Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU

CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mục lục

Mở đầu 6

Chương 1 Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 151.1 Không gian Hilbert và không gian Banach 151.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 211.2.1 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 211.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương

trình với toán tử liên tục và đóng yếu 221.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho

phương trình toán tử U − đơn điệu 271.3 Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương

pháp hiệu chỉnh 281.3.1 Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt

không chỉnh 281.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với

toán tử liên tục và đóng yếu 35

Chương 2 Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải 422.2 Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải

và nhiễu toán tử 48

2.3 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán

tử tuyến tính liên tục 54

2.4 Một số kết quả tính toán 65

2.4.1 Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử tuyến tính 65

2.4.2 Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử phi tuyến 76

Chương 3 Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81 3.2 Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 89

3.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 97

3.4 Một số kết quả tính toán 99

Kết luận 106

Tài liệu tham khảo 107

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bường và TS Nguyễn Công Điều.

Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưatừng được công bố trong các công trình của người khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Đình Dũng

LỜI CẢM ƠNLuận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin thuộcViện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn củaGS.TS Nguyễn Bường và TS Nguyễn Công Điều Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin đãtạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận ántại Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS NguyễnBường và TS Nguyễn Công Điều, những người thầy đã tận tình hướngdẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hoàn thànhluận án đúng thời hạn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Đại học TháiNguyên và Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốtnhất cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh

Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình họctập, nghiên cứu và làm luận án tại Viện Công nghệ Thông tin

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Đình Dũng

MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Rn Không gian Ơcơlit n-chiều

X∗ Không gian liên hợp của không gian Banach X

A∗ : Y∗ → X∗ Toán tử đối ngẫu của toán tử A : X → Y

H Không gian Hilbert

I Toán tử đơn vị

D(A) Miền xác định của toán tử A

R(A) Miền ảnh của toán tử A

A−1 Toán tử ngược của toán tử A

A0(x) Đạo hàm Fréchet của toán tử A tại điểm x

hx, yi Tích vô hướng của x và y trong không gian Hilbert

kxkX Chuẩn của x trong không gian X

ρX(x, y) Metric của x và y trong không gian X

a ∼ b a tương đương với b

C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

xn * x Dãy xn hội tụ yếu tới x

xn → x Dãy xn hội mạnh tới x

θ Phần tử không trong không gian Banach

S(x∗, r) Hình cầu mở tâm x∗ bán kính r trong không gian Banach

N (A) Không gian không điểm của toán tử A

Mở đầu

Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bàitoán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệuđầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm củabài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm Lớp cácbài toán trên được gọi là lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặtkhông chỉnh

Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J [45] đưa ra khi nghiêncứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trìnhelliptic cũng như parabolic Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình

ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y Theo Hadamard bài toán (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu cácđiều kiện sau được thỏa mãn:

1 Phương trình (1) có nghiệm x0 với mọi f ∈ Y ;

2 Nghiệm x0 được xác định một cách duy nhất;

3 Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f

Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏamãn cả ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm

Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực

tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn

đó dẫn đến những sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thìbài toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh Do lớp bài toán đặtkhông chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thuhút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như

V K Ivanov, M M Lavrentiev, A N Tikhonov Một số nhà toán họcViệt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyếtcác bài toán đặt không chỉnh như: P K Anh, Ng Bường, Đ N Hào,

Đ Đ Trọng

Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đưa vềbài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trongmột tập compact lồi M và ảnh A(M ) = N , sao cho khi f xấp xỉ bởi

fδ ∈ N ta vẫn có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N Do số liệu xấp xỉ là sốliệu không chính xác, nên có thể xấp xỉ fδ lại không nằm vào tập A(M ).Khi đó, phương trình A(x) = fδ không có nghiệm theo nghĩa thôngthường Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K (xem [51], [52]) đãđưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1) Theo Ivanov phần tử

˜

x ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf

x∈M ρY(A(x), f ) được gọi là tựa nghiệmcủa (1) trên tập M , trong trường hợp M là tập compact của X, thì vớimọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm Nếu f ∈ A(M ) thì tựanghiệm chính là nghiệm thông thường Tựa nghiệm cũng như nghiệmthông thường có thể không duy nhất

Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm trong A(M )

cũng được Lavrentiev, M.M [60] nghiên cứu Tư tưởng phương pháp màLavrentiev đề xuất là thay phương trình (1) bằng phương trình xấp xỉgiải được với mọi vế phải và nghiệm của phương trình xấp xỉ phụ thuộcliên tục vào vế phải.

Năm 1963, Tikhonov, A N (xem [75], [76], [77]) đưa ra một hướngmới giải quyết bài toán (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộctham số

Mα[x, fδ] = ρ2(A(x), fδ) + αψ(x), (2)

ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham sốhiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta cóα(δ) → 0 và điểm cực tiểu xδα của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm củabài toán (1)

Đối với bài toán (1), khi A : H → H là một toán tử liên tục và đóngyếu, Engl, H.W [42] đã xét dạng cụ thể của (2) là

Mα[x, fδ] = kAx − fδk2 + αkxk2 (3)

và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ

và hội tụ về nghiệm của (1) khi fδ → f

Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ khônggian Bannach X vào X∗, Alber,Ya.I.[5] đã xây dựng phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình

A(x) + αUs(x) = fδ, (4)

ở đây, Us là toán tử đối ngẫu tổng quát của X, tức là Us : X → X∗,thỏa mãn điều kiện

hUs(x), xi = kxkkUs(x)k, kUs(x)k = kxks−1, s ≥ 2

Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộngbài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt không chỉnh (xem[22], [39], [46]), tức là tìm nghiệm x0, sao cho

Năm 2007, Haltmeier,M [46] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiếnLandweber - Kaczmarz tìm nghiệm hiệu chỉnh lặp cho hệ (5) khi fjđược xấp xỉ bởi fδj

j , kfδj

j − fjk ≤ δj, j = 1, 2, , N , bao gồm phươngpháp lặp xoay vòng Landweber - Kaczmarz (lLK) và phương pháp lặpnhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) đồng thời được ứng dụng để hiệuchỉnh cho một số bài toán như bài toán ngược đối với thiết bị bán dẫn,bài toán chụp cắt lớp bằng nhiệt

Năm 2008, Hein,T [48] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệphương trình với toán tử liên tục và đóng yếu dựa trên bài toán cực tiểuphiếm hàm ổn định không âm và nửa liên tục dưới yếu

min

x∈D{J(x) : kAj(x) − fδj

j k ≤ δj, j = 1, , N } (7)

Dựa trên khoảng cách Bregman D(xδ, x0) := J (xδ)−J (x0)−hJ0(x0), xδ−

x0i, Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

xδ về nghiệm x0 của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán

Cách tiếp cận theo phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp đưa

về không gian tích thực hiện rất phức tạp khi N lớn Cụ thể, khi xét sựhội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ cũng như đánh giá tốc

độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh theo các cách tiếp cận này đòi hỏi phảithỏa mãn ba điều kiện đặt lên từng toán tử Aj, bao gồm điều kiện khả

vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong lân cận nghiệmcủa (5), điều kiện nón tiếp tuyến cục bộ và điều kiện nguồn trên nghiệmcủa (5) (xem [38]) Vì vậy, việc nới lỏng các điều kiện lên các toán tử làmột trong các mục tiêu của luận án Cụ thể, liệu có thể xây dựng đượcphương pháp hiệu chỉnh khác mà sự hội tụ cũng như đánh giá tốc độhội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần dựa vào điều kiện của một toán tửhay không?

Trong trường hợp Aj là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trênkhông gian Banach X, Buong,Ng [22] đã xây dựng phương pháp hiệu

chỉnh dựa vào việc giải phương trình

Aj(x) = θ, j = 1, 2, , N, (9)bằng sơ đồ lặp

ở đây, xấp xỉ đầu x(0) và x∗ là phần tử trong không gian H và αk, βk làcác dãy số dương

Hệ (9) cũng được Anh,Ph.K., Chung,C.V [7] xét đến khi Aj : H → H

có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp songsong Các kết quả đạt được của phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội

tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất

Một câu hỏi đặt ra là, khi Aj là các toán tử U − đơn điệu liệu có thểxây dựng được các phương pháp hiệu chỉnh giống như (8) hay không?Trong luận án này, chúng tôi đề cập đến hai vấn đề nêu trên Cụ thể,đối với vấn đề thứ nhất, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh

mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điềukiện của một toán tử A1 Trong trường hợp các toán tử Aj : X → X

là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ

và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháphiệu chỉnh hệ phương trình (5) dựa vào việc giải phương trình

Các kết quả đạt được trong luận án này là kết quả trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu tại Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâmKhoa học và Công nghệ Việt Nam Ngoài phần mở đầu, kết luận vàtài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu được trình bày thành bachương Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert

và không gian Banach, về bài toán đặt không chỉnh, từ đó giới thiệuphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục

và đóng yếu và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phươngtrình với toán tử U − đơn điệu Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình,chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặtkhông chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh Chương 2 giới thiệu các kếtquả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trìnhvới các toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả

số được thực hiện nhằm khẳng định tính đúng đắn của phương pháp.Cuối cùng, chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phươngtrình phi tuyến đối với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên

không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.Các công trình đã công bố có liên quan đến luận án:

[1] Buong,Ng., Dung,N.D (2009), Regularization for a Common tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int Journal of Math.Analysis, 3(34), 1693 - 1699

Solu-[2] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution

of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, plied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788

Ap-[3] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution

of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings withperturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Tech-nology, 83(7), 73 - 79

[4] Buong,Ng., Dung,N.D (2012), Convergence Rates in Regularizationfor Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Math-ematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310

[5] Buong,Ng., Dung,N.D (2013), Regularization for a common solution

of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving Lipschitzcontinuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảoQuốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thôngtin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012

[6] Buong,Ng., Dung,N.D (2014), A regularized parameter choice in ularization for a common solution of a finite system of ill-posed equationsinvolving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh Vychisl Mat

reg-i Mat Freg-izreg-ikreg-i, 54(3), 397 - 406

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ VIII, Ba vì, 22/4/2010

20 Hội thảo Quốc gia lần thứ XIII về một số vấn đề chọn lọc của Côngnghệ Thông tin và Truyền thông, "Các công nghệ tính toán hiện đại",Hưng Yên, 19-20/8/2010

- Hội nghị khoa học kỷ niệm 35 năm ngày thành lập Viện Công nghệThông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Hà Nội,26/12/2011

- Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Côngnghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012

- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XI, Ba vì, 27/4/2013

24 Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 1024 14/08/2013

- Các buổi Seminar khoa học của Phòng Thống kê - Tính toán và ứngdụng, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Côngnghệ Việt Nam

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụngtrong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]).

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X được gọi là không gian tiềnHilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác địnhmột hàm thực hai biến, ký hiệu là hx, yi và được gọi là tích vô hướngcủa x và y nếu thỏa mãn điều kiện sau:

• Với mọi x, y ∈ X, hx, yi = hy, xi;

• Với mọi x, y, z ∈ X, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi;

• Với mọi x, y ∈ X và số thực β bất kỳ hβx, yi = β hx, yi;

• Với mọi x ∈ X, hx, xi ≥ 0 và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

Với hàm kxk = hx, xi1/2 thì X trở thành một không gian định chuẩn.Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó làkhông gian đủ

Cho x và y thuộc không gian tích vô hướng X, khi đó ta có các quytắc sau:

• Bất đẳng thức tam giác: kx + yk ≤ kxk + kyk;

• Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: |hx, yi| ≤ kxkkyk;

• Quy tắc hình bình hành: kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2.Định nghĩa 1.2 Trong không gian Banach X, toán tử đa trị U : X →

2X∗ được gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc nếu

U (x) = {u(x) ∈ X∗ : hx, u(x)i = kxkku(x)k, ku(x)k = kxk}

Định nghĩa 1.3 Toán tử A : X → X được gọi là

• U − đơn điệu trên X, nếu tồn tại u(x − y) ∈ U (x − y) sao chohA(x) − A(y), u(x − y)i ≥ 0 với ∀x, y ∈ X

• U − đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số

α > 0 sao cho

hA(x) − A(y), u(x − y)i ≥ αkx − yk2, ∀x, y ∈ X

• Ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ trên X, nếu tồn tại mộthằng số dương λ sao cho

hA(x) − A(y), u(x − y)i ≥ λkA(x) − A(y)k2, ∀x, y ∈ X,

• m− U − đơn điệu trong X, nếu A là U − đơn điệu và R(A+λI) = X,

∀λ > 0

• Liên tục Lipschitz trên X, nếu

kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ X,

ở đây, L là hằng số dương Khi L = 1 thì A được gọi là toán tử khônggiãn Dễ thấy, nếu A là toán tử ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λthì A là liên tục Lipschitz với hằng số 1/λ

Định nghĩa 1.4 (xem [18]) Toán tử T được gọi là giả co chặt trên khônggian Banach X, nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

hT x − T y, u(x − y)i ≤ kx − yk2 − λkx − y − (T x − T y)k2,

hay có thể viết dưới dạng

h(I − T )x − (I − T )y, u(x − y)i ≥ λk(I − T )x − (I − T )yk2

Do đó, I − T là ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ Nếu λ = 0, thì

T được gọi là giả co Nếu T là giả co, thì A := I − T là U − đơn điệu,

và ngược lại, nếu A là U − đơn điệu thì T = I − A là giả co

Định nghĩa 1.5 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và

S(0, 1) := {x ∈ X : kxk = 1}

Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn

lim

t→0

kx + tyk − kxk

ttồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1) Không gian X có chuẩn khả vi Gâteauxđều nếu giới hạn trên hội tụ đều với mọi x ∈ S(0, 1) Không gian Xđược gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ S(0, 1) với x 6= y, ta có

`∞ và chuẩn kak∞ = supi∈N |ai| và µ là phiếm hàm tuyến tính liên tụctrên `∞ Ký hiệu µk(ak) := µ((a1, a2, )), khi đó µ được gọi là giới hạnBanach nếu µ thỏa mãn kµk = µk(1) = 1 và µk(ak+1) = µk(ak) với(a1, a2, ) ∈ `∞

Với giới hạn Banach µ, ta có

lim inf

k→∞ak ≤ µk(ak) ≤ lim sup

k→∞

akvới mọi (a1, a2, ) ∈ `∞ Nếu a = (a1, a2, ) ∈ `∞, b = (b1, b2, ) ∈ `∞

và ak → c (ak− bk → 0, khi k → ∞), ta có µk(ak) = µ(a) = c (µk(ak) =

µk(bk))

Định nghĩa 1.9 Cho X là không gian Banach, toán tử A với miền xácđịnh D(A) ⊆ X và miền ảnh R(A) nằm trong X∗.

• Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈D(A) A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi

x = y

• Toán tử A được gọi là d-đơn điệu, nếu tồn tại một hàm không

âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = 0 và thỏa mãn tính chất

∀x, y ∈ D(A)

hA(x) − A(y), x − yi ≥ (d (kxk) − d (kyk)) (kxk − kyk)

• Toán tử A được gọi là đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không

âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ (kx − yk) , ∀x, y ∈ D(A)

Nếu δ(t) = cAt2, cA > 0 thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệumạnh

• Toán tử A được gọi là có tính chất bức, nếu

lim

kxk→+∞

hA(x), xikxk = +∞.

Định nghĩa 1.10 Cho X, Y là hai không gian Banach Toán tử A :

X → Y được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại toán tửtuyến tính liên tục T : X → Y sao cho

Định nghĩa 1.11 Cho X là không gian Banach bất kỳ, ∂ϕ được gọi làdưới vi phân của hàm ϕ và được xác định bởi

lim

t→0∂ϕ(x + ty) = ∂ϕ(x), ∀x, y ∈ X

Đây cũng là khái niệm về tính h-liên tục cho một toán tử A bất kỳ.Định nghĩa 1.12 Trong không gian Banach X, dãy {xn} được gọi làmột dãy cực tiểu hóa cho bài toán: Tìm x0 ∈ X sao cho f (x0) = inf

x∈Xf (x),nếu limn→∞f (xn) = f (x0) Điều này tương đương với

∀ε > 0 ∃N (ε) : ∀n > N (ε), f (x0) − ε ≤ f (xn) ≤ f (x0) + ε

Định nghĩa 1.13 Trong không gian Banach X, dãy {xn} ⊂ X được gọi

là hội tụ yếu tới x ∈ X, nếu với mọi x∗ ∈ X∗ ta có

lim

n→∞hxn, x∗i = hx, x∗i Dãy hội tụ yếu được ký hiệu: xn * x khi n → ∞ {xn} ⊂ X được gọi làhội tụ mạnh tới x ∈ X nếu nó hội tụ theo chuẩn, tức là kxn − xk → 0khi n → ∞

Định nghĩa 1.14 Phiếm hàm ϕ(x) xác định trên không gian Banach

X được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại điểm x0, nếu ∀ {xn} : xn * x0 ⇒

ϕ(x0) ≤ lim inf ϕ(xn) Phiếm hàm ϕ(x) được gọi là nửa liên tục dướiyếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định củanó.

Trên đây là các khái niệm, định nghĩa được sử dụng trong các mục

và các chương sau Mục tiếp theo, chúng tôi trình bày các phương pháphiệu chỉnh cho phương trình với toán tử có tính chất liên tục và đóngyếu, toán tử có tính chất U − đơn điệu

1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh

Khái niệm Bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J (xem [45], [65]) đưa

ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm củacác phương trình eliptic cũng như parabolic

Xét bài toán Cauchy đối với phương trình Laplace

∂y (x, 0) → 0 khi n → ∞, trong khi đó

un(x, y) → ∞ khi n → ∞ với mọi y > 0

Việc tìm nghiệm của phương trình toán tử

Ax = f, f ∈ Y (1.1)

cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ) Ta sẽ coinghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian

X và Y với các độ đo tương ứng là ρX(x1, x2) và ρY(f1, f2), x1, x2 ∈

X, f1, f2 ∈ Y

Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán Khi

đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp khônggian (X, Y ), nếu với mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0, saocho từ ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây

x1 = R(f1), x2 = R(f2); x1, x2 ∈ X; f1, f2 ∈ Y

Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặtchỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có:

1 Với mọi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;

2 Nghiệm x được xác định một cách duy nhất;

3 Bài toán tìm nghiệm ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toánđược gọi là bài toán đặt không chỉnh, đôi khi còn gọi là bài toán khôngchính quy, hay bài toán thiết lập không đúng đắn

1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình

với toán tử liên tục và đóng yếu

• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tửtuyến tính liên tục (xem [1])

Xét bài toán tìm nghiệm x0 của phương trình (1.1), ở đây, A là toán

tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert

Y và được xấp xỉ bởi toán tử tuyến tính liên tục Ah

kA − Ahk ≤ h, h > 0, h → 0, (1.2)

vế phải f được xấp xỉ bởi fδ

kf − fδk ≤ δ (1.3)Việc xấp xỉ nghiệm cho bài toán (1.1) được thay bởi bài toán cực tiểuphiếm hàm

Mα[x] = kAhx − fδk2 + αkxk2, (1.4)

ở đây, α > 0 là tham số hiệu chỉnh Dễ thấy phiếm hàm Mα[x] hai lầnkhả vi theo Fréchet và

(Mα[x])0 = 2(A∗hAhx − A∗hfδ + αx),h(Mα[x])00x, xi ≥ 2αkxk2

Vì vậy, phiếm hàm Mα[x] lồi mạnh, cho nên nó đạt cực tiểu trên mộttập đóng D bất kỳ tại một điểm duy nhất xη(h,δ)α (xem [80])

Phần tử cực tiểu xη(h,δ)α có thể tìm bằng phương pháp đường dốc nhất,phương pháp Gradient liên hợp giải bài toán cực tiểu phiếm hàm có ràngbuộc nếu D 6= X hoặc không ràng buộc nếu D = X (xem [43], [55], [67],[80]) Vì Mα[x] là phiếm hàm lồi, nên điều kiện cần và đủ để xη(h,δ)α làmđiểm cực tiểu của phiếm hàm lồi là (xem [14], [41])

h(Mα[xη(h,δ)α ])0, x − xη(h,δ)α i ≥ 0, ∀x ∈ D

Nếu xη(h,δ)α là điểm trong của D thì điều kiện này là

(Mα[xη(h,δ)α ])0 = 0,

hay có dạng

A∗hAhxη(h,δ)α + αxη(h,δ)α = A∗hfδ (1.5)Như vậy, thay cho việc cực tiểu phiếm hàm Mα[x], ta chỉ cần giảiphương trình Euler (1.5)

Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh là dựa trên bài toán cực tiểu(1.4) tìm mối quan hệ α = α(η) để xη(h,δ)α → x0 Định lý sau chỉ ra mốiquan hệ tham số hiệu chỉnh và η(h, δ) để đảm bảo nghiệm hiệu chỉnh

xη(h,δ)α hội tụ về nghiệm x0

Định lý 1.1 Cho A là một song ánh với nghiệm x0 của (1.1) nằm trong

D, khi đó xη(h,δ)α → x0 khi h, δ → 0 nếu (h+δ)α(η)2 → 0

Trong trường hợp A không phải là song ánh thì định lý vẫn còn đúngnếu coi x0 là nghiệm chuẩn tắc (nghiệm có chuẩn nhỏ nhất)

• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình phi tuyếnXét bài toán tìm nghiệm x0 của (1.1), trong đó, A là toán tử phituyến từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y với các tínhchất:

(i) A liên tục;

(ii) A đóng yếu, tức là với mọi dãy bất kỳ

{xn} ∈ X : xn * x , A(xn) * y, x ∈ X, y ∈ Y ⇒ A(x) = y.Khái niệm nghiệm cho bài toán (1.1) được hiểu theo nghĩa bìnhphương tối thiểu và có x∗-chuẩn nhỏ nhất, ở đây, x∗ là phần tử bất

kỳ của X Tức là x0 được gọi là nghiệm của (1.1) nếu,

kA(x0) − f k = min

x∈D(A)

kA(x) − f k,

kx0 − x∗k = min

x∈S 0

kx − x∗k,với

S0 = {x : A(x) − f = A(x0) − f }Giả thiết bài toán (1.1) có nghiệm, phần tử x∗ cho phép ta chọn đượcnghiệm theo ý muốn khi bài toán (1.1) có nhiều nghiệm Nói chung bàitoán (1.1) là không chỉnh Trong trường hợp đa nghiệm ta có thể xéttoán tử đa trị và toán tử hiệu chỉnh cũng có thể đa trị Trong mục này

ta chỉ xét x0 là duy nhất

Trong trường hợp bài toán (1.1) có nhiễu vế phải, thay vì biết được

f ta có vế phải fδ thỏa mãn (1.3), việc tìm nghiệm của bài toán (1.1)dẫn về tìm nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm làm trơn:

kA(x) − fδk2Y + αkx − x∗k2X → min

x∈D(A), (1.6)

ở đây, α > 0 là tham số hiệu chỉnh

Các định lý sau là các kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bàitoán (1.6), sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào vế phải và sự hội tụcủa nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 của (1.1) (xem [1])

Định lý 1.2 Cho α > 0 và {xk} là một dãy nghiệm của (1.6), với fδthay bằng fk sao cho fk → fδ, khi đó tồn tại một dãy con hội tụ của{xk} và giới hạn của dãy con này chính là nghiệm của (1.6)

Trong trường hợp quá trình xấp xỉ cho bài toán (1.1) có sai số, khi

đó ta cần tìm phần tử xδ,ηα ∈ D(A) thỏa mãn

kA(xδ,ηα ) − fδk2 + αkxδ,ηα − x∗k2 ≤ kA(x) − fδk2 + αkx − x∗k2 + η (1.7)với mọi x ∈ D(A) và η ≥ 0 là tham số bé Các định lý sau chỉ ra sự hội

tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 của (1.1)

Định lý 1.3 Cho tập nghiệm S0 6= ∅ và fδ thỏa mãn (1.3), tham số

α = α(δ, η) được chọn sao cho α(δ, η) → 0, α(δ, η)δ2 → 0 và α(δ, η)η → 0 khi

δ → 0, η → 0 Khi đó, mỗi dãy xδk, ηk

αk (ở đây δk → 0, ηk → 0, αk =α(δk, ηk) và xδk , η k

α k là nghiệm của (1.7)) đều chứa dãy con hội tụ Điểmgiới hạn của mọi dãy con hội tụ của dãy xδ k , η k

αk chính là một nghiệm

có x∗- chuẩn nhỏ nhất

Định lý 1.4 Cho D(A) là một tập lồi, fδ thỏa mãn (1.3) và x0 là nghiệm

có x∗-chuẩn nhỏ nhất Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn:

1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương

trình toán tử U − đơn điệu

Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho phương trình (1.1) đượctrình bày trong trường hợp toán tử A : X → X là U − đơn điệu trênkhông gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều(xem [33]) Giả thiết f được xấp xỉ bởi fδ và thỏa mãn (1.3) Để tìmnghiệm của bài toán (1.1), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ

sở tìm nghiệm của bài toán

A(x) + α(x − x∗) = fδ, x∗ ∈ X (1.8)Tính duy nhất nghiệm xδα của (1.8) và sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

xδα về nghiệm x0 của (1.1) cũng đã được xét đến khi bổ sung tính chấtliên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh lên toán tử đối ngẫu chuẩn tắc

U (xem [5]) Trong trường hợp toán tử đối ngẫu chuẩn tắc U không cótính chất liên tục yếu theo dãy, các kết quả trong [23], [24], [25], [26]

và [35] cũng chỉ ra được nghiệm hiệu chỉnh xδα hội tụ về nghiệm x0 của(1.1) khi bổ sung thêm 2 điều kiện sau:

kA(y) − A(x0) − QA0(x0)∗U (y − x0)k ≤ ˜τ kA(y) − A(x0)k, (1.9)

ở đây, y ∈ X, ˜τ > 0, Q là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc của X∗, và tồn tạiphần tử ω ∈ X sao cho

x∗ − x0 = A0(x0)ω (1.10)Khi toán tử U không có tính chất liên tục yếu theo dãy và điều kiện(1.9), (1.10) không thỏa mãn, các kết quả trong [33] cũng chỉ ra được sựhội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh xδα về nghiệm x0 của (1.1), kết quảnày được thể hiện qua định lý sau:

Định lý 1.5 Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩnkhả vi Gâteaux đều, A là toán tử đơn trị và m − U − đơn điệu trong X,

f và fδ thỏa mãn (1.3), thì

(i) với mỗi α > 0, (1.8) có duy nhất nghiệm xδα;

(ii) nếu tập nghiệm của (1.1) S0 6= ∅ và tham số α được chọn sao cho

α, δ/α → 0 khi δ → 0 thì xδα → x0 và thỏa mãn bất đẳng thức biếnphân

hx0 − x∗, u(x0 − z)i ≤ 0, ∀z ∈ S0;(iii) với mỗi hằng số dương αi, δi, i = 1, 2, ta có

Mục tiếp theo, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh

và các phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình này

Bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ giả co là bàitoán được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực giải tích Do đó, bài toán này đãthu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học Năm 1949, bài toánđược xét đến khi Neumann,J.V [63] đề xuất phương pháp tìm phần tửchung trên hai tập con đóng lồi C1 và C2 của H Phương pháp Neumann

đề xuất được thực hiện như sau: Lấy một điểm bất kỳ x ∈ H, xây dựnghai dãy {xk}∞k=1 và {yk}∞k=1 theo nguyên tắc

Aj := I − Tj, j ≥ 1, vì Tj là ánh xạ không giãn, nên Aj := I − Tj là toán

tử đơn điệu Như vậy bài toán Neumann cần giải có thể quy về việc tìmnghiệm của hệ phương trình với các toán tử đơn điệu trong không gianHilbert H

Gần đây, người ta xét bài toán tổng quát hơn (xem [16], [37] và [71])khi tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ giả co

Tj, j = 1, 2, , N trong không gian Banach X Nhắc lại, ánh xạ T trong

không gian Banach X được gọi là giả co, nếu T thỏa mãn

hT x − T y, u(x − y)i ≤ kx − yk2, ∀x, y ∈ X

Dễ dàng nhận thấy, một ánh xạ T không giãn là một ánh xạ giả co vànếu T là ánh xạ giả co thì A := I − T là một ánh xạ U − đơn điệu Thậtvậy,

h(I − T )x − (I − T )y, u(x − y)i = hx − y, u(x − y)i − hT x − T y, u(x − y)i

≥ kx − yk2 − kx − yk2 = 0

Vì vậy, việc tìm điểm bất động cho một họ các ánh xạ giả co Tj tươngđương với việc tìm nghiệm cho một hệ các phương trình với toán tử U −đơn điệu Aj = I − Tj, j = 1, 2, , N

• Bài toán thực tế

Xét bài toán chụp cắt lớp X-quang [2] từ việc nghiên cứu các cơ chếhấp thụ tia X của vật chất, ta có thể xây dựng biểu thức định lượng biểudiễn mối quan hệ giữa cường độ tia X là I(x) và độ suy giảm tuyến tínhµ(x) như sau:

Hình 1.1 Sơ đồ biểu diễn mối tương quan của I(x) theo µ(x)Trong quá trình tương tác với vật chất, cường độ chùm tia Rơnghentrên một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với phương truyền sẽ giảm

đi Trong những điều kiện nhất định có thể coi sự suy giảm này tỷ lệ với

quãng đường đi Để dẫn ra công thức về sự thay đổi cường độ I, ta xétmột chùm tia chiếu đến với cường độ không đổi I0 trên mặt phân giới

AA0 với giả thiết ban đầu như trên hình vẽ ta có

dI(x) = −µ(x)I(x)dx (1.12)

Hệ số tỷ lệ µ trong (1.12) được gọi là hệ số hấp thụ tuyến tính, trong

đó, dấu trừ lấy từ điều kiện µ dương Hệ số này là hàm phụ thuộc vào

ba tọa độ không gian và là đại lượng đặc trưng cơ bản cho cấu trúc vậtchất, được xác định nhờ các phương pháp chụp cắt lớp máy tính và đượclàm cơ sở trong việc tái tạo hình ảnh chụp cắt lớp Từ (1.12) ta có

Sơ đồ ghi chụp thông tin về đối tượng do Haunsfield và Mac-Cormac

đề xuất và thực hiện như sau:

Hình 1.2 Sơ đồ thu chụp thông tinNguồn tia Rơnghen tập trung dưới dạng chùm hẹp dọc theo đoạn địnhhướng AA0, phần thu dọc theo BB0 Phần phát và phần thu chuyển dịchmột cách đồng bộ, việc lấy thông tin là cường độ tia ở đầu ra phần

phát và đầu vào phần thu được tiến hành với các bước thiết lập trước.Logarit của tỷ số cường độ tia ở đầu vào phần thu đối với cường độ banđầu được gọi là hình chiếu Các đoạn định hướng AA0 và BB0 được cốđịnh trên cùng một khung, khung này có thể xoay quanh trục cố định.Đối với mỗi vị trí cố định của khung, người ta đo một bộ các hình chiếutương ứng với tổ hợp các tia song song, bộ các hình chiếu này đôi khicòn gọi là bộ hình quét.

Để khôi phục lại cấu trúc bên trong của đối tượng được chiếu tia Xcần phải có tập hợp các bộ hình quét cho tất cả các vị trí có thể có củakhung Trên thực tế, việc lấy thông tin được tiến hành tương ứng vớimột tập hợp rời rạc các góc quay có bước nhất định 4θ

Giả sử kích thước chiều ngang của tia Rơnghen vô cùng nhỏ và cóthể bỏ qua ảnh hưởng của tán xạ Lúc này có thể đặc trưng tia bằngcường độ I(x) tại điểm x đã cho trong tia Sự thay đổi cường độ dọctheo tia sẽ được xác định bằng hệ số hấp thụ tuyến tính µ(x) theo côngthức Ber Gọi phân bố µ(x) theo thiết diện quét cho trước là cấu trúccủa đối tượng Chọn trong mặt phẳng quét một hệ tọa độ đề các Oxyvới trục quay của hệ thống đi qua gốc O Gắn với khung quay một hệtọa độ đề các di động Oζξ có trục Oζ hướng từ phần phát đến đầu thudọc theo tia trung tâm (đi qua trục quay) Vị trí của hệ tọa độ di động

so với hệ tọa độ cố định được xác định bởi góc θ sao cho:

ζ = xcosθ + y sin θ ξ = −x sin θ + ycosθ

x = ζcosθ − ξ sin θ y = ζ sin θ + ξcosθ

Hình 1.3 Vị trí tương quan của các hệ tọa độGiả thiết bên ngoài đối tượng nghiên cứu thì µ = 0 (chẳng hạn trongkhông khí), do đó tích phân trong (1.14) chỉ lấy trong phần đối tượngnghiên cứu, nếu coi miền lấy tích phân là miền vô hạn thì ta có kháiniệm hình chiếu như sau:

Vì chụp cắt lớp sử dụng máy tính để điều khiển việc ghi nhận thôngtin từ các phần tử cảm biến, sau đó lưu trữ và chuẩn bị thông tin choviệc chuẩn đoán, nên một trong số các vấn đề cơ bản là rời rạc hóa, tức

là chuyển các phân bố liên tục theo tọa độ và thời gian sang các hàmrời rạc với các đối số rời rạc

Hiện nay có nhiều phương pháp rời rạc hóa khôi phục cấu trúc đốitượng, trong đó, phương pháp lặp là một phương pháp mang tính đặcthù của bài toán chụp cắt lớp Giả thiết miền đối tượng nghiên cứu đượcxác định bởi miền D, rời rạc tích phân trong (1.15) ta có hệ phươngtrình

p(ξ, θ) ≈ X

i

A(i)(ξ, θ)µi (1.16)Lúc này trong vế phải của (1.16) chỉ xuất hiện giá trị của hàm µ(x, y)tại các phần tử mà tia đang xét đi qua Tiến hành đo cho NS vị trí củatia, ký hiệu hình chiếu p(ξi, θk) = pi,k và A(i) = Ai,j = θj tương ứng với

sử dụng NS lớn, trong trường hợp đó ta cần sử dụng phương pháp lặp

để tìm nghiệm của hệ, trường hợp hệ (1.17) có nghiệm không duy nhất

ta cần sử dụng phương pháp hiệu chỉnh và hiệu chỉnh lặp để tìm nghiệmcủa bài toán

1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán

tử liên tục và đóng yếu

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu hai cách tiếp cận hiệu chỉnh hệphương trình cho trường hợp các toán tử liên tục và đóng yếu, bao gồmphương pháp lặp xoay vòng (phương pháp lặp xoay vòng dạng Newton

và phương pháp hiệu chỉnh dựa vào quá trình lặp điểm bất động) vàphương pháp đưa về không gian tích

• Phương pháp lặp xoay vòng dạng Newton

Một trong các phương pháp được kế thừa để xây dựng phương pháplặp xoay vòng giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp hiệu chỉnhlặp Newton tìm nghiệm của phương trình toán tử A(x) = f , xuất phát

từ ý tưởng cơ bản của phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến

là tuyến tính hóa cục bộ một bước (xem [64]), nghiệm của phương phápthu được từ phương trình

A0(x(k))(x(k+1) − x(k)) = −(A(x(k)) − f ) (1.18)Trong trường hợp A là toán tử không chỉnh, thì cách tiếp cận thôngthường để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh đối với bài toán đặt khôngchỉnh phi tuyến là hiệu chỉnh (1.18) Nếu áp dụng phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov thì ta có phương trình hiệu chỉnh lặp như sau

(A0(x(k))∗A0(x(k)) + αkI)(x(k+1)− x(k))

= −A0(x(k))∗(A0(x(k)) − f ), (1.19)(1.19) được gọi là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton hay còn được gọi

là phương pháp hiệu chỉnh Levenberg-Marquardt (xem [47]) Trong đó,

I là toán tử đơn vị, αk được chọn sao cho khi k → ∞ thì αk → 0.

Cũng như phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton, trong trường hợp A0(x)

là toán tử không chỉnh thì ta không thể sử dụng phương pháp Newton

để tìm nghiệm của hệ, vì vậy, phương pháp Newton cải tiến (xem [47])

sẽ thay thế toán tử nghịch đảo không giới nội của A0(x) trong mỗi bướclặp Newton bằng một xấp xỉ giới nội Gα(A0(x)) ≈ A0(x)†, ở đây, ta kýhiệu K† là toán tử giả ngược của toán tử K, α là tham số hiệu chỉnh,

Gα thỏa mãn

Gα(K)f → K†f khi α → 0 ∀f ∈ R(K) (1.20)và

kGα(K)k ≤ Φ(α), (1.21)trong đó, K là toán tử tuyến tính xác định trên tập giới nội đều, khitoán tử ngược của K không giới nội thì Φ(α) → ∞ khi α → 0, ở đây tagiả thiết Φ(α) là hàm đơn điệu giảm chặt

Chọn dãy tham số hiệu chỉnh {αk} và thay thế A0(x(k))−1 trong dãy lặpNewton bằng Gα(A0(x(k))) ta có dãy lặp

x(k+1) = x(k)− Gαk(A0(x(k)))(A(x(k)) − fδ), (1.22)trong đó, Gα được xác định bởi hiệu chỉnh Tikhonov

Gα(K) = (K∗K + αI)−1K∗ (1.23)Ngoài ra, cũng như phương pháp Newton thông thường, lần đầu tiênBakushinskii đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp Gauss-Newton (xem[11]) với toán tử Gα được xác định như (1.23) và sau đó được mở rộngtrong trường hợp các toán tử tổng quát Gαk (xem [50], [54])

x(k) = x(0)− Gαk A0(x(k))

 A(x(k)) − fδ − A0(x(k))(x(k)− x(0))



Khi xét cho một hệ phương trình toán tử (1.11), ở đây, Aj là các toán

tử phi tuyến từ không gian Hilbert X vào Yj Giả thiết hệ tồn tại nghiệm

x0 không nhất thiết duy nhất Thông thường vế phải fj được xấp xỉ bởi

fjδ với mức độ nhiễu δ, kfjδ − fjk ≤ δ Khi đó ta có hệ

Aj(x) = fjδ, j = 1, , N (1.24)

Để sử dụng phương pháp Newton đối với (1.24) và kết hợp với cách tiếpcận lặp của Kaczmarz (xem [58]) ta có phương pháp lặp xoay vòng (xem[36]), phương pháp này được thực hiện tính toán theo các bước sau:(i) Chọn xấp xỉ đầu x(0)j , j = 1, 2, , N ;

(ii) Tại mỗi bước lặp Newton thực hiện cho mỗi phương trình theo côngthức sau:

kA0j(x)k ≤ CSj, ∀x ∈ S(x0, ρ)và

A0j(¯x) = A0j(x)Rj(¯x, x), kRj(¯x, x) − Rj(x, x)k ≤ CRk¯x − xk,

∀x, ¯x ∈ S(x0, ρ), CR > 0

Điều kiện nguồn được bổ sung trên nghiệm x0 của bài toán

• Phương pháp hiệu chỉnh dựa vào quá trình lặp điểm bất động (xem[38])

Xét bài toán tìm phần tử x0 ∈ D = ∩N

j=1Dj thỏa mãn (1.11), ở đây,

Aj, j = 1, 2, , N là các toán tử phi tuyến từ tập lồi đóng Dj thuộc khônggian Hilbert X vào không gian Hilbert Yj và thỏa mãn hai tính chất liêntục và đóng yếu fj ∈ Yj, giả thiết Sj = {¯x ∈ D : Aj(¯x) = fj} , j =

1, 2, , N, S = ∩Nj=1Sj, S 6= ∅ Dễ thấy, vì Aj là toán tử liên tục và đóngyếu, nên Sj là tập đóng, vậy S cũng là một tập đóng trong X

Trong trường hợp vế phải của hệ phương trình có nhiễu với mức độnhiễu δj, khi đó vế phải fj được thay bởi fδj

j và

kfj − fδj

j kYj ≤ δj (1.25)

Vì Aj, j = 1, 2, , N là các toán tử không chỉnh, theo nghĩa tập nghiệm

Sj không phụ thuộc liên tục vào vế phải fj Vì vậy, để tìm nghiệm của bài