Câu hỏi đề thi môn hình học giải tích (tự luận)

Ngân hàng đề thi hình học giải tích phần tự luận

DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI

LOẠI CÂU 2 ĐIỂM

Câu 1: Trong không gian affine A n (n 1 ) Chứng minh rằng:

1 Một m - phẳng (m 1 ) luôn song song với một siêu phẳng hoặc có giao với một siêu phẳng

là một m 1  - phẳng

2 Nếu hai phẳng ,  cùng song song với phẳng  và  cắt  thì phẳng   song songvới 

Câu 2: Trong không gian affine A n (n 1 ), cho hệ m 1 điểm M , M , , M0 1 m với m 1

1 Xác định phẳng nhỏ nhất chứa hệ điểm đã cho Kí hiệu phẳng đó là (M0M1Mm),chứng minh rằng dim M 0M1Mm m

2 Chứng minh rằng nếu hệ điểm đã cho độc lập thì M0Mk  Mk 1 Mm với mọi 0 k m 1  

Câu 3: Trong không gian affine thực A 3 với mục tiêu affine O;e ,e ,e  1 2 3

cho các điểm A (1;1;1) ,0 1

A (2;0;0) , A (1;0;0) , 2 A (1;1;0) , 3 A (0;0;0)0 , A (1;1;0)1 , A (2;0;1)2 , A (1;0;1)3

1 Chứng minh rằng A ; A A , A A , A A0   0 1 0 2 0 3 và A ; A A , A A , A A0  0 1  0 2  0 3

  

là những mục tiêuaffine trong 3

2 Tìm công thức đổi mục tiêu từ A ; A A , A A , A A0   0 1 0 2 0 3 đến A ; A A , A A , A A0  0 1 0 2  0 3

  

Câu 4: Trong không gian affine n

A (n 1) với mục tiêu O;e , e , ,e 1 2  n , cho n điểm độc lập

1 Cho m 1 điểm M , M , , M0 1 m độc lập Chứng minh rằng hệ điểm M , , M , M0  m m 1 phụ

thuộc khi và chỉ khi với điểm O của A n tuỳ ý thì

 (2) là một mục tiêu affine Viết công thức đổi mục tiêu affine từ (1) sang (2)

Câu 6: Trong không gian affine A n(n 1) , với mục tiêu affine {O;e ,e , ,e } 1 2  n

1 Cho điểm E sao cho OE e 1 e2 en

Câu 7: 1 Chứng minh rằng: Mọi phép biến đổi affine của không gian affine thực A biến đường

thẳng thành đường thẳng song song với nó là phép tịnh tiến hoặc vị tự

2 Cho mục tiêu affine S ;S S , ,S S0 0 1  0 n trong A n, viết phương trình tổng quát và phươngtrình tham số của m - phẳng đi qua các điểm S , 0 S , , 1 S m

Câu 8: Trong không gian affine A n (n 1) cho hai cái phẳng ,  có phương lần lượt là  , .Chứng minh rằng:

1 Nếu    thì dim(   ) dim dim  dim( )

2 Nếu    thì dim(   ) dim dim  dim(  ) 1

Câu 9: 1 Cho A A, ,  và A A, ,  là những K - không gian affine Chứng minh rằng bộ ba

A A A A ,  , là một K - không gian affine với:

2 Trong không gian affine A n (n 1 ), chứng minh rằng: hệ m 1 điểm M , M , , M0 1  m độc lập

điểm tuỳ ý của A n)

LOẠI CÂU 2 ĐIỂM

Câu 1: Trong không gian Euclid n

E (n 1 ) cho hai phẳng ,  có phương lần lượt là , .Chứng minh rằng:

1 Nếu  trực giao với  thì chúng có không quá một điểm chung và nếu chúng bù trực giaothì chúng có một điểm chung duy nhất

2 Nếu  là đường vuông góc chung của hai phẳng ,  và giao điểm của  với ,  lầnlượt là I, J thì d( , ) d(I, J)  

Câu 2: Cho E, E' là hai không gian Euclid và f :E Elà một ánh xạ Chứng minh rằng f là ánh

xạ trực giao (hay ánh xạ đẳng cự) khi và chỉ khi f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Câu 3: Cho f : E n E là một biến đổi affine của không gian Eucild n E n(n 1 ) Gọi

A , A , , A là n 1 điểm độc lập của E n và Ai f (A )i Chứng minh rằng f là ánh xạ đẳng cự

khi và chỉ khi d A , A i j d A , A i j với i, j 0,1, , n 

Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid E 2, cho hai tam giác ABC và A'B'C' có AB A 'B' , BC B'C' ,

giác A'B'C' Có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự như thế nếu cho tam giác ABC là tam giác cân,không đều?

Câu 5: Cho hai phẳng  và  trong không gian Euclid E n(n 1 ) với không gian vectơ liên kết lần

lượt là  ,  Lấy một cơ sở tuỳ ý                1, , ,2  m

 của không gian vectơ   

và lấy các điểm tuỳ ý

Câu 6: Trong không gian affine A n cho hai phẳng ,  Chứng minh rằng:

1 Có phẳng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa cả ,  Nó được gọi là bao affine của 

và 

2 Gọi không gian vectơ chỉ phương của ,  , bao affine của  và  theo thứ tự là , ,  Khi đó:        

Câu 7: Trong không gian Euclide n

E (n 1 ) với hệ toạ độ Descartes vuông góc, cho siêu phẳng 

có phương trình a x1 1a x2 2a xn na0 0 Viết biểu thức toạ độ của biến đổi đẳng cự biếnđiểm M thành điểm M' sao cho  là siêu phẳng trung trực của đoạn thẳng MM'

Câu 8: Trong không gian Euclid E n(n 1 ) cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, D Chứng minh rằng:

1 d(A, B) d(B, D) d(D,C) d(C, A) d(A, D) d(B,C)    

2 d(A,C).d(B, D) d(A, D).d(B,C) d(A, B).d(C, D) 

Câu 9: Trong không gian Euclid n

E (n 1 ), cho hai phẳng ,  có phương lần lượt là , .Chứng minh rằng nếu ,  không có điểm chung thì chúng có đường vuông góc chung và đường

vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉ khi    0

.LOẠI CÂU 3 ĐIỂM

Câu 1: Trong không gian Euclid E3 với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz Cho hyperboloid một

Câu 2: Trong không gian Euclid E3 với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho ellipsoid cóphương trình

Câu 3: Trong không gian Eucild E 3 với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz

1 Chứng minh rằng nếu mặt phẳng z Ax By C   cắt paraboloid elliptic 2 2

x y 2pz với(p 0) theo một ellipse thì hình chiếu vuông góc của ellipse đó xuống mặt phẳng Oxy là mộtđường tròn

1 Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của F xuống các tiếp tuyến của parabola.

FA FB làmột hằng số

Câu 5: Trong mặt phẳng Euclid E 2, cho hyperbola có hai tiêu điểm là F1, F2 Chứng minh rằng:

1 Tiếp tuyến tại điểm M trên hyperbola là đường phân giác trong của góc F MF 1 2

2 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm của hypebola đến tiếp tuyến tuỳ ý của nó là không đổi

Câu 6: Trong mặt phẳng Euclid E 2, cho ellipse có hai tiêu điểm là F1, F2 Chứng minh rằng:

1 Tiếp tuyến tại điểm M trên ellipse là đường phân giác ngoài của góc F MF 1 2

2 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm của ellipse đến tiếp tuyến tuỳ ý của nó là không đổi

Câu 8: Trong mặt phẳng Euclid 2

2 Chứng minh rằng đường thẳng có phương trình Ax By C 0   là tiếp tuyến của

hyperbola khi và chỉ khi

Câu 9: Trong mặt phẳng Euclid E 2 với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, cho ellipse có phươngtrình chính tắc

ĐÁP ÁN DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI

Môn: Hình học Giải tích(Dùng cho: Đại học sư phạm Toán)LOẠI CÂU 2 ĐIỂM

1.

Một m - phẳng ( m1) luôn song song với một siêu phẳng hoặc có giao với

một siêu phẳng là một m1 - phẳng. 1,0

Giả sử  là một m - phẳng,  là một siêu phẳng

Nếu  và  có điểm chung thì xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1:   thì  và  song song với nhau

0,25

0,25

1 2 Nếu hai phẳng

,  cùng song song với phẳng  và  cắt  thì phẳng

Gọi , ,  lần lượt là phương của ,  , Do ,  cùng song song với phẳng

 nên khi đó có các trường hợp sau xảy ra:

Câu Ý Nội dung Điểm 1.

Xác định phẳng nhỏ nhất chứa hệ điểm đã cho Kí hiệu phẳng đó là (

hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của hệ M M , M M , , M M 0 1  0 2  0 m

Gọi  là không gian vectơ sinh bởi hệ M M , M M , , M M 0 1  0 2  0 k , gọi  là phẳng

đi qua M có phương là 0  Khi đó  là phẳng nhỏ nhất chứa các điểm đã cho

Thật vậy: ta dễ thấy các điểm M , , M0  k thuộc  vì các vectơ M M   0 i

 

(

i 1, m ) suy ra 

 chứa không gian M M , M M , , M M0 1 0 2 0 m 



Hiển nhiên: dim M 0M1Mm  k m

Câu Ý Nội dung Điểm

1 Chứng minh rằng A ;A A , A A , A A 0    0 1 0 2 0 3

và A ;A A , A A , A A 0 0 1  0 2  0 3

  

là những mục tiêu affine trong 3

suy ra hệ A A , A A , A A  0 1 0 2 0 3 độc lập tuyến tính nên

A ; A A , A A , A A0   0 1 0 2 0 3 là mục tiêu affine trong A3

Tương tự thì A ; A A , A A , A A0 0 1  0 2  0 3

  

cũng là mục tiêu affine trong A3

0,250,250,250,25

1 Có duy nhất một siêu phẳng  đi qua n điểm đã cho 1,0

Do hệ điểm đã cho độc lập nên hệ vectơ P P , P P , , P P 1 2 1 3 1 n độc lập tuyến tính

trong A n

 Gọi  là không gian vectơ con của A n



có cơ sở là hệ vectơ P P , P P , , P P 1 2 1 3 1 n

,  là phẳng đi qua P có phương là 1 

Khi đó dim dim  n 1



nên  là siêu phẳng

Hiển nhiên  đi qua các điểm P (vì i P P   1 i )

Giả sử  là siêu phẳng có phương là  đi qua n điểm đã cho, khi đó P P 1 i

a

2

AA

a

n

AA

a

2

AA

a

n

AA

1 Cho m 1 điểm M ,M , ,M 0 1  m độc lập Chứng minh rằng hệ điểm 1,0

 ) Ngược lại, giả sử

0,25

0,25

1 Cho điểm E sao cho OE e                             1               e 2               e n

 Viết công thức đổi mục tiêu affine 1,0

từ mục tiêu {O;e ,e , ,e }                             1 2               n

sang mục tiêu {E;e 1e ,e 2 2e , ,e 3 ne } 1

6 2 Viết phương trình tổng quát của phẳng cho bởi phương trình tham số … 1,0

Từ phương trình tham số của phẳng ta giải hệ theo ẩn t :i

0,25

1.

Chứng minh rằng: Mọi phép biến đổi affine của không gian affine thực A

biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó là phép tịnh tiến

hoặc vị tự.

1,5

Giả sử f :A A là ánh xạ affine liên kết với ánh xạ tuyến tính f :  A A Do

f biến mỗi đường thẳng thành đường thẳng song song với nó nên f giữ bất động

mọi phương hay với mỗi u  A  ta có f (u) ku   , với k là một giá trị tuỳ ý khác

không, phụ thuộc vào u  A 

Lấy hai vectơ khác không tuỳ ý u, v  của A mà u và v là phương của

hai đường thẳng bất kỳ không song song với nhau

Khi đó: hệ u, v  độc lập tuyến tính và f (u) ku , f (v) tv, f (u v)          (u v)

Mặt khác f (u v) f (u) f (v) ku tv            u v ku tv   k t 

0,25

0,250,25Lấy hai vectơ khác không tuỳ ý u, v  của A mà uv Khi đó: f (u) ku   ,

f (v) tv   , nên: k v ku f (u) f ( v)       f (v)  tv suy ra k t

Vậy với mọi u A 

ta đều có f (u) ku   , với k 0 tuỳ ý nào đó và không phụ

thuộc vào u  A  Nên fkIdA

.Vậy với k 1 thì f là phép tịnh tiến, còn nếu k 1 thì f là phép vị tự

0,250,250,25

7 2 Cho mục tiêu affine S ;S S , ,S S 0               0 1               0 n

Khử các tham số t trong phương trình trên.i

Khi đó, ta được phương trình tổng quát của phẳng đi qua các điểm S , 0 S , ,1

m

S là: xi 0 với i m 1, , n  

0,25

1 Nếu    thì dim(   ) dim dim  dim(  ) 1,0

Nếu    thì giao   là cái phẳng có phương là a   Ta lấy điểm I

thuộc   và gọi  là cái phẳng đi qua I có phương là    

Do   

,   và    ,   nên  chứa cả  và  Giả sử có phẳng  chứa cả  và  thì nó chứa điểm I, phương của nó chứa 

0,250,25

và , tức là chứa    Nói cách khác  chứa  Từ đó suy ra  

Vậy: dim(   ) dim dim  dim(   )

8 2 Nếu    thì dim(   ) dim dim  dim(                               ) 1

Giả sử  là cái phẳng cũng chứa  và  thì  đi qua điểm E và phương của nó

phải chứa cả ,  và  Từ đó suy ra  chứa  và do đó  

Vậy:dim(   ) dim dim  dim (       )  

i) Lấy tuỳ ý (M, M ) A A , với mỗi (u, u )     A A  thì theo giả thiết ta có:

Trong A có duy nhất điểm N sao cho (M, N) u 

Trong A' có duy nhất điểm N' sao cho (M , N ) u    

.Tức là trong A A  có duy nhất cặp (N, N ) sao cho:

0,25

1 Nếu  trực giao với  thì chúng có không quá một điểm chung và nếu

chúng bù trực giao thì chúng có một điểm chung duy nhất.

Nếu hai phẳng ,  bù trực giao thì E  n

Suy ra dim(    ) n 1 vô lý

Vậy  và  có một điểm chung duy nhất

0,250,25

1 2 Nếu  là đường vuông góc chung của hai phẳng

,  và giao điểm của

0,250,25

u

Cho E, E' là hai không gian Euclid và f : E E' là một ánh xạ Chứng

minh rằng f là ánh xạ trực giao (hay ánh xạ đẳng cự) khi và chỉ khi f bảo

toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

nếu với mọi M, N thuộc E thì:

d(M, N)MN f (MN) f (M)f (N) d(f (M), f (N))

.Giả sử ngược lại f : E E là ánh xạ bảo tồn khoảng cách giữa các điểm

Lấy I E đặt I f (I) và xét ánh xạ f : E  E

 được xác định như sau

0,25

0,250,25

0,250,250,25

Câu Ý Nội dung Điểm Cho f : E n E n là một biến đổi affine của không gian Euclid E n ( n 1 ) Gọi

A , A , , A là n 1 điểm độc lập của E n và A i f (A ) i Chứng minh rằng f

là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi d A , A i j d A , A i j với i, j 0,1, ,n  .

Ngược lại, A , A , , A0 1  n là n 1 điểm độc lập của En, d A , A i j d A , A i j

với i, j 0,1, , n  và A i f (A )i Ta cần chứng minh f bảo toàn tích vô hướng

và   e ,e             i j A A Ai 0 jA A Ai  0 j               e ,ei j

Khi đó với mọi vectơ x, y của E n

0,250,250,25

0,25

Câu Ý Nội dung Điểm Trong mặt phẳng Euclid E 2 , cho hai tam giác ABC và A'B'C' có AB A'B' ,

BC B'C' , AC A'C' Chứng minh rằng tồn tại phép biến đổi đẳng cự của

2

E biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' Có bao nhiêu phép biến đổi

đẳng cự như thế nếu cho tam giác ABC là tam giác cân, không đều?

2,0

4

Trong E 2 các điểm A, B, C không thẳng hàng nên các vectơ AB , AC độc lập

tuyến tính Cũng như vậy các vectơ A B 

, A C   độc lập tuyến tính

Từ đó suy ra f (x)  x vậy f là ánh xạ trực giao

Nếu tam giác ABC là tam giác cân không đều thì có hai phép biến đổi đẳng cự

biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' Đó là phép đẳng cự biến A, B, C lần

lượt thành A', B', C' và phép đẳng cự biến A, B, C lần lượt thành A', C', B'

0,25

0,25

0,250,250,250,25

0,25

0,25

Câu Ý Nội dung Điểm

1 Nếu M, N, P là ba điểm phân biệt bất kỳ của

u

1 Có phẳng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa cả

,  Nó được gọi là bao

,  thì nó phải là một trong các phẳng i và do vậy nó chứa 

0,250,250,250,25

đó dễ thấy  chứa cả , 

Nếu ' là phẳng có phương là '

 chứa cả ,  thì '

 chứa ,  nên '

 chứa

Câu Ý Nội dung Điểm Trong không gian Euclide E n ( n 1 ) với hệ toạ độ Descartes vuông góc, cho

siêu phẳng  có phương trình a x 1 1a x 2 2a x n n a 0 0 Viết biểu thức toạ

độ của biến đổi đẳng cự biến điểm M thành điểm M' sao cho  là siêu phẳng

trung trực của đoạn thẳng MM'.

2,0

7

Giả sử điểm M(m ; ; m )1  n biến thành điểm M (m ; ; m ) 1 n qua phép đối xứng trực

giao qua  Khi đó đường thẳng d đi qua M và vuông góc với  có phương trình dạng:

i 1

a

2 i

i 1

2a ac

i 1

2a ac

0,25

0,25

Câu Ý Nội dung Điểm

Hay d(A, B) d(B, D) d(D,C) d(C, A) d(A, D) d(B,C)    

0,25

0,25

0,25

0,25

8 2 d(A,C).d(B, D) d(A, D).d(B,C) d(A,B).d(C, D)  1,0

Trên các đường thẳng AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B',C', D ' sao cho

CD.AB BC.AD DB.AC

0,25

0,25

0,25

0,25