Báo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứ

Báo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứBáo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thứ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MÔN: ĐẠI SỐ MÁY TÍNH VÀ CƠ SỞ GROBNER

Chủ đề: Nghiệm của hệ phương trình đa thức

Giáo viên bộ môn: TS.Phan Đức Tuấn

Thành viên nhóm 2:

1 3119480030 Huỳnh Nguyễn Minh Khoa

2 3119480032 Phan Nguyễn Trung Kiên

3 3119480082 Phan Minh Thương

4 3119480083 Huỳnh Quang Tiến

5 3119480087 Đoàn Phạm Thùy Trang

6 3119480091 Võ Thị Thùy Trang

7 3119480099 Lê Minh Trường

8 3119480109 Huỳnh Vũ Phương Vy

9 3119480113 Mai Thị Hồng Xuyên

MỤC LỤC

PHẦN 1: TÌM HIỂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA NGHIỆM

1 Hệ phương trình đa thức 3

1.1 Nghiệm của phương trình đa thức 3

1.2 Cách giải hệ phương trình đa thức 4

1.2.1 Giải hệ phương trình 4

1.2.2 Cách tìm cơ sở Grobner _ 4

PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Tóm tắt đề bài _9

2 Gỉai bài tập _12

PHẦN 1 TÌM HIỂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

1 Hệ phương trình đa thức

1.1 Nghiệm của phương trình đa thức

Mệnh đề 1.1.3 Cho f1,… fm K là các đa thức thuần nhất khắc hằng, trong đó K là tường đóng đại số Các điều kiện sau tương đương:

(i) Hệ phương trình f1 (x) = … = fm (x) = 0 chỉ có nghiệm tầm thường (0,…0)

(ii) Tồn tại một cơ sở Grobner G của I = (f1,…fm), sao cho với mỗi 0 i n, tồn tại

g G để lm (g) = , > 0

(iii) Mọi Grobner G của I = (f1,…fm) có tính chất: với mỗi 0 i n, tồn tại g G sao cho lm (g) = , > 0

Bây giờ ta xem xét khi nào hệ phương tình đa thức có hữu hạn nghiệm

Mệnh đề 1.1.4 Cho I là iđêan thực sự của vành K Các điều kiện sau tương đương:

(i) Với mỗi i, 1 i n, I có một đa thức khác 0 chỉ chứa biến

(ii) Với mỗi 1 i n, có một đa thức khác 0 mà từ khởi đầu của nó chỉ chứa biến (iii) Mọi cơ sở Grobner của I có tính chất: với mỗi 1 i n G có một đa thức mà khởi đầu của nó chỉ chứa biến

Bổ đề 1.1.5 Cho L là một mở rộng trường của K Gỉa sử dim I=0

1.2 Cách giải hệ phương trình đa thức

1.2.1 Giải hệ phương trình

= 0

= 0 (I)

= 0

Để giải hệ phương trình (I), ta làm như sau:

1 Gọi I là ideal sinh bởi các đa thức , , , Ta tính được cơ sở Grobner của ideal I theo một thứ tự nào đó (ở đây ta xét thứ tự từ điển), ta được cơ sở G =

Khi đó nghiệm của hệ (II) là nghiệm của hệ (I) (theo bổ đề 1.1.1)

1.2.2 Cách tìm cơ sở Grobner

Ta có thể lựa chọn một trong ba thứ tự từ, ở luận văn này ta quan tâm tới thứ tự từ điển

Để tìm cơ sở Grobner của một ideal trước hết ta cần tìm từ khởi đầu của các đa thức,

S( , ), S( , ) không cần xét do từ khởi đầu nguyên tố cùng nhau

Vậy cơ sở Grobner của I là:

I =(x y , y z) với thứ tự từ điến x>y>z

Ta chứng tỏ x y , y z là cơ sở Grobner của I

Thật vậy, mọi phần tử 0 có dạng : f=g(x+y)+h(y+z) Nếu in(f) không chứa x và y chỉ chứa z, tức là f=f(z)

Thay x = z, y = -z vào biểu diễn vừa nêu của f

Ví dụ 3: Cho các đa thức

1

2 2

Áp dụng thuật toán và tiêu chuẩn Buchberger

Bước 1: Tiêu chuẩn

Bước 2:

 S(f1, f2) = x ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) - 2y ( x2 + 4y2 + 4x + 12y – 3 )

= 3x2 - 4xy - 8y3 + 6x - 24y2 + 6y = f3

Tiếp tục lặp lại bước 1 và 2 ta nhận được

 S(f1, f3) = 3x ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) – 2y ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y )

= 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 = f4

 S(f2, f3) = 3 ( x2 +4y2 + 4x + 12y – 3 ) – ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y )

= 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – 9 = f5

 S(f1, f4) = 9x ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) – 2y ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2

)

= 27x2 + 54x – 16xy3 – 32y5 – 96y4 + 24y3 = f6

 S(f2, f4) = 9 ( x2 +4y2 + 4x + 12y – 3 ) – ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2

)

= 48y2 + 18x + 108y – 27 – 8xy2 – 16y4 – 48y3 = f7

 S(f3, f4) = 9 ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) – 3 ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 )

= – 36y – 216y3 – 108y2 + 54y – 24xy2 – 48y4 = f8

 S(f1, f5) = – 2 ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) + ( 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – 9 )

= 22y + 8y3 + 36y2 – 21 = f9

Thuật toán dừng lại tại f9

Do cơ sở Grobner nhận được đã là tối thiểu

PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

TÓM TẮT ĐỀ

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:

Bài 2 Giải hệ phương trình sau:

Bài 3 Giải hệ phương trình sau:

Bài 4 Giải hệ phương trình sau:

Bài 5 Giải hệ phương trình sau:

Bài 6 Giải hệ phương trình sau:

Bài 7 Giải hệ phương trình sau:

Bài 8 Giải hệ phương trình sau:

Bài 9 Giải hệ phương trình sau:

Bài 10 Giải hệ phương trình sau:

Bài 11 Giải hệ phương trình sau:

Bài 12 Giải hệ phương trình sau:

Bài 14 Giải hệ phương trình sau:

Bài 15 Giải hệ phương trình sau:

Bài 16 Giải hệ phương trình sau:

Bài 17 Giải hệ phương trình:

Bài 18: Cho hệ phương trình

Bài 19.Giải hệ phương trình sau :

Bài 20: Cho các đa thức

1

2 2

x y xy x y f x y x y x y C x y

Tìm một cở sở Grobner của Iđêan sinh bởi các đa thức f1, f2

b) Giải hệ phương trình f1(x, y) = 0 , f2(x, y) = 0

+) Với x = y, thay vào g1 = 0, ta được x = y = 0 hoặc x = y =

+) Với x = −y, thay vào g1 = 0 ta đưoc x = , y =

+) Với 2y = 3x, thay vào g1 = 0, ta đưoc x = , y =

+) Với x2 + y2 = 0 ta có hệ

Giải hệ ta tìm được nghiệm x = và y =

Bài 2 Giải hệ phương trình sau:

+) Với y = , thay vào g2 = 0, ta được x =

+) Với y = , thay vào g2 = 0, ta được x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 3 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g3 = 0 ta được z = hoặc z =

+) Với z = , thay vào g2 = 0 và g1 = 0 ta được y = ; x =

+) Với z = , thay vào g2 = 0 và g1 = 0 ta được y = ; x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 4 Giải hệ phương trình sau:

Xét g1 = 0 suy ra

+) Với y = 1, thay vào g2 = 0 ta được x = 1

+) Với y = 0, thay vào g2 = 0 ta được x = 0

+) Với y2 + 2y + 2 = 0 suy ra y = , thay vào g2 = 0 ta được x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 5 Giải hệ phương trình sau:

+) Với y = –1, thay vào g2 = 0 ta được x = –3

+) Với y = thay vào g2 = 0 ta được x =

+) Với y = thay vào g2 = 0 ta được x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 6 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g1 = 0, suy ra

Bài 7 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g1 = 0 ta được z = hoặc z =

+) Với z = , thay vào g2 = 0 ta được y = , thay vào g3 = 0 ta được x =

+) Với z = , thay vào g2 = 0 ta được y = , thay vào g3 = 0 ta được x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 8 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g1 = 0, suy ra

+) Với y = , thay vào g2 = 0 ta được x = –2

+) Với y = , thay vào g2 = 0 ta được x = –2

+) Với y = thay vào g2 = 0 suy ra đúng với mọi x

Thay vào g3 = 0 ta tìm được x = 2 hoặc x = –6

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 9 Giải hệ phương trình sau:

Xét g1 = 0, suy ra

+) Với z = , thay vào g2 = 0 suy ra y = 0 Thay z = 0, y = 0 vào g4 = 0 suy ra x = 0

+) Với z = , suy ra y = 0, x = 1

+) Với z = suy ra x = –1, y = 2

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 10 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g1 = 0, suy ra

+) Với y = , thay vào g3 = 0 suy ra x = 0 Thay vào g2 = 0 suy ra z bất kỳ

+) Với z = , suy ra y = 0, x = 0

+) Với z = thay vào g2 = 0 suy ra y = , thay vào g3 = 0 suy ra x =

+) Với z = thay vào g2 = 0 suy ra y = , thay vào g3 = 0 suy ra x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 11 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Xét g1 = 0, suy ra

+) Với z = , thay vào g4 = 0 suy ra y = 0 Thay z = 1, y = 0 vào g5 = 0 suy ra x = 0

+) Với z = , thay vào g4 = 0 suy ra y = 0 Thay z = 1, y = 0 vào g5 = 0 suy ra x = 0

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 12 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g1 = 0, suy ra

+) Với y = , thay vào g2 = 0 suy ra x = 3

+) Với y = , thay vào g2 = 0 suy ra x = 1

+) Với y = thay vào g2 = 0 suy ra x =

+) Với y = thay vào g2 = 0 suy ra x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 13 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g3 = 0 suy ra

+) Với , thay vào g2 = 0 suy ra y =

+) Với , thay vào g2 = 0 suy ra y =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 14 Giải hệ phương trình sau:

Giải

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g1 = 0, suy ra

+) Với z = , thay vào g2 = 0 ta được y = , thay vào g3 = 0 ta được x =

+) Với z = , thay vào g2 = 0 ta được y = , thay vào g3 = 0 ta được x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 15 Giải hệ phương trình sau:

Bài 16 Giải hệ phương trình sau:

Với z = 0 thay vào g2 = 0 suy ra

+) y=0, thay vào g1 = 0 suy ra x = 1

+) y=1, thay vào g1 = 0 suy ra x = 0

Với z = 1, thay vào g3 = 0 suy ra y = 0, thay vào g1 = 0 suy ra x = 0

Với z = , thay vào g3 = 0 suy ra y = , thay vào g1 = 0 suy ra x= Với z = , thay vào g3 = 0 suy ra y = , thay vào g1 = 0 suy ra x =

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Bài 17 Giải hệ phương trình:

+)Với z = -1, thay vào g2 = 0 suy ra y = , thay vào g3 = 0 suy ra x = 0

+)Với z = -4, thay vào g2 = 0 suy ra x = thay vào g3 = 0 suy ra x = 3

+) Với z = -9, thay vào g2 = 0 suy ra x = , thay vào g3 = 0 suy ra x = 8

Vậy hệ phương trình có nghiệm

{ (x, y,z) = {(0 1,-1) , (3, 2,- 4) , (8, 3,- 9)}

Bài 18: Cho hệ phương trình

+) Với z = , thay vào g3 = 0 suy ra x =

+) Với z = , thay vào g3 = 0 suy ra x =

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 19.Giải hệ phương trình sau :

Giải

Xét iđêan I = (

Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Gröbner:

Xét g1 (z) = 0, suy ra

Với z = 1, thay vào g2 = 0 suy ra

+)Với y = 1, thay vào g3 = 0 suy ra x =

+) Với y = -2, thay vào g3 = 0 suy ra x =

Với z = −2, thay vào g2 = 0 suy ra y = 1, thay vào g3 = 0 suy ra x = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm

(x, y,z) = { (1 1,-2) , (1, 2, 1) , (-2, ,1) }

Bài 20: Cho các đa thức

Giải

a) Xét idean: I = (2xy + 3x + 4y + 6, x2 + 4y2 + 4x + 12y – 3)

Theo thứ tự từ điển

Áp dụng thuật toán và tiêu chuẩn Buchberger

Bước 1: Tiêu chuẩn

Bước 2:

 S(f1, f2) = x ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) - 2y ( x2 + 4y2 + 4x + 12y – 3 )

= 3x2 - 4xy - 8y3 + 6x - 24y2 + 6y = f3

Tiếp tục lặp lại bước 1 và 2 ta nhận được

 S(f1, f3) = 3x ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) – 2y ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y )

= 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 = f4

 S(f2, f3) = 3 ( x2 +4y2 + 4x + 12y – 3 ) – ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y )

= 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – 9 = f5

 S(f1, f4) = 9x ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) – 2y ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2

)

= 27x2 + 54x – 16xy3 – 32y5 – 96y4 + 24y3 = f6

 S(f2, f4) = 9 ( x2 +4y2 + 4x + 12y – 3 ) – ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2

)

= 48y2 + 18x + 108y – 27 – 8xy2 – 16y4 – 48y3 = f7

 S(f3, f4) = 9 ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) – 3 ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 )

= – 36y – 216y3 – 108y2 + 54y – 24xy2 – 48y4 = f8

 S(f1, f5) = – 2 ( 2xy + 3x + 4y + 6 ) + ( 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – 9 )

= 22y + 8y3 + 36y2 – 21 = f9

Thuật toán dừng lại tại f9

Do cơ sở Grobner nhận được đã là tối thiểu

b) Theo thứ tự từ điển ta có cơ sở Grobner

Thay (4) vào (2) ta được

Sau đó thay vào (1) ta được

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

(x, y) = { (– 2, ) , (– 2, ) , (2, ) , (– 6, ) }

~Hết~