Thuvienhoclieu com cac dang bai tap trac nghiem gioi han day so

thuvienhoclieu.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ I.. Dạng 2: Tính giới hạn dãy số có chứa căn.. Lời giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau đó bấm CALC

Trang 1

thuvienhoclieu.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ

I LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1 Các giới hạn đặc biệt

a

1 lim k 0

n  với k nguyên dương.

b limqn  nếu 0 q 1

c Nếu u n  (c là hằng số) thì lim c u n limc c

d limn  với k k nguyên dương.

e limq  nếu n q  1

2 Tổng của cấp số nhận lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn ( )u có công bội q với n q 1: 1 2 1

1

u

q



Các định lí về giới hạn.

a) Nếu limu n a;limv n  Khi đó:b

lim(u nv n) lim u n limv n   a b

lim(u n v n) lim u n limv n  a b

lim n ( 0)

n

b

b) Nếu u n   và lim0, n u n  thì a a  và lim0 u n  a

c) limu n a

và lim3u n 3 a limu n  và a lim3u n 3 a

Định lí 2

a) Nếu limu n a;limvn  thì lim 0

n n

u

b) Nếu limu n   ; limva 0 n  và 0 v  với mọi n thì n 0 lim

n n

u

c) Nếu limu n ;limvn   limb 0 u  thì lim n u v  n n

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ

Khi

( ) ( )

n

P n u

Q n



(trong đó P n 

và Q n 

là các là các đa thức của n )

Phương pháp giải : Chia tử và mẫu cho n với k k

n là lũy thừa có số mũ cao nhất của P n  và

 

Q n

, sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn ( ) u là đa thức bậc k , ta đặt n k

n

làm nhân tử chung, sau đó sử dụng định lí 2 về giới hạn

Câu 1: Tính

4

lim

2

n



Lời giải Chọn A

Trang 2

4

2

n

 





=

0 0

1

Câu 2: Tính lim( 2 n33n1)

Lời giải Chọn C

2 3

lim( 2n 3n 1) limn ( 2 )

Câu 3: Tính

(2 1)(3 2) lim

Chia cả tử và mẫu cho n ta có:7

3

(2 1)(3 2)

  

3 2

2

2 5

lim

2

n

  

Vì lim n 2 nên

3 2

2 5

2

  

Dạng 2: Tính giới hạn dãy số có chứa căn.

Hướng 1: Đánh giá bậc của tử và mẫu Sau đó, chia cả tử và mẫu cho n k với k là số mũ lớn nhất của

( )

P n và Q n( ) (hoặc rút k

n là lũy thừa lớn nhất củaP n( ) và Q n( ) ra làm nhân tử) Áp dụng

các định lí về giới hạn để tìm giới hạn

Hướng 2: Nhân với biểu thức liên hợp.

Câu 4: Tìm

n

 

n

 

=

lim

n n n

 

=

2

n

Trang 3

thuvienhoclieu.com Câu 5: Tính limn2 n 4n1

lim n  n 4n1

=

2

limn 1

n n

Vì lim n 2

và

2

n n

Chú ý: Có thể kết luận kết quả của các giới hạn sau:

1) lim n2  n 1 n

2) lim n43n 1 n

Câu 6: Tính lim n2 4n n 

2

4

n



= - 2.

Câu 7: limn 38n33n2

bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B

lim n 8n 3n2

=

3

2 3

limn 1 8

Vì

3

2 3

Câu 8: Tính

2 2

lim

 

Lời giải Chọn D

Trang 4

2 2

lim

 

   =

2

lim

n

 

  

không xác định được vì rơi vào giới hạn vô định dạng

0 0 2 2

lim

 

   =

lim

=

2 2

lim

=

2

lim

Dạng 3: Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa.

   

 

n

P n u

Q n



(trong đó P n 

và Q n 

là các biểu thức chứa hàm mũ , , a b c n n n

Phương pháp giải : Chia cả tử và mẫu cho a n trong đó a là cơ số lớn nhất.

Câu 9: Tìm

1

1 3 lim

1 3

n n







A

2

1

1 3 lim

1 3

n n





 =

1 3.3 lim

1 3

n n



 =

1 3 3

1 1 3

n

 



 

 



 

Câu 10: Tìm:

9 3.4 lim

6.7 8

n n





1 2



9 3.4 lim

6.7 8

n n



 =

4

1 3

9 lim

6

n

   



   

 

     



     

   

Trang 5

Vì

4 lim 1 3

9

n

   



   

 

  = 1 > 0;

lim 6

     



     

   

lim6

   



   

    > 0

Câu 11: lim 5 n 2n

 bằng

5 2

Ta có

2

5

n

n n n   

      

   

Vì lim5n  và

2

5

n

   

   

   

1 2 3

n

   

bằng

1

Ta có

 1

1 2 3

2

n n

Nên

 

1

1 2 3

lim

2

n n n



   



=

1

2

Câu 13: Tính tổng của dãy số

1 4

n n

u 

A

3

1

1 4

Ta có: u là cấp số nhân lùi vô hạn với n 1 1

;

Nên tổng các số hạng của dãy số là

1

2 3

1

4

u S

q

CHÚ Ý: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH

Quy ước: Trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n.

Ghi nhớ cách nhập giá trị của x.

 x   thì ta nhập x 9999999999 (10 số 9 )

 x    thì ta nhập x 9999999999 (10 số 9 )

 Đề bài yêu cầu tính lim u n

thì ta hiểu rằng, biến n   

Ghi nhớ cách hiển thị kết quả

 Gặp hằng số 10c n (trong đó  là số nguyên âm, thông thường  10, 12, )

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

1 3 3 lim 1 1 3

n

 



 

 



 



 

 

TIẾT 51

Trang 6

Ví dụ 1: 15.1012 là số rất nhỏ và gần bằng 0

 Gặp hằng số c.10 , 10 , 10 c 20 đọc là (dấu của c) nhân vô cực với c là hằng số (chú ý có thể lớn

hơn 10)

Ví dụ 2: 5.1010 là âm vô cực, ghi là  ;5.1010 là dương vô cực, ghi là 

Ví dụ 3. Tính giới hạn sau:

1

n 

Lời giải

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

 Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như hình bên Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng bao nhiêu?”

 Nhập: x 9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: 1.1010 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0 Vậy

1

 1 lim

5

n





Lời giải

 Sau đó bấm CALC

 Nhập x 9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Trang 7

Kết quả: 9,999999996.1011 là một giá trị rất nhỏ gần bằng 0

Vậy

 1

5

n







  2

1 cos

1

n

n n





 Nếu ta nhập

  2

1 cos 1

n

n n



 , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR

Lời giải

Vận dụng định lí 1 nếu u n  với mọi n và lim v n v  thì lim n 0 u  n 0

Ta có đánh giá sau:

 

n



, ta chỉ cần ghi 2

1 1

n  vào máy tính là sẽ tính

được

 Sau đó bấm CALC

 Nhập: x 9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: 1.1020 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0 Vậy

  2

1 cos

1

n

n n







Ví dụ 6. Tính giới hạn sau

 1

2 1

n





 Nếu ta nhập

 1

2 1

n



 , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng rất nhanh nên sẽ không tính được trên máy tính Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau:

Trang 8

Lời giải

 Bấm CALC

 Nhâp: x 100, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: 7,888609052.1031 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0

Vậy

 1

2 1

n







NHẬN XÉT: Qua 4 ví dụ trên, phần nfao bạn đọc đã hiểu về cách sử dụng máy tính cầm tay

(MTCT) để giải các bài toán về dãy số có giới hạn là 0 Có những bài toán sử dụng máy tính và nhập lệnh CALC x 9999999999 sẽ ra luôn kết quả, có những bài toán không ra được ngay, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các cách đánh giá cũng như đổi cách bấm máy để ra được kết quả bài toán Qua đây, đòi hỏi chúng ta cần có kiến thức khá chắc chắn về định nghĩa giới hạn dãy số để có thể vận dụng làm các bài tập cho tốt hơn

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

lim n  2n1

bằng

Ta có:

2 3

Vì lim n 3 và 2 3

  nên theo quy tắc 2, limn3 2n1 

Câu 2. lim 5 n n 21

bằng

Ta có

2

n n

      

Trang 9

Vì lim n 2 và 2

5 1

n n

  nên lim 5 n n 21  

(theo quy tắc 2)

Tổng quát: Cho k là một số nguyên dương.



nếu a  k 0.



nếu a  k 0.

Chẳng hạn:  3 

lim n  2n1 

vì a   ; 3 1 0 lim 5 n n 21  

vì a   2 1 0

Câu 3. limu , với n

2 2

n

u

n

 



bằng:

Lời giải

Chọn B

Ta có:

2

Câu 4. lim ,u với n

3 2

7

n

u



Lời giải

Chọn C

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n3 (n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta

được:

2 3

3

2

1

u

n n



 

1 7

n n

3 2

 

Câu 5. Giới hạn của dãy số  u n ,

với

3

n

u



1 3

Lời giải

Chọn B

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n4 (n4 là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

2 3

n

u

Câu 6. Giới hạn của dãy số  u n với

3 2

2

n

u



 , bằng

A

3

Lời giải

Chọn C

Trang 10

Chia cả tử và mẫu cho n2 (n2 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được

2

2 1 3

1

n

u

n

 

Vậy

3 lim lim

2

n

 

Câu 7.

 

1 lim

1

n

n n



 bằng

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

n



mà 2

1

n  nên suy ra

 

1

n

n n







Câu 8. Cho dãy số  u n

được xác định bởi

1,

2

n

u



  với mọi n 1 Tìm giới hạn của

 u n .

A limu  n 1 B limu  n 1 C limu  n 2 D limu  n 2

Lời giải

Chọn C

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được u  với mọi n n 0

Đề bài không cho biết dãy số  u n

có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn Do đó có thể khẳng định được dãy số  u n có giới hạn hữu

hạn Đặt limu n  L 0

1

2

n

u



Hay

2

Vậy limu  n 2

(loại trường hợp L  2) Vậy limu  n 2.

Câu 9. Tổng

1 1 1

2 4 8

S     

bằng:

2

3

2.

Chọn B

Lời giải

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u  và 1 1 q 12

Trang 11

Do đó

1 2 1 1 2



lim 1.3 3.5 2n 1 2n 1

1

3

Chọn C

Lời giải

Câu 11. Biết limu  Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau n

lim

n n

u u





1

n n

u u





lim

n n

u u





1 lim

n n

u u





Ta có:

2 2

2

1

5

n

u





Vì limu  nên n

1

n

1

n

n n

u u

Câu 12.

   

2 2

lim

bằng bao nhiêu?

Bậc của tử và mẫu thức đều bằng 3 nên dãy có giới hạn hữu hạn Hệ số của n trên tử bằng3

2

2 1 4 , hệ số của n dưới mẫu bằng 1.2 23  nên giới hạn là

4 2

2 .

Câu 13. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ?

A

2

limn n

2 3

lim

3



3 3

lim

2

lim

1 2

n

 

Trang 12

Phân thức

2

 có bậc của tử thức cao hơn bậc của mẫu thức, đồng thời hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của tử thức và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của mẫu thức đều dương nên suy ra giới hạn của dãy số tương ứng bằng 

(Phân thức

3 3

2

 có bậc tử bằng bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng

1 2

 Phân

thức

2 3

3



 có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng 0

Phân thức

1 2

n

 

 có bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhưng hệ số của lũy thừa bậc cao nhất trên tử

và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất dưới mẫu trái dấu nhau nên giới hạn dãy số tương ứng bằng

 )

Câu 14. lim n2  n 1 3 n33n2

bằng:

A

1

Lời giải

Chọn A

2

n   n n  n   n   n n  n n  n  

Câu 15. lim 3.2 n 1 5.3n 7n

bằng:

 1  2

n

n n

         

 

Tiêu đề	Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Giới Hạn Dãy Số
Trường học	Thư Viện Học Liệu
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu học tập

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,56 MB