241 giáo trình xác suất thống kê

Giáo trình gồm 4 chương: Chương 1: Các khái niệm cơ bản về xác suất Chương 2: Biến ngẫu nhiên Chương 3: Lý thuyết ước lượng Chương 4: Kiểm định giả thuyết thống kê Do giáo trình đư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH

========================

NGUYỄN ĐÌNH THI – TRẦN MẠNH HÂN

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

NAM ĐỊNH, 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH

========================

Th.S NGUYỄN ĐÌNH THI – Th.S TRẦN MẠNH HÂN

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

(Mã số: GT 2010-04-03)

Lý thuyết Xác suất - Thống kê toán học được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trường Đại học và Cao đẳng trên thế giới và trong nước Nó đang là một trong những ngành khoa học phát triển cả về lý thuyết cũng như ứng dụng Nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên , khoa học xã hội, khoa học giáo dục và các ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v

Để giúp sinh viên trường Đại học SPKT Nam Định có tài liệu học tập tốt môn Xác suất thống kê, chúng tôi đã biên soạn Giáo trình Xác suất Thống kê phù hợp với chương trình đào tạo của Nhà trường Giáo trình gồm 4 chương:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản về xác suất Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Chương 3: Lý thuyết ước lượng Chương 4: Kiểm định giả thuyết thống kê

Do giáo trình được giảng dạy cho sinh viên không phải ngành Toán, nên chúng tôi không đi sâu vào viê ̣c chứng minh những lý thuyết toán ho ̣c phức ta ̣p mà trình bày các kiến thức cơ bản như là công cụ giải toán và tập trung ch o viê ̣c đưa ra các ví du ̣ minh ho ̣a cho các kiến thức đã học

Do giáo trình được biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả rất mong nhận được sự đóng góp kiến của bạn đọc để giáo trình được hoàn thiện hơn Mọi đóng góp xin gửi về Khoa Khoa học cơ bản, trường Đại học Sư phạm

Kỹ thuật Nam Định, Phường Lộc Hạ, TP Nam Định

Các tác giả xin chân thành cảm ơn!

CÁC TÁC GIẢ

GIỚI THIỆU

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 3

1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 3

1.1.1 Quy tắc đếm 3

1.1.2 Chỉnh hợp Hoán vị 5

1.1.3 Tổ hợp 8

1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 9

1.2.1 Khái niệm phép thử và biến cố 9

1.2.2 Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố 11

1.2.3 Nhóm đầy đủ các biến cố 14

1.3 XÁC SUẤT 16

1.3.1 Khái niệm xác suất 16

1.3.2 Các định nghĩa xác suất 17

1.3.3 Tính chất của xác suất 20

1.3.4 Các công thức tính xác suất 20

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 38

Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN 52

2.1 KHÁI NIỆM VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN 52

2.1.1 Định nghĩa 52

2.1.2 Phân loại 52

2.2 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 53

2.2.1 Bảng phân phối xác suất 53

2.2.2 Hàm phân phối xác suất 58

2.2.3 Hàm mật độ xác suất 61

2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 65

2.3.1 Kỳ vọng (Expectation) 65

2.3.2 Phương sai (Variance) 66

Tìm kì vọng, phương sai, độ lệch của X 68

2.3.3 Mod (giá trị chắc chắn nhất): 72

2.4.1 Phõn phối nhị thức 72

2.4.2 Phõn phối Poisson 74

2.4.3 Phõn phối chuẩn 78

2.4.4 Phõn phối “khi bỡnh phương” 87

2.4.5 Phõn phối Student 88

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 90

Chương 3: Lí THUYẾT ƯỚC LƯỢNG 98

3.1 Lí THUYẾT MẪU 98

3.1.1 Khỏi niệm về mẫu ngẫu nhiờn, thống kờ mụ tả 98

3.1.2 Cỏc phương phỏp lấy mẫu 100

3.1.3 Bảng phõn phối thực nghiệm 101

3.1.4 Cỏc đặc trưng mẫu 103

3.1.5 Cỏch tớnh cỏc đặc trưng mẫu 105

3.2 KHÁI NIỆM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 109

3.2.1 Khỏi niệm ước lượng 109

3.2.2 Ước lượng điểm 110

3.2.3 Cỏc tiờu chuẩn ước lượng 110

3.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 112

3.3.1 Bài toỏn ước lượng khoảng 112

3.3.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 113

3.3.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 123

3.3.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 128

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 136

Ch-ơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê 145

4.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 145

4.1.1 Bài toỏn kiểm định 145

4.1.2 Cỏc loại sai lầm, mức ý nghĩa 146

4.2 KIỂM ĐỊNH VỀ KỲ VỌNG 147

4.2.1 Bài toỏn 1: Phương sai VX = σ2 đó biết 147

4.3 KIỂM ĐỊNH VỀ TỶ LỆ 156

4.3.1 Kiểm định hai phớa 156

4.3.2 Kiểm định phớa phải 157

4.3.3 Kiểm định phớa trỏi 158

4.4 KIỂM ĐỊNH VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI KỲ VỌNG 163

4.4.1 Bài toỏn 1: Trường hợp đó biết VX = 2 1  và VY = 2 2  163

4.4.2 Bài toỏn 2: Trường hợp chưa biết VX = 2 1  và VY = 2 2  165

4.4 Kiểm định về sự bằng nhau của hai tỷ lệ 169

4.4.1 Kiểm định hai phớa 169

4.4.2 Kiểm định phớa phải 170

4.4.3 Kiểm định phớa trỏi 170

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 173

CÁC BẢNG SỐ 178

PHỤ LỤC 1 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL 185

PHỤ LỤC 2 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TOÁN THỐNG Kấ TRấN MÁY TÍNH 188

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

thể là khác nhau Những nhóm như vậy ta gọi là nhóm không phân biệt thứ tự (gọi tắt

là nhóm không có thứ tự)

1.1.1 Quy tắc đếm

Quy tắc cộng

Để hoàn thành công việc A, ta có k khả năng (KN) Trong đó:

KN 1: có n1 cách hoàn thành công việc A

KN 2: có n2 cách hoàn thành công việc A

KN 3: có n3 cách hoàn thành công việc A

KN k: có nk cách hoàn thành công việc A

Suy ra: Số cách để hoàn thành công việc A là (n1 + n2 + n3 + + nk ) cách

Lưu ý: Chỉ cần thực hiện 1 trong các khả năng trên thì công việc A đã được hoàn

thành

Ví dụ 1: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ

nhóm đó ra một sinh viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải:

Công việc của ta là chọn 1 sinh viên, công việc này có 2 khả năng để hoàn thành:

- KN 1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn

- KN 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn

Rõ ràng, công việc chính của ta là chọn ra 1 sinh viên, do đó chỉ cần 1 trong 2 khả năng trên xảy ra thì công việc của ta đã hoàn thành Vậy, ta sử dụng quy tắc cộng:

Số cách để hoàn thành công việc trên là: n = 15 + 10 = 25 cách

Bước k: có nk cách hoàn thành bước thứ k

Suy ra: Số cách để hoàn thành công việc A là (n1 n2 n3 nk ) cách

Lưu ý: Để hoàn thành công việc A, ở đây ta phải thực hiện tất cả các bước trên

thì công việc A mới hoàn thành

Ví dụ 2: Để đi từ A tới C, bắt buộc ta phải đi qua B Có 2 cách đi từ A đến B và

có 3 cách đi từ B tới C Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C ?

Như vậy, công việc cần hoàn thành là đi từ A tới C, công việc này có thể chia làm 2 bước:

- Bước 1: đi từ A tới B, có 2 cách đi

- Bước 2: đi từ B tới C, có 3 cách đi

Rõ ràng, khi một trong 2 bước trên xảy ra thì công việc chưa hoàn thành, mà chỉ hoàn thành một phần của công việc thôi Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân:

Số cách đi từ A đến B là n = 2 * 3 = 6 cách

Ví dụ 3: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ

nhóm đó ra 2 sinh viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 2 sinh viên được chọn có

1 sinh viên nam và 1 sinh viên nữ ?

Giải

Công việc của ta là chọn 1 sinh viên và 1 sinh viên nữ, công việc này được chia làm 2 bước:

- Bước1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn

- Bước 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn

Rõ ràng, khi một trong 2 bước trên hoàn thành thì công việc của ta vẫn chưa hoàn thành, mới chỉ hoàn thành 1 phần công việc Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân:

Số cách để hoàn thành công việc trên là: n = 15 * 10 = 150 cách

1.1.2 Chỉnh hợp Hoán vị

a) Chỉnh hợp

Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự

gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là k

n

A :

k n

n



Hàm thường dùng trong MS Excel là: Ak

n = PERMUT(n;k) Lưu ý: n! = n.(n-1).(n-2) 3.2.1 và 1! = 0! = 1

xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày

Giải:

Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong số 6 môn học Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trước sau giữa hai môn

Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 từ 6 phần tử

Do đó có tất cả:

 

2 6

Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự

gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho (trong đó có thể có một số phần tử được lặp lại

~

A ):

k n

a = k n

~

A = nk

Hàm thường dùng trong MS Excel là: akn = POWER(n;k)

Ví dụ 5: Có 8 sinh viên vào phòng thực hành máy tính gồm 4 dãy, mỗi dãy có 8

máy tính Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính

b) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính mà dãy thứ nhất có 1 sinh viên

c) Có bao nhiêu cách sắp xếp sinh viên ngồi các vị trí khác nhau trong phòng

b) Dãy thứ nhất có 1 sinh viên nên có 8 cách sắp xếp, còn lại 7 sinh viên mỗi sinh viên có 3 cách sắp xếp vào 3 dãy nên số cách sắp xếp 7 sinh viên vào 3 dãy là chỉnh hợp lặp chập 7 của 3

a) Các chữ số tuỳ ý

b) Các chữ số khác nhau

Ví dụ 7: Có 5 bông hoa khác nhau tặng cho 5 người, hỏi có thể có mấy cách tặng hoa

Giải:

Số cách tặng hoa cho 5 người là hoán vị của 5 phần tử: P5 = 5! = 120

Sử dụng hàm trong Excel:

P5 = FACT(5) = 120 hoặc P5 = PERMUT(5;5) = 120

Ví dụ 8: Một hội đồng có 7 thành viên được phân công 7 nhiệm vụ khác nhau

Hỏi có thể có bao nhiêu cách phân công ?

Giải:

Số cách phân công cho 7 người là hoán vị của 7 phần tử: P7 = 7! = 5040

Sử dụng hàm: P7 = FACT(7) = 5040 hoặc P7 = PERMUT(7;7) = 5040

Ví dụ 9: Có bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số khác nhau và được lập từ các

chữ số 0, 1, 2, 3

Giải:

Giả sử số có 4 chữ số là abcd Để xếp được số abcd, chia làm 2 bước:

Bước 1: Chọn 1 số khác không xếp ở vị trí a, có 3 cách

Bước 2: Hoán vị 3 số còn lại vào các vị trí còn lại, có 3! = 6 cách

Số các số có 4 chữ số là: 3 * 6 = 18 cách

1.1.3 Tổ hợp

Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự

gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho

Số các tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là k

n

C :

k n

C =

)!

k n ( k

! n

! k

C  + k

1 n

C  = k

n C

 Hàm thường dùng trong Excel là k

n

C = COMBIN(n,k)

(tức hai đội bất kỳ trong mười đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận) Hỏi phải

tổ chức bao nhiêu trận đấu

1.2.1 Khái niệm phép thử và biến cố

Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với các điều kiện cơ bản,

và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó được thực hiện Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tượng, ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy

Chẳng hạn: nếu muốn quan sát việc xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa của một đồng xu, ta phải tung đồng xu xuống đất; còn để xét xem viên đạn có trúng bia hay trượt, ta phải bắn các viên đạn; khi muốn nghiên cứu chất lượng của một lô sản phẩm,

ta phải lấy ngẫu nhiên một hoặc một số sản phẩm của lô sản phẩm đó

Việc thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng đó có thể xảy

ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố (sự kiện)

Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:

* Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử Biến

cố chắc chắn được ký hiệu là U hoặc 

* Biến cố không thể có: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử Biến

cố không thể có được ký hiệu là V hoặc 

* Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện

phép thử Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu là A, B, C hoặc là A1, A2,

4) Biến cố nước sôi ở nhiệt độ 500C, với 1 atm là biến cố không thể có

5) Gieo một con xúc xắc: đó là một phép thử

 Gọi Ak = “Xuất hiện mặt k chấm” Khi đó: A1, A2, A6 là các biến cố sơ cấp

 Gọi A = “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” Khi đó: A là biến cố ngẫu nhiên

Tất cả các biến cố ta gặp trong thực tế đều thuộc một trong bốn loại biến cố trên Tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là loại biến cố thường gặp hơn cả

1.2.2 Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố

a) Tổng của các biến cố A1 + A2 + + An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong các biến cố đó xảy ra

Chú ý:

* Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích thành tổng của các biến cố khác

* Mọi biến cố ngẫu nhiên A đều có thể biểu diễn thành tổng của các biến cố sơ cấp

Các biến cố sơ cấp trong tổng này được gọi là các biến cố thuận lợi cho biến cố A

* Biến cố chắc chắn  là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể có, nghĩa là mọi

biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố  Do đó  còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp

Ví dụ 3:

1) Chọn ngẫu nhiên từ 2 lớp Tin A, B mỗi lớp 1 sinh viên Gọi A là biến cố “bạn

chọn từ lớp A là nam”, B là biến cố “ bạn chọn từ lớp B là nam” và C là biến cố “ chọn được sinh viên nam”

Rõ ràng biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

Vậy: C = A + B

2) Gieo một con xúc xắc: đó là một phép thử

Gọi Ak biến cố “Xuất hiện mặt k chấm”, B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, C là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7”

Rõ ràng: A1, A2, A6 là các biến cố sơ cấp;

B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn

Khi đó: B = A2 + A4 + A6 ; C = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6

b) Tích của các biến cố A1 A2 An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố đó đồng thời xảy ra

Ví dụ 4: Hai lớp A, B đều có sinh viên sống tại Nam Định Chọn ngẫu nhiên mỗi

lớp 1 sinh viên Gọi A là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Nam Định ở lớp A”, B

là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Nam Định ở lớp B”, C là biến cố “cả hai sinh

viên sống ở Nam Định”

Rõ ràng C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra Vậy: C = A.B

Ví dụ 5: Cho sơ đồ mạch điện trên hình 1.1, gồm 3 bóng đèn Gọi A là biến cố

mạng mất điện, Ai là các biến cố đèn thứ i bị cháy Hãy biểu diễn A theo các Ai

Ta thấy, mạng mất điện khi và chỉ khi cả 2 nhánh đều có ít nhất một bóng đèn bị cháy Do đó: A = A3(A1 + A2)

c) Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu A và B không

đồng thời xảy ra, tức là: A.B = 

Nhóm n biến cố A1, A2, An đƣợc gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất

kỳ trong n biến cố này xung khắc với nhau

Ví dụ 6:

1) Hai sinh viên A và B cùng giải một bài toán và cho 2 kết quả khác nhau

Gọi A là biến cố “Sinh viên A giải đúng”, B là biến cố “Sinh viên B giải đúng”

Rõ ràng, nếu sinh viên A giải đúng thì sinh viên B giải sai, hoặc nếu sinh viên B giải đúng thì sinh viên A giải sai, hoặc cả 2 sinh viên đều giải sai

Vì vậy, hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra hay chúng xung khắc với nhau

2) Tung một con xúc xắc Gọi Ai (i = 1 6) là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt i

chấm“ Nhóm 6 biến cố A1, A2, A6 là xung khắc từng đôi

Hình 1.1

3

d) Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới sự xảy ra hay không xảy

ra của biến cố kia và ngược lại

Ví dụ 7: Một cơ quan có 3 ô tô, gọi Ai là biến cố “Ô tô thứ i bị hỏng” (i = 1 2)

Rõ ràng, ô tô này bị hỏng không ảnh hưởng gì tới ô tô khác và ngược lại

Vậy: A1, A2, A3 là các biến cố độc lập

Ví dụ 8: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình

lần lượt ra 2 quả cầu Lấy có hoàn lại, tức là quả cầu lấy ra lần 1 được ghi kết quả lại,

rồi được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu ở lần thứ 2 Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh ở lần 1”; B là biến cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh”

Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau

e) Biến cố đối: Biến cố A được gọi là biến cố đối của biến cố A nếu nó xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra và ngược lại

Ví dụ 9:

1) Khi tung một con xúc xắc Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn“,” B là biến

cố “xuất hiện mặt lẻ“ Rõ ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau

2) Tung một đồng tiền xu Khi đó:

A = “Xuất hiện mặt sấp”

A = “Xuất hiện mặt ngửa”

Chú ý:

1) A + A = 

2) Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A và B xung khắc nhau

f) Quy tắc đối ngẫu De Morgan:

C.B.ACB

C B A C B

Ví dụ 11: Một sinh viên phải thi hai môn: Toán và Lý Gọi T, L lần lƣợt là các

biến cố sinh viên đó đậu Toán, Lý Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua T và L

a) Sinh viên đó rớt Toán

b) Sinh viên đó chỉ đậu Toán

c) Sinh viên đó đậu cả hai môn

d) Sinh viên đó rớt cả hai môn

e) Sinh viên đó chỉ đậu một môn

f) Sinh viên đó đậu không quá một môn

g) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn

h) Sinh viên đó rớt ít nhất một môn

i) Sinh viên đó rớt nhiều nhất một môn

d) Tương tự, biến cố sinh viên đó rớt cả 2 môn là D = T L

e) Gọi E là biến cố sinh viên đó chỉ đậu 1 môn Ta có E xảy ra khi sinh viên đó chỉ đậu Toán (biến cố B) hoặc sinh viên đó chỉ đậu Lý (biến cố B’ = TL)

Vậy E = B + B’ hay E = TL + TL

f) Gọi F là biến cố sinh viên đó đậu không quá một môn

- Cách 1: Ta có F xảy ra khi sinh viên đó rớt cả 2 môn (biến cố D) hoặc chỉ đậu một môn (biến cố E) Do đó F = D + E hay F = T L + TL + TL

- Cách 2: Ta có biến cố đối lập của F là sinh viên đó đậu quá 1 môn, tức là đậu cả hai môn (biến cố C) Vậy F = C hay F = TL

- Cách 3: Biến cố F xảy ra khi sinh viên đó rớt Toán hoặc rớt Lý

Vậy F = T + L g) Gọi G là biến cố sinh viên đó đậu ít nhất 1 môn Tương tự, ta có ba cách biểu diễn G

H = T + L,

H = C = TL,

H = T L + TL + TL i) Gọi I là biến cố sinh viên đó rớt nhiều nhất 1 môn Ta có I = G Vậy

I = TL + TL + TL,

I = (T L),

I = T + L

1.3 XÁC SUẤT

1.3.1 Khái niệm xác suất

Như ta đã thấy, việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử là điều không thể đoán trước được Tuy nhiên bằng trực quan ta có thể nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau Chẳng hạn: biến cố “Xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có khả năng xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “ Xuất hiện mặt có 2 chấm” khi tung một con xúc xắc

Hơn nữa, khi ta lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như nhau, người ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy

ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định Từ đó, ta thấy khả năng định lượng (đo lường), khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử

Ta chú ý rằng đây là khả năng khách quan, do những điều kiện xảy ra của phép thử quy định chứ không tuỳ thuộc vào ý muốn chủ quan của con người

Như vậy, bản chất xác suất của một biến cố là một con số xác định Để tính xác suất của một biến cố, người ta xây dựng các định nghĩa và định lí sau đây:

1.3.2 Các định nghĩa xác suất

a) Định nghĩa cổ điển về xác suất

Định nghĩa: Cho một phép thử với n kết cục đồng khả năng, trong đó có m kết

cục thuận lợi cho biến cố A Khi đó:

Xác suất của biến cố A là 1 số không âm, kí hiệu P(A), biểu thị khả năng xảy

ra của biến cố A và được xác định như sau:

P(A) = m

n =

Ví dụ 1: Một bộ bài có 52 quân, rút ngẫu nhiên ra 3 quân Tìm xác suất để trong

3 quân rút ra có duy nhất một quân Cơ

Rõ ràng, biến cố A xảy ra khi rút được một quân Cơ và 2 quân còn lại không là quân Cơ khi rút ra 3 quân bài Bộ bài có 13 quân cơ và 39 quân không là quân cơ

Số trường hợp thuận lợi cho A xảy ra là: m = 1 2

C C

0, 4359

n  C  25.17.52 

Ví dụ 2: Một lô sản phẩm có 10 sản phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế

phẩm Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó ra 3 sản phẩm Tìm xác suất để:

a) Gọi A là biến cố “lấy được 3 chính phẩm”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A xảy ra là m = 3

8

C =56

Do đó: P(A) = 56/120 = 7/15

b) Gọi B là biến cố “trong ba sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm”

Số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là: m = C C = 56 28 12

Do đó: P(B) = 56/120 = 7/15

Ví dụ 3: Đề cương thi môn Triết có 70 câu hỏi Một sinh viên chỉ ôn 40 câu

Cho biết đề thi tự luận gồm 3 câu thuộc đề cương và nếu sinh viên trả lời ít nhất 2 câu thì đậu Tìm xác suất để sinh viên đó đậu môn Triết

Giải:

Phép thử là việc trả lời 3 câu từ 70 câu hỏi của đề cương (không cần sắp thứ tự),

do đó tổng số các kết quả có thể xảy ra là n = 3

70

C Gọi A là biến cố sinh viên đó đậu môn Triết

Muốn A xảy ra ta có hai phương án :

- Cả ba câu hỏi của đề thi đều nằm trong số 40 câu mà sinh viên đã ôn, có 3

2737

166454740

33280C

C.CC

3 70

1 30 2 40 3

Chú ý: Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển có một số hạn chế:

- Nó chỉ xét cho hệ gồm hữu hạn các biến cố sơ cấp

- Không phải lúc nào việc “đồng khả năng” cũng xảy ra

b) Định nghĩa thống kê về xác suất

Nếu số các kết quả có thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng không đồng khả năng, cách tính xác suất cổ điển như trên không còn dùng được nữa

Giả sử số phép thử có thể được lặp đi lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau

Nếu trong n lần thực hiện phép thử đó, biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số:

fn(A) =

n k

được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử đó

Bằng thực nghiệm, người ta chứng tỏ được khi số phép thử n tăng ra vô hạn thì tần suất fn(A) luôn dần tới 1 giới hạn nhất định

Ta gọi giới hạn đó là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê

P(A) =





n limfn(A)

Ví dụ 4: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền xu,

người ta tiến hành tung một đồng tiền xu nhiều lần và thu được kết quả sau đây:

Người làm thí nghiệm

Số lần tung (n)

Số lần được mặt sấp (k) Tần suất fn(A) = n

Tuy nhiên trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhƣng đối với số phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất:

P(A)  fn(A)

1.3.3 Tính chất của xác suất

a) 0  P(A)  1 b) P() = 0 ; P() = 1 c) P(A) = 1 – P(A)

1.3.4 Các công thức tính xác suất

a) Xác suất có điều kiện

Cho 2 biến cố A và B Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, kí hiệu

trong đó: * mAB là số các khả năng thuận lợi cho biến cố AB

* mB là số các khả năng thuận lợi cho biến cố B

Ta có:

AB

B B

m

AP

B =

) B ( P

) B A ( P

 Xác suất có điều kiện P(A/B) có thể tính trực tiếp từ bối cảnh của bài toán Khi đó, ta cần xác định sau khi biến cố B đã xảy ra thì có tất cả bao nhiêu khả năng có thể xảy ra, trong đó có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A, từ đó suy ra P(A/B)

 Khi biến cố B đã xảy ra, mà ta không xác định đƣợc rõ bối cảnh của bài toán nhƣ thế nào thì ta nên áp dụng công thức trên để tính P(A/B)

Ví dụ 5: Rút ngẫu nhiên một con bài từ bộ tú lơ khơ Tính xác suất để con đó là

con Át biết rằng con đó có chất màu đen?

Giải:

Cách 1: tính theo công thức

Gọi A là biến cố “con bài đó là con Át”

B là biến cố “con bài đó có chất màu đen”

Ta cần tìm P(A/B) = ?

Ta có: AB = “con bài đó là con Át đen”

Một bộ bài có 52 quân bài, có 26 con có chất màu đen và 2 con Át đen

Cách 2: suy luận trực tiếp từ bối cảnh của bài toán

Ta thấy, sau khi biến cố B đã xảy ra, tức là đã biết con bài đó có chất màu đen, một bộ tú chỉ có 26 con có chất màu đen trong đó có 2 con Át đen

Do đó: P(A/B) = 2/26 = 1/13

Ví dụ 6: Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của ngân hàng ACB và 4 thẻ ATM của

ngân hàng Vietcombank Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt 2 thẻ (lấy không hoàn lại) Tìm xác

suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của ACB

Giải:

Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank”

B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“

Ta cần tìm P(A/B) = ?

Ta thấy, sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên : P(A/B) = 4/9

Ví dụ 7: Người ta điều tra các gia đình có hai con thì thấy tỉ lệ sinh con trai con

gái bằng nhau Vì vậy 4 khả năng sau có xác suất bằng 1/4:

(T, T), (T, G), (G, T), (G, G) trong đó T ký hiệu con trai, G ký hiệu con gái và trong các cặp trên anh hoặc chị đứng trước, em đứng sau

Giả sử người ta gõ cửa một nhà có hai con, và có bé gái ra mở cửa (tức gia đình có bé gái) Hãy tính xác suất để đứa bé còn lại là con trai

Giải:

Không gian sự kiện sơ cấp là

 = { (T,T), (T,G), (G,T), (G,G) } Gọi B là biến cố “gia đình có ít nhất một con gái”

A là biến cố “đứa còn lại là trai, tức là gia đình có 1 trai và 1 gái”

Ta có P(A) = 1/2

Nhưng với điều kiện gia đình có bé gái (bé gái ra mở cửa, biến cố B đã xảy ra) thì các

sự kiện sơ cấp đồng khả năng là

’ = { (T,G), (G,T), (G,G) }

và có 2 kết cục thuận lợi cho A là (T,G) và (G,T)

Vậy: với điều kiện gia đình có bé gái thì xác suất cần tìm của A là P(A/B) = 2/3

b) Công thức nhân xác suất

Theo công thức xác suất có điều kiện:

Bằng quy nạp có thể chứng minh:

P(A1A2A3 An) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2) P(An/A1A2…An-1)

Chú ý: Nếu các biến cố A 1 , A 2 , A n đôi một độc lập thì

P(A1A2A3 An) = P(A1) P(A2) P(A3) P(An) (5)

Ví dụ 8: Một thủ kho có một chùm chìa khoá gồm 9 chiếc bề ngoài giống hệt

nhau, trong đó chỉ có 2 chiếc mở đƣợc cửa kho Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa, chìa nào không mở đƣợc thì bỏ ra, cho tới khi mở đƣợc cửa kho thì thôi Tính xác suất để anh ta mở đƣợc cửu kho sau 3 lần thử chìa

Giải:

Gọi Ai là biến cố “mở đƣợc cửa kho ở lần thử thứ i”, i = 1 .8

A là biến cố “mở đƣợc cửa kho sau 3 lần thử chìa”

 P(A) = 1

12

Ví dụ 9: Một thùng đựng n sản phẩm, trong đó có m phế phẩm (m < n) Rút ngẫu

nhiên 1 sản phẩm, sau đó rút tiếp 1 sản phẩm nữa (sản phẩm rút lần đầu không bỏ lại vào thùng) Tính xác suất sản phẩm rút đầu là phế phẩm và sản phẩm rút sau là chính phẩm

Ví dụ 10: Một công nhân đứng 3 máy, các máy hoạt động độc lập với nhau Xác

suất để trong thời gian T máy 1, 2, 3 không bị hỏng tương ứng là 0.9; 0.8; 0.7 Tính xác suất có ít nhất 1 máy bị hỏng trong thời gian T

Giải:

Gọi A là biến cố “máy 1 không bị hỏng trong thời gian T”

B là biến cố “máy 2 không bị hỏng trong thời gian T”

C là biến cố “máy 3 không bị hỏng trong thời gian T”

 Dễ thấy, 3 biến cố A, B, C là độc lập với nhau

= 1 - P(A).P(B).P(C) = 1 - 0.9 * 0.8 * 0.7

=1 − 0.504 = 0.496

Ví dụ 11: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc

mừng bạn đã trúng thưởng xe BMW” Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng

Giải:

Gọi A là biến cố “nắp khoen đầu trúng thưởng”

B là biến cố “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”

C là biến cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”

Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng

 P(A) = 2/20 Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng

 P(B/A) = 1/19

Từ đó ta có: P(C) = P(AB) = P(A).P(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053

Ví dụ 12: Áo Việt Tiến trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu

cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai Tìm xác suất để 1 chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Giải:

Gọi A là biến cố “qua được lần kiểm tra đầu tiên”

B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2”

C là biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”

Ta có: P(C) = P(AB) = P(A) P(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931

c) Công thức cộng xác suất

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Chú ý: Nếu A1, A2, , An đôi một xung khắc thì

P(A1 + A2 + + An ) = P(A1) + P(A2) + + P(An) (7)

Ví dụ 13: Có hai hộp phấn Hộp thứ nhất có 6 viên phấn trắng, 4 viên phấn màu

Hộp thứ hai có 7 viên phấn trắng, 3 viên phấn màu Từ hộp thứ nhất lấy ra 2 viên

phấn, từ hộp thứ hai lấy ra 1 viên Tìm xác suất lấy đƣợc

cố qua các phép toán tương ứng

Gọi Ak là biến cố lấy đƣợc k viên phấn trắng từ hộp thứ nhất, k = 0 , 2

Bi là biến cố lấy đƣợc i viên phấn trắng từ hộp thứ hai, i = 0 , 1

a) Gọi A là biến cố trong 3 viên phấn lấy từ hai hộp có 2 viên màu trắng

Ta có: A = A1B1 + A2B0

Rõ ràng các biến cố tham gia vào tổng là A1B1 và A2B0 xung khắc, còn các biến

cố tham gia vào tích là A1 và B1, A2 và B0 độc lập Do đó

A

AB B

P(A) = P(A1) P(B1) + P(A2) P(B0)

Các xác suất ở vế phải được tính bằng định nghĩa

Chẳng hạn, đối với A1 : phép thử là việc lấy 2 trong 10 viên phấn của hộp thứ nhất ; A1 xảy ra khi lấy 1 viên phấn trắng từ 6 viên và 1 viên phấn màu từ 4 viên ở hộp đó Suy ra

P(A1) = 2

10

1 4 1 6

C

CC

Tương tự, ta tính được các xác suất còn lại

Vậy

P(A) = 2

10

1 4 1 6

C

CC

1 7 1 10

C

10

2 6

C

C

110

1 3

C

C

= 150

C

C

110

1 7

C

C

= 30

7

Suy ra P(B) = 1 – P(B) =

30

23

Cách 2: Ta có B xảy ra khi lấy được 1 viên phấn màu và 2 viên phấn trắng ; hoặc 2

viên phấn màu và 1 viên phấn trắng ; hoặc 3 viên phấn màu (và 0 viên phấn trắng) Do đó

B = A + (A1B0 + A0B1) + A0B0 , P(B) = P(A) + P(A1) P(B0) + P(A0) P(B1) + P(A0) P(B0) =

= 150

71 + 210

1 4 1 6

C

CC

110

1 3

C

C

+ 210

2 4

C

C

110

1 7

C

C

+ 210

2 4

C

C

110

1 3

C

C

= 30 23

Ví dụ 14: Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh

huyết áp là 12% và mắc cả 2 bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó Tính xác suất để người đó không bị mắc bệnh?

Giải

Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh tim”

B là biến cố “người đó mắc bệnh huyết áp”

 AB là biến cố “người đó mắc cả 2 bệnh”

Theo bài ra: P(A) = 0,09; P(B) = 0,12; P(AB) = 0,07

Gọi H là biến cố “người đó không mắc bệnh”

 Hlà biến cố “người đó mắc ít nhất một bệnh”

 H = A + B

 P(H) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

 P(H) = 0,09 + 0,12 – 0,07 = 0,14

Suy ra: P(H) = 1 - P(H) = 1 – 0,14 = 0,86

Ví dụ 15: Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu Xác suất để khẩu thứ nhất

bắn trúng bằng 0,7; để khẩu thứ hai bắn trúng bằng 0,8; để khẩu thứ ba bắn trúng bằng 0,5 Mỗi khẩu bắn một viên Tính xác suất để:

Gọi Ai = “khẩu thứ i bắn trúng mục tiêu”, i =1 2

 Các biến cố A1, A2, A3 độc lập và P(A1) = 0,7; P(A2) = 0,8 P(A3) = 0,5

 P(A1) = 0,3; P(A2) = 0,2; P(A1) = 0,5

a) P{có 1 khẩu bắn trúng} = P(A1A2 A3 + A2A1 A3 + A3A1 A2)

= P(A1A2 A3) + P(A2A1 A3) + P(A3A1 A2)

= P(A1)P(A2)P( A3) + P(A2)P(A1)P( A3) + P(A3)P(A1)P( A2)

= 0,7.0,2.0,5 + 0,8.0,3.0,5 + 0,5.0,3.0,2 = 0,22 b) P{có 2 khẩu bắn trúng} = P(A1A2 A3 + A2A3A1 + A1A3A2)

= P(A1A2 A3) + P(A2A3A1) + P(A1A3A2)

= P(A1)P(A2)P( A3) + P(A2)P(A3)P( A1) + P(A1)P(A3)P( A2) = 0,7.0,8.0,5 + 0,8.0,5.0,3 + 0,7.0,5.0,2 = 0,47

c) P{cả 3 khẩu bắn trượt} = P(A1A2 A3) = P(A1)P(A2)P( A3)

= 0,3.0,2.0,5 = 0,03 d) P{ít nhất 1 khẩu bắn trúng} = 1 - P{cả 3 khẩu bắn trượt} = 1 – 0,03 = 0,97 e) Gọi B là biến cố “có 2 khẩu bắn trúng” Xác suất cần tìm là P(A1/B) = ?

Một người đàn ông thỏa thuận với vợ sắp cưới như sau: Anh ta chỉ cần có con

trai, và nếu vợ anh sinh cho anh được một đứa con trai thì lập tức dừng lại liền và không sinh nữa Giả sử một người phụ nữ có thể sinh tối đa n lần, và xác suất để sinh

được con trai ở mỗi lần sinh là 50% và khả năng sinh con trai ở các lần sinh là độc lập nhau

1) Hỏi khả năng anh này có con trai là bao nhiêu?

2) Hỏi người phụ nữ kia phải sinh bao nhiêu lần để khả năng anh này có con trai lớn hơn bằng 99%?

Giải:

1) Gọi Ti là biến cố “sinh được con trai ở lần sinh thứ i”

Gi là biến cố “sinh được con gái ở lần sinh thứ i”

A là biến cố “anh này có con trai”

Vậy: n  7 hay người phụ nữ đó sinh tối thiểu là 7 lần sinh!

d) Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử A1 , A2 , , An là 1 hệ đầy đủ các biến cố và H là một biến cố bất kỳ Bài toán đặt ra là: biết xác suất P(Ai) và P(H/Ai) (i=1 n), tính xác suất P(H)

Ta có:

H = H.(A1 + A2 + + An) = H.A1 + H.A2 + … + H.An

  P(H) = P(H.A1 + H.A2 + … + H.An)

Vì các biến cố A1, … , An xung khắc từng đôi nên các biến cố H.A1, , H.An cũng xung khắc từng đôi Suy ra:

i

i).P(H A )A

(P

1

Công thức (8) được gọi là công thức xác suất đầy đủ hay công thức xác suất toàn phần

Chú ý: khi sử dụng công thức xác suất đầy đủ, cần lưu ý:

1) Nhận ra được mô hình bài toán: thường những bài toán có 2 công việc (phép thử), kết quả xảy ra của công việc sau luôn luôn phụ thuộc vào kết quả xảy ra của công việc trước

2) Xác định được hệ đầy đủ và biến cố H: biến cố H thường liên quan trực tiếp đến kết quả của công việc 2, còn hệ đầy đủ được xác định nhờ vào các kết quả của công việc 1

- Có nhiều cách xác định hệ đầy đủ, thường là các biến cố sơ cấp của phép thử thứ nhất hay là các kết quả nhỏ nhất có thể xảy ra ở công việc 1

- Khi biến cố H đã xảy ra thì sẽ xảy ra một biến cố Ai nào đó, ngược lại xảy ra Aithì chưa chắc H đã xảy ra

Ví dụ 17:

Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm ba phân xưởng Phân xưởng 1 sản xuất 50%, phân xưởng 2 sản xuất 20% và phân xưởng 3 sản xuất 30% số bóng đèn Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng 1, 2 và 3 tương ứng là 2%, 3% và 4% Hãy tính tỷ lệ phế phẩm chung của nhà máy

Công việc 1: xác định xem bóng đèn được chọn do nơi nào sản xuất?

Công việc 2: xác định xem bóng đèn được chọn là phế phẩm hay chính phẩm?

Rõ ràng, kết quả xảy ra ở công việc 2 luôn luôn phụ thuộc vào kết quả xảy ra ở công việc 1

Để xác định hệ đầy đủ, cần trả lời công việc 1 có bao nhiêu kết quả nhỏ nhất có thể xảy ra? Có 3 kết quả, ứng với một kết quả cho ta một biến cố Ai Như vậy, Ai là biến cố “sản phẩm được chọn do phân xưởng i sản xuất”, (i=1 3)

Để xác định biến cố H, ta xem công việc 2 quan tâm tới kết quả nào, ở đây là phế phẩm Do đó, H là biến cố “sản phẩm được chọn là phế phẩm”

Giải:

Đặt: Ai = “bóng đèn chọn ra thuộc phân xưởng i”, i=1,2,3

 {A1, A2, A3} là hệ đầy đủ

P(A1) = 0,5; P(A2) = 0,2; P(A3) = 0,3

Gọi H là biến cố “bóng đèn chọn ra là phế phẩm”

 P(H/A1) = 0,02; P(H/A2) = 0,03; P(H/A3) = 0,04

Theo công thức xác suất đẩy đủ, ta có

P(H) = P(A1).P(H/A1) + P(A2).P(H/A2) + P(A3).P(H/A3)

= 0,5*0,02 + 0,2*0,03 + 0,3*0,04

= 0,028 = 2,8%

Ví dụ 18: Có 2 hộp bi: hộp thứ nhất có 3 bi trắng và 4 bi đen, hộp thứ 2 có 5 bi

trắng và 6 bi đen Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi bỏ sang hộp thứ 2, sau đó từ hộp thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có 2 viên bi trắng và 1 bi đen

Phân tích

- Công việc 1: chọn 1 viên bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

- Công việc 2: chọn ra 3 viên bi ở hộp 2 và kết quả quan tâm là chọn được 2 bi trắng và 1 bi đen

Giải:

Đặt: A = “chọn đƣợc 1 bi trắng ở hộp 1”

B = “chọn đƣợc 1 bi đen ở hộp 1”

 {A, B} là hệ đẩy đủ và P(A) = 3/7; P(B) = 4/7

Gọi H là biến cố: “Chọn đƣợc 2 bi trắng và 1 bi đen ở hộp 2”

e) Công thức xác suất Bayes

Giả sử A1,…, An là nhóm đầy đủ các biến cố và H là biến cố bất kỳ Biết xác suất P(Ai) và P(H/Ai) i=1,…,n

Giả thiết phép thử đƣợc thực hiện và sự kiện H xảy ra

Hãy tính xác suất P(Ai/H) i=1,…,n

Từ công thức nhân xác suất:

P(Ak.H) = P(Ak).P(H/Ak) = P(H).P(Ak/H) k=1,…,n suy ra

P(Ak/H) = P(A ).P(H / A )k k

Thế P(H) theo công thức xác suất đẩy đủ, ta đƣợc:

Công thức (9b) đƣợc gọi là công thức xác suất Bayes

Xác suất P(Ak/H) gọi là xác suất hậu nghiệm, còn xác suất P(Ak) gọi là xác suất

tiên nghiệm

Ví dụ 19: Có 3 hộp bi giống nhau: hộp thứ nhất có 20 bi trắng, hộp thứ 2 có 10 bi

trắng và 10 bi đen, hộp thứ 3 có 20 bi đen Chọn ngẫu nhiên ra một hộp, sau đó từ hộp đƣợc chọn ra chọn ngầu nhiên ra 1 viên bi thì viên bi trắng Tính xác suất để viên bi đó là của hộp thứ 2

Phân tích

- Công việc 1: chọn ra 1 hộp bi, có 3 kết quả

- Công việc 2: chọn ra 1 viên bi từ hộp được chọn ra và kết quả quan tâm là chọn được bi trắng

 biến cố H đã xảy ra và P(H/A1) = 1; P(H/A2) = 0,5; P(H/A3) = 0

Xác suất cần tìm là P(A2/H) = ?

Ví dụ 20:

Có ba hộp, mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ i có i viên đỏ, i = 1 _,3

1) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi

a) Tìm xác suất lấy đƣợc 3 bi đỏ

b) Tìm xác suất để trong 3 bi thu đƣợc sẽ có 1 bi đỏ

c) Biết rằng trong 3 bi lấy ra có 1 bi đỏ, tìm xác suất để viên bi đỏ này là của hộp thứ nhất

2) Chọn ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tìm các xác suất nhƣ ở câu 1

Giải:

1) Các biến cố cần tìm xác suất phụ thuộc vào việc từ mỗi hộp lấy ra đƣợc viên

bi màu gì Gọi ĐK là biến cố lấy đƣợc 1 viên bi đỏ từ hộp thứ k, k =

_

3,

3 5

2 5

3)5

21()5

11()5

31(5

2)5

11()5

31()5

21(5

Vì B là điều kiện để Đ1 xảy ra nên ta áp dụng công thức xác suất có điều kiện để tính

P(Đ1/B) =

) P(B

) B (

31()5

21(5

125/6

(Vì trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai chỉ có 1 hoặc 2 bi đỏ, nên biến cố lấy đƣợc

3 bi đỏ từ hai hộp này là không thể)

Áp dụng CT XSĐĐ, ta đƣợc:

P(C) =

30

110

13

103

103