, bồi dưỡng và phát huy sở trường và năng khiếu của cá nhân'' Nhà

trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của Toán học,không ai khác chính thầy giáo, cô giáo là những người hoặc chăm sóc vunxới cho những mầm mống năng khiếu Toán học ở học sinh, hoặc làm thui

chột chúng Qua đó ta thấy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực huy động

kiến thức Toán học vào giải bài tập là một yếu tố quan trọng trong việc phát triển năng lực Toán học ở học sinh.

1.2 Một số luận điểm về bài toán và giải bài tập toán.

1.2.1 Thuật ngữ bài toán, hệ thống các bài toán.

1.2.1.1 Hệ thống.

Thuật ngữ hệ thống được hiểu như là một thể thống nhất, ngự trị lên tất

cả các bộ phận của nó bao gồm các yếu tố và quan hệ liên kết chúng, JuX

Xtepanov xác định “Tổng thể các quan hệ giữ các yếu tố của hệ thống tạo

nên cấu trúc của nó Cho nên ta có quyền nói đến cấu trúc của hệ thống ”.

V.B.Kasevich hiểu: “Nếu hệ thống là tập hợp các yếu tố liên kết với nhau

bằng những quan hệ nhất định, thì cấu trúc là kiểu của những quan hệ này, là phương thức tổ chức của hệ thống” V.B.Kasevich đã định nghĩa hệ thống:

“Khái niệm hệ thống giã định rằng có một tập hợp nào đấy của những yếu tố

ràng buộc lẫn nhau theo một cách thức nhất định Mỗi yếu tố trong số này

chỉ thể hiện tính chính xác định tính của mình trong thành phần của chỉnh thể, của toàn bộ tập hợp Chính phức thể của các yếu tố như vậy được gọi là một hệ thống” [29, tr.125]

1.2.1.2 Bài toán.

Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số

định nghĩa sau:

G Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một

cách có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”.

Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:

“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:

1.2.1 Đối tượng của hành động ( cái đã có trong bài toán)

1.2.2 Mục đích của hành động ( cái phải tìm trong bài toán)

1.2.3 Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cáiphải tìm)

Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể Các hànhđộng của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thểhoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng

kế hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giátiến trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại

1.2.1.3 Hệ thống các bài toán.

Hệ thống các bài toán ta có thể hiểu là một tập hợp những bài toán cóliên hệ qua lại và quy định, nương tựa lẫn nhau, tạo thành một thể thống nhấtrất phức tạp

1.2.2 Các bước chung để hướng dẫn hoạt động giải bài tập toán.

Trước khi có một hệ thống bài toán, phải cho học sinh nắm được cácbước chung để hướng dẫn hoạt động giải toán, giải bài toán gốc

1.2.2.1 Đọc kỹ đề toán:

Xác định đâu là cái đã cho, đâu là cái phải tìm, cần lưu ý những điểm sau:

- Mỗi bài toán đều gồm hai bộ phận; bộ phận thứ nhất là những điều đãcho, bộ phận thứ hai là những cái phải tìm Muốn giải bất kỳ bài toán nào họcsinh cũng phải xác định cho đúng hai bộ phận đó

- Chúng ta cần hướng sự tập trung suy nghĩ của học sinh vào những từ,ngữ quan trọng của bài toán, từ nào cầo hiểu hết ý nghĩa thì phải tìm hiểu ýnghĩa của nó

- Học sinh cần phân biệt rõ những gì thuộc về bản chất của đề toán,những gì không thuộc về bản chất của đề toán để hướng sự chú ý của mìnhvào những chỗ cần thiết

- Tìm mối liên hệ để sử dụng các kiến thức phục vụ cho việc giải toán

1.2.2.2 Phân tích bài toán để tìm cách giải.

ở đây, cần suy nghĩ và trả lời câu hỏi: “Muốn giải bài toán đã cho cần

phải biết những gì, phải sử dụng những phép biến đổi nào, cơ sỡ lí thuyết trong việc giải toán? Trong đó những cái gì đã biết, cái gì chưa biết? Muốn tìm cái chưa biết thì phải biết những gì?” Cứ như thế ta đi tới những cái đã

cho trong đề toán Hướng học sinh tìm ra con đường giải bài toán đúng đắnnhất

1.2.2.3 Giải bài toán và kiểm nghiệm lại kết quả.

Xuất phát từ giả thiết của bài toán, ta sử dụng các phép biến đổi, cáckiến thức sử dụng để giải bài toán, trong đó phải tìm ra con đường đến kếtquả ngắn nhất Cần chú ý kiểm nghiệm lại kết quả có phù hợp với đề toán haykhông, các bước biến đổi phù hợp chưa, kiến thức sử dụng đã hợp lí chưa vàcon đường dẫn tới kết quả có tối ưu không

1.2.3 Khai thác hệ thống các bài toán.

Sau khi giải xong một bài toán, cần suy nghĩ xem bài toán này đã là bàitoán gốc chưa? Có thể suy từ bài toán nào nữa hay không? Hay từ bài toán

này, tìm những mối liên hệ khai thác thêm một chuỗi bài toán liên quan Điềunày dễ làm được nếu như chúng ta giải quyết được những bài toán gốc.

Từ việc giải quyết được bài toán xuất phát, tìm được bài toán gốc, rút

ra được một hệ thống các bài toán liên quan Lại hướng cho học sinh bắtchước để tìm ra được các hệ thống các bài toán khác

1.2.4 Các kỷ năng giải toán và hệ thống các bài toán.

Về bản chất kỷ năng là thuộc tính kỷ thuật của hành động, luôn có sựkiểm soát của ý thức, phản ánh mức độ của phương tiện thực hiện một hànhđộng nào đó Giải một bài toán hay hệ thống các bài toán là tiến hành một hệthống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán cần phải nắm vững cáctri thức về hành động, thực hiện hành động theo yêu cầu cụ thể của tri thức

đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giảitoán thì kỷ năng của học sinh chính là khả năng vận dụng sáng tạo, có mụcđích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải các bài toán cụ thể, thựchiện tốt và có kết quả một hệ thống hành động giải Toán để đi đến lời giải bàitoán một cách khoa học Còn người thầy chủ yếu là định hướng cho học sinh

biết tìm các khám phá ra lời giải của bài toán và thủ thuật tìm tòi các hệ

thống các bài toán liên quan Định hướng cho học sinh vận dụng các bài toán

gốc vào giải quyết các bài toán khó

1.2.5 Tiến trình giải một bài toán, khai thác hệ thống bài toán liên quan.

Theo G Polya thì “Giải một bài toán, chúng ta phải lập được một lược

đồ xác định và mạch lạc những thao tác (lôgic, toán học hay thực tiễn) bắt đầu bằng giả thiết và kết thúc bằng kết luận, dẫn dắt các kết luận đến ẩn, từ các đối tượng mà ta có trong tay đến các đối tượng ta muốn đạt tới”.

Từ đó, hướng cho học sinh tìm tòi, phát hiện ra các bài toán liên quan Tiến trình giải toán gồm 5 bước cơ bản sau:

Bước1: Tiếp nhận bài toán:

Tạo tâm lý hứng thú, thu hút tâm trí vào việc giải toán, khêu gợi trí tò

mò, lòng ham thích giải toán, khát vọng, quyết tâm giải bài toán, tìm tòi bàitoán

Tiếp cận với kế hoạch giải bài toán: Hiểu và phân tích bài toán, làm rõmối quan hệ giữa giã thiết và kết luận Phân tích gạt bỏ yếu tố không bảnchất, chỉ giữ lại quan hệ Toán học, thực chất là giữ lại mô hình Toán học

Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải bài toán.

Đây là giai đoạn bừng sáng của quá trình sáng tạo trong giải toán Phátbiểu các mối quan hệ định tính và định lượng được thể hiện trong kế hoạchgiải bài toán

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải bài toán.

Kế hoạch giải khi mới thiết lập vẫn còn ở dạng ý nghĩ tổng quát, do đóđòi hỏi học sinh phải đưa vào thực hiện qua hệ thống hành động giải toán vàhoàn thiện những chi tiết phù hợp với nó

Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải toán.

Bước này phải trở thành thói quen của học sinh, được tiến hành trongsuốt quá trình giải toán Kiểm tra kết quả bằng định tính và định lượng, chân

lý của lời giải Phát hiện và xử lý những sai lầm về hình thức, về lôgic haykhái niệm để tiến trình giải toán mang tính tối ưu

Bước 5: Thu nhận, phức hợp hoá bài toán.

Nghiên cứu lời giải bài toán, có thể tìm tòi bài toán bàng cách độc đáomới lạ Nhìn bài toán theo quan điểm toàn diện ở nhiều góc độ khác nhau đểtìm cách giải tốt nhất, tối ưu nhất

Qua việc giải toán, giáo viên giúp học sinh phương pháp xác định địnhhướng lời giải cho từng loại bài toán, đoán nhận được quá trình hình thành bàitoán đã cho, phát triển bài toán mới Nâng cao kiến thức về dạy học hệ thốngcác bài toán và phương pháp giải toán

1.3 Thực trạng bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức, dạy học huy động kiến thức của học sinh và giáo viên.

1.3.1 Đối với giáo viên:

Về thực trạng dạy học huy động kiến thức cũng như thực trạng dạy họcchung hiện nay, thì qua trực tiếp giảng dạy cũng như qua dự giờ, quan sát,trao đổi việc dạy và học của GV và HS, chúng tôi thấy rằng:

Tiếp cận với sách giáo khoa chưa phân ban (SGK chỉnh lí hợp nhấtnăm 2000) Phương pháp dạy học của GV vẫn đang nặng theo kiểu thuyếttrình, chưa phát huy được năng lực nhận thức của HS Thực tế phân phốichương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo còn có chỗ chưa được hợp lý; vớimột khối lượng kiến thức cần truyền đạt tương đối nhiều mà GV phải dạytheo đúng phân phối chương trình quy định nên việc mở rộng khai thác cáckhái niệm, tính chất, định lí, bài tập chưa được triệt để, sâu sắc Có một số

GV quan tâm đến việc phát triển tư duy của HS nhưng thông thường họ chỉđưa thêm các bài toán một cách rời rạc, chưa có sự khai thác, hướng dẫn cuốnhút học sinh vào việc đào sâu, phân tích, mở rộng, khái quát hóa, đặc biệt hóacác bài tập và lý thuyết ở SGK Lượng bài tập trong SGK còn ít, chưa phongphú về các dạng Đa số giáo viên mới chỉ giải bài tập mà chưa thể hiện được

về việc dạy giải bài tập, chưa hình thành được ở HS cách nghĩ khi đứng trướcmột bài toán

Tiếp cận với SGK phân ban Một số giáo viên vẫn có chỗ, có lúc vẫn

chưa đổi mới được phương pháp dạy học Đang nặng về thuyết trình, chưaphát huy được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh trong dạyhọc Đặc biệt là việc bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinhtrong giải bài tập Toán Đối với SGK hiện nay (phân ban) lượng kiến thứcđưa ra có phần dàng trải, các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứngdụng, không chứng minh Dẫn đến khó khăn cho giáo viên trong việc khaithác dẫn dắt giải các bài Toán Đồng thời các bài tập trong SGK chưa cónhiều bài tập đòi hỏi học sinh tư duy nhiều trong quá trình giải, nhất là vớihọc sinh khá giỏi và xu thế đề thi ra bằng trắc nghiêm khách quan Nên cóphần hạn chế việc phát triển tư duy cho học sinh Vì vậy, GV cần phải đối

mới từ cách soạn giáo án, đổi mới cách dạy , phù hợp với tình hình thực tiễnhiện nay.

Ví dụ: Tiếp cận với bài toán “Viết phương trình đường tròn qua bađiểm M(1; 2), N(5; 2) và P(1; -3)”

Đây là bài tập trong SGK lớp 12, chỉnh lí hợp nhất năm 2000, NXB

GD – Văn Như Cương (chủ biên) Cũng là Ví dụ ứng dụng trong SGK Hình

học 10 nâng cao, NXB GD năm 2006 - Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), VănNhư Cương (chủ biên)

Đại đa số GV và HS chỉ dùng lại một vài cách giải ứng dụng trực tiếpcông thức để đưa ra kết quả mà chưa có sự phân tích, đào sâu kiến thức đểhuy động đúng kiến thức nhằm phát triển tư duy cho học sinh Chẳng hạn:Trong SGK Hình học 10 đưa ra hai cách giải:

Gọi I(x; y) và R là tâm và bán kính của đường tròn đi qua ba điểm M,

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x2 + y2 – 6x +y – 1 = 0

* Cái cốt yếu ở đây là mục đích cho HS biết cách viết phương trình đường tròn dưới hai dạng:

(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2

x2 + y2 +2ax + 2by + c = 0 ( a2 + b2 > c )

Có giáo viên chỉ chú trọng vào việc dạy kiến thức trong SGK mà quên

mất việc tìm tòi, đào sâu kiến thức từ cái bản chất liên quan đến bài toán, dẫn

đến HS quá thụ động trong việc tiếp nhận kiến thức

Vì vậy, khi nêu lên được hai cách giải trên GV có thể hỏi tiếp: Em nào

có cách giải nào khác không?

Khí đó tự nhiên HS bắt đầu huy động đến nhiều kiến thức liên quan đến

d d







- Xác định được toạ độ tâm I(x; y), bán kính R = IM

+ Đường tròn xác định khi biết đường kính

Từ đó đòi hỏi HS xét xem, tam giác MNP có phải là tam giác vuônghay không Qua kiểm nghiệm thấy ngay MN

= (4; 0), MP = (0, -5), MN MP =0

Suy ra tam giác MNP vuông tại M, cho nên đường tròn cần tìm có tâm I

là trung điểm NP, bán kính R = 0,5 NP Quả là cách giải này ngắn gọn hơnnhiều

1.3.2 Đối với học sinh.

Chất lượng đại trà của học sinh còn yếu Số học sinh tự mình tiếp thu

và giải được các bài toán không nhiều Hầu hết chưa biết huy động đúng kiếnthức để ứng dụng vào giải bài tập Toán Vì vậy dẫn đến việc kiến tạo nên hệthống các bài toán có phần bị hạn chế Chẳng hạn:

* Yếu về định hướng biến đổi giải các bài toán:

B

cos2

C

Có HS sẽ loay xoay mãi mà chưa tìm ra định hướng giải Nếu HS biếtcách phân tích : Đẳng thức này biến đổi tổng thành tích, nên vận dụng kiếnthức nào?

Đến đây đòi hỏi HS lại phải biết lựa chọn công cụ thích hợp để biến

đổi, chẳng hạn: sinA + sinB = 2sin

2

A Bcos2

A B = 2cos

2

C

cos2

A B, nhìn vào

vế phải đẳng thức cần chứng minh và kết quả vừa tìm, HS nghĩ ngay đến sẽ

đặt thừa số chung là cos

* Yếu về năng lực chuyển đổi bài toán:

Từ thực tiễn sư phạm cho thấy: học sinh gặp phải nhiều khó khăn và sailầm khi chuyển một bài toán thành bài toán tương đương Chẳng hạn:

+ Khi đặt ẩn phụ, mặc dầu có thực hiện bước đặt điều kiện nhưng điềukiện không sát Nói cách khác, phương trình ban đầu có ẩn x, đặt ẩn phụ t =

( )x

 để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên học sinh chỉ đưa ra được mộtđiều kiện cần đối với t, chứ chưa phải là một điều kiện cần và đủ với t đểphương trình t =  ( )x có nghiệm theo ẩn x

Ví dụ: Tìm m để phương trình (sinx + 1)4 + 2m(sinx + 1)2 - 3 = 0 cónghiệm

Nhiều học sinh giải bài toán này như sau: “Đặt t = (sinx + 1)2, điều kiện

t > 0, để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình t2 + 2mt – 3 = 0 phải

có nghiệm t > 0, ” Nhưng thực ra điều kiện của t phải là t 0,1

+ Khi đặt ẩn phụ thường quên mất việc đặt điều kiện cho ẩn phụ, vàcho rằng, phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) =

0 có nghiệm, trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x) thông qua phép đặt

ẩn phụ t =  ( )x nào đó

Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm

x4 – 2(m + 1)x2 – 2m + 1 = 0 (1) có nghiệmMột sai lầm thường thấy của HS đó là: khi đặt x2 = t, chuyển phươngtrình đã cho về dạng t2 - 2(m + 1)t - 2m + 1 = 0 (2), và trả lời ngay phươngtrình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm, tương đương với t  0

Mà quên mất điều kiện t  0, dẫn đến lời giải sai Mà điều kiện đúng phải là:

0 0 0

t

S P

”

* Ngoài ra, trong quá trình giải bài tập toán, HS thường yếu trong việcchuyển đổi ngôn ngữ, yếu về khả năng quy lạ về quen Dẫn đến, việc khaithác các bài toán và hệ thống các bài toán liên quan sẽ gặp khó khăn Đồngthời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải Chẳng hạn, chứng minh đẳngthức của tích vô hướng hai véc tơ hay độ dài.

Ví dụ: cho tam giác ABC, H là trực tâm, M là trung điểm BC Chứng

Đối với ý 2) là liên kết với ý 1) để hoàn thành các công đoạn chứngminh Nếu không biết chuyển sang ngôn ngữ véctơ, thì quả là khó khăn Khókhăn hơn nữa là nếu bài toán chỉ độc lập với việc chứng minh ý 2)

1.4 Kết luận chương 1

Qua phần cơ sở lý luận đã trình bày chứng tỏ người thầy giáo có khả năngxây dựng, đề ra các biện pháp sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động học tậpcủa học sinh nếu họ nắm vững được cấu trúc lôgic của nội dung dạy học vàđặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học phát huy tính tích cực trong kiếntạo kiến thức Cho nên, trong quá trình dạy học, giáo viên cần lựa chọn nhữngcông cụ thích hợp để giúp học sinh định hướng đúng kiến thức chuẩn, giảiđược các bài toán đồng thời kiến tạo nên được các hệ thống bài toán liênquan Đáp ứng được với yêu cầu, định hướng và các giải pháp đổi mớiphương pháp dạy học hiện nay Vì vậy, có thể nói việc bồi dưỡng năng lựchuy động kiến thức cho học sinh THPT theo quan điểm kiến tạo thông quadạy học giải bài tập Toán là hết sức cần thiết

Chương 2Một số dạng biểu hiện năng lực huy động kiến thức và biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh THPT theo

quan điểm kiến tạo thông qua dạy học giải bài tập toán

2.1 Một số dạng biểu hiện năng lực huy động kiến thức

2.1.1 Năng lực chuyển đổi bài toán này về bài toán tương đương

nhằm thuận lợi cho việc huy động kiến thức.

Để thực hiện có hiệu quả của việc huy động kiến thức vào giải một bàitoán cụ thể nào đó Người GV cần tập luyện cho HS chuyển cách phát biểucủa bài toán sang một cách phát biểu khác tương đương, trong đó đặc biệt chútrọng vấn đề làm cho HS phát hiện được những sự tương ứng giữa hai đốitượng để phòng tránh sai lầm do đánh tráo luận đề [67, tr 89]

Trong môn Toán bậc THPT, có rất nhiều bài toán mà trong quá trìnhgiải, ta chuyển nó sang bài toán tương đương Chẳng hạn:

+ Dạng bài toán không chứa tham số, những biểu thức xuất hiện trong bài toán gợi lên việc đặt ẩn số phụ, và yêu cầu các bài toán ban đầu phải được chuyển một cách hợp lý thành yêu cầu của bài toán mới.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = - sin4x + 3sin2x - 2

Với bài toán này, ta đặt t = sin2x, điều kiện của t là 0  t  1 Yêu cầu

của bài toán được chuyển thành: “ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức g(t) = –

t2 + 3t – 2 với t 0;1” Rất nhiều học sinh, do không ý thức được điều kiệncủa t, nên đã phát biểu thành bài toán: “Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức g(t)

= – t2 + 3t – 2”, chính vì vậy dẫn đến kết quả sai: Giá trị lớn nhất bằng 1

4

+ Dạng bài toán chứa tham số, những dạng bài toán thường gặp như: Tìm điều kiện của tham số để phương trình (bất phương trình, ) có nghiệm

(vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm ) mà trong quá trình giải có dùng đến ẩn phụ.

Ví dụ 1: Cho phương trình cosx + 2 2sinx = m -1

1) Tìm m để phương trình có nghiệm

2) Tìm m để phương trình có nghiệm trong khoảng (0,

6

)3) Tìm m để phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho phương trình 1 + mcosx = m2 – cos2x

1) Giải phương trình khi m = 2

2) Tìm m để phương trình có nghiệm

ở ví dụ này, câu 2) khi đặt cosx = t, với điều kiện t   1,1 Thì bài toánchuyển về dạng “Tìm điều kiện của m để phương trình t2 + mt + 1 – m2 = 0 cónghiệm trong  1,1 ”

+ Dạng bài toán với hình thức phát biểu tuy có liên quan đến các thuật ngữ toán học, nhưng có thể chuyển về một cách diễn đạt khác không dùng đến các thuật ngữ này

Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1 tan

x x

 , phương trình viết thành:

2

1 (1 2 ) 2

2  t  t m  2 1  

2

mt  t t Thực chất của bài toán này là tìm m để có giao điểm của đường thẳng

y = m với parabol y = -t2 + 2t + 1

2 trên đoạn  1,1.Dẫn đến kết quả m 5 1,

2 2

  

2.1.2 Năng lực tương tự hoá

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: "Tri thức không phải là điều có thể dễ

dàng cho không Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao

ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo”.

Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mụcđích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tíchcực của học sinh

Ví dụ 1: Sau khi học công thức cộng, yêu cầu học sinh tính giá trị các

hàm số lượng giác của các cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos 150

Tình huống trở thành có vấn đề khi học sinh nhận thấy 150 không phải là

số đo của một cung đặc biệt và chưa biết thuật giải để trực tiếp giải bài toán

đó Học sinh tích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ năng của mình để tìm ralời giải bài tập trên bằng cách: Biểu thị 150 qua hai cung có số đo đặc biệt (150

3 2

2 2

Để củng cố có thể cho học sinh giải các bài toán sau:

sin 2

1



Ví dụ 2: Dựa vào các kết quả đã biết sau:

x 2 sin 2

1 x cos x

x sin 4

1 x 2 cos x 2 sin 2

1 x 2 cos x cos x

x 8 sin 8

1 x 4 cos x 4 sin 4

1 x 4 cos x 2 cos x cos x

Hãy nêu bài toán tổng quát và áp dụng tính:

5 cos 7

3 cos 7 cos

Tình huống gợi vấn đề sẽ không xảy ra nếu ngay từ đầu giáo viên yêucầu học sinh tính giá trị của biểu thức A bởi nó không tạo điều kiện để họcsinh có thể vượt qua được sau khi đã tích cực suy nghĩ

Dự toán nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu được bài toántổng quát

Chứng minh rằng:

x 2 sin 2

1 x 2 cos

x 2 cos x cos x

1 n



Như vậy ta đã biết công thức tính: sin x cos x cos 2 x cos 2 n xbây giờ đểtính biểu thức A ta làm như thế nào?

Có thể yêu cầu học sinh: Quan sát biểu thức A, hãy tìm cách biến đổi

để đưa nó về dạng của bài toán tổng quát:

7

5 cos

; 7

4 cos 7

3 cos        

Suy ra: A

7 sin

7

4 cos 7

2 cos 7

cos 7 sin 7

4 cos 7

2 cos 7

x 2 s co x 2 n

4 4

Hiển nhiên bài tập này là một vấn đề vì học sinh chưa có một quy tắcnào có tính chất thuật toán giải phương trình trên Sự cần thiết phải giải bàitập này được đặt ngay từ đầu bài là giải phương trình Học sinh có thể giảiđược phương trình trên nếu tích cực suy nghĩ và được sự hướng dẫn của giáoviên vì các em đã học cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp.Cho nên đây là một tình huống có vấn đề.

Giáo viên đặt câu hỏi:

- Điều kiện để phương trình có nghĩa? (tan( ).tan( ) 0

).

x 4 cos(   )

Học sinh tự mình biến đổi và tìm ra điều kiện của x? (xạ ; k z )

- Khi đó, phương trình (1) tương đương với phương trình nào?

(1) sin 4 x cos 4 x cos 4 4 x





- Phương trình (3) đã có dạng quen thuộc chưa?

- Trình bày cách giải phương trình (3)



x x

<=> '(5) = (m +2)2 - 4 (m+1)  0 <=> m2  0 , m

Vậy với mọi m thì phương trình đã cho có nghiệm

Việc giáo viên yêu cầu tìm chỗ sai trong lời giải bài toán đã tạo ra mộttình huống gợi vấn đề, bởi vì nói chung không có thuật giải để phát hiện sailầm Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân học sinh cũng rấtmuốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể chấp nhận một lời giải sai Nó

cũng gây cho người học niềm tin có ở khả năng huy động tri thức kỹ năng có

của bản thân mình vì họ hiểu rõ lời giải có sai lầm chỉ liên quan đến những trithức đã học

Sau khi phát hiện thấy sai lầm, học sinh đứng trước một nhiệm vụ nhậnthức: Tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm Đó cũng là một tình huống gợivấn đề Bởi vì học sinh chưa có sẵn câu trả lời và cũng không biết thuật giảinào để có câu trả lời, học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề, họ không chấpnhận để nguyên nhân sai lầm mà không sửa chữa, tìm nguyên nhân sửa chữasai lầm liên quan tới tri thức sẵn có của họ, không có gì vượt quá yêu cầu học

sinh thấy nếu tích cực suy nghĩ vận dụng tri thức đã học thì có thể giải quyếtđược vấn đề.

Lời giải trên sai lầm ở chỗ:

Thứ nhất, không xét trường hợp m + 1=0 (hệ số bậc 2 chứa tham số) Thứ hai, học sinh đó không ý thức được điều kiện của t nên đã phát

biểu bài toán thành: "Xác định m để phương trình (m + 1)t 2 + 2(m + 2)t + 4 =

0 có nghiệm" chính vì vậy dẫn đến kết quả sai.

Việc giải quyết sai lầm trên liên quan tới tri thức sẵn có của học sinh vìchính các em đã biết tập giá trị của hàm số cosin

Với bài này, đặt t = cosx, khi đó điều kiện của t là -1 t  1 Yêu cầucủa bài toán này được chuyển thành:

" Xác định m để phương trình (m+1)t 2 + 2(m+2) t + 4 = 0 có nghiệm thoả mãn -1 t  1 ".

2.1.3 Năng lực khái quát hoá

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợpđối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật

một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [33, tr 55].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đếnphương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã

nói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát

thì con người mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không có

khoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát làkhả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khảnăng đặc biệt” [68, tr.170]

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toánhọc là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã được cácnhà Sư phạm, nhà Toán học như: V A Krutecxki, A I Marcusêvich, Pellery,

Tổ chức quốc tế UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toánhọc của mình

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì

những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng

sơ đồ sau:

Trong môn Toán Trung học phổ thông có nhiều tình huống liên quanđến hoạt động khái quát hoá

Ví dụ:

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán Toán học;

- Khái quát hoá hướng suy nghĩ giải bài tập toán

- Khái quát hoá để hình thành phương pháp giải lớp các bài toán;

Phân tích mối quan hệ hữu cơ giữa khái quát hoá với những hoạt độngtrí tuệ khác, có thể khẳng định rằng, những hoạt động sau đây cần được chú ýtrong khi tập luyện hoạt động khái quát hoá: Phân tích, tổng hợp, so sánh,tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá, trong đó phân tích vàtổng hợp đóng vai trò nền tảng Vì vậy, cần tạo điều kiện cho học sinh tậpluyện hoạt động khái quát hoá trong mối quan hệ hữu cơ với những hoạt độngtrí tuệ khác trên cơ sở phân tích và tổng hợp Sau đây sẽ trình bày mối quan

hệ khái quát hoá với các hoạt động trí tuệ trên:

+) Khái quát hoá và so sánh

Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

lẻ đến cái tổng quát

Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơnKhái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết

So sánh bao gồm hai thành phần: phát hiện những đặc điểm chung vàphát hiện những đặc điểm khác nhau ở một số đối tượng Thành phần thứ nhấtthường diễn ra trong quá trình khái quát hoá Thật vậy, nhiều khi người ta hayxuất phát từ việc phát hiện những đặc điểm chung của một số đối tượng để điđến nhận thức cái tổng quát Ta cần khai thác mối liên hệ này giúp học sinhtập luyện khái quát hoá trên cơ sở so sánh những đối tượng, hiện tượng riênglẻ.

Ví dụ: Sau khi học sinh được học về cách giải phương trình lượng giác

cơ bản, thầy giáo có thể dẫn dắt học sinh giải các phương trình sau:

biến đổi 3 tg

3



 và dẫn đến phương trình tương đương với:

sin sin x cosx cos 1

Sau đó thầy giáo có thể hỏi học sinh: phương trình (1) có thể giải như cách

giải đã thực hiện cho phương trình (2) được không? Từ đó cho học sinh phát

hiện 1tan

4 và dẫn ra kết quả

Trên cơ sở hai bài toán trên thầy giáo cho học sinh khái quát hoá bằng

câu hỏi gợi mở như “Em hãy so sánh đặc điểm của hai phương trình trên, từ

đó phát biểu bài toán tổng quát và cách giải phương trình tổng quát?” Với

cách dẫn dắt này thì học sinh sẽ nêu được phương trình tổng quát của haiphương trình là: asinx cosxc(3) (khái quát hoá lần 1) và học sinh có thểnêu cách giải của phương trình tổng quát là: đặt a tan  , sau đó học sinh cóthể đưa phương trình về phương trình cơ bản là cos(x  ) ccos  m Tuy

nhiên, lúc này thầy giáo có thể hỏi tiếp “có cách nào đưa phương trình

c x b

x

asin  cos  về dạng phương trình (3) được không?”, với câu hỏi dẫn dắt

trên học sinh có thể phát hiện ra cách giải của phương trình tổng quát

c x b

x

asin  cos  (khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn).

Tuy nhiên, nếu thầy giáo biết gợi học sinh đến cách đưa phương trình

sinx +cosx =1 (1) về phương trình cơ bản s in(x + ) 1

p

= ở góc độ khác,

đó là: Để xuất hiện 1

2 ở vế phải ta có thể làm thế nào? Từ đó học sinh có

thể phát hiện ra cách đưa phương trình (1) về phương trình cơ bản bằng cáchchia cả hai vế của phương trình cho 2; trên cơ sở này thầy giáo có thể đặt

vấn đề liệu phương trình (2) có thể đưa về phương trình cơ bản bằng kiểu

như thế được không? Nếu học sinh gặp khó khăn thầy giáo có thể dẫn dắt tiếp

như sau:

- Em hãy quan sát phương trình (2) và phương trình cơ bản của nó?

- Từ phương trình (2) mà đưa về phương trình cơ bản tương ứng có thể chia hai vế của phương trình cho bao nhiêu?

Những câu hỏi kiểu như trên nhằm làm cho học sinh có thể ý thức được

việc đưa các phương trình (1) và (2) về phương trình cơ bản được tự nhiên

hơn Trên cơ sở này giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu kết quả khái

quát Việc giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx còn có nhiều cách

giải khác nhau, tuy nhiên ở đây chúng tôi muốn nhờ vào nó để hình thành ởhọc sinh vai trò của so sánh với khái quát hoá.

Từ trên cho thấy rằng việc chuyển từ so sánh sang khái quát hoá khôngdiễn ra một cách tự động Học sinh không những phải phát hiện những đặcđiểm chung ở những đối tượng riêng lẻ mà còn phải khám phá mối liên hệgiữa những đặc điểm đó thể hiện thành quy luật bao quát, không những cácđối tượng đã khảo sát mà còn các đối tượng khác nữa

+) Khái quát hoá và phép tương tự

Phép tương tự là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau củahai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của haiđối tượng đó Kết luận của phép tương tự có thể đúng, có thể sai, nó có tínhchất dự đoán [12, tr 148]

Sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:

* Đối tượng Đ1 có các thuộc tính t1, t2, t3;

* Đối tượng Đ2 có các thuộc tính t1, t2, t3, t4;

Kết luận đối tượng Đ1 có thuộc tính t4

Nói về vai trò của phép tương tự, nhà Sư phạm đồng thời là nhà Toánhọc nổi tiếng người Mỹ G Pôlya có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp cũng

như trong Toán học cao cấp, phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh.

Trong một số phát minh, phép tương tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”; cònđối với nhà Thiên văn học tài ba Kepler (người Đức), người đã phát minh ra

ba định luật nổi tiếng trong Thiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phéptương tự, những người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã

giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở

ngại” (dẫn theo [25, tr 148])

ở đây, chúng ta chỉ xét những phép tương tự theo nghĩa là chuyển từmột trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cáitổng quát

Chẳng hạn, xét các Mệnh đề:

"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng, tức là: 1 2

³ (trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn

hoặc bằng trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số không

âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó (c)"

Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việcchuyển từ (a) sang (b) là một phép tương tự Phép tương tự ở đây rất gần vớikhái quát hoá; phép tương tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì,việc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác củacùng một cái tổng quát là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kỳcủa cái tổng quát đó

Ví dụ: Sau khi cho học sinh chứng minh:

sinh phát biểu và chứng minh bất đẳng thức tương tự cho ba số và bốn sốkhông âm Tức là, CMR nếu a1, a2, a3, a4 là các số không âm thì