Rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp cho học sinh trong dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9 trung học cơ sở

Rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp cho học sinh trong dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9 trung học cơ sở

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng

được ai công bố trong bất kỳ công trình nào

Tác giả luận án

Bạch Phương Vinh

CÁC TỪ VIẾT TẮT

STT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

MỤC LỤC

Trang

1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài 7

1.2.3 Phân tích, tổng hợp và những hoạt động trí tuệ có liên quan trong

1.3 Dạy học giải toán hình học và hoạt động của học sinh 39

1.3.2 Các dạng toán trong chương trình hình học phẳng lớp 9 42

1.3.4 Đặc điểm về sự phát triển trí tuệ của học sinh lớp 9 45 1.4 Thực trạng về rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp cho học

sinh trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9 46

Chương 2 BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN HOẠT ĐỘNG PHÂN TÍCH VÀ

TỔNG HỢP CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

HÌNH HỌC PHẲNG LỚP 9

51

2.2.1 Rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài

2.2.2 Rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài

2.2.3 Rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài

DANH MỤC SƠ ĐỒ, HÌNH ẢNH, BIỂU ĐỒ, BẢNG

BĐTD 1 (Bài toán mở) Bài 1 Luyến tập tính chất hai tiếp tuyến

cắt nhau

126

BĐTD 2 (Chương 2 đường

tròn)

Bài 3 Ôn tập chương 2: ĐƯỜNG TRÒN 127

BĐTD 3 (Bài 32 tr80 SGK)) Bài 4 Luyện tập góc tạo bởi tiếp tuyến

BĐTD 8 (Hoạt động tìm lời giải

và khai thác bài toán)

Bức tranh tổng thể của HĐ tìm lời giải, khai thác BT nhằm rèn luyện cho HS HĐ phân tích, tổng hợp

THCS Quang Vinh)

Bài giảng với BĐTD nhằm rèn luyện cho

HS HĐ phân tích và tổng hợp 134 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ biểu diễn kết quả đánh giá chất

lượng đầu vào TNSP vòng 1

143

Biểu đồ 3.2 Biểu đồ biểu diễn kết quả đánh giá chất

lượng đầu ra TNSP vòng 1

143

Biểu đồ 3.3 Biểu đồ biểu diễn kết quả đánh giá chất

lượng đầu vào của TNSP vòng 2

147

Biểu đồ 3.4 Biểu đồ biểu diễn kết quả đánh giá chất

lượng đầu ra của TNSP vòng 2

148

Bảng 3.1 Bảng tổng hợp xếp loại sau TNSP vòng 1 144 Bảng 3.2 Bảng tổng hợp xếp loại sau TNSP vòng 2 148

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phát triển trí tuệ và rèn luyện HĐ phân tích, tổng hợp cho HS là một trong những nhiệm vụ quan trọng của người GV dạy toán Bởi, dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho HS nắm được kiến thức, những khái niệm, định lý toán học,…kĩ năng thực hành, vận dụng toán học vào thực tiễn… Điều quan trọng là dạy cho HS

có năng lực trí tuệ Năng lực này được hình thành và phát triển trong HĐ học tập

Tiến sĩ Raja Roy Singh, nhà giáo dục nổi tiếng ở Ấn Độ, chuyên gia giáo dục nhiều năm ở UNESCO khu vực Châu Á-Thái Bình Dương đã khẳng định: “Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần thiết phải phát triển năng lực TD, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo ” [Dẫn theo 95]

Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII nêu rõ quan điểm chỉ đạo đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo là: đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp, bậc học áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho HS năng lực TD sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, chú ý bồi dưỡng những HS có năng khiếu [66] Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khoá VIII tiếp tục khẳng định: đổi mới phương pháp GD đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp TD sáng tạo cho người học Báo cáo chính trị tại đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XI của Đảng tiếp tục chỉ rõ: tập trung nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo, coi trọng giáo dục đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành” Để đạt được điều đó, cần phải đổi mới PPDH bộ môn theo hướng tích cực hoá HĐ học tập của HS, làm cho HS học tập trong HĐ và bằng HĐ tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo và theo định hướng phát triển năng lực; nhằm vào rèn luyện cho HS những HĐTT: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá,…bồi dưỡng TD sáng tạo và nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS

Chúng ta có thể hiểu: TD là quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát những tài liệu đã thu được qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút ra cái

chung, cái bản chất của sự vật” [117] Xem TD như một quá trình, như một HĐ; ngôn ngữ được xem là phương tiện của TD, TD mang tính khái quát, gián tiếp và trừu tượng Do vậy, vấn đề TD, phân tích và tổng hợp liên quan đến tư tưởng và nguồn lực trí tuệ con người, nó được nghiên cứu ở nhiều phương diện: triết học, tâm

lý học, sinh học, giáo dục đào tạo, trong dạy và học một môn học cụ thể,… Với công tác giáo dục và đào tạo, phân tích và tổng hợp có tác dụng vô cùng lớn lao trong HĐ thực tiễn của giáo dục, trong quá trình dạy học,… nó có ảnh hưởng sâu sắc đến chất lượng đào tạo Nếu trong quá trình đào tạo chúng ta luôn chú trọng phát triển năng lực TD, phân tích và tổng hợp cho GV và HS thì sẽ tạo ra nguồn lực

to lớn cho nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo

Định hướng đổi mới PPDH hiện nay theo hướng tích cực hoá HĐ nhận thức của HS và định hướng phát triển năng lực của người học Tính tích cực của con người biểu hiện trong HĐ Tính tích cực của HS biểu hiện trong những dạng HĐ khác nhau: học tập, lao động, vui chơi giải trí trong đó HĐ học tập là HĐ chủ yếu Theo L.V.Rebrova “tính tích cực học tập là hiện tượng sư phạm biểu hiện sự gắng

sức cao về nhiều mặt của HĐ học tập” Trong học tập, HS sẽ thông hiểu, ghi nhớ

những gì đã nắm được qua sự HĐ chủ động và nỗ lực của chính mình Tính tích cực nhận thức là một điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, giúp HS hướng sự chú ý của mình vào HĐ học tập, bồi dưỡng trí tò mò khoa học và lòng ham hiểu biết, hình thành nhu cầu nhận thức Vì vậy, HS có thể sẵn sàng dồn sức lực, trí tuệ

để hoàn thành các nhiệm vụ học tập Theo I.F.Kharlamov: “Tích cực nhận thức là trạng thái HĐ của HS, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức“ Nó là mục đích HĐ, là một phẩm chất nhân cách, một thuộc tính của quá trình nhận thức, làm cho quá trình nhận thức luôn đạt kết quả cao, giúp cho con người có khả năng học tập không ngừng Đây chính là điều kiện tốt để rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học môn Toán

Nội dung cơ bản của chương trình hình học phẳng lớp 9 có rất nhiều bài toán hay và khó, sự phong phú, đa dạng về thể loại cũng như sự linh hoạt sâu sắc trong

suy luận của các bài toán hình học luôn tạo nên sức cuốn hút của môn học và cũng gây không ít khó khăn cho HS Thông qua HĐ giải toán, nhiều kỹ năng giải toán được hình thành và thông qua đó khả năng TD phân tích tìm tòi, khả năng suy đoán, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lý và sáng tạo của HS được phát triển Trong quá trình dạy học tìm lời giải bài tập hình học, nếu giáo viên luôn chú trọng hướng dẫn

HS phân tích, khai thác BT ở những khía cạnh khác nhau, biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ, biết thay đổi các yếu tố của bài toán, biết tìm tòi cái riêng trong cái chung và ngược lại tìm cái chung trong mỗi cái riêng, biết lật ngược vấn đề, biết tiến hành phân chia trường hợp và xét tính giải được của bài toán thì đó chính là biện pháp tích cực để rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS, góp phần phát triển ở HS khả năng sáng tạo - đỉnh cao nhất trong HĐTT của con người

Trong thực tế dạy học môn hình học ở trường THCS, GV chưa coi trọng rèn luyện năng lực trí tuệ cho HS, vẫn còn thiên về lối dạy học “thầy giảng trò nghe”,

HS ít được HĐ vì thầy tổ chức các HĐ trong giờ học chưa hợp lý Chẳng hạn khi dạy định lý, thầy tiến hành nêu định lý, GT và KL, cách chứng minh định lý nên

HS ít được HĐ Khi dạy học giải toán hình học GV lựa chọn hệ thống bài tập chưa phong phú, thiếu tính mềm dẻo và linh hoạt đối với các đối tượng HS, chưa liên hệ được các chủ đề kiến thức với nhau HS gặp nhiều lúng túng và hạn chế khi vận dụng các bước suy luận trong giải bài tập GV cũng ít quan tâm rèn luyện cho HS suy luận hợp logic, lại thường bỏ qua những bước suy luận với thầy là dễ, với HS lại không được như vậy GV cũng ít chú trọng rèn cho HS có thói quen phân tích

BT tìm tòi lời giải và ít rèn cho HS khả năng tổng hợp trình bày lời giải BT sao cho hợp lôgic Mỗi lời giải của BT như là một quá trình suy luận, việc tìm phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của BT mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người học Mối liên hệ, dấu hiệu trong BT chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh, Đồng thời, qua việc rèn luyện các HĐTT cho HS trong dạy học giải toán hình học, trong đó phân tích và tổng hợp là nền tảng, mới làm cho HS biết được tính thực tiễn của Toán học và phát triển TD

Trên thế giới và trong nước có nhiều nhà giáo dục học, tâm lý học quan tâm đến vấn đề phát triển TD và rèn luyện HĐ phân tích, tổng hợp cho HS Quan điểm của các nhà nghiên cứu này đều coi trọng những biện pháp phát triển TD, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ, rèn luyện HĐ phân tích, tổng hợp theo hướng HĐ hóa người học

và định hướng phát triển năng lực trong dạy học

Trên cơ sở lý luận về TD, yêu cầu về phát triển năng lực trí tuệ cho người học và từ thực tiễn dạy học, mục tiêu môn Toán và các chỉ thị nghị quyết của Đảng

về đổi mới sự nghiệp GD và đào tạo thì người GV dạy toán càng thấy rõ nhiệm vụ của mình, dù ở bậc học nào cũng cần chú trọng tìm biện pháp phù hợp theo định hướng phát triển năng lực, rèn luyện cho HS HĐ phân tích và tổng hợp trong khi dạy học những nội dung cụ thể của môn Toán để nâng cao hiệu quả dạy học, nhằm đào tạo nguồn lực chất lượng cao đáp ứng sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước Vì vậy việc rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải toán hình học phẳng lớp 9 sẽ là nền tảng vững chắc để HS có thể học tốt các kiến thức Hình học ở bậc học tiếp theo

Do đó, việc đề xuất những biện pháp có hiệu quả rèn luyện cho HS HĐ phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9 được đặt ra và rất

cần thiết phải giải quyết, nên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là:

"Rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp cho học sinh trong dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9 trung học cơ sở”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9, góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho

HS và nâng cao hiệu quả dạy học môn Hình học ở trường THCS

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận án nghiên cứu quá trình rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9

4 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được các biện pháp rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS

trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9 thì sẽ góp phần phát triển cho HS

năng lực trí tuệ và nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu tổng quan về phân tích, tổng hợp và những HĐTT có liên quan trong học tập môn Toán của HS;

5.2 Thực trạng về rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9;

5.3 Tập hợp các dạng toán hình học phẳng lớp 9 góp phần rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS;

5.4 Đề xuất một số biện pháp rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải bài tập hình học phẳng theo hướng HĐ hóa người học và định hướng phát triển năng lực;

5.5 Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của biện pháp đề xuất

6 Phạm vi nghiên cứu

Một số biện pháp rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nghiên cứu lý luận: các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lí

học, lý luận dạy học bộ môn Toán, các văn kiện của Đảng, chính sách của nhà nước); nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và ngoài

nước, mạng internet… có liên quan tới đề tài của luận án

7.2 Quan sát điều tra: dự giờ, trao đổi, điều tra, thu thập ý kiến của GV THCS và HS lớp 9 về rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9 Kết quả thông qua các số liệu được phân tích đánh giá

7.3 Thực nghiệm sư phạm: kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất

8 Những vấn đề đưa ra bảo vệ

- Những biểu hiện cụ thể của HĐ phân tích và tổng hợp trong dạy học giải

- Tập hợp các dạng toán hình học phẳng lớp 9 góp phần rèn luyện HĐ phân

tích và tổng hợp cho HS;

- Ba biện pháp rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải toán hình học phẳng lớp 9 có tính khả thi, hiệu quả

10 Cấu trúc luận án

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và kiến nghị luận án gồm 3 chương:

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II: Biện pháp rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp cho học sinh trong dạy học giải bài tập hình học phẳng lớp 9

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

Thế kỷ XXI, kỷ nguyên của khoa học công nghệ, kỷ nguyên trí tuệ; năng lực

TD, năng lực phân tích và tổng hợp đã trở thành một nguồn lực cơ bản nhất của mỗi con người, nên việc nâng cao năng lực TD, phân tích và tổng hợp là vấn đề quan trọng trong chiến lược phát triển con người ở nước ta Vì vậy, chúng ta thấy cần thiết phải tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu về TD, về phân tích và tổng hợp Từ đó, đề xuất các biện pháp rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học môn Toán

ở trường phổ thông góp phần nâng cao hiệu quả dạy học

1.1.1 Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài

TD là một vấn đề được nhiều nhà khoa học trên thế giới và nhiều ngành khoa học quan tâm, nghiên cứu Triết học nghiên cứu TD dưới góc độ lý luận nhận thức Logíc học nghiên cứu TD ở các quy tắc TD đúng Xã hội học nghiên cứu TD ở sự phát triển của quá trình nhận thức trong các chế độ xã hội khác nhau Sinh lý học nghiên cứu cơ chế HĐ thần kinh cao cấp với tư cách là nền tảng vật chất của các quá trình TD ở con người Điều khiển học nghiên cứu TD để có thể tạo ra "Trí tuệ nhân tạo" Tâm lý học nghiên cứu diễn biến của quá trình TD, mối quan hệ qua lại

cụ thể của TD với các khía cạnh khác của nhận thức

Chúng ta có thể hiểu TD được phân chia thành các khâu, các HĐ Mà trong các khâu này, mỗi một hành động TD sẽ làm biến đổi mối quan hệ của chủ thể với khách thể, kích thích sự diễn biến của tình huống có vấn đề đều kích thích sự chuyển biến tiếp theo của quá trình TD Quá trình TD chỉ diễn ra khi xuất hiện vấn

đề, nhưng đòi hỏi chủ thể phải ý thức rõ ràng được vấn đề và tiếp nhận nó như một mâu thuẫn cần phải hành động để giải quyết Tiêu biểu cho TD là quá trình phân tích, tổng hợp, HĐ TD của con người luôn hướng vào giải quyết một vấn đề, hoặc làm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết Do đó, HĐ phân tích

và tổng hợp có tầm quan trọng đặc biệt trong việc phát triển TD cho HS

Theo M.N.Sacđacov thì phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tượng Tổng hợp là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó Ông cho rằng, sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể Sự tổng hợp chân chính là một HĐ TD xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực

Theo G Polya: “Phân tích và tổng hợp là hai động tác quan trọng của trí óc Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều và quá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó là trường hợp của một người chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trước hết, phải hiểu BT như một cái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiết nào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia BT thành từng bước và chú

ý, không đi quá xa khi chưa cần thiết” [79, Tr 173 - 174]

Theo Bloom, phân tích là chia nhỏ thông tin và khái niệm thành những phần nhỏ để hiểu đầy đủ hơn Tổng hợp là ghép các ý với nhau để tạo nên nội dung mới

Tóm lại, có thể hiểu phân tích là thao tác chia nhỏ thông tin, khái niệm thành những phần nhỏ và chỉ ra mối liên hệ của chúng với tổng thể để hiểu kỹ hơn Tổng hợp là một quá trình phát hiện ra các mối liên hệ làm thống nhất các bộ phận mà tưởng chừng như là tách biệt thành một tổng thể để nhận thức chúng Do vậy HĐ

phân tích và tổng hợp có vai trò quan trọng trong việc phát triển trí tuệ của HS

1.1.2 Tình hình nghiên cứu ở trong nước

Phân tích dưới góc độ lý luận tính hai mặt của quá trình TD thống nhất, tác giả Nguyễn Bá Dương [23] đã đi đến nhận định: TD một mặt là một quá trình tìm kiếm và phát hiện ra cái mới, cái bản chất, mặt khác nó còn là quá trình tái tạo lại những tri thức, những kinh nghiệm lịch sử - xã hội đã được loài người tích luỹ

Với tư cách là quá trình tâm lý theo tập thể tác giả Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Văn Luỹ, Đinh Văn Vang: “TD là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [121, Tr 79]

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: “Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh Phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo” [93, tập 1, Tr 122, 125]

Theo tập thể tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Phạm Gia Cốc:

“Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hoá đi một mặt nào đó những dấu hiệu và những phần riêng lẻ nào đó Tổng hợp là kết hợp các phần riêng lẻ lại, là khái quát các dấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn” [36, Tr109 - 110]

1.1.3 Một số kết luận

Phân tích một số quan niệm về TD, về phân tích, tổng hợp và kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới và trong nước, chúng ta có thể đi đến một số kết luận sau:

(i) TD là quá trình tâm lý, quá trình HĐ, quá trình nhận thức:

TD có nảy sinh, diễn biến và kết thúc nên TD được xem xét như là một quá

trình TD là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một cách gián tiếp là

khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất, tìm ra những mối liên

hệ, quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà ta chưa từng biết;

TD là quá trình HĐ: quá trình TD là HĐTT, được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những “thao tác” trí tuệ nhất định: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa Trong HĐ thực tiễn, để biến đổi được hiện thực, con người phải tìm hiểu và nhận thức nó Chính trên cơ sở HĐ thực tiễn đó mà làm cho nhận thức,

TD mang tính sáng tạo;

TD là quá trình nhận thức thường gồm hai giai đoạn: nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính TD là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, song TD có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính được bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, dựa trên cơ sở nhận thức cảm tính

(ii) Có thể hiểu, phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần,

là tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ hoặc tách ra từng yếu tố hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để tìm mối liên hệ giữa các phần, các bộ phận, các yếu tố đó và hiểu được chúng; tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, là kết hợp lại những bộ phận riêng lẻ hoặc kết hợp thống nhất các yếu tố hay các khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó để nhận thức được cái toàn thể

Đã có những công trình nghiên cứu của các nhà giáo dục học, tâm lý học trên thế giới và trong nước về phát triển TD, rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho

HS phổ thông như: G Polya - Giải một BT như thế nào, Toán học và những suy luận có lý, Sáng tạo toán học; M.N.Sacđacov - TD của HS; V.V.Đavudov - Các dạng khái quát hoá trong dạy học,… Trần Thúc Trình - Rèn luyện TD trong dạy học toán; Vương Dương Minh, Bùi Văn Nghị - về TD thuật giải; Nguyễn Bá Kim - về khái quát hoá; Tôn Thân, Trần Luận, Nguyễn Cảnh Toàn và Nguyễn Văn Quang -

về TD sáng tạo; Nguyễn Thái Hòe - Rèn luyện TD qua việc giải bài tập Toán;

Nguyễn Quốc Khánh, Phan Anh - về năng lực giải toán, Trong kết quả nghiên cứu của các tác giả đều coi trọng vai trò của HĐ phân tích và tổng hợp trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho HS Sự quan tâm này của nhiều nhà nghiên cứu cho thấy

sự cần thiết của vấn đề nghiên cứu trong dạy học và GD Vì vậy, cần thiết phải tiếp tục nghiên cứu về TD và rèn luyện HĐ phân tích, tổng hợp cho HS trong dạy học

một môn học cụ thể ở trường phổ thông Không trùng lặp với những nghiên cứu đã

có Chúng tôi nghiên cứu vấn đề rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp cho HS trong dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9, góp phần phát triển trí tuệ và nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS

1.2 Tư duy, phân tích và tổng hợp

1.2.1 Tư duy và những vấn đề liên quan

1.2.1.1 Khái niệm về tư duy

TD là quá trình suy nghĩ diễn ra trong trí óc, là sự nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [34]

TD được rất nhiều nhà tâm lý học, GD học nghiên cứu, theo M.N.Sacđacov:

TD là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ, quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó TD sinh ra trên cơ sở HĐ thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó [67]

Như vậy, TD mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nó không phải bằng chân tay, bằng hình tượng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ Qua ngôn ngữ con người nhận thức những tình huống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, để đi đến những khái niệm, định lý, phán đoán, để có được những sản phẩm của TD TD mang tính khái quát, tính gián tiếp, tính trừu tượng Do đó, việc phát triển trí tuệ và rèn luyện HĐ phân tích, tổng hợp, cho HS

là nhiệm vụ quan trọng trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông

1.2.1.2 Những vấn đề liên quan với tư duy

Tư duy và ngôn ngữ: TD và ngôn ngữ liên hệ mật thiết với nhau, quyết định

lẫn nhau: TD chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ, tư tưởng của con người tồn tại vì có

từ, có tiếng nói

Tư duy và nhiệm vụ nhận thức: TD chỉ nảy sinh khi có vấn đề, có nhiệm vụ

nhận thức TD là sự vận động từ chỗ chưa biết, biết không đầy đủ, đến chỗ biết và biết đầy đủ TC có vấn đề của TD được tính đến trong quá trình dạy học; GV đặt

HS trước một nhiệm vụ nhận thức (câu hỏi, bài tập, BT ) HS phải đi tìm cách giải quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống nhau và cái khác nhau, khái quát các sự kiện và

tự mình rút ra các kết luận Đôi khi trong quá trình giải quyết nhiệm vụ nhận thức

do GV đặt ra, họ phải tự đặt ra nhiệm vụ nhận thức mới

Tư duy và hoạt động: Nội dung chính của giáo dục Toán học coi trọng yếu tố

hành động của chủ thể nhận thức như sau: nhà sư phạm lựa chọn, tạo ra hoàn cảnh, môi trường Toán học chứa đựng những khái niệm toán học dự kiến, giảng dạy cho HS; HS hành động trong môi trường Toán học thông qua hành động, HS "tách" nội dung Toán học trừu tượng ra khỏi hoàn cảnh đã toán học hoá

Tư duy và kiến thức: Quá trình TD không nảy sinh nếu: để giải quyết nhiệm

vụ nhận thức (trả lời câu hỏi, giải bài tập) HS chỉ vận dụng một cách máy móc, tự động những kiến thức đã có sẵn; để giải quyết được nhiệm vụ nhận thức phải cần đến những kiến thức mà HS chưa thể có được Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phương tiện cơ bản, vừa là kết quả cuối cùng của quá trình TD

Những kiến thức tham gia vào quá trình TD có thể chia làm hai loại: những kiến thức mà HS thu nhận trực tiếp từ điều kiện của BT; những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của BT, nhưng không có chúng thì quá trình TD không nảy sinh được Đó là những định nghĩa, định lý Toán học mà HS đã thu thập được từ trước Nó cần thiết cho sự thiết lập mối quan hệ logic giữa điều kiện và KL của BT

Tư duy và những đặc điểm nhân cách: Những đặc điểm nhân cách bộc lộ rất

rõ nét trong toàn bộ HĐ nhận thức nói chung, HĐ TD nói riêng của con người, mỗi thành phần của nhân cách có ảnh hưởng khác nhau đến hoạt động TD

- Thành phần thứ nhất của nhân cách đặc trưng khuynh hướng của nhân cách; khuynh hướng bao hàm một hệ thống các nhu cầu và hứng thú có tác động lẫn nhau, trong đó có những hứng thú giữ vai trò chủ đạo Theo Polya, thành phần cơ bản của quá trình giải bất cứ BT nào là ý muốn, khát vọng, quyết tâm giải BT đó

- Thành phần thứ hai của nhân cách xác định những khả năng của nhân cách

và bao hàm một hệ thống những năng lực (phân tích, tổng hợp, thu nhận, chế biến, ghi nhớ các thông tin Toán học,…) bảo đảm thực hiện một HĐ thắng lợi

- Thành phần thứ ba của nhân cách là tính tình của con người, thành phần này ảnh hưởng đến quá trình TD dưới hình thức phản ứng trước việc tìm tòi thấy hay không thấy lời giải BT Dẫn tới sự thoả mãn, tự tin hay kém tự tin, không kiên định sẽ gây thuận lợi hoặc trở ngại cho HĐTT được tiếp tục

- Thành phần thứ tư của nhân cách được xây dựng dựa trên các thành phần khác là hệ thống điều khiển Trong hoạt động TD, hệ thống điều khiển thực hiện sự

tự điều chỉnh: tăng cường hoặc giảm bớt HĐ; tự kiểm tra và tự sửa chữa những sai sót trong HĐ; lập kế hoạch cho HĐ

Do vậy, trong quá trình giảng dạy GV phải kết hợp việc truyền thụ tri thức Toán học với việc bồi dưỡng những phẩm chất nhân cách, phát triển trí tuệ và rèn luyện HĐ phân tích, tổng hợp cho HS

1.2.1.3 Quá trình tư duy

Sơ đồ về quá trình tư duy do K.K.Platonov xây dựng [119]

CÂU HỎI

GIẢ THUYẾT

XÁC MINH

QUYẾT ĐỊNH

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hoá Tìm giả thuyết mới Giải quyết vấn đề Hành động TD mới

(Hình 1.1) Nhận thức vấn đề

Quá trình TD là HĐTT với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản:

(i) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ TD Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

(ii) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

(iii) Xác minh giả thuyết trong thực tiễn, nếu giả thuyết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới

(iv) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

Các thao tác tư duy: Quá trình TD được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ cơ bản [42]:

- Phân tích, tổng hợp - So sánh, tương tự

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa - Trừu tượng hóa

Các loại hình tư duy: có nhiều cách phân loại TD Một số nhà Tâm lý học

như Phạm Minh Hạc, M.N Sacđacov cho rằng có 3 loại tư duy sau đây:

- TD trực quan (TD cụ thể): trong đó có thể phân chia thành TD trực quan hành động (TD bằng các thao tác chân tay đối với vật thật, hướng giải quyết một số tình huống cụ thể) và TD trực quan hình ảnh (TD hướng vào việc giải quyết vấn đề dựa trên các hình ảnh của sự vật, hiện tượng)

- TD trừu tượng (TD ngôn ngữ - logic): là TD mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ logic gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện

- TD trực giác: là TD đặc trưng bởi nó trực tiếp nắm bắt được chân lý một cách bất ngờ, đột nhiên, chớp nhoáng, không dựa vào hoạt động logic của ý thức, gắn với tưởng tượng Sản phẩm của TD trực giác mang tính chất dự báo, cần kiểm tra tính đúng đắn bằng thực nghiệm và logic, nó thường dẫn đến những nhận thức mới mẻ, sáng tạo dẫn theo 109, Tr 11

1.2.1.4 Đặc điểm của tư duy

TD chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, TD có tính khái quát, tính gián tiếp Ngôn ngữ được xem là phương tiện của TD

1.2.2 Năng lực và năng lực toán học

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lý học Khái niệm này cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau Dưới đây là một số cách hiểu về năng lực:

1.2.2.1 Khả năng, Kỹ năng và năng lực

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Khả năng là cái có thể xuất hiện, có thể xảy ra trong điều kiện nhất định” [76]

M.A.Đanilov và M.N.Xcatkin quan niệm rằng: "Kỹ năng bao giờ cũng xuất phát từ kiến thức, kỹ năng chính là kiến thức trong hành động Kỹ năng là khả năng của con người biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến thức" [126, Tr.26] Như vậy, kỹ năng là phương thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các nội dung cụ thể Kỹ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập Kỹ năng là một bộ phận cấu thành năng lực

Khái niệm khả năng mang hàm ý năng lực, tiềm lực Năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một HĐ nhất định nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực HĐ

Những quan niệm trên cho thấy năng lực được biểu hiện bởi các đặc trưng:

- Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều kỹ năng thực hiện những HĐ thành phần có liên hệ chặt chẽ với nhau

Cấu trúc của năng lực gồm ba thành phần cơ bản: tri thức về lĩnh vực HĐ hay quan hệ; kỹ năng tiến hành HĐhay ứng xử với quan hệ nào đó; những điều kiện tâm lý

để tổ chức và thực hiện tri thức, kỹĩ năng trong một cơ cấu thống nhất và theo một định hướng rõ ràng

- Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong HĐ giải quyết những yêu cầu

mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ; Năng lực tồn tại và phát triển thông qua HĐ nên có thể rèn luyện để phát triển được

Do vậy, nói đến năng lực là gắn với khả năng hoàn thành một HĐ nào đó của

cá nhân Con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, những

tố chất tự nhiên thuận lợi cho sự hình thành và phát triển những năng lực khác nhau

Như vậy, năng lực và khả năng, kỹ năng có mối quan hệ khăng khít, gắn bó với nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia phát triển: khả năng ở dạng tiềm tàng, là tiền đề để có năng lực và kỹ năng; năng lực sẽ quyết định mức độ và tốc độ hình thành kỹ năng, là sự hiện thực hoá khả năng; kỹ năng là mặt hiện thực hoá và là biểu hiện của năng lực

1.2.2.2 Năng lực Toán học

Tác giả V.A.Cruchetxki đã nêu: “Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân đáp ứng những yêu cầu của HĐ học tập toán học và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học” [dẫn theo 109] Đồng thời ông cho rằng năng lực Toán học ở đây được hiểu theo hai mức độ: năng lực học tập là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh

và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng; năng lực sáng tạo là năng lực đối với HĐ sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với loài người

Tác giả Nguyễn Bá Kim đã viết một cách tổng hợp về phát triển năng lực trí tuệ Toán học cho HS, thể hiện ở bốn mặt sau [42, Tr 45 - 49]:

“Thứ nhất là rèn luyện TD logic và ngôn ngữ chính xác Do đặc điểm của

khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho HS TD logic Nhưng TD không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có TD Vì vậy, việc phát triển

TD logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Tác dụng phát triển

TD của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện TD logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng, cần lưu ý hai mặt sau: làm cho HS quen và

có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa quy lạ về quen; tập luyện cho HS khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống

Thứ ba là rèn luyện những HĐTT cơ bản qua môn Toán như phân tích, tổng

hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,

Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ cho HS như: tính linh hoạt, tính

1.2.3.1 Phân tích tổng hợp và mối quan hệ giữa chúng

Theo Hoàng Chúng: “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó”; “Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó” [20, Tr 16]

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Phân tích là phân chia thật sự hay bằng tưởng tượng một đối tượng nhận thức, ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp; tổng hợp là

tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự, các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể, trái với phân tích” [76, Tr 746, 979]

Theo triết học: “Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể ra thành từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu được các bộ phận, mặt, yếu tố đó; tổng hợp là phương pháp dựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các

bộ phận, mặt, các yếu tố, để nhận thức được cái toàn thể” [115, Tr 86]

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống” [42, Tr 46]

Từ những định nghĩa trên có thể hiểu: phân tích là dùng trí óc chia cái toàn

thể ra thành từng phần (những vật), là chia nhỏ là tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ hoặc tách ra từng thuộc tính từng yếu tố hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để tìm mối liên hệ giữa các phần, các bộ phận, các yếu tố đó và hiểu được chúng; tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, là kết hợp lại liên kết những bộ phận riêng lẻ hoặc kết hợp thống nhất các thuộc tính các yếu tố hay các khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó để nhận thức được cái toàn thể Ta có thể nêu lên những biểu hiện cụ thể của HĐ phân tích và tổng hợp như sau:

 Những biểu hiện cụ thể của HĐ phân tích và tổng hợp

Phân tích: - Thao tác chia nhỏ cái toàn thể thành từng phần;

- Tìm mối liên hệ giữa các phần với cái toàn thể để hiểu cái toàn thể sâu sắc hơn

Tổng hợp: - Kết hợp lại, liên kết, thống nhất các phần trong cái toàn thể;

- Nhận thức được cái toàn thể

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất: trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy; phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn

Sự thống nhất của quá trình phân tích - tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn

thể ban đầu, định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn

Như vậy, có thể hiểu phân tích được tiến hành theo định hướng của tổng hợp còn tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích Do đó, phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ giữa cái toàn thể và bộ phận, giữa thống nhất và yếu tố Chúng là hai HĐ trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của quá trình thống nhất Nếu xem cái toàn thể là một khu rừng thì phân tích là đi sâu vào nghiên cứu cây cối trong rừng, sau đó nếu không có tổng hợp thì chỉ có cây mà không có rừng Phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp vì nếu không đi sâu vào nghiên cứu tất cả các

bộ phận của cái toàn thể thì khó mà mô tả được chính xác bức tranh toàn cảnh của cái toàn thể Tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo, giống như người đi rừng, nếu mê mải với từng cây trong rừng mà không thỉnh thoảng xác định lại phương hướng thì sẽ lạc vào trong rừng mà không có lối ra, hay có ra được thì việc tìm hiểu nghiên cứu cây cối trong rừng cũng không thể toàn diện được Do vậy, không phân tích để hiểu được các bộ phận thì không thể hiểu được cái toàn bộ Ngược lại, không tổng hợp để nghiên cứu cái toàn bộ thì không thể hiểu được các

bộ phận trong cái toàn thể như thế nào

Trong HĐ giải toán phân tích và tổng hợp được thể hiện: phân tích BT là nêu

rõ GT (yếu tố đã cho) và KL (yếu tố phải tìm) để tìm mối liên hệ giữa chúng; có thể phân chia BT thành từng trường hợp riêng lẻ, tách ra thành từng yếu tố của BT, giải quyết từng trường hợp riêng lẻ được dễ dàng hơn và tìm mối liên hệ giữa các yếu tố

đó Rồi nghiên cứu tìm hiểu các trường hợp các yếu tố của BT được sâu sắc; có thể phân tích chia BT thành nhiều BT bộ phận mà cách giải quyết các BT bộ phận này đơn giản hơn, rồi đưa BT về dạng quen thuộc đã biết cách giải Tổng hợp các trường hợp riêng lẻ vừa xét, liên kết các yếu tố, mối quan hệ giữa các yếu tố vừa phân tích rút ra kết luận mới; tổng hợp các bước giải của các BT bộ phận vừa phân tích liên kết thành lời giải của BT Do đó, chúng ta có thể nêu lên những biểu hiện

cụ thể của HĐ phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài tập hình học như sau:

 Những biểu hiện cụ thể của hoạt động phân tích và tổng hợp trong dạy học

giải bài tập hình học phẳng:

(1) HĐ Phân tích BT:

- Nêu rõ GT và KL, tìm mối liên hệ giữa chúng;

- Có thể phân chia BT thành từng trường hợp riêng lẻ, tách ra thành từng yếu

tố của BT; giải quyết từng trường hợp riêng lẻ, tìm mối liên hệ giữa các yếu

tố đó của BT được dễ dàng hơn và sâu sắc;

- Có thể phân tích chia BT thành nhiều BT bộ phận mà cách giải quyết các

BT bộ phận này đơn giản hơn, hay đưa BT về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Trong HĐ giải toán, trước hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận dạng

BT thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, phân tích cái đã cho và cái phải tìm, phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố hoặc phân tích ra nhiều BT nhỏ, chia ra các trường hợp khác nhau, giải các BT nhỏ đó, sau đó tổng hợp lại để được lời giải của BT; rồi tiếp tục khai thác phát triển BT đã cho Như vậy, HS vừa được rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp vừa được rèn luyện năng lực toán học Điều này đã làm rõ mối liên

hệ hữu cơ giữa phân tích và tổng hợp Do đó, ta có thể nêu lên những biểu hiện cụ thể của mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài tập hình học phẳng như sau:

 Những biểu hiện cụ thể của mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài tập hình học phẳng:

(1) Tổng hợp định hướng cho phân tích: tổng hợp các kết quả đã biết, xem xét BT có những cách giải nào, định hướng cho phân tích BT; liên hệ với những kiến thức đã biết cần huy động để giải BT

(2) Phân tích BT tìm cách giải: phân tích yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đó; chia BT ra các trường hợp khác nhau, sau đó xét từng

trường hợp riêng

(3) Tổng hợp - trình bày lời giải BT: tổng hợp các kết quả của HĐ phân tích

có được lời giải và trình bày lời giải của BT Sau đó tiếp tục mở rộng phát triển BT

ở khía cạnh tổng hợp kết quả đã có của BT định hướng cho HĐ phân tích tiếp theo

để có lời giải khác hay có BT mới hay khái quát thành tri thức phương pháp

Do vậy, trong quá trình học tập môn Toán của HS để rèn luyện HĐ phân tích

và tổng hợp, yếu tố quan trọng giúp HS hiểu sâu kiến thức, hình thành kĩ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn một cách sáng tạo, phát triển trí tuệ và bồi dưỡng TD sáng tạo thì bài tập toán là phương tiện cơ bản Điều này cho thấy, muốn phát triển

TD cho HS trong dạy học giải toán hình học thì không thể không rèn luyện cho HS

HĐ phân tích và tổng hợp

Ví dụ 1.1 [104, tập 1, Tr 138]

Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) (R > r) Đường thẳng d cắt (O; R) và (O; r) tại A, B, C, D theo thứ tự đó (A, D(O; R); B, C(O; r)) Chứng minh rằng AB = CD

(1) Tổng hợp định hướng cho phân tích

Đây là BT thuộc dạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Có thể liên tưởng đến việc chứng minh: hai tam giác bằng nhau có chứa hai đoạn thẳng AB và

CD, hay hai tam giác đồng dạng, hay dựa vào kiến thức về đường tròn, hay thay thế tương đương,

(2) Phân tích bài toán tìm cách giải

Từ những định hướng trên ta phân tích, tách ra từng yếu tố, khía cạnh riêng biệt của BT để tìm ra mối liên hệ với ĐPCM

*) Nhìn vào hình vẽ (Hình 1.2) ta có: ∆OBC và ∆OAD là những tam giác

cân và AB, CD là hai cạnh của ∆OAB và ∆ODC, ta sẽ liên tưởng đến việc có chứng minh ∆OAB = ∆ODC được không? rồi suy ra AB = CD

Xét ∆OAB và ∆ODC có:

Phải chứng minh AB = CD (cặp cạnh xen giữa), điều này không thể chứng minh được nên không chứng minh được hai tam giác này bằng nhau (loại hướng

  ;  (theo GT)

OABODC OBAOCD

giải này) Nhưng lại chứng minh được ∆OAB ∽ ∆ODC

Phải chứng minh AB = CD (cặp cạnh xen giữa), điều này không thể chứng

minh được nên không chứng minh được hai tam giác này bằng nhau (loại hướng

giải này) Nhưng lại chứng minh được ∆OAB ∽ ∆ODC

Cách phân tích này, ta đã tách ra các yếu tố có

liên hệ với hai tam giác đồng dạng để đi đến ĐPCM

*) Phân tích BT hướng tới việc thay thế tương đương

Phân tích tách ra các yếu tố đã cho ta có: AB = AC – BC; CD = BD – BC

nên có thể thay việc chứng minh AB = CD bằng việc chứng minh AC = BD hay

DB   DB OD  Điều này hoàn toàn tương tự như cách phân tích ở trên,

tức là gợi cho HS nghĩ đến việc phải chứng minh hai tam giác ∆OAC và ∆ODB

đồng dạng với nhau và đi đến ĐPCM

*) Phân tích BT hướng đến việc sử dụng kiến thức về đường tròn

Phân tích tách ra những yếu tố đã cho có liên quan đến định lý về đường kính

vuông góc với dây cung ta có: AD và BC là dây cung của các đường tròn (O, R) và

(O, r), gợi cho HS suy nghĩ phải kẻ đi đến ĐPCM

(3) Tổng hợp - trình bày lời giải BT

Cách giải 1: (Hình 1.2)

Theo GT ta có: ∆OAD cân tại O (OA = OD = R 

∆OBC cân tại O (OB = OC = r)

Có thể trình bày lời giải BT như sau:

Gọi H là trung điểm của BC

 OH  BC  H là trung điểm của AD

 HA = HD Do đó HA – HB = HD – HC

 AB = CD (dây cung BC, AD có vai trò như

nhau nên có thể gọi H là trung điểm của AD và

có cách giải tương tự)

Trong ví dụ trên, nhờ phân tích và tổng hợp HS không những giải được BT

mà còn tìm được nhiều cách giải BT bằng cách nhìn nhận BT dưới những khía cạnh khác nhau để tách ra những yếu tố riêng biệt tạo nên mối liên hệ giữa GT với ĐPCM Qua đó HS từng bước được rèn kĩ năng vận dụng kiến thức và các phương pháp giải toán vào giải quyết BT trong những tình huống cụ thể Đây là yếu tố quan trọng giúp HS hiểu sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán Điều này chứng tỏ tầm quan trọng của HĐ phân tích và tổng hợp trong quá trình tìm phương pháp giải

BT

Ví dụ 1.2

Dựng ∆ABC, biết cạnh BC = a, góc ˆA và đường cao AH = h

(1) Tổng hợp định hướng cho phân tích

Đây là BT dựng tam giác biết BC = a nên dựng được ngay 2 đỉnh B và C Chỉ còn phải xác định đỉnh A, ta thấy điểm A thỏa mãn 2 điều kiện độc lập nhau nên

có thể tách thành 2 BT bộ phận Giải được hai BT bộ phận này thì dựng được

∆ ABC

(2) Phân tích bài toán tìm cách giải

Phân tích chia BT thành hai BT bộ phận mà ta dễ

dàng tìm được lời giải của hai BT bộ phận này:

BT 1 Dựng ∆ABC, biết cạnh BC = a, ˆA

 dựng được vô số hình thoả mãn điều kiện của BT

này (Hình 1.4);

d H

D C B

A

O

(Hình 1.3)

BT 2 Dựng ∆ABC, biết cạnh BC = a, đường

cao AH = h  dựng được vô số hình thoả mãn điều

kiện của BT này (Hình 1.5)

(3) Tổng hợp - trình bày lời giải BT

Nhìn vào các hình vẽ (Hình 1.4, 1.5, 1.6) kết

hợp kết quả của hai BT bộ phận ta dễ dàng có được

lời giải của BT ban đầu, vì hình cần dựng thoả mãn

điều kiện của cả hai BT bộ phận (Hình 1.6)

Việc giải nhiều BT đòi hỏi HS biết phân tích

BT thành nhiều BT đơn giản hơn, giải các BT đơn

giản hơn đó, rồi tổng hợp lại để được lời giải của BT

(1) Tổng hợp định hướng cho phân tích

Vẽ hình, nêu rõ GT và KL của BT, xác định đây là dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

∆ABC đều, DB = DC,

12

C  C

Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp

Có nhiều cách chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, với điều kiện của

đề bài ta có thể tìm mối liên quan giữa GT và KL để đưa về BT chứng minh: tứ giác

có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 1800 , tức là chứng minh:   0

180

ABDACD

(2) Phân tích bài toán tìm cách giải

Từ định hướng trên ta phân tích, tách ra từng yếu tố, khía cạnh riêng biệt của

BT để tìm ra mối liên hệ với ĐPCM

GT

KL

(Hình 1.7)

Chứng minh tứ giác ABDC có tổng 2 góc đối diện bằng 1800, tức là:

B C  C  nên có ĐPCM

(3) Tổng hợp - trình bày lời giải BT: tổng hợp kết quả của bước phân tích

BT ta có lời giải sau - Cách 1:

Theo GT có ∆ABC đều =>   0

B C  C 

 Phát triển bài toán - nhìn lại kết quả của BT

Có thể tiếp tục qui trình như trên để chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp (1) Tổng hợp định hướng cho phân tích

Để chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp ta có thể chứng minh một trong các cách sau: Cách 2: tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm; Cách 3: tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau

(2) Phân tích bài toán tìm thêm cách giải khác

- Phân tích BT hướng tới chứng minh theo cách 2: chứng minh tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm, tức là tứ giác ABDC có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn Khi đó, ta có B, C thuộc đường tròn đường kính AD thì phải có:

Theo GT ta có ∆ABC là tam giác đều và DB = DC, nên có ĐPCM

(3) Tổng hợp - trình bày lời giải BT:

Tổng hợp các kết quả của bước phân tích BT ta có các cách giải sau:

BAD C Khi đó, tứ giác ABDC có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh

BD dưới một góc bằng nhau Vậy tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn

Vận dụng theo những biểu hiện cụ thể của mối liên hệ giữa phân tích và tổng hợp trong dạy học giải bài tập hình học phẳng, HS vừa được rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp vừa được rèn luyện kỹ năng giải toán hình học phẳng

1.2.3.2 Những hoạt động trí tuệ có liên quan với phân tích và tổng hợp trong dạy học môn Toán

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [42]: Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học môn Toán là phát triển năng lực trí tuệ cho HS, được thể hiện ở các mặt sau: Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác; phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng; Rèn luyện những HĐTT cơ bản: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá…và những HĐTT phổ biến trong Toán học: lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp, xét tính giải được, ; hình thành những phẩm chất trí tuệ: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo

Trong mọi khâu của quá trình giải toán, phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp HS nắm vững kiến thức và vận dụng chúng HĐ phân tích và tổng hợp là tổ hợp những HĐTT cơ bản, tất cả những cái tạo thành HĐTT là những dạng khác nhau của HĐ phân tích, tổng hợp TD dù ở hình thức nào đi chăng nữa cũng không thể tiến hành được nếu như không có phân tích và tổng hợp Chẳng hạn, khi nghiên cứu phân tích một BT thực hiện được là nhờ có so sánh, từ đó mới chỉ ra các dấu hiệu và thuộc tính bản chất và không bản chất Các dấu hiệu này lại được tách ra bằng con đường phân tích, sẽ được trừu tượng hoá, tổng hợp và khái quát hoá chúng sẽ dẫn đến phương pháp và lời giải BT Vì vậy, để rèn luyện và phát triển TD cho HS, chúng ta cần coi trọng việc rèn luyện HĐ phân tích và tổng hợp

Một số HĐTT có liên quan với phân tích và tổng hợp trong dạy học Toán:

a) “So sánh là xác định sự giống và khác nhau giữa các sự vật và hiện

tượng” [20, Tr 21] Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) đó có gì giống và khác nhau

Trong dạy học môn Toán nói chung, dạy học môn Toán ở Trường THCS nói riêng, so sánh đóng vai trò quan trọng giúp HS tìm ra những dấu hiệu thuộc tính bản chất đặc trưng của sự vật, hiện tượng từ đó giúp HS nắm vững và sâu sắc kiến thức một cách có hệ thống

Trong dạy học khái niệm, việc so sánh khái niệm này với khái niệm kia đóng vai trò quan trọng giúp cho HS nắm vững, hiểu sâu sắc khái niệm; trong dạy học định lý, cần hướng dẫn HS so sánh định lí vừa học với định lí đã biết trước đó giúp học sinh nắm chắc và hiểu về định lí đó; trong dạy học quy tắc, cần cho HS so sánh quy tắc này với quy tắc khác để tìm ra những dấu hiệu giống và khác nhau giúp cho

HS nắm vững được các quy tắc Cần luyện tập cho HS so sánh những sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất là giống nhau thậm chí là một hoặc cho HS so sánh các sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn ở khía cạnh này thì chúng khác nhau nhưng nhìn ở khía cạnh khác thì lại giống nhau

b) Tương tự: là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối

tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với đối tượng kia “Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm” [77, Tr 19]

Phép tương tự có tác dụng rất lớn trong sáng tạo khoa học, được vận dụng rộng rãi trong giảng dạy môn Toán Trong khi dạy một tri thức mới, ra một bài tập mới GV quan tâm gợi ý cho HS biết liên hệ kiến thức cũ, mò mẫm dự doán kết quả

để tìm ra phương pháp giải quyết

c) Đặc biệt hoá: theo G Polya, “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu

từ một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” [77, Tr 19]

d) Khái quát hoá: theo Nguyễn Bá Kim, “Khái quát hoá là chuyển từ một

tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu

bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [42, Tr 46]

Theo Hoàng Chúng: “Khái quát hoá là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng [20, Tr 23]

Muốn khái quát hoá, thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau Để bồi dưỡng cho HS năng lực khái quát hoá đúng đắn, cần luyện

tập cho HS biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các

hiện tượng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, nhìn thấy cái bản chất bên trong

của các hiện tượng, sau cái hình thức bên ngoài đa dạng, "tóm được" cái chính, cái

cơ bản, cái chung trong cái khác nhau về bên ngoài Muốn vậy, một điều kiện rất

quan trọng là GV phải biết phối hợp biến thiên những dấu hiệu không bản chất của khái niệm, hiện tượng đang nghiên cứu và giữ không đổi những dấu hiệu bản chất

e) Trừu tượng hoá: theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tượng hoá là sự nêu bật và

tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất” [42, Tr 46]

Theo Hoàng Chúng: “Trừu tượng hóa là thao tác tách ra cái chung trong

các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này” [20, Tr 27]

Trừu tượng hoá và KQH liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừu tượng hoá, ta có thể KQH rộng hơn và nhận thức sự vật sâu hơn Trừu tượng hoá nhìn đối tượng ở cái bản chất hơn Không có khái quát hoá và trừu tượng hóa thì không thể có khái niệm và tri thức lý thuyết được

Quá trình ngược lại, nhưng có liên hệ mật thiết với trừu tượng hoá, là cụ thể hoá Đó là ý nghĩ về cái riêng, mà cái riêng này tương ứng với một cái chung nhất định

f) “Cụ thể hoá là quá trình minh hoạ hay giải thích những khái niệm, định

luật khái quát, trừu tượng, bằng ví dụ” [20, Tr 28]

Do đặc điểm trừu tượng của Toán học, việc bồi dưỡng cho HS năng lực trừu

tượng hoá có ý nghĩa hết sức quan trọng Do vậy, cần nắm vững mối quan hệ qua lại chặt chẽ giữa TD cụ thể và TD trừu tượng, theo con đường biện chứng để nhận thức chân lí: "từ trực quan sinh động đến TD trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn" trong khi hình thành và củng cố các kiến thức Toán học cho HS

GV cần chọn các bài toán có tác dụng giúp HS nâng dần khả năng trừu tượng hoá các quan hệ TH; xen kẽ các bài tập có nội dung trừu tượng với những bài tập có nội dung cụ thể; những bài tập bề ngoài giống nhau nhưng khác loại, những bài tập bề ngoài khác nhau nhưng thực chất là cùng loại, v.v

HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những điều kiện cụ thể mới, thường là do phải chuyển từ TD cụ thể sang TD trừu tượng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờ nhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cách giữa cái cụ thể và cái trừu tượng Có thể giúp HS khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ đồ, hình vẽ Nhờ sự kết hợp được cả hai mặt cụ thể

và trừu tượng trong bản thân nó, sơ đồ có thể giúp làm "cầu nối" khi chuyển từ TD

cụ thể sang TD trừu tượng và ngược lại

g) Lật ngược vấn đề

Sau khi đã chứng minh được một định lí, một câu hỏi rất tự nhiên thường được đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lí đó có đúng hay không?

Sau khi giải một BT ta thấy được con đường từ GT và kiến thức đã biết suy

ra KL của BT; một cách học tập tích cực hơn trong khi giải toán là sau khi giải xong

ta rút ra được những bài học kinh nghiệm gì? Một con đường tiếp tục suy nghĩ là lật ngược BT, lật ngược vấn đề, nghĩa là lấy KL làm GT và GT làm KL Những BT

tạo ra bằng cách này gọi là BT ngược hay lật ngược vấn đề của BT

h) Xét tính giải được, phân chia trường hợp

Những hoạt động: phân chia trường hợp và xét tính giải được có thể được minh hoạ, được thực hiện trong quá trình giải quyết các bài tập toán

Môn Toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những HĐTT cơ bản: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá,

cụ thể hoá Do đó có tác dụng rèn luyện cho HS những HĐTT này, trong đó phân

tích và tổng hợp là cơ sở, nền tảng của các HĐTT khác vì phân tích và tổng hợp là bản chất của HĐ tư duy nói chung và những HĐTT có liên quan nói riêng; những HĐTT đó chỉ là những dạng thể hiện của phân tích và tổng hợp Bởi, rèn luyện các HĐTT so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá, lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp, xét tính giải được là rèn luyện HĐ phân tích

và tổng hợp Ngược lại HS có khả năng phân tích và tổng hợp tốt thì sẽ là cơ sở điều kiện để HS rèn luyện các HĐTT có liên quan trên được thuận lợi

Vì vậy, khi tập luyện cho HS những HĐTT này, cần có ý thức rèn luyện cho

HS HĐ phân tích và tổng hợp, coi đó là cơ sở để thực hiện các HĐTT Nếu HS gặp khó khăn khi tiến hành một HĐ nào đó thì cần quay lại cơ sở của HĐ đó là phân tích và tổng hợp Như vậy, phân tích và tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ Chẳng hạn, muốn so sánh hai hay nhiều đối tượng, thì trước hết phải tách từng mặt của mỗi đối tượng, rồi xem chúng có những mặt nào giống nhau, những mặt nào khác nhau Chẳng hạn, khi hướng dẫn HS HĐ so sánh để xác định sự giống và khác nhau giữa định lý vừa học với định lí đã biết trước đó, nhằm giúp HS nắm chắc và hiểu về định lý đó, đồng thời cũng giúp cho quá trình khái quát hoá hay dự đoán bằng tương tự được dễ dàng và sâu sắc Nếu trong quá trình đó HS gặp khó khăn không nhận ra các đặc điểm giống, khác nhau của hai định lý thì yêu cầu HS trước hết cần phải phân tích mô tả đặc điểm trong mỗi định lý, rồi đối chiếu (tổng hợp) với nhau để tìm ra đặc điểm giống hoặc khác nhau; Nếu HS gặp khó khăn trong việc phân biệt đặc điểm bản chất và đặc điểm không bản chất, thì yêu cầu HS liên hệ những đặc điểm giống hoặc khác nhau vừa phát hiện với các yếu tố trong mỗi định lý Đặc điểm nào ảnh hưởng đến tính chân thực của định lý là đặc điểm bản chất, đặc điểm nào không ảnh hưởng đến tính chân thực của định lý là đặc điểm không bản chất Từ đó ta xác định được sự giống và khác nhau giữa các định lý

Ví dụ 1.4 So sánh hai định lý: Học về tứ giác nội tiếp ta có định lý: “Trong

một tứ giác nội tiếp, tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông” Học về tứ giác ngoại tiếp ta có định lý: “Trong một tứ giác ngoại tiếp, tổng các cạnh đối diện bằng

nhau” Cần hướng dẫn HS có thói quen tìm sự giống và khác nhau giữa các định lý

để hiểu và nắm vững các định lý đó Phân tích mô tả đặc điểm của mỗi định lý rồi tổng hợp lại ta thấy sự khác nhau của hai định lý đó ở chỗ: trong định lý thứ nhất thì tổng các góc đối diện luôn luôn không đổi (2v), không phụ thuộc vào hình tứ giác; còn trong định lý thứ hai thì tổng hai cạnh đối diện thay đổi theo từng hình tứ giác (khó khăn của HS là không biết phân tích để mô tả đặc điểm của từng định lý)

Tiếp tục phân tích đặc điểm bản chất của mỗi định lý ta thấy: Với định lý thứ nhất, tổng các góc của mọi hình tứ giác đều bằng 4v, nên trong tứ giác nội tiếp, tính

chất "tổng các góc đối diện bằng 2v" tương đương với tính chất "tổng các góc đối diện thì bằng nhau"; Với định lý thứ hai mặc dù tổng hai cạnh đối diện thay đổi theo từng hình tứ giác, nhưng luôn giữ quan hệ “tổng hai cạnh đối diện này thì bằng tổng hai cạnh đối diện kia” (khó khăn của HS là không nhận ra được đặc

điểm bản chất trong mỗi định lý, do đó phải tiến hành phân tích và tổng hợp từ những đặc điểm khác nhau của hai định lý vừa được phát hiện)

Tổng hợp lại những đặc điểm bản chất của hai định lý ta có sự giống nhau

giữa hai định lý, có thể phát biểu như sau: “Trong một tứ giác nội (ngoại) tiếp, tổng các góc (cạnh) đối diện thì bằng nhau”

Khi hướng dẫn HS khái quát hoá một số ví dụ cụ thể để tìm ra qui luật, nếu

HS gặp khó khăn trong việc phát hiện đặc điểm chung thì yêu cầu HS trước hết hãy

mô tả đặc điểm của từng ví dụ (phân tích) rồi đối chiếu với nhau để tìm ra đặc điểm chung (tổng hợp) Nếu HS gặp khó khăn trong việc phân biệt đặc điểm bản chất với đặc điểm không bản chất, có thể gợi ý HS liên hệ những đặc điểm chung vừa phát hiện với mục đích hành động (tổng hợp) Đặc điểm nào ảnh hưởng tới sự kiện là đặc điểm bản chất, đặc điểm nào không ảnh hưởng tới sự kiện là đặc điểm không bản chất Ví dụ sau đây minh họa cho mối liên hệ giữa phân tích và tổng hợp với các HĐTT có liên quan trong dạy học tìm cách giải và khai thác BT hình học:

Ví dụ 1.5 [104, tập 2, Tr 76]

Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ  BC Chứng minh rằng MA = MB + MC

HĐ Tìm lời giải BT:

(Hình 1.8)

(1) Tổng hợp định hướng cho phân tích

Phân biệt rõ GT và KL, vẽ hình, tìm mối liên hệ giữa GT và KL

∆ABC đều nội tiếp trong (O), M BC

Chứng minh MA = MB + MC

Đây là dạng toán chứng minh đẳng thức hình học Ta có thể biển đổi biểu

thức vế trái bằng biểu thức vế phải; hay biểu thức vế phải bằng biểu thức vế trái;

hay biểu thức hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian bằng cách tạo ra đoạn

thẳng có độ dài bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại

(2) Phân tích bài toán tìm cách giải

Muốn chứng minh MA = MB + MC (phân tích tách ra những thuộc tính của

BT (cái toàn thể)) liên quan đến việc tạo đoạn thẳng AD nằm trên MA sao cho

AD = MC (hoặc AD = MB) Khi đó chỉ cần chứng minh MB = MD (hoặc

MC = MD) Điều này có được từ các cặp tam giác bằng nhau

(3) Tổng hợp - trình bày lời giải của BT: tổng hợp kết quả của HĐ phân

tích, liên kết các mối liên hệ giữa các yếu tố ta có lời giải của BT

Cách 1 Lấy DAM sao cho MC = DA (1), ta

Phân tích, xét vai trò của các yếu tố trong BT, tìm mối liên hệ với KL tương

tự như trường hợp đã xét, rồi tổng hợp các kết quả ta có thêm cách giải khác

Tương tự cách 1: chứng minh MA = MB + MC theo cách Đặt MC trên MA

bằng cách lấy DMA sao cho MC = DA và chứng minh MB = MD; mà MA, MB,

MC đều là dây cung của (O) nên có vai trò như nhau

Cách 1.1: Đặt MC trên MB bằng cách lấy D thuộc tia đối của tia MB sao cho

MD = MC Khi đó, chứng minh MA = MB + MC  MA = DB

MAC = DBC (trường hợp c.g.c), (Hình 1.9);

GT

KL

Cách 1.2: hoặc đặt MB trên MC, bằng cách

lấy D thuộc tia đối của tia CM sao cho CD = MB

Khi đó: MA = MB + MC  MA = MDAMD

đều MAB = DAC (c.g.c), (Hình 1.10)

Cách 2: Phân tích tách ra các yếu tố có liên

quan đến PP chứng minh đẳng thức hình học nhờ

các tỉ số có từ hai tam giác đồng dạng (Hình 1.11)

Xét MBE MAC và MCE MAB

Cách 3: Phân tích tách ra các yếu tố của BT

có liên quan đến phương pháp chứng minh đẳng

thức hình học nhờ các tỉ số dựa vào TC của đường

phân giác trong tam giác: theo GT ta có

Cách 4 (đối với HS khá giỏi): Phân tích tách ra các yếu tố của BT có liên

quan đến chứng minh đẳng thức hình học nhờ phương pháp vận dụng định lý Ptôlêmê vào tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O): AB.MC + AC.MB = BC.AM

vì AB, BC, AC là các cạnh của tam giác đều, nên MA = MB + MC , (Hình 1.11)

Trong dạy học giải bài tập hình học phẳng nếu người GV luôn tạo cho HS thói quen tìm nhiều lời giải của bài phương pháp toán, điều đó không chỉ là cơ hội

để HS được rèn luyện HĐ phân tích, tổng hợp cùng với các HĐTT có liên quan, mà

HS còn được hệ thống hóa các kiến thức kỹ năng đã học, thể hiện ở các dạng tri thức: tri thức nội dung, tri thức chuẩn, tri thức giá trị và đặc biệt là tri thức phương pháp

*) Tập luyện phân tích, tổng hợp khi tiến hành HĐ tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp và xét tính giải được trong quá trình phát triển BT:

Trả lời cho câu hỏi:

MBC thì MA = MB + MC, ta lật ngược

vấn đề: nếu có MA = MB + MC thì MBC không?

Phân tích BT tiến hành phân chia trường hợp,

rồi xét tính giải được trong các trường hợp; tổng hợp

lại các kết quả đề xuất BT mới:

Xét các vị trí tương đối của điểm M với

ABC

 và đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác - tách

ra các thuộc tính của M trong các trường hợp sau:

MBC (từ kết quả của ví dụ 1.5) đều có

MA = MB + MC;

Nếu M ở trong ∆ABC (M ≠ B, M ≠ C) thì

MA < MB + MC, (Hình 1.12);

Nếu M ở ngoài ∆ABC (MBC) thì MA < MB + MC, (Hình 1.13)

Như vậy, chỉ các điểm MBC thỏa mãn MA = MB + MC, nên ta có BT đảo của ví dụ 1.5:

Bài toán 1.5.1 Cho tam giác đều ABC, nếu MA = MB + MC thì M nằm

trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Tổng hợp: Kết hợp ví dụ 1.5 và BT 1.5.1 ta có BT quỹ tích:

Bài toán 1.5.2 Cho tam giác đều ABC Chứng minh quỹ tích điểm M thoả

mãn MA = MB + MC là cung BCcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Kết hợp các kết quả của ví dụ 1.5, bài toán 1.5.1; 1.5.2 đi đến bài toán khái

(Hình 1.12)

(Hình 1.13)

quát hóa (là dạng toán chứng minh bất đẳng thức hình học):

Bài toán 1.5.3 Trong mặt phẳng cho tam giác đều ABC và một điểm M bất

kì Chứng minh rằng MA  MB + MC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Từ bất đẳng thức MA  MB + MC gợi cho HS liên tưởng đến BT cực trị:

Bài toán 1.5.4 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Xác

định vị trí điểm M trên cung BC sao cho tổng MA + MB + MC có giá trị lớn nhất

Tổng hợp kết quả trên ta có:

MA + MB + MC = 2MA Mcung BC

Tổng MA + MB + MC lớn nhất khi MA lớn

nhất, MA là một dây của (O) nên lớn nhất khi nó là

đường kính của (O) Vậy M  I (I = AO BC) là điểm

chính giữa của cung BC, (Hình 1.14)

Nhận xét: Từ cách giải 4 của ví dụ 1.5, nếu

∆ABC vuông cân tại A thì MA + MB = 2MA

chính là kết quả của BT tương tự với BT 1.5.4:

Bài toán 1.5.5 Cho ∆ABC vuông cân tại A nội

tiếp trong đường tròn (O) M là điểm trên cung BC

(cung BC không chứa điểm A) Xác định vị trí của

điểm M trên cung BC sao cho tổng MA + MB + MC

có giá trị lớn nhất

Khái quát hóa các BT 1.5.4 và 1.5.5 đi đến BT sau:

Bài toán 1.5.6 Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp trong (O) Điểm M trên cung



BC không chứa điểm A Hãy xác định vị trí của điểm M trên cung BC sao cho tổng MA + MB + MC có giá trị lớn nhất

Quan sát Hình 1.15 và tiếp tục phân tích BT:

Từ bất đẳng thức MB + MC  MA, ta có độ dài MA luôn thay đổi Nếu lấy một điểm N ở ngoài (O) và thuộc miền trong góc BAC thì

(Hình 1.14)

(Hình 1.15)