Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯƠNG MINH TUYÊN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS TS Nguyễn Bường

2 GS TS Jong Kyu Kim

THÁI NGUYÊN-NĂM 2013

LỜI CAM ĐOANCác kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TS Nguyễn Bường và GS.

TS Jong Kyu Kim Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưatừng được công bố trong các công trình của người khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình

Tác giả

Trương Minh Tuyên

LỜI CẢM ƠNLuận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TS Nguyễn Bường và

GS TS Jong Kyu Kim Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cácThầy

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng vàseminar tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiếnđóng góp quý báu của GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Phạm NgọcAnh, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Đào ThịLiên, GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, TS Hà Trần Phương, TS Vũ VinhQuang, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS.TSKH Đỗ Đức Thái, GS TS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy,

TS Vũ Mạnh Xuân Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến các Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sauđại học và Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên

đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án củamình

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy cô trong Khoa Toán, trườngĐại học Sư phạm và các Thầy cô trong Khoa Toán-Tin, trường Đại họcKhoa học, Đại học Thái Nguyên, cùng toàn thể anh chị em nghiên cứusinh chuyên ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm,động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trongsuốt quá trình học tập, seminar, nghiên cứu và hoàn thành luận án.Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mìnhniềm vinh hạnh to lớn này

Tác giả

Mục lục

1.1 Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử

đơn điệu và ánh xạ không giãn 7

1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 17

1.2.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh 18

1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 18

1.3 Phương pháp điểm gần kề quán tính 22

1.4 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 25

1.5 Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn 26

1.5.1 Phát biểu bài toán 26

1.5.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn 28

1.6 Một số bổ đề bổ trợ 37

Chương 2 Phương pháp điểm gần kề 40 2.1 Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn 40

2.3 Phương pháp điểm gần kề và bài toán xác định không điểm

của toán tử m-j-đơn điệu 542.4 Ứng dụng 622.4.1 Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu

hạn các ánh xạ giả co chặt 622.4.2 Bài toán chấp nhận lồi 65

Chương 3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp

3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm

gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất

động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn 753.2 Tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh 823.3 Ứng dụng 883.3.1 Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu

hạn các ánh xạ giả co chặt 883.3.2 Bài toán chấp nhận lồi 89

Một số ký hiệu và viết tắt

F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

n[a,b] số điểm chia cách đều trên đoạn [a, b]

Mở đầu

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ khônggiãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợpriêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗngcủa một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci}i∈I của khônggian Hilbert H hay không gian Banach E" Bài toán này có nhiều ứngdụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh,khôi phục tín hiệu, vật lý, y học (xem [27], [28], [29], [43], [58], [59], [71],[72], [81] )

Khi Ci = F ix(Ti), với F ix(Ti) là tập điểm bất động của ánh xạ khônggiãn Ti, i = 1, 2, , N , thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựatrên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng Đó là các phương pháp lặpKranoselskii [56], Mann [62], Ishikawa [45] và Halpern [42], phương phápxấp xỉ mềm [65] Chẳng hạn, tương tự như phương pháp chiếu xoay vòng đểgiải bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert, năm 1996 Bauschke

H H [16] đã đề xuất phương pháp lặp xoay vòng dựa trên phương pháplặp Halpern cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạncác ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Các kết quả nghiên cứutheo những hướng này có thể tra khảo trong các tài liệu [16], [30], [46],[69], [70] và sẽ được trình bày cụ thể hơn trong Chương 1 của luận án

Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach

E, thì toán tử A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, với I là toán tử đồngnhất trên E Như vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu

bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơnđiệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N

Hilbert H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu và đơn điệu làtrùng nhau), thì Rockafellar R T [77] đã đề xuất phương pháp điểm gần

kề để xác định dãy {xn} như sau:

ở đây cn > c0 > 0 Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) chỉ thu

Năm 2001, Attouch H và Alvarez F [14] đã xét một mở rộng củaphương pháp điểm gần kề (0.1) ở dạng

cnA(xn+1) + xn+1− xn 3 γn(xn− xn−1), x0, x1 ∈ H (0.2)

và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính, ở đây {cn} và {γn} là haidãy số không âm Đối với thuật toán mở rộng này thì người ta cũng chỉ

đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert

Khi A : E −→ E là một toán tử m − j−đơn điệu từ không gian Banach

E vào chính nó, năm 2002 Ryazantseva I P [78] đã kết hợp phương phápđiểm gần kề với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh

ở dạng

cn(A(xn+1) + αnxn+1) + xn+1 = xn, x0 ∈ E (0.3)

bởi (0.3) về một không điểm của A khi không gian Banach E và các dãy

số dương {cn} và {αn} thỏa mãn các điều kiện thích hợp

Năm 2006 tác giả Xu H K [88] và năm 2009 các tác giả Song Y., Yang

C [80] đã đề xuất và nghiên cứu một cải biên của phương pháp điểm gần

kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong

định bởi

xn+1 = JrAn(tnu + (1 − tn)xn+ en), n = 0, 1, 2, (0.4)với một số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {tn} và dãy sai số tính toántrong mỗi bước lặp {en}, trong đó JA

r n = (I + rnA)−1.Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phươngtrình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng.[22] đã đề xuất và nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonovcho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn

trị đơn điệu, thế năng, h−liên tục từ không gian Banach E vào không gian

đơn điệu cực đại về việc giải một phương trình toán tử và thu được sự hội

tụ mạnh của thuật toán về một nghiệm của hệ khi các tham số hiệu chỉnhđược chọn thích hợp

Năm 2008, trên cơ sở kết quả nghiên cứu đạt được của mình vào năm

2006, tác giả Buong Ng [23] lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương phápđiểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kềquán tính hiệu chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm chung của

i = 1, 2, , N trong không gian Hilbert H Ông đã chỉ ra sự hội tụ mạnhcủa dãy lặp {zn} xác định bởi

là các toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử dưới vi phân ∂ϕj của phiếm

H(Anj(x), ∂ϕj(x)) ≤ hng(kxk),

với g là một hàm không âm, giới nội

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh

xạ không giãn, cùng với các bài toán liên quan như bài toán tìm nghiệmcủa hệ phương trình với các toán tử loại đơn điệu, bài toán bất đẳng thứcbiến phân, bài toán cân bằng cũng được nhiều nhà toán học trong nướcquan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như: Năm 2004 các tác giả Anh P N

và Muu L D [5] đã kết hợp nguyên lý ánh xạ co với phương pháp điểmgần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu; năm 2009 các tácgiả Anh P K và Chung C V [3] đã nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnhlặp song song ở dạng ẩn và hiện cho bài toán tìm không điểm chung củamột họ hữu hạn các toán tử xác định dương từ không gian Hilbert H vàochính nó; tác giả Thuy N T T [84] đã xây dựng phương pháp lặp mớicho bài toán tìm nghiệm của một bất đẳng thức biến phân trên tập điểm

bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn; tác giả Anh

P N [5], [6] cũng đã nghiên cứu về bài toán cân bằng trên tập điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn dựa trên phương pháp gradient tăng cường Như vậy có thể nói rằng bài toán tìm điểm bất động chung của một họhữu hạn các ánh xạ không giãn mà chúng tôi đề cập trong luận án cùngvới các bài toán liên quan đã và đang là vấn đề được nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Mục đích chính của luận án này là nghiên cứu áp dụng phương pháphiệu chỉnh Tikhonov và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề baogồm phương pháp điểm gần kề dạng (0.4), phương pháp điểm gần kề quántính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạncác ánh xạ không giãn trong không gian Banach, cùng với các bài toánliên quan dựa trên tư tưởng thuật giải của tác giả Buong Ng trong các tàiliệu [22], [23] Ngoài ra, trong luận án chúng tôi cũng tiến hành nghiên cứutính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh thu được theo hướng nghiêncứu của Alber Y [10] Cụ thể hơn, luận án tập trung giải quyết các vấn

đề sau:

1 Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề dạng (0.4) cho bài toán tìmmột điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãntrong không gian Banach và các biến thể khác nhau của nó, đồngthời nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp lặp thu được theohướng nghiên cứu của Alber Y trong tài liệu [10] Cụ thể, chúng tôi

rnA(xn+1) + xn+1 3 tnu + (1 − tn)xn, n ≥ 0 (0.6)

3 Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểmgần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất động chungcủa một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

và các biến thể khác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn địnhcủa các phương pháp hiệu chỉnh thu được Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ

đề cập đến sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vàphương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh ở dạng

ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C

Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương:

Chương 1 có tính chất bổ trợ, giới thiệu sơ lược về một số vấn đề liênquan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán đặt khôngchỉnh với các toán tử loại đơn điệu, bài toán tìm điểm bất động chung củamột họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, tổng quan về các phương phápgiải đã biết cho các lớp bài toán này và cuối cùng là một số bổ đề cần sửdụng cho việc chứng minh các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chươngsau của luận án

Chương 2 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương phápđiểm gần kề theo hướng nghiên cứu của các tác giả Buong Ng [22] và Xu

H K [88] cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạncác ánh xạ không giãn và cho bài toán xác định không điểm của toán tửm-j-đơn điệu trong không gian Banach, ở đây tính ổn định của các phươngpháp lặp cũng được thiết lập và nghiên cứu Một số ứng dụng của các kếtquả đạt được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họhữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấpnhận lồi trong không gian Banach và một số ví dụ cùng với các tính toán

Các kết quả của luận án được báo cáo tại:

• Proceding "Methods of modern mathematical analysis and tions", Hanoi-Thainguyen, 28/03-02/09/2010

applica-• Hội thảo Quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc về công nghệthông tin và truyền thông", Hà Nội 03-04/12/2012

• Seminar của Bộ môn Giải tích, khoa Toán-trường Đại học Sư phạm,Đại học Thái Nguyên

• Các hội nghị nghiên cứu sinh của khoa Toán-trường Đại học Sư phạm,Đại học Thái Nguyên

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trước hết chúng tôi giới thiệu sơ lược về cấu trúc hìnhhọc các không gian Banach, toán tử đơn điệu, toán tử j−đơn điệu, ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc và ánh xạ không giãn, nhằm trang bị những kiến thứccần thiết cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ởcác chương sau Tiếp đó, chúng tôi trình bày về bài toán đặt không chỉnhphi tuyến với toán tử loại đơn điệu, các phương pháp giải nổi tiếng cho lớpbài toán loại này (phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểmgần kề, phương pháp điểm gần kề quán tính và phương pháp điểm gần kềquán tính hiệu chỉnh) Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày tổng quan về bàitoán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãncùng với một số phương pháp giải cũng như một số kết quả điển hình đãbiết

đơn điệu và ánh xạ không giãn

tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E Để cho đơngiản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu k.k để chỉ

trong E lần lượt được kí hiệu là xn → x và xn * x trong toàn bộ luận án.Trước hết, ta nhắc lại rằng một không gian Banach E được gọi là không

x∗(x) = x∗∗(x∗) với mọi x∗ ∈ E∗

Trong luận án này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đâycủa không gian Banach phản xạ:

Mệnh đề 1.1 [7] Cho E là một không gian Banach Khi đó, các khẳngđịnh sau là tương đương:

i) E là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu

Tiếp theo, trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản

về cấu trúc hình học các không gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, môđun lồi, mô đun trơn

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi

x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có

x + y

Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.1 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương

ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi

ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk =

Khi đó, (X, k.kβ), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là khônggian lồi đều.

Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệmsau: Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số

Nhận xét 1.1 Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định,liên tục và tăng trên đoạn [0; 2] Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ

δE(ε) > 0, ∀ε > 0 [7], [37]

Mệnh đề 1.2 [7] Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phảnxạ

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈

SE, tồn tại duy nhất fx ∈ E∗ sao cho hx, fxi = kxk và kfxk = 1

Định nghĩa 1.4 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩntrên E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE,tồn tại giới hạn

giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE

hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE

d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồntại đều với mọi x, y ∈ SE

Định lí 1.1 [7] Cho E là một không gian Banach Khi đó, ta có các khẳngđịnh sau:

a) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn

b) Nếu E∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt

Định nghĩa 1.6 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xácđịnh bởi

ρE(τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk
− 1 : kxk = 1, kyk = τ }.Nhận xét 1.2 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định,liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞) [7], [37]

Ví dụ 1.2 [61] Nếu E là không gian lp hoặc Lp(Ω), thì ta có

Định lí dưới đây cho ta biết về mối liên hệ giữa mô đun trơn của không

Định lí 1.2 [7, 37] Cho E là một không gian Banach Khi đó ta có

Định lí 1.3 [7, 37] Cho E là một không gian Banach Khi đó ta có cáckhẳng định sau:

Ví dụ 1.3 Mọi không gian Hilbert và không gian lp, Lp(Ω) (1 < p < +∞)đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều [35]

Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E được gọi là q-trơn đều, nếu tồntại hằng số c > 0 sao cho ρE(t) ≤ ctq với mọi t > 0

Định nghĩa 1.9 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ

đa trị J : E −→ 2E∗ xác định bởi

J (x) = {f ∈ E∗ : hx, f i = kxk2, kxk = kf k}

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

Chú ý 1.2 Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùngvới ánh xạ đồng nhất I

Nhận xét 1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn

có J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định

lý Hahn - Banach

Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E

Mệnh đề 1.3 [7] Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và J

là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó Khi đó,

i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x), ∀x ∈ E;

ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J (D) làmột tập hợp bị chặn trong E∗;

iv) Nếu E∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;

trong đó ηk = |ξk|p−1sgn(ξk) 1

kxkp−2 với mọi k ≥ 1

Định nghĩa 1.10 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach Eđược gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {xn} ⊂ Ethỏa mãn xn * x, thì J (xn) hội tụ *yếu về J (x)

Chú ý 1.3 Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta

kí hiệu nó bởi j

Ví dụ 1.5 Các không gian lp với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên

[33]

Bổ đề 1.1 [10] Cho E là một không gian Banach trơn đều Khi đó, vớimọi x, y ∈ E, ta có

trong đó c = 48 max(L, kxk, kyk) và L là hằng số Figiel, 1 < L < 1.7.Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tínhchất cơ bản của toán tử đơn điệu, j−đơn điệu

Định nghĩa 1.11 Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂

Định nghĩa 1.12 Một toán tử đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E∗ được gọi

là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D(A), u ∈ A(x)} của

nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào kháctrên E

Ví dụ 1.6 [76] Cho f : E −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liêntục dưới Khi đó, toán tử dưới vi phân

∂f (x) = {x∗ ∈ E∗ : f (y) − f (x) ≥ hy − x, x∗i, ∀y ∈ E}

là một toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.13 Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂

J (x − y) sao cho

Chú ý 1.4 Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán

tử j-đơn điệu trùng nhau

m-j-đơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miềnảnh của toán tử I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E

Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn điệutrùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại

Chú ý 1.5 Trong trường hợp E là một không gian Banach với ánh xạ đốingẫu liên tục yếu theo dãy thì mọi toán tử m-j-đơn điệu A : D(A) ⊂

yếu về x và dãy A(xn) 3 yn −→ f , thì A(x) = f [11]

Định nghĩa 1.15 Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→

E được gọi là không giãn nếu

kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T )

Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x.Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T )

lí ánh xạ co Banach, f có duy nhất một điểm bất động, hay phương trình(1.7) có duy nhất nghiệm Mệnh đề được chứng minh.

Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãntheo tia cùng với một số tính chất cơ bản của nó và đây cũng là ánh xạthường xuyên được đề cập đến trong hầu hết các kết quả nghiên cứu củaluận án

Định nghĩa 1.16 Cho E là một không gian Banach và C là một tập con

a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;

b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn

Mệnh đề dưới đây khẳng định sự tồn tại ánh xạ co rút không giãn từkhông gian Banach E lên tập con lồi đóng của nó

Mệnh đề 1.6 [21] Cho E là một không gian Banach trơn với dim(E) ≥ 3.Khi đó, mọi tập con lồi đóng C của E với int(C) 6= ∅, đều là tập con corút không giãn của E

Ví dụ 1.7 [31] Tập hợp

là tập co rút không giãn trong Lp(Ω), ở đây Ω là tập đo được trong Rn

Dễ thấy rằng nếu C là một tập con lồi và đóng trong không gian Hilbert

H lên C Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach.Dưới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một số kết quả về lớp ánh xạ co rút khônggiãn theo tia trên không gian Banach

Mệnh đề 1.7 [50] Mọi tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach

2 chiều E, đều là tập con co rút không giãn theo tia của E

Mệnh đề 1.8 [55] Cho E là một không gian Banach phản xạ với chuẩnkhả vi Gâteaux đều Nếu C là một tập con co rút không giãn của E, thì C

là tập con co rút không giãn theo tia của E

Mệnh đề dưới đây là một kết quả quan trọng, thường xuyên sử dụngtrong chứng minh các kết quả của luận án

Mệnh đề 1.9 [38] Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là một

theo tia khi và chỉ khi

Nhận xét 1.5 Từ Mệnh đề 1.9 suy ra, nếu E là một không gian Banachtrơn và C là tập con co rút không giãn theo tia của E, thì ánh xạ co rút

Ví dụ 1.8 Xét không gian lp, p > 1 và tập con C của lp được xác địnhnhư sau:

C = {x = {ξn} ∈ lp : ξk = 0 với mọi k > N },trong đó N là một số nguyên dương cho trước

QC(x) = {ξ1, ξ2, , ξN, 0, 0, }

với mọi x = {ξn} ∈ lp.

Ví dụ 1.9 [74] Cho E là một không gian Banach trơn đều hoặc có ánh

xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy và cho T : C −→ C là mộtánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng C của E vào chính nóvới F ix(T ) 6= ∅ Khi đó, ánh xạ Q : C −→ F ix(T ) xác định bởi

Q(u) = lim

t→0 +zt = z ∈ F ix(T ),trong đó zt là phần tử duy nhất trong C thỏa mãn zt = tu + (1 − t)T (zt),

t ∈ (0, 1) là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ C lên F ix(T )

Cuối cùng trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm khoảng cácHausdorff giữa hai tập hợp trong không gian Banach

Định nghĩa 1.18 Cho A và B là hai tập con của không gian Banach E.Khoảng cách Hausdorff giữa A và B được xác định bởi

H(A, B) = max{β(A, B), β(B, A)},

trong đó β(A, B) = sup

các tập con lồi, đóng của E sao cho khoảng cách Hausdorff H(C1, C2) ≤ δ,trong đó QC1 và QC2 là các ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C1

Trong những bài toán mà chúng ta đặt ra, đặc biệt là lớp những bàitoán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm của nókhông ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫnđến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậmchí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm Ta có thể nói rằng, lớp các

bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

và nó là một trường hợp riêng của lớp bài toán không chính qui hay bàitoán đặt không chỉnh Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bàitoán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán loại này

Khái niệm bài toán chỉnh được Hadamard J [40] đưa ra khi nghiêncứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trìnhelliptic cũng như parabollic Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm bài toánđặt không chỉnh ở dạng một phương trình toán tử, cụ thể:

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình

trong đó A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric

J bài toán (1.10) gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau đượcthỏa mãn:

i) Phương trình (1.10) có nghiệm xf với mọi f ∈ Y ,

iii) nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào f

Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn

cả ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm Nhất

là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằngmáy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn số đó đãdẫn đến những sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bàitoán (1.10) được gọi là bài toán đặt không chỉnh

Trước hết, chúng tôi đề cập một cách sơ lược về phương pháp hiệu chỉnhTikhonov Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.10) khi không biết thông

Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh

và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào

Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ: ρY(fδ, f ) ≤ δ → 0.Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm mộtphần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.10) Rõ ràng là takhông thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1fδ, vì thứ

liên tục, nên nếu A−1fδ tồn tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1f

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.10) Vì vậy một điều

tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vàomột tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho

tử nào đó tác động từ không gian Y vào không gian X

Định nghĩa 1.19 Toán tử R(f, α) phụ thuộc tham số α tác động từ Yvào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.10) nếu:

mọi α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y : ρY(fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho với mọi ε > 0, ∃δ(ε) ≤

δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY(fδ, f ) ≤ δ ≤ δ1 thì ρX(xα, x0) ≤ ε,

ở đây x0 là nghiệm chính xác của (1.10) và xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ)).Phần tử xα gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.10) và α = α(fδ, δ)gọi là tham số hiệu chỉnh Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên,nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháphiệu chỉnh nổi tiếng và được sử dụng nhiều cho việc nghiên cứu và giải cácbài toán đặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học.Chú ý 1.9 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh códạng đơn giản sau:

Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệuchỉnh, nếu:

0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY(f, f0) ≤ δ;

ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ ρY(fδ, f0) ≤

δ ≤ δ0 ta có ρX(xδ, x0) ≤ ε, ở đây xδ ∈ R(fδ, δ)

Chú ý 1.10 Toán tử hiệu chỉnh R(f, δ) có thể là một ánh xạ đa trị.Tiếp theo, chúng tôi trình bày sơ lược về phương pháp hiệu chỉnhBrowder-Tikhonov cho việc giải phương trình

của nó, với giả thiết tập nghiệm S0 khác rỗng

Chú ý 1.11 i) Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee

Mọi không gian Banach lồi đều, đều có tính chất Kadec-Klee

A(x + th) * A(x), khi t → 0 và A được gọi là h−liên tục trên E nếu nóh−liên tục tại mọi x ∈ E Dễ thấy rằng nếu A là một toán tử liên tục, thì

A là một toán tử h−liên tục, tuy nhiên điều ngược lại không đúng

Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder F E [20] đề xuấtnăm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân là sử dụng một toán tử

kiện bức, tức là hM (u), ui

chỉnh (trong không gian Banach E, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j có đầy

đủ các tính chất trên) Cụ thể, cho E là một không gian Banach phản

f : E −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới

hT (u0) − ω, v − u0i ≥ f (u0) − f (v) với mọi v ∈ D(T ) (1.12)

Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (1.12) là Aω Thay vì việc giải bất đẳngthức biến phân (1.12), Browder F E đã xét bất đẳng thức biến phân

hTε(uε) − ωε, v − uεi ≥ f (uε) − f (v) với mọi v ∈ D(T ), (1.13)trong đó ε > 0 và Tε = T + εM Browder F E đã chỉ ra nghiệm uε của

hM (u0) − v0, v − u0i ≥ 0 với mọi v ∈ Aω,khi ε → 0

Trên tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh của Browder, Alber Y [8] đã xâydựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (1.11) thông qua việc giải phươngtrình

Định lí 1.4 [8] Với mỗi α > 0 và fδ ∈ E∗, phương trình (1.14) có nghiệmduy nhất xδα Nếu α, δ

α −→ 0, thì xδ

α hội tụ đến một phần tử x∗ ∈ S0 thỏamãn

N

X

i=0

trong đó 0 = µ0 < µi < µi+1 < 1 với mọi i = 1, 2, , N − 1 và ông đã chỉ

ra nếu tham số hiệu chỉnh α và tham số h được chọn sao cho α −→ 0,

bài toán (1.15)

Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề cho phươngtrình với toán tử đơn điệu và toán tử j−đơn điệu

Xét bài toán

Khi A là m-j-đơn điệu trong không gian Hilbert H, nghĩa là A là toán

tử đơn điệu cực đại thì Rockafellar R T [77] đã xét phương pháp lặp

ở đây cn > c0 > 0 và gọi là phương pháp điểm gần kề Rockafellar cũng đã

của bài toán (1.17)

Chú ý 1.12 Phương pháp điểm gần kề được Martinet B đề xuất lần đầutiên trong tài liệu [63] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường,nửa liên tục dưới ψ : H −→ R ∪ {+∞} ở dạng sau:

2cn

Năm 1991, Guler [39] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp lặp (1.18) không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát

cũng chỉ ra rằng dãy lặp {xn} xác định bởi (1.18) chỉ hội tụ yếu mà khônghội tụ theo chuẩn

Năm 2001, Attouch H và Alvarez F [14] đã xét một mở rộng củaphương pháp điểm gần kề (1.18) ở dạng

cnA(xn+1) + xn+1− xn 3 γn(xn− xn−1), x0, x1 ∈ H (1.20)

và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính, ở đây {cn} và {γn} là haidãy số không âm Tuy nhiên, người ta cũng chỉ thu được sự hội tụ yếu củadãy lặp {xn} xác định bởi (1.20) về một nghiệm của bài toán (1.17) trongkhông gian Hilbert Kết quả của Attouch và Alvarez được cho bởi định lídưới đây:

Định lí 1.5 [14] Cho H là một không gian Hilbert và cho {xn} ⊂ H làmột dãy được xác định bởi

xn+1 = JλAn xn+ αn(xn− xn−1)
, n = 1, 2, (1.21)

và các tham số αn, λn thỏa mãn các điều kiện:

i) Tồn tại số λ > 0 sao cho λn ≥ λ, ∀n ≥ 1;

ii) Tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho 0 ≤ αn ≤ α, ∀n ≥ 1

Nếu điều kiện sau được thỏa mãn

∞

X

n=1

αnkxn− xn−1k2 < +∞,

thì tồn tại x∗ ∈ S sao cho dãy {xn} hội tụ yếu về x∗

Chú ý 1.13 Phương pháp lặp (1.21) còn có thể viết dưới dạng tươngđương sau:

trong đó εn, λn > 0, αn ∈ [0, 1) và ∂εnf (x) = {u ∈ H : f (y)−f (x)−hu, y−

xi ≥ −εn} là εn−xấp xỉ dưới vi phân của hàm lồi f Ông đã chỉ ra rằng,nếu các dãy số {λn}, {αn} và {εn} thỏa mãn các điều kiện 0 ≤ αn ≤ 1,

λn} đơn điệu giảm

và P∞n=0λnεn < ∞, thì dãy {un} xác định bởi (1.23) cũng hội tụ yếu về

Năm 1996, Lehdili và Moudafi [57] đã thu được sự hội tụ mạnh của dãylặp {xn} xác định bởi

xn+1 = JAn

về một không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian

Năm 2000, các tác giả Kamimura S., Takahashi W [49] và năm 2002,

Xu H K [89] đã độc lập chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} được xácđịnh bởi

xn+1 = αnx1 + (1 − αn)JrAn(xn) + en, n = 1, 2, (1.25)

về không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbertvới một vài điều kiện thích hợp đặt lên các dãy số {αn}, {rn} và {en}.Ngoài ra, trong tài liệu [49], các tác giả Kamimura S., Takahashi W cũng

đã chỉ ra sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn} xác định bởi

xn+1 = αnxn+ (1 − αn)JrAn(xn) + en, n = 1, 2, (1.26)Tiếp đó, năm 2004 các tác giả Kohsaka F và Takahashi W [54] đã mởrộng phương pháp lặp (1.25) trên không gian Banach trơn và lồi đều E,

xn+1 = j−1(αnj(x1) + (1 − αn)j(JrAn(xn))), n = 1, 2, (1.27)

và các tác giả Kamimura S., Kohsaka F., Takahashi W [48] cũng đã mởrộng phương pháp lặp (1.26) trên không gian Banach trơn và lồi đều E ởdạng

xn+1 = j−1(αnj(xn) + (1 − αn)j(JrAn(xn))), n = 1, 2, (1.28)

ở đây, j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach E

Năm 2006 Xu H K [88]; năm 2009 Song Y và Yang C [80] đã sử dụngcác kĩ thuật của ánh xạ không giãn kết hợp với đồng nhất giải thức để thu

xn+1 = JrAn(tnu + (1 − tn)xn+ en), (1.29)

về một không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gianHilbert H, ở đây {rn} là dãy số thực dương, {tn} ⊂ (0, 1) và {en} là dãy

sai số trong tính toán ở mỗi bước lặp Chú ý rằng dãy lặp {xn} xác địnhbởi (1.29) có thể được viết lại dưới dạng tương đương như sau:

rnA(xn+1) + xn+1 3 tnu + (1 − tn)xn+ en, n ≥ 0 (1.30)Chú ý 1.15 Phương pháp lặp (1.24) của Lehdili N và Moudafi A chỉ làmột trường hợp riêng của phương pháp lặp (1.29) của Xu H K Thật vậy,

và gọi là phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh ở dạng

cn(A(xn+1) + αnxn+1) + xn+1 = xn, x0 ∈ E (1.33)Với một vài điều kiện thích hợp đặt lên các tham số cn và αn, thì ta thu

ngẫu chuẩn tắc j của E là liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh

Năm 2008, dựa trên tư tưởng của thuật giải (1.16), Buong Ng [23]

đã kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi làphương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho việc giải bài toán cựctrị đa mục tiêu (1.15) trong không gian Hilbert H với các hàm mục tiêu

ϕi, i = 1, 2, , N là các phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dướiyếu Cụ thể hơn, ông đã xác định dãy lặp {zn} bởi

trong đó z0, z1 ∈ H, {cn}, {αn} {γn} là các dãy số thực không âm và An

i

là các toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử dưới vi phân ∂ϕi của phiếm

H(Ani(x), ∂ϕi(x)) ≤ hng(kxk),

một nghiệm của bài toán (1.15) được cho bởi định lí dưới đây:

Định lí 1.6 [23] Nếu các dãy số {cn}, {αn} và {γn} thỏa mãn các điềukiện

i) 0 < c0 < cn < C0, 0 ≤ γn < γ0 < 1, αn & 0,

n=1α˜n = +∞, ˜αn = cnα

N +1 n

αN +1n+1 , thì dãy lặp {zn} xác định bởi (1.34) hội

Tiếp theo đó, năm 2010 Buong Ng [24] và Kim J K., Buong Ng [51]cũng đã nghiên cứu phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh dựatrên tư tưởng thuật toán (1.16) cho bài toán tìm nghiệm chung của một họhữu hạn phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh và cho bài toántìm nghiệm của một bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu, h−liên tục trên tập nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương trình vớicác toán tử ngược đơn điệu mạnh, tương ứng trong không gian Hilbert

ánh xạ không giãn

Ta biết rằng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên khônggian Banach lồi chặt E nếu khác rỗng thì là một tập lồi và đóng Do đó,bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không

giãn trong trong gian Banach E là một trường hợp đặc biệt của bài toánchấp nhận lồi nổi tiếng sau:

Phát biểu bài toán:

gian Banach E vào chính nó

Chú ý 1.16 Bài toán (1.36) còn có thể có nhiều biến thể khác nhau,

C, Ci, i = 1, 2, , N là các tập con lồi và đóng của E

Các định lí dưới đây khẳng định sự tồn tại điểm bất động chung củamột họ các ánh xạ không giãn:

Định lí 1.7 [19] Cho E là một không gian Banach và K là một tập conkhác rỗng, compact, lồi của E Nếu F là một họ giao hoán hữu hạn cácánh xạ không giãn từ K vào K, thì họ F có ít nhất một điểm bất độngchung trong K

Định lí 1.8 [34] Cho E là một không gian Banach lồi đều, K là một tập

động chung trong K

Chú ý 1.17 Bài toán (1.36) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh

Ta thấy ngay rằng điều kiện có nghiệm duy nhất nói chung là không đượcthỏa mãn Ngoài ra, ta còn có thể chỉ ra rằng bài toán (1.36) là đặt khôngchỉnh theo nghĩa với những thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào có thể dẫnđến những thay đổi đáng kể của nghiệm của bài toán Chẳng hạn, bài toángiải hệ phương trình tuyến tính tổng quát là tương đương với bài toán tìmđiểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn (sẽ được

đề cập cụ thể hơn ở chương sau) và ta đã biết rằng bài toán giải hệ phươngtrình tuyến tính là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa những thayđổi nhỏ của dữ kiện, có thể dẫn đến những thay đổi lớn của nghiệm, thậmchí làm cho hệ trở nên vô nghiệm [1] hay tổng quát hơn là bài toán tìm véc

tơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 của toán tử tuyến tính A với kAk = 1

không giãn

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểmbất động cổ điển đã biết như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặpIshikawa, phương pháp lặp Halpern

• Phương pháp lặp Mann

Năm 1953, Mann W R [62] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp

xn+1 = αnxn + (1 − αn)T (xn), x1 ∈ C, n ≥ 1, (1.37)

n=1αn(1 − αn) = ∞ thì dãy {xn} sẽ hội tụ yếu về mộtđiểm bất động của ánh xạ T , ở đây T : C −→ C là một ánh xạ khônggiãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H vào chính nó.Tuy nhiên, trong trường hợp H là một không gian Hilbert vô hạn chiềuthì dãy lặp (1.37) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh

pháp lặp Mann (1.37) trở thành phương pháp lặp Kranoselskii [56]

Reich S [73] đã mở rộng kết quả của Mann cho trường hợp T : C −→ C

từ một tập con khác rỗng, lồi, đóng của một không gian Banach lồi đềuvới chuẩn khả vi Fréchet và ông cũng đã chứng minh được rằng nếu dãy

{αn} được chọn sao cho P∞

n=1αn(1 − αn) = ∞ thì dãy {xn} sẽ hội tụ yếu

về một điểm bất động của ánh xạ T ,

Nakajo K và Takahashi W [68] đã đề xuất một cải tiến của phươngpháp lặp (1.37) cho trường hợp T là một ánh xạ không giãn trong khônggian Hilbert dạng

{αn} ⊆ [0, a] ⊂ [0, 1) thì dãy lặp {xn} xác định bởi (1.38) hội tụ mạnh về

PF ix(T )(x0)

Năm 2011, các tác giả Buong Ng và Lang Ng D [25] đã thay các tậphợp lồi, đóng Cn và Qn bởi các nửa không gian Cụ thể hơn, họ đã đề xuấtphương pháp lặp sau:

n=0αn = ∞, P∞

n=0βn = ∞,iii) P∞

Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa S [45] vào năm

trong đó {αn} và {βn} là các dãy số thực trong đoạn [0, 1]

(1.41) trở thành phương pháp lặp Mann (1.37) Tuy nhiên, Mutangadura

S A và Chidume C E [67] đã xây dựng một ví dụ cho trường hợp T làmột ánh xạ Lipschitz giả co thì dãy lặp Ishikawa hội tụ về một điểm bấtđộng của T nhưng dãy lặp Mann lại không hội tụ

Sự hội tụ yếu của dãy lặp Ishikawa về một điểm bất động của ánh xạkhông giãn T trong không gian Banach đã được nghiên cứu và chứng minhbởi Tan K K và Xu H K [83].

Định lí 1.11 [83] Cho E là một không gian Banach lồi đều thỏa mãnđiều kiện của Opial hoặc có chuẩn khả vi Fréchet, C là một tập con khácrỗng, lồi và đóng của E Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn,{αn}, {βn} là các dãy số trong đoạn [0, 1] sao cho P∞

lim infn→∞kxn− xk < lim infn→∞kxn− yk, ∀y ∈ E, y 6= x

Năm 2005, Shahzad N [79] đã cải tiến phương pháp lặp Ishikawa chotrường hợp C là một tập con lồi đóng co rút không giãn của không gianBanach E dạng

xn+1 = P ((1 − αn)xn+ αnT P ((1 − βn)xn + βnT (xn))), n ≥ 1, (1.42)trong đó x1 ∈ C và {αn}, {βn} là các dãy số thực trong đoạn [ε, 1 − ε], ε ∈

thỏa mãn điều kiện

trong đó f : [0, ∞) −→ [0, ∞) thỏa mãn f (0) = 0 và f (r) > 0 với mọi

r > 0, thì dãy lặp (1.42) hội tụ mạnh về một phần tử x∗ ∈ F ix(T )

Năm 2006, Plubtieng S và Ungchittrakool K [70] đã mở rộng phươngpháp lặp (1.42) cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn Cho K là mộttập con lồi, đóng, khác rỗng và co rút không giãn của không gian Banachlồi đều E và T1, T2, , TN : K −→ E là các ánh xạ không giãn Xác địnhdãy {xn} bởi x1 ∈ K và

x1n = P (α1nT1xn+ βn1xn+ γn1u1n),

x2n = P (α2nT2x1n+ βn2xn+ γn2u2n),

xn+1 = xNn = P (αNn TNxNn + βnNxn+ γnNuNn ),

(1.44)

với n ≥ 1, trong đó P là một co rút không giãn từ E lên K; {α1n}, {α2

n}, ,{αN

F = ∩Ni=1F ix(Ti) được gọi là thỏa mãn điều kiện (B) nếu tồn tại một hàmkhông giảm f : [0, ∞) −→ [0, ∞) thỏa mãn f (0) = 0 và f (r) > 0 với mọi

n=1γni < ∞ và {αin} ⊂ [ε, 1 − ε] với mọi i = 1, 2, , N và ε ∈(0, 1) thì {xn} hội tụ mạnh về một điểm bất động chung của T1, T2, , TN

• Phương pháp lặp Halpern

Cuối cùng, trong mục này chúng tôi đề cập đến phương pháp lặp củaHalpern B [42] được đề xuất năm 1967 dạng

con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C Ông đã chứng minh nếu

αn = n−α, α ∈ (0, 1) thì dãy {xn} xác định bởi (1.45) sẽ hội tụ về mộtđiểm bất động của T

thỏa mãn các điều kiện sau:

(C1) lim

n→∞αn = 0,(C2)

Halpern và giải quyết được vấn đề trên Ông đã chỉ ra rằng nếu dãy số

của T Sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.45) về điểm bất động của ánh xạkhông giãn trong không gian Banach cũng đã được nghiên cứu và chứngminh (xem [32], [53], [75], [82]) Reich S [75] đã chỉ ra sự hội tụ mạnh củadãy lặp (1.45) khi dãy số {αn} thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và điềukiện

Năm 2002, Xu H K [89] đã thu được định lí về sự hội tụ mạnh của dãy

(C6) lim

n→∞

αn− αn+1

αn+1

= 0

Tuy nhiên, liệu rằng dãy số {αn} thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2)

có là điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.45) về điểmbất động của ánh xạ không giãn T hay không? Đây vẫn còn là một câuhỏi mở

Một phần của câu hỏi này đã được giải quyết một cách độc lập bởi cáctác giả Chidume C E và Chidume C O [32] và Suzuki T [82] Họ đã xácđịnh dãy lặp {xn} bởi

có điều kiện đủ để đảm bảo hội tụ mạnh dãy lặp (1.45) điểmbất động ánh xạ không giãn T hay không? Đây câuhỏi... ánh xạ không giãn T hay không? Đây câuhỏi mở

Một phần câu hỏi giải cách độc lập cáctác giả Chidume C E Chidume C O [32] Suzuki T [82] Họ xácđịnh dãy lặp {xn}