Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 2014

Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất2014

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơbản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã họcvào giải các bài toán là điều rất cần thiết Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thườnggặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trongcác đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông

Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú Cả lý luận

và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy chohọc sinh

Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìnchung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán Đứng trước bài toán này, học sinh phổthông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳngthức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán vớibài toán này rất quan trọng Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cáchnhìn khá mới mẻ Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quanđiểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại

số Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng Việc chọn hệ trục tọa

độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinhcách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liênquan khác,…

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT NguyễnHữu Tiến

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử vớilớp đối chứng

4 Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN 2: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1 Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng

a) Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng 'x Ox y Oy vuông góc với nhau Trên ,, ' Ox Oy lần lượt

chọn các véc tơ đơn vị i jr r, Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxy

b) Toạ độ của một điểm và của một véc tơ

- Cho điểm M tùy ý trong mặt phẳng ( Oxy Vì hai véctơ ) i jr r, không đồng phẳng nên có một

bộ số ( ; )x y duy nhất sao cho: OM xi yjuuur = r + r Bộ hai số ( ; )x y được hoàn toàn xác định bởi

điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu ( ; ) M x y

- Cho ar

trong mặt phẳng Oxy Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OMuuur =ar Gọi

( ; )x y là toạ độ của điểm M Khi đó bộ hai số ( ; ) x y gọi là toạ độ của véc tơ ar trên hệ trục Oxy

và ký hiệu là ar =( ; )x y .

c) Các phép tính véc tơ

Cho hai véctơ ar =( ; ),a a b1 2 r =( ; )b b1 2 và k là một số thực.

Các phép tính véctơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vô hướng haivéctơ được xác định như sau:

d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách:

Cho hai véctơ ar =( ; ),a a b1 2 r =( ; )b b1 2 và gọi a là góc tạo bởi hai véctơ đó.

a a bb ab

rrrr

ngược hướng hoặc a =r 0r hoặc b =r 0r.

- Dấu “=” bên phải xảy ra khi a b,

rr

cùng hướng hoặc a =r 0r hoặc b =r 0r.ii) - a b. £ ab. £ a b.

- Dấu “=” bên trái xảy ra khi a b,

rr

ngược hướng hoặc a =r 0r hoặc b =r 0r.

- Dấu “=” bên phải xảy ra khi a b,

rr

cùng hướng hoặc a =r 0r hoặc b =r 0r.

c) Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d Khi đó độ dài đoạn thẳng MH (với

H Î d) ngắn nhất khi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

Khi đó f x( )= u +v ³ u+ =v 2

-ïïî

rr

.Vậy min ( )f x = 2 khi x = 3 1-

- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:

+ Cách 1: Việc chọn vectơ ,u vr r cần phải khéo léo để sao cho ur+vr

là một hằng số đồngthời dấu “=” phải xảy ra

+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm

x - x+ bởi biểu thức x2- x hay x2- x- 1 thì sao?

Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một véctơ nên biểu thức dướidấu căn phải luôn dương

+ Thứ hai: Hệ số của x2 trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải bằng nhaukhông? Nếu không thì sao? Ví dụ: f x( )= x2- x+ +1 2x2- x+1

Trả lời: Do khi áp dụng: “Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A B, cho trước thìđoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách giữa điểm đầu và cuối là không đổi,nên cặp điểm A B, phải có dạng A m n B p q( , ), ( , ) hoặc A x m n B x p q( + , ), ( + , ) hoặc

A m y n B p y q+ + hoặc A x y B x p y q( , ), ( + , + ) (trong đó m n p q, , , là các giá trịkhông đổi) Và với điểm C bất kì thay đổi thì khi áp dụng công thức khoảng cách để tính

,

AC BC ta luôn được hệ số của x2 là bằng nhau.

+ Thứ ba: Khi thay bằng hàm số f x( )= x2- x+ -1 x2- 3x+1 có thể đạt giá trịlớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không?

Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số f x( ) sẽ đạt được giá trị lớn nhất Nếu như muốn

tìm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn

+ Thứ tư: Ta có thể tìm thêm giá trị lớn nhất của hàm số không?

Trả lời: Nếu như giới hạn của biến x lại trong một tập D thì ta có thể tìm được giá trị lớnnhất của hàm số đó

Các vấn đề sẽ lần lượt được áp dụng và trình bày qua các bài toán dưới đây

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Ta có OA =(x p p BO- ; ), =(q x q- ; )

.Khi đó A O B, , theo thứ tự thẳng hàng

+-

TH2: Xét | | | | 0p + q = Û p q= =0. Lúc này f x( )=2x Û min ( )f x =0,khi x=0.

Vì vậy, với mọi trường hợp ta đều có:

Nếu làm như bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không tìm được giá trị lớn nhất.

Với bài này ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”.

3(1;0), (1; )

2

Bình luận:

- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f x ='( ) 0

không khó như bài 1

- Sử dụng phương pháp này có thể giảng dạy phù hợp với chương trình lớp 10, phần hệ trục tọa độ trong mặt phẳng

Bài 5: Cho x y, là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bảng biến thiên

Từ đó suy ra: f y( )³ 2+ 3," <y 2. Dấu bằng xảy ra khi

33

y =

.+ Nếu y ³ 2, tương tự ta được f y( )=2 1+y2 + -y 2 2 5³ > +2 3

Vậy A ³ 2+ 3 với mọi số thực x y,

Khi

30,

3

x= y=

thì A = +2 3 nên giá trị nhỏ nhất của A là 2+ 3.

Bình luận: Nếu như chọn cặp điểm M x( - 1; ), (y N x+1; )y thì tuy MN = 2 sẽ nhỏ hơn

2 + 3 nhưng sẽ không có dấu “=” xảy ra Vì vậy, việc chọn tọa độ trong bài này phải hết sức tinh tế

Bài 6: Với x Î ¡ , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Nên f x( ) nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB BC AC, , của

tam giác ABC dưới một góc 1200 Dễ thấy tam giác

ABC đều, tâm O nên f x( ) đạt giá trị nhỏ nhất khi

M º O hay x =0 Và khi đó ta được min ( )f x =f(0)=3

Chứng minh bài toán phụ:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý nằm trong mặt phẳng (ABC) thì tổng MA+MB +MC nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB BC CA, , dưới một góc 1200.

Hướng dẫn: Xét phép quay tâm A góc quay 600

- Biến điểm M thành điểm N

- Biến điểm C thành điểm M

Khi đó, theo tính chất của phép quay và do góc quay bằng

BMC =CMA= Từ đó ta được điều phải chứng minh

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

( ; ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)

trong đó x y, là các số thực (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)

Phân tích : Trong hàm số f x y( ; ) xuất hiện căn bậc hai, gợi chúng ta nghĩ đến công thức khoảng cách giữa hai điểm

OA

Kết hợp với điều kiện ban đầu a2+b2=1 ta được

22

a= =b

Vậy minP = 2+ 2 khi

2.2

Vậy minP = 3 khi a= = =b c 3.

Bình luận: Đây là dạng của đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2000.

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Khi đó :

2

1( )

Vậy min ( )f x = +4 2 2 khi x =2.

Bình luận: Trong bài này, việc chọn tọa độ mang ý nghĩa quyết định Nếu chọn hệ

tọa độ hợp lý thì chúng ta thấy lời giải hết sức gọn gàng Qua bài toán này, ta cũng nhậnthấy rằng cơ sở trực quan của hình học phần nào đã giảm nhẹ được độkhó của bài toán Vận dụng hình học trong bài toán đại số, giúp họcsinh đỡ phải tính toán cồng kềnh phức tạp

Bài 12: Cho x y i i, (i =1,2,3 , )n là 2n số thực thỏa mãn : 1 1

1

n

i i i

Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

Gọi M k là điểm có tọa độ 1 1

OH =

.Khi đó ta luôn có:

OM +M M + +M M- ³ OH hay

22

P ³

.Dấu "=" xảy ra Û O M M, 1, 2, ,M n theo thứ tự thẳng

2

P =

khi

1 , ( 1,2, , )2

Giải:

Miền D là miền trong tam giác ABC tính cả biên, với

(0;4), ( 4;2), ( 2;0)

-Gọi M x y Î D( ; ) thì M sẽ nằm ở miền trong hoặc nằm

trên biên của DABC

Vế trái là giá trị của chu vi tam giác MNP Sử

dụng tính chất : "Trong các tam giác nội tiếp

đường tròn, tam giác đều có chu vi và diện tích lớn

nhất".

Nên P đạt giác trị lớn nhất khi tam giác MNP đều và nội tiếp đường tròn bán kính 5 Khi đó ta được chu vi DMNP bằng 3 15.

M a b N c d , thì từ điều kiện ta thấy M N,

là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn

tâm O1(1;1) bán kính 1 và đường tròn tâm

2(7;7)

O bán kính 5

Và ta cũng có MN2=(a c- )2+ -(b d) 2

Nối O O1, 2 cắt đường tròn bé tại G E, và cắt

đường tròn lớn tại F H, Khi đó tính được tọa

Phân tích: Bài toán sẽ sử dụng tính chất tương đối của đồ thị hai hàm số liên tục và sử

dụng tính chất miền giá trị của hàm số

Gọi a là giá trị tùy ý của hàm số y=f x( ) trên

miền xác định D Tức là hệ sau có nghiệm:

Đặt

14

- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f x ='( ) 0

không khó như bài 1

- Sử dụng phương pháp này có thể dạy cho học sinh lớp 10

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

f x = +x - x +x - x trên miền D ={x| 2 - £ x£ 2}

Phân tích: Khi đặt y= 4- x2 ³ 0 thì bài toán trở thành :

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f x y( , )= + +x y xy thỏa mãn

Điều kiện này xác định một nửa đường tròn tâm O bán kính 2 lấy phía trên trục hoành

Giải: Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số y=f x( ) trên

miền D Tức là hệ sau có nghiệm:

íï

ï ³ïïî

Coi (3) là phương trình bậc hai ẩn x y+ Phương trình (3) có nghiệm khi

Hệ (*) có nghiệm khi đường x+ = - +y 1 5 2+ m cắt nửa đường tròn, tức nó nằm giữahai đường x y+ =2 2 và x y+ = - 2 Ta suy ra:

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: f x y( ; )= -x y trên miền

{( ; ) |(x y x 6)2 (y 3)2 25,x2 (y 4)2 25, 2x y 4,x 0,y 0}

Giải: Miền xác định D được biểu diễn bởi miền tô đậm trong hình vẽ

Gọi a là một giá trị tùy ý của f x y( ; ) trên D Điều này có nghĩa hệ sau có nghiệm:

ïïî suy ra tạo độ điểm A( 5;2 5 4)+

Đường thẳng x y- =a qua A khi a = - -4 5

Đường tròn (x- 6)2+ -(y 3)2=25 cắt trục hoành tại B(2;0), (10;0)C

Đường thẳng x y- =a qua B khi a =2

Khi đó: x y- = - -4 5 và x y- =2 là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x y- =acắt miền D Từ đó suy ra:

max ( ; )f x y =2 khi x=2;y=0 và min ( ; )f x y = - -4 5 khi x= 5;y=2 5 4.+

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô và bạn bè đồngnghiệp tham khảo, đó là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và một số bài toán chứngminh bất đẳng thức

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:y=f x( )= x2- 4x+29- x2- 4x+5 trên ¡

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Bài 8: Cho hàm số f x( )=Asinx+Bcos ,(x A2+B2¹ 0)

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên

Bài 21: Chứng minh rằng "a b c, , Î ¡ ,abc=1 ta có:

32

a b a c+ +b c ba+ +c a c b+ ³

(Trích đề thi ĐH Nông nghiệp I năm 2000)

Bài 22: Cho x y u v, , , Î ¡ :u2+v2=x2+y2=1 Chứng minh rằng:

u x y- +v x y+ ³

Bài 23: Chứng minh rằng "x y, Î ¡ ta có:

a) 4cos cos2x 2y+sin (2x y- )+ 4sin2xsin2y+sin (2x y- )³ 2

b) cos4x+cos4y+sin2x+sin2y³ 2

b) Đối tượng thực nghiệm

Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm 1) và 20 em học sinh còn lại (nhóm 2) năm học 2013-2014 của trường THPT Nguyễn Hữu Tiến – Hà Nam

Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng Chọn học sinh ở 2nhóm này có lực học khá và tương đương nhau

3 Nội dung thực nghiệm

Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh: Thời gian 45’

Bài 1 (3đ): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

y=f x = x - x+ - x - x+ trên ¡ Bài 2 (4đ): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

y=f x = x+ + - x trên miền D ={x| 1- £ x£ 4}

.Bài 3 (3đ): Choa b c >, , 0 và a b c+ + =2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Kết quả thu được: xTN =7,05;x§C =5,6.

5 Kết luận

Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệm cao hơn lớp đốichứng Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượt trội so với nhóm đốichứng

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp này có thể dạy ngay cho học sinh họclớp 10 – khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) và phương pháp tọa độ trongmặt phẳng ở một mức độ nào đó (phần hình học)

PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Thực hiện mục đích của đề tài, tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau:

1 Học sinh biết áp dụng những điều đã được giới thiệu để giải quyết một số bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cũng như vận dụng vào chứng minh bấtđẳng thức Học sinh trung bình khá trở nên nắm vững được phương pháp và biết vậndụng ở dạng bài tập cơ bản, học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương pháp này để giảiquyết một số bài toán trong đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi

2 Ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Phương pháp tọa độcòn có nhiều ứng dụng: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình,bất phương trình Tôi khuyến khích các em về tìm tòi thêm

3 Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đối khảquan Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ

Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng được ýtưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu về những bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như bài toán chứng minh bất đẳng thức Nếukhéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ vàtoạ độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ralời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề của đề tài

Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng cóthể dùng phương pháp tọa độ Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều kĩthuật, phương pháp để giải đối với bài toán này Tuy nhiên phương pháp này cho thấyviệc sử dụng phương pháp tọa độ trong hình học vào giải quyết các bài toán đại số là rấtmạnh mẽ, làm cho việc trình bày lời giải trở nên gọn gàng, sáng sủa

Thông quan bản sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp mộtphần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác phương pháptọa độ một cách có hiệu quả khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sángtạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán

Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bài toán tìm giátrị lớn nhất, nhỏ nhất và bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứumối quan hệ giữa “Hình học” và “Đại số”

Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mongđược sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các đồng nghiệp đểsáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ

và thành công hơn trong giảng dạy

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Duy Tiên, tháng 4 năm 2014

Người viếtThS Trần Mạnh Hân

TÀI LIỆU THAM KHẢO