Tài liệu môn Tấm và Vỏ Chương 7 hiệu ưng biên của vỏ trụ tròn trong trạng thái màng

Tài liệu môn Tấm và Vỏ Chương 7 rất cần thiết cho chuyên ngành xây dựng, dành cho các anh chị học cao học.

Chương 7 HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG

Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biếndạng, nội lực là trạng thái màng (phi mô men) Hiệu ứng biên trong trạng tháimàng là hiệu ứng xuất hiện biến dạng uốn, có đặc trưng cục bộ với vùng xuấthiện biến dạng uốn tắt nhanh trong khoảng cách nhỏ từ nguồn gây ra hiệu ứngbiên như: tại liên kết ngàm, liên kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,…

Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròndưới tác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độtrong một số trường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21]

dạng tự do và sau biến dạng có đường

kính d+ ∆d, đường sinh là đường thẳng và vỏ ở trong trạng thái màng

Tại vị trí biên ngàm, xuất hiện biến dạng uốn Trong mục này sẽ xác địnhcác thành phần nội lực do biến dạng uốn gây ra

Xét vỏ trụ tròn bán kính r, chiều dày δ với tọa độ cong của đường kinhtuyến (đường sinh) α =x và tọa độ cong của đường vĩ tuyến β = ϕ Do vỏ chịu

tải trọng đối xứng trục nên nội lực: lực trượt S =0, lực cắt theo phương vòng

Q =Qϕ = , mô men xoắn H =0 Các thành phần nội lực khác không là: theo

phương dọc trục vỏ mô men uốn M1=M x, lực cắt Q1=Q x và theo phương vòng

2

N =Nϕ =const, M2 =Mϕ =const, hình 7-2

Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 7-2, lấy tổng hình chiếu của các lực lênphương pháp tuyến, với hình chiếu của lực dọc Nϕ lên phương pháp tuyến đượcbiểu diễn trên hình 7-2:

Sau khi biến đổi, nhận được:

phương trình bằng điều kiện biến dạng

Nghiệm của bài toán nhận được

đơn giản hơn khi đưa vào biến mới là

chuyển vị theo phương pháp tuyến w

Khi đó, không cần thiết lập thêm điều kiện biến dạng vì từ chuyển vị w có thểbiểu diễn các thành phần M x, dQ x

dx , Nϕ trong các phương trình (7.1) và (7.2) nhưđối với dầm có chiều rộng rdϕ =1, hình 7-3, với độ

cứng:

( )

3 2

x

K

dx = dx (7.4)

Thành phần thứ hai chứa Nϕ của (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp

tuyến w như sau: do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục nên biến dạng theo

phương vòng εϕ, hình 7-4, được xác định bằng công thức:

với s và ∆s là chu vi và gia số chu vi vỏ trụ tròn trước và sau biến dạng.

Xét trường hợp lực dọc theo phương dọc trục N x =0 Theo lý thuyết đàn

7.1.2 Các phương trình cơ bản có xét lực dọc và nhiệt độ

Xét trường hợp vỏ trụ tròn, ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyếnnhư đã xét trong mục 7.1.1, vỏ còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và sựthay đổi nhiệt độ

Giới hạn xét trường hợp nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều dày vỏ,hình 7-5 Nhiệt độ tại mặt trung bình:

Nhiệt độ tại điểm cách mặt trung bình

khoảng cách ztheo phương pháp tuyến:

t o 1 t

o 2 t z

Hình 7-5

Tương tự như khi xét vỏ chịu tải trọng pháp tuyến, lực dọc Nϕ và dQ x

( ) ( )0 3

3

x x

Thay (7.21), (7.13) vào (7.1) nhận được phương trình vi phân cân bằng của

vỏ trụ tròn chịu lực dọc trục, tải trọng pháp tuyến p và sự thay đổi nhiệt độ:

( )

0 4

Giải phương trình (7.8) hoặc (7.22) xác định được chuyển vị pháp tuyến w

Từ chuyển vị pháp tuyến w xác định được lực cắt Q x theo (7.3c), mô men uốn

x

M theo (7.3d), lực dọc Nϕ theo (7.6) còn mô men uốn theo phương vòng Mϕ

được xác định tương tự như (7.19) theo công thức:

7.1.3 Nghiệm phương trình thuần nhất

Phương trình vi phân cân bằng của vỏ trụ tròn chịu tải trọng pháp tuyến đốixứng trục có dạng (7.8), trong trường hợp ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháptuyến còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và thay đổi nhiệt độ thì có dạng(7.22) Có thể biểu diễn phương trình cân bằng (7.8), (7.22) dưới dạng chung:

d x

=

( ) ( )

nghiệm của (7.25) là tổng nghiệm của phương trình

vi phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương

trình vi phân không thuần nhất có dạng (7.31):

Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại x=0, hình 7-6,

với các thông số ban đầu:

trong đó M0, Q0 xác định từ (7.19) và (7.20) Thay các thông số ban đầu vào (7.31)

và với giá trị các hàm Y1, Y2, Y3, Y4 tại x=0, nhận được các hằng số tích phân:

Thay các hằng số tích phân vào (7.31), nhận được phương trình chuyển vị,nội lực của vỏ ngắn theo (7.33):

Phương trình (7.33) biểu diễn phương trình chuyển

vị và nội lực theo phương pháp thông số ban đầu nên có

thể áp dụng tính cho vỏ có điều kiện biên bất kỳ Dưới đây

áp dụng (7.33) tính cho vỏ trụ tròn ngắn trong các trường

hợp:

Hình 7-7

1 Trường hợp 1: Xét vỏ có 02 đầu liên kết ngàm chịu tải trọng pháp tuyến p+

phân bố đều theo chiều dài vỏ, hình 7-7 Biên trái là ngàm nên:

[21], khi chiều dài vỏ: β ≥l 4 thì giá trị mô men uốn tại ngàm không thay đổi vàgiá trị Y M( )β =l 2, nghĩa là nếu l≥4

β thì mô men uốn tại ngàm không phụ thuộc

chiều dài vỏ và có giá trị: , 2

2

x max

p M

Ứng suất lớn nhất trong vỏ ở vị trí ngàm và giảm dần theo khoảng cách từ

vị trí liên kết ngàm, với khoảng cách: x≥ =2 1,56 rδ

β ứng suất do uốn không

đáng kể, có thể tính như trạng thái màng

2 Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn, hai đầu tựa khớp

chịu tải trọng phân bố trên một đơn vị chiều dài theo

0

w và Q0, được xácHình 7-8

định từ điều kiện biên tại x l= : w l( ) =0 và M l( ) =0 Từ phương trình (7) và(9):

Thay các thông số ban đầu này vào các phương trình (6)÷(9) nhận được

phương trình chuyển vị và nội lực tại điểm khảo sát x

Mô men uốn có giá trị lớn nhất tại vị trí vành tăng cường,

Hàm Y F phụ thuộc biến βl , khi β >l 4 giá trị Y F không đổi và có giá trị

bằng 0,25 Khi chiều dài vỏ l >3 rδ mô men uốn không phụ thuộc vào chiều dài

Ở mục trên đã chỉ ra rằng, khi chịu tải trọng đối xứng trục, nội lực trong vỏ

không phụ thuộc chiều dài vỏ khi l>3 rδ và hiệu ứng uốn chỉ xuất hiện trongvùng tương đối hẹp với chiều rộng khoảng 1,56 rδ, ngoài vùng này ứng suất douốn tắt nhanh và là ứng suất màng Ví dụ vỏ có bán kính r=1.000mm, chiều dày

vỏ δ =10mm thì giới hạn giữa vỏ dài và vỏ ngắn là l=3 rδ =300mm Như vậy,

vỏ thường gặp trong thực tế có thể xét như vỏ trụ dài

Khi tính vỏ trụ dài cũng xuất phát từ phương trình (7.25) với nghiệm tổngquát của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

w xβ =e−β C sin x C cos xβ + β +eβ C sin x C cos xβ + β

Ở khoảng cách lớn, chuyển vị w và góc xoay w' tắt dần, bằng không nênhằng số tích phân C3, C4 bằng không Do đó, nghiệm w có dạng:

Nghiệm tổng quát của (7.25) là tổng nghiệm

tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất và

nghiệm riêng của phương trình vi phân không

thuần nhất, trong đó nghiệm riêng theo (7.31a) có

11

trong đó p+ xác định theo (7.23) (7.45) Dưới đây sử dụng (7.42)÷(7.45) xét cho 02 trường hợp:

1 Trường hợp 1: Vỏ trụ tròn dài, ngàm tại đầu trái, chịu tải trọng p+ không đổitheo chiều dài, hình 7-9 Tại x=0 vỏ liên kết ngàm nên w( )0 =w'( )0 =0, còn 02thông số ban đầu chưa biết là mô men uốn M0 và lực cắt Q0

Sử dụng 02 phương trình đầu của (7.42) tại x=0 với chú ý( )0 ( )0 ( )0 1

ψ = ϑ = ϕ = , nhận được 02 phương trình xác định 02 thông số ban đầu

chưa biết là mô men uốn M0 và lực cắt Q0:

02

t

K p

t x

K p

t

K p

+ ϕ

2 Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn dài chịu tải trọng phân bố F theo chu vi vỏnhư đã xét đối với vỏ ngắn, hình 7-10 Gốc tọa độ tại vị trí tải trọng tác dụng

Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ sẽ sử dụng (7.42) và cần xác định 02 thông

số ban đầu là M0 và Q0 Lực cắt Q0 tại x=0 được xác định trực tiếp từ phần phải,phần trái tại vị trí tác dụng tải trọng của vỏ trụ dài: 0

β tính từ vị trí tác dụng của tải trọng thì các giá trị chuyển vị, nội

lực gây ra do uốn tắt nhanh

Dưới đây xét các bài toán hiệu ứng biên khi liên kết 02 vỏ trụ tròn; vỏ trụtròn với đáy là vỏ cầu, vỏ trụ tròn với đáy là vỏ xuyến, vỏ trụ tròn với chỏm cầu

có vành tăng cứng trên cơ sở phương pháp lực và các phương trình chuyển vị,nội lực của vỏ trụ dài (7.42), [21]

7.2 HIỆU ỨNG BIÊN TẠI VỊ TRÍ LIÊN KẾT 2 VỎ TRỤ TRÒN

Trong mục này xét trường hợp biến dạng uốn phát sinh tại vị trí liên kết 2

vỏ trụ tròn trong các trường hợp: độ cứng và chiều dày khác nhau, chênh lệch

nhiệt độ giữa mặt trong và mặt ngoài vỏ.

7.2.1 Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình, chiều dày khác nhau

Xét 2 vỏ trụ tròn có bán kính, chiều dày vỏ trái r1, δl và vỏ phải r2, δp liên

kết với nhau, hình 7-11 Do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục và xem là vỏtrụ dài nên khi chưa liên kết, vỏ có biến dạng tự do tương ứng với chuyển vị

r w

∆ = ở vỏ trái và và chuyển vị ∆ =r2 w p ở vỏ phải

Gia số chuyển vị giữa 2 vỏ ∆ = ∆ − ∆r2 r1 là nguyên nhân gây nên biến dạng

uốn cục bộ ở vùng liên kết 2 vỏ Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ, sửdụng phương pháp lực với hệ cơ

p

p p

w K

điểm bất kỳ theo giá trị βx, với vỏ trái lấy Q0 =X1, M0 =X2, còn với vỏ phải lấy

Q = −X , M0 =X2

Giá trị mô men M x tại x=0 của vỏ trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảmdần về hai phía Tính toán trên mới chỉ xét với tải trọng pháp tuyến p, nếu kểđến cả lực dọc trục thì thay p bằng p+, xác định theo (7.23): N x

r

+ = −µ

Dướitác dụng của áp lực pháp tuyến p, lực màng N x tác dụng dọc trục có giá trị bằng

  Như vậy, khi vỏ chịu tác

dụng của áp lực pháp tuyến p và có kể đến ảnh hưởng của lực dọc (có đáy ở 2đầu vỏ trụ) thì có thể sử dụng các công thức tính chuyển vị, nội lực khi chịu áp

lực pháp tuyến p đã nêu trên, nhân với hệ số 1 1

2

7.2.2 Liên kết 2 vỏ có mặt trung bình lệch tâm nhau

Trong mục này xét trường hợp liên kết 2 vỏ trụ có chiều dày khác nhau vàmặt trung bình của 2 vỏ lệch tâm nhau với giá trị độ lệch tâm:

Nghiệm của bài toán nhận được bằng phương pháp chồng nghiệm của 2 bài toán:

1 Vỏ chịu áp lực pháp tuyến p, có kể ảnh hưởng của lực dọc trục

2

x

pr

Nghiệm của bài toán này đã xét trong mục 7.2.1

2 Vỏ chịu mô men uốn lệch tâm phân bố đều theo chu vi vỏ tại vị trí liên kết

Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và các ẩn số cơ bản tương tự nhưtrong mục 7.2.1, chỉ khác các số hạng tự do

Khi xác định ∆1e và ∆2e, mô men lệch tâm chỉ tác

dụng ở vỏ trái, hình 7-13, sử dụng (7.42):

Hình 7-13

∆ =

Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)÷(7.45) sẽ xác định được chuyển vị

và nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ x, với vỏ trái lấy Q0 =X1, M0 =X2 còn với

7.2.3 Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình chịu tác dụng của nhiệt độ

Xét hiệu ứng biên khi liên kết 2 vỏ trụ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt

độ với nhiệt độ phía trong vỏ 0

Giá trị chuyển vị ∆1t được xác định theo (7.42a) với chú ý là ở vị trí liên

kết, hình 7-12, tại đầu trái dưới tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cùngchiều với X1 nên mang dấu dương, còn tại đầu phải chuyển vị ngược chiều với

Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)÷(7.45) sẽ xác định được chuyển vị

và nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ x, với vỏ trái lấy Q0 =X1, M0 =X2 còn với

Hình 7-14

∆ ở phía trong và phía ngoài vỏ Ở cách xa vị trí liên kết, mô men uốn

có giá trị không đổi và không phụ thuộc bán kính và chiều dày vỏ

Chú ý đến (7.18) và (7.24), mô men uốn theo phương vòng cũng có giá trị

bằng mô men uốn theo phương dọc trục, ( )

0 2

Trong mục này sẽ tính hiệu ứng uốn ở vùng có

vành tăng cứng tại vị trí liên kết vỏ trái và vỏ phải

chịu tác dụng của tải trọng p+ Vỏ trái và vỏ phải có

bán kính r, chiều dày vỏ trái δl, chiều dày vỏ phải

p

δ Vành tăng cường có diện tích tiết diện A và mô

men quán tính độc cực (chống xoắn) J p Giả thiết

chiều rộng vành tăng cường tại vị trí liên kết nhỏ nên

có thể xem liên kết vành với vỏ là liên kết điểm nên

vành không chịu tác dụng của tải trọng p+

Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và ẩn

số cơ bản như trên hình 7-15 Hệ phương trình chính

tắc có dạng:

11X1 12X2 13X3 14X4 1p 0

136

- Chuyển vị δ11 là tổng của 2 chuyển vị: chuyển vị của vỏ trái và chuyển vị của

vành dưới tác dụng của tải trọng X1 =1 Sử dụng (7.42a), chuyển vị của vỏ tráibằng: 3

+

∆ = −

- Chuyển vị δ22 là tổng chuyển vị xoay của vỏ trái và

chuyển vị xoắn của vành gây ra do X2 =1 Sử dụng

(7.42b), chuyển vị xoay của vỏ trái: 1

- Chuyển vị δ = δ =23 32 0 (xác định tương tự như δ14)

- Chuyển vị δ24 xác định tương tự như δ22 có dạng:

2

r EA

2

l

p r E

+

−δ2

trong đó tại vỏ trái lấy: Q0 = −X1, M0 =X2 và tại vỏ phải lấy: Q0 = X3, M0 = X4

Để minh họa ảnh hưởng của vành, xét trường hợp đơn giản là 02 vỏ cóchiều dày như nhau δ = δ = δl p Khi đó bài toán trở thành bài toán đối xứng:

Từ (7.57), có thể thấy rằng, độ cứng A của vành càng nhỏ thì X2 càng nhỏ.Khi A= 0 thì X1= X2 =0 Khi A→ ∞ thì nhận được giá trị lớn nhất như trườnghợp vỏ liên kết ngàm theo (7.46):

p X

+

=

p X

+

=

7.2.5 Vỏ trụ liên kết với đáy phẳng

Xét vỏ trụ tròn liên kết với đáy phẳng, hình 7-17 Hệ phương trình chính tắctheo phương pháp lực có dạng:

8 p 1

pr w

Tương tự, chuyển vị của tấm chịu tải trọng mô men phân bố m:

p

p

p r D

r h

* Trường hợp 2: δ >>h Khi δ >>h, bỏ qua chiều dày đáy h so với chiều dầy vỏ

Biểu thức (7.70) tương ứng tấm tròn liên kết ngàm

Từ (7.69) và (7.70) rút ra nhận xét: mô men uốn X2 trong trường hợp 2(chiều dày vỏ δ lớn hơn nhiều so với chiều dày đáy h) lớn hơn trường hợp 1(chiều dầy đáy h lớn hơn nhiều so với chiều dày vỏ δ)

Từ đó rút ra kết luận: mô men uốn ở vỏ nhỏ nhất khi độcứng của đáy rất lớn, xem (7.69) Khi giảm chiều dày

đáy h, mô men trong vỏ tăng đến giá trị xác định

theo (7.70) Do đó, khi liên kết với đáy phẳng, tại vị tríliên kết đáy phẳng được khoét theo chu vi và có

chiều dày bằng chiều dày vỏ, hình 7-19, để giảm mô

men ở đáy phẳng và vỏ tại vị trí liên kết

Nếu biết mô men uốn X2 và lực cắt X1 thì theo (7.61), (7.65) xác địnhđược mô men uốn tại đáy: ( 2 2) (3 )

16

r

p

và theo hình 7-17, m X= 2 là giá trị mô men uốn tại vị trí liên kết vỏ trụ và đáy

phẳng Tương tự, từ (7.60) và (7.64) xác định được chuyển vị pháp tuyến w

7.3 HIỆU ỨNG BIÊN KHI LIÊN KẾT VỎ TRỤ TRÒN VỚI VỎ CẦU, VỎ HÌNH XUYẾN

Trong mục 7.2 đã nghiên cứu

hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn Trong

mục 7.3 sẽ xét cách giải gần đúng khi

liên kết vỏ trụ tròn với vỏ cầu, vỏ trụ

tròn với với vỏ hình xuyến bằng cách

gần đúng thay vỏ cầu, vỏ hình xuyến

bằng vỏ trụ, [21]

7.3.1 Liên kết vỏ trụ tròn với chỏm

cầu

Xét vỏ trụ tròn bán kính r,

chiều dày δv liên kết với đáy là vỏ

cầu chiều dày δk, chịu tải trọng pháp

141Hình 7-19

tuyến p Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và ẩn số cơ bản trên hình 7-20.

a Xác định δ11: Lực X1 =1 tác dụng vuông góc với trục vỏ được phân tích thành

02 lực, hình 7-20.1c: theo phương pháp tuyến của vỏ cầu là 1.sinα0 và theo

phương tiếp tuyến với vỏ cầu là 1.cosα0 Khi α0 lớn, thành phần lực tiếp tuyến

chỉ gây lực màng nên bỏ qua biến dạng uốn do nó gây nên Trường hợp khi α0

nhỏ, biến dạng uốn do thành phần tiếp tuyến gây nên cần phải xét đến

Do vậy, tính toán vỏ cầu thay thế bằng vỏ trụ được giới hạn với 0

α > ,[21] Khi giải chính xác không thể giải độc lập trạng thái màng và trạng thái uốn,nghĩa là trong trường hợp này không xét được độc lập với việc khai triển X1=1thành các thành phần 1.sinα0 và 1.cosα0 mà phải xét với tải trọng như trên hình

7-20.1a

* Xét tác dụng của thành phần tải trọng 1.sinα0 Vỏ cầu tại vị trí liên kết, hình

7-20.1b được thay thế bằng vỏ trụ có bán kính R xác định theo (7.72) Trongtrường hợp này, sử dụng (7.42a) với Q0 =1.sinα0 nhận được chuyển vị theo

phương pháp tuyến của vỏ trụ thay thế (phương lực khai triển 1.sinα0):

12 1

k k

2 0 3

2 k k

sin K

α