Một số hiệu ứng lượng tử trong các hệ nano trên cơ sở chấm lượng tử

Một số hiệu ứng lượng tử trong các hệ nano trên cơ sở chấm lượng tử

NGUYỄN VĂN HỢP

MỘT SỐ HIỆU ỨNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC

HỆ NANÔ TRÊN CƠ SỞ CHẤM LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HÀ NỘI - 2011

NGUYỄN VĂN HỢP

MỘT SỐ HIỆU ỨNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC

HỆ NANÔ TRÊN CƠ SỞ CHẤM LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và vật lí toán

LỜI CAM ðOAN

Tôi xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận án là trung thực, chưa từng ñược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Văn Hợp

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng ñến

GS VS Nguyễn Văn Hiệu, người thầy ñã tận tình hướng dẫn và tạo ñiều kiện cho tôi hoàn thành luận án

Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lí - Trường ðHSP Hà Nội ñã dạy dỗ trong suốt thời gian tôi học tập tại Khoa và ñóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận án

Tôi xin cảm ơn các thầy cô và các bạn ñồng nghiệp trong bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa vật lí - Trường ðHSP Hà Nội ñã thông cảm và tạo ñiều kiện về thời gian ñể tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu của mình

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn ñến gia ñình: Bố, mẹ, vợ, các con tôi, và các anh chị em tôi là những người ñã luôn ở bên tôi, cổ vũ ñộng viên tôi và giúp ñỡ tôi vượt qua những khó khăn ñể hoàn thành luận án

Nguyễn Văn Hợp

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 - TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CỦA HỆ MỞ 11

1.1 Phương pháp hàm Green phụ thuộc thời gian ở nhiệt ñộ khác không 11

1.2 Ma trận mật ñộ 16 1.3 Phương trình master cho hệ lượng tử mở 19

Chương 2 - HÀM GREEN CỦA ELECTRON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ MỘT MỨC 22 2.1 Hệ phương trình Dyson 22

2.2 Giải hệ phương trình Dyson 32

2.3 Cộng hưởng Kondo và Fano 33

2.4 Kết luận chương 2 41

Chương 3 - ðỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ CỦA HỆ QUBIT-MICROCAVITY 42 3.1 Các phương trình tốc ñộ 42 3.1.1 Toán tử Hamiltonian và Liouvillian của hệ 42 3.1.2 Các phương trình tốc ñộ trong cùng một không gian con bất biến 45

3.1.3 Các phương trình tốc ñộ giữa hai không gian con bất biến 46 3.2 Giải các phương trình tốc ñộ 48 3.2.1 Giải các phương trình tốc ñộ trong cùng một không gian con bất biến

48 3.2.2 Giải các phương trình tốc ñộ giữa hai không gian con bất biến 55

3.3 ðộng lực học các quá trình suy giảm kết hợp của qubit 58 3.4 ðộng lực học ñan rối lượng tử của hệ qubit-cavity ñộc lập 62 3.4.1 ðộng lực học ñan rối lượng tử của hệ hai qubit-cavity 62 3.4.2 ðộng lực học ñan rối lượng tử của hệ ba qubit-cavity 74 3.5 ðộ tin cậy của viễn tải lượng tử qua kênh β00 suy giảm kết hợp 80

Chương 4 - ðỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ CỦA HỆ BA SPIN-QUBIT 88

4.3 ðộng lực học các quá trình suy giảm kết hợp của qubit 102 4.4 ðộng lực học ñan rối lượng tử của ba spin-qubit trong kênh suy giảm kết hợp

TÀI LIỆU THAM KHẢO 141

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

QD (quantum dot): chấm lượng tử

NCA (non-crossing approximation): gần ñúng không chéo

QI (quantum information): thông tin lượng tử

OCB (one common bath): một bath và chỉ một bath chung

OLIB (one local independent bath): một bath ñịa phương riêng biệt PFC (the phase flip channel): kênh lật pha

ADC (the amplitude damping channel): kênh suy giảm biên ñộ

DANH MỤC CÁC ðỒ THỊ

Trang Hình 2.1: Contour C bao gồm ba phần C=C1∪C2∪C3 24 Hình 2.2: Cộng hưởng của hàm Green G ω( )11(2.65) với các tham số

ñược chọn là U = 0,4; E = - 0,1; n = 0,5; Γ =0, 02; λ =0, 02; 1

Ω = và µ =0, 2

37

Hình 2.3: Cộng hưởng của hàm Green G ω( )11(2.68) với các tham số

ñược chọn là U = 0,4; E = - 0,1; n = 1; Γ =0, 02, λ =0, 02, 0,1

ft

Hình 3.7: Concurrence C ñối với hệ 2 qubit hoặc hai photon là hàm của

ft, với các tham số ñược chọn E=1000f ,1000f ,

Ω = α =r f / 810, α =γ f /105, α =d f / 210, f1 = 2f ,

2

f = 6f , và α =0.8

73

Hình 3.8: Lower bound of concurrence LBC là hàm của ft ñối với ba

qubit hoặc ba photon với trạng thái ban ñầu ñược chuẩn bị là trạng thái GHZ , hoặc trạng thái W

77

Hình 3.9: Lower bound of concurrence LBC là hàm của ft ñối với ba

qubit hoặc ba photon với trạng thái ban ñầu ñược chuẩn bị là trạng thái GHZ , hoặc trạng thái W , với α =r f / 81,

f /10.5

γ

α = và α =d f / 21

78

Hình 3.10: Lower bound of concurrence LBC là hàm của ft ñối với ba

qubit hoặc ba photon với trạng thái ban ñầu ñược chuẩn bị là trạng thái GHZ , hoặc trạng thái W , và α =r f / 3, 7,

f /1,1

γ

α = và α =d f /11

79

Hình 3.11: Lower bound of concurrence LBC là hàm của ft ñối với ba

qubit với trạng thái ban ñầu ñược chuẩn bị là trạng thái GHZ ðường nét mảnh ứng với ba qubit có vị trí như nhau (hằng số tương tác hiệu dụng giữa qubit và cavity là f), ñường nét ñậm ứng với các vị trí khác nhau của qubit sao cho f1= 2f,

Hình 3.12: Mạch lượng tử ñối với viễn tải lượng tử qua kênh nhiễu với

trạng thái β00 Hai ñường trên cùng thuộc về Alice trong khi

ñó chỉ có ñường dưới cùng thuộc về Bob Hình chữ nhật vẽ

81

bằng nét ñứt biểu diễn kênh nhiễu, kênh này làm cho kênh lượng tử trở thành trạng thái pha trộn.

Hình 3.13: Concurrence C và ñộ tin cậy trung bình là hàm của ft ñối với

hai qubit với trạng thái ban ñầu ñược chuẩn bị là trạng thái Bell thứ nhất

83

Hình 3.14: Concurrence C và ñộ tin cậy trung bình là hàm của ft ñối với

hai qubit với trạng thái ban ñầu ñược chuẩn bị là trạng thái Bell thứ nhất, với các tham số ñược chọn là α =r f / 81,

f /10,5

γ

α = , và α =d f / 21

84

Hình 3.15: Concurrence C và ñộ tin cậy trung bình là hàm của ft ñối với

hai qubit với trạng thái ban ñầu ñược chuẩn bị là trạng thái Bell thứ nhất, với các tham số ñược chọn là α =r f / 3, 7, α =γ f /1,1

và α =d f /11

84

Hình 4.1: Thừa số decoherence d3( )t là hàm của Jt, hoặc kt 106 Hình 4.2.a: Thừa số purity p t là hàm của Jt, hoặc kt 1( ) 107 Hình 4.2.b: Thừa số purity p2( )t là hàm của Jt, hoặc kt 107 Hình 4.2.c: Thừa số purity p3( )t là hàm của Jt, hoặc kt 107 Hình 4.3: LCB τ3(ρ( )t ) là hàm của kt ðường màu ñỏ nét mảnh là

ADC, ñường màu xanh nét ñậm là PFC và ñường nét ñứt là PFC và ADC

110

Hình 4.4: LCB τ3(ρ( )t ) là hàm của kt ðường màu ñỏ nét mảnh là

ADC, ñường màu xanh nét ñậm là PFC và ñường nét ñứt là ADC và PFC

111

Hình 4.5.a: So sánh LCB chúng tôi tính (ñường màu xanh nét ñậm) và kết

quả các tác giả [81] tính (ñường màu ñỏ nét ñứt)

113

Hình 4.5.b: LCB τ3(ρ( )t ) là hàm của kt với α = αr dp =k ðường màu ñỏ 114

nét mảnh là ADC, ñường màu xanh nét ñậm là PFC và ñường nét ñứt là PFC và ADC

Hình 4.6: LCB τ3(ρ( )t ) là hàm của kt, với αdp = α =r k ðường màu

xanh nét ñậm là PFC, ñường màu ñỏ nét mảnh biểu diễn ñồng thời hai kênh: ADC, PFC và ADC ñồng thời

116

Hình 4.7: So sánh LCB với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu GHZ

truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường màu ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường màu xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do lệch pha

117

Hình 4.8: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường màu ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường màu xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do hồi phục

117

Hình 4.9: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường màu ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường màu xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do hồi phục và lệch pha

118

Hình 4.10: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu W

truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường màu ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường màu xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do lệch pha

118

Hình 4.11: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu W

truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường màu ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường màu xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do hồi phục

118

Hình 4.12: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu W

truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB

118

(ñường màu ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường màu xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do lệch pha và hồi phục

Hình 4.13: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ (ñường màu xanh nét ñậm) và W (ñường màu ñỏ nét mảnh) truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB với giảm kết hợp do lệch pha

119

Hình 4.14: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ (ñường màu xanh nét ñậm) và W (ñường màu ñỏ nét mảnh) truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB với giảm kết hợp do lệch pha

119

Hình 4.15: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ (ñường màu xanh nét ñậm) và W (ñường màu ñỏ nét mảnh) truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB với giảm kết hợp do hồi phục

119

Hình 4.16: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ (ñường màu xanh nét ñậm) và W (ñường màu ñỏ nét mảnh) truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB với giảm kết hợp do hồi phục

119

Hình 4.17: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ (ñường màu xanh nét ñậm) và W (ñường màu ñỏ nét mảnh) truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB với giảm kết hợp do hồi phục và lệch pha

120

Hình 4.18: So sánh LCB ñối với ba spin-qubit khi trạng thái ban ñầu

GHZ (ñường màu xanh nét ñậm) và W (ñường màu ñỏ nét mảnh) truyền qua kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB với giảm kết hợp do lệch pha và hồi phục

120

Hình 4.19: Mạch lượng tử ñối với viễn tải lượng tử qua kênh nhiễu với 122

trạng thái GHZ Ba ñường trên cùng thuộc về Alice trong khi

ñó chỉ có ñường dưới cùng thuộc về Bob Hình chữ nhật vẽ bằng nét ñứt biểu diễn kênh nhiễu, kênh này làm cho kênh lượng tử trở thành trạng thái pha trộn.

Hình 4.20: Mạch lượng tử ñối với viễn tải lượng tử thông qua kênh nhiễu

với trạng thái W Ba ñường trên thuộc về Alice trong khi ñó ñường dưới cùng thuộc về Bob Hình chữ nhật vẽ bằng ñường nét ñứt biểu diễn kênh nhiễu, kênh này làm cho kênh lượng tử trở thành trạng thái pha trộn

126

Hình 4.21: So sánh kết quả ñộ tin cậy trung bình chúng tôi tính (ñường

màu xanh, nét ñậm), kết quả các tác giả [31] tính (ñường màu

ñỏ, nét mảnh) và giá trị trung bình của ñộ tin cậy cổ ñiển (ñường nét ñứt), với αdp = k

128

Hình 4.22: So sánh F khi trạng thái GHZ ñược sử dụng làm kênh av

lượng tử chịu tác dụng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do lệch pha ðường nét ñứt là ñộ tin cậy

cổ ñiển

130

Hình 4.23: So sánh F khi trạng thái GHZ ñược sử dụng làm kênh av

lượng tử chịu tác dụng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do hồi phục ðường nét ñứt là ñộ tin cậy cổ ñiển

130

Hình 4.24: So sánh F khi trạng thái GHZ ñược sử dụng làm kênh av

lượng tử chịu tác dụng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do lệch pha và hồi phục ðường nét ñứt

là ñộ tin cậy cổ ñiển

131

Hình 4.25: So sánh F khi trạng thái W ñược sử dụng làm kênh lượng av

tử chịu tác dụng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do lệch pha ðường nét ñứt là ñộ tin cậy cổ ñiển

131

Hình 4.26: So sánh F khi trạng thái W ñược sử dụng làm kênh lượng av

tử chịu tác dụng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do hồi phục ðường nét ñứt là ñộ tin cậy cổ ñiển

131

Hình 4.27: So sánh F khi trạng thái W ñược sử dụng làm kênh lượng av

tử chịu tác dụng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB (ñường ñỏ nét mảnh) hoặc OLIB (ñường xanh nét ñậm) với giảm kết hợp do hồi phục và lệch pha ðường nét ñứt là ñộ tin cậy cổ ñiển

131

Hình 4.28: So sánh F của trạng thái GHZ (ñường xanh nét ñậm) và av

W (ñường ñỏ nét mảnh) khi ñược sử dụng làm kênh lượng tử chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB với giảm kết hợp do lệch pha ðường nét ñứt là ñộ tin cậy cổ ñiển

132

Hình 4.29: So sánh F của trạng thái GHZ (ñường xanh nét ñậm) và av

W (ñường ñỏ nét mảnh) khi ñược sử dụng làm kênh lượng tử chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB với giảm kết hợp do lệch pha ðường nét ñứt là ñộ tin cậy

cổ ñiển

132

Hình 4.30: So sánh F của trạng thái GHZ (ñường xanh nét ñậm) và av

W (ñường ñỏ nét mảnh) khi ñược sử dụng làm kênh lượng tử

132

chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB với giảm kết hợp do hồi phục ðường nét ñứt là ñộ tin cậy cổ ñiển

Hình 4.31: So sánh F của trạng thái GHZ (ñường xanh nét ñậm) và av

W (ñường ñỏ nét mảnh) khi ñược sử dụng làm kênh lượng tử chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB với giảm kết hợp do hồi phục ðường nét ñứt là ñộ tin cậy cổ ñiển

132

Hình 4.32: So sánh F của trạng thái GHZ (ñường xanh nét ñậm) và av

W (ñường ñỏ nét mảnh) khi ñược sử dụng làm kênh lượng tử chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB với giảm kết hợp do hồi phục và lệch pha ðường nét ñứt

là ñộ tin cậy cổ ñiển

133

Hình 4.33: So sánh F của trạng thái GHZ (ñường xanh nét ñậm) và av

W (ñường ñỏ nét mảnh) khi ñược sử dụng làm kênh lượng tử chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OCB với giảm kết hợp do hồi phục và lệch pha ðường nét ñứt

là ñộ tin cậy cổ ñiển

133

Hình 4.34: ðộ tin cậy của viễn tải lượng tử khi trạng thái GHZ ñược sử

dụng làm kênh lượng tử, kênh này chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB với suy giảm kết hợp

do lật pha và Contour của nó, với αdpt =0.35

135

Hình 4.35: ðộ tin cậy của viễn tải lượng tử khi trạng thái W ñược sử

dụng làm kênh lượng tử, kênh này chịu ảnh hưởng của kênh nhiễu là ba spin-qubit tương tác với OLIB, với suy giảm kết hợp do lật pha và Contour của nó, với αdpt =0.35

136

MỞ ðẦU

1 Lý do chọn ñề tài

Tiến bộ của vật lý chất rắn trong những năm qua ñược ñặc trưng bởi sự chuyển hướng ñối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể sang các màng mỏng, các cấu trúc nhiều lớp và chấm lượng tử Trong các ñối tượng mới ñược nêu trên, hầu hết các tính chất ñiện tử ñều thay ñổi một cách ñáng kể ðặc biệt, ñã xuất hiện một số tính chất mới khác, ñược gọi là các hiệu ứng kích thước Trong các cấu trúc

có kích thước lượng tử, nơi các hạt dẫn bị giới hạn trong những vùng có kích thước ñặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng de Broglie, các tính chất vật lí và ñiện tử thay ñổi ñầy kịch tính Ở ñây, các qui luật cơ học lượng tử bắt ñầu có hiệu lực, trước hết thông qua việc biến ñổi ñặc trưng cơ bản nhất của hệ ñiện tử là phổ năng lượng của

nó Phổ năng lượng trở thành gián ñoạn dọc theo hướng toạ ñộ giới hạn Dưới ảnh hưởng của trường ngoài hay của các tâm tán xạ (phonon, tạp chất, ) thường chỉ hai, mà không phải là ba thành phần ñộng lượng của hạt dẫn có thể biến ñổi Do ñó, dáng ñiệu của hạt dẫn trong các cấu trúc kích thước lượng tử tương tự như trong khí ñiện tử hai chiều, thậm chí các hệ trên qui mô xác ñịnh theo tất cả ba chiều toạ ñộ Chuyển ñộng của electron hoàn toàn bị lượng tử hoá khi nó bị bẫy trong giả không gian không chiều (quasi-zero-dimensional) hay chấm lượng tử (quantum dot QD) ðiều này ñạt ñược ñầu tiên bởi các nhà khoa học của Texas Instruments Incorporated Các electron trong QD bị giam cầm mạnh theo cả ba chiều không gian nên hệ QD ñược xem tương tự như các nguyên tử nhân tạo (artificial atoms), siêu nguyên tử (superatoms), hoặc quantum-dot atoms ðiều làm cho QD không giống như các hệ thông thường ñó là: khả năng có thể ñiều chỉnh hình dạng của nó, không gian của nó, cấu trúc các mức năng lượng và số electron bị giam cầm

Một loạt các nghiên cứu thực nghiệm có liên quan tới QD ñã ñược ñề cập ñó

là tính chất quang học của chúng (hấp thụ và phát xạ ánh sáng trong vùng khả kiến

hoặc vùng hồng ngoại xa, và tán xạ Raman của ánh sáng) và các tính chất ñiện (ñiện dung và sự truyền dẫn) Vì sự hấp thụ và phát xạ ánh sáng của các QD chỉ trong vùng phổ rất hẹp và hoàn toàn ñiều khiển ñược bằng cách sử dụng từ trường do ñó kết quả này sớm ñược ứng dụng ñể xây dựng và ñiều khiển laser bán dẫn Sự lượng

tử hoá mạnh các mức năng lượng của electron cùng với các tham số thích hợp ñối với laser action, ñặc biệt là các QD self-assembled, nó là cơ sở cho laser hoạt ñộng ở nhiệt ñộ cao và dòng bơm thấp QD có kích thước nhỏ và có thể tạo thành các ma trận chấm lượng tử với mật ñộ lớn cho phép sử dụng trong bộ nhớ có dung lượng lớn trong máy tính

Nghiên cứu về tính truyền dẫn của QD, ñơn giản nhất là dòng qua chấm, ñiều này ñã ñược nghiên cứu từ lâu nhưng cho tới nay vẫn chưa hoàn chỉnh về mặt lý thuyết Các nghiên cứu chủ yếu là tính số mà chưa ñưa ra ñược các biểu thức giải tích của chúng Sự chuyển dời của các electron qua QD một mức (single-level quantum dot) liên kết với hai ñiện cực là một vấn ñề thời sự ñối với nghiên cứu lí thuyết cũng như thực nghiệm của nhiều công trình trong những năm gần ñây ñối với lĩnh vực vật lí nanô [27, 28, 29, 32, 37, 42, 43, 44, 60, 63, 75, 82, 83, 84, 88, 92] Hai ñại lượng vật lí có thể ño ñược trong thực nghiệm dựa trên sự chuyển vận của các electron ñó là dòng electron qua QD và giá trị trung bình của số electron trong

QD Tất cả các ñại lượng này ñều có thể tính qua các số hạng của hàm Green một electron Trong việc nghiên cứu lý thuyết ñầu tiên về sự chuyển vận của electron qua QD ñơn mức, các phương trình vi phân ñối với các hàm Green thời gian thực ñã ñược ñưa ra cùng với việc sử dụng các phương trình Heisenberg ñối với các toán tử sinh và hủy electron [37, 60] Do tính ñến tương tác Coulomb mạnh giữa các electron trong QD, nên các phương trình vi phân ñối với các hàm Green một electron có chứa các hàm Green nhiều electron và tất cả các phương trình này liên kết các hàm Green với nhau tạo thành một hệ vô hạn các phương trình vi phân ðể thu ñược một hệ ñóng gồm hữu hạn các phương trình, chúng ta phải sử dụng một số phương pháp gần ñúng ñể tách hệ vô hạn các phương trình vi phân này Hơn nữa, quá trình chuyển vận của electron qua QD là quá trình không cân bằng, do ñó chúng

ta phải sử dụng các hàm Green thời gian phức không cân bằng trong hình thức luận Keldysh [26, 49]

Trong việc nghiên cứu các hàm Green thời gian phức không cân bằng bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ñối với tương tác Coulomb, người ta thường giữ lại một số chuỗi các giản ñồ hình thang và cũng thừa nhận phương pháp gần ñúng không chéo (non-crossing approximation NCA) Các hệ của các phương trình ñối với các hàm Green ñã ñược giải bằng nhiều phương pháp số khác nhau, ví dụ: kỹ thuật Quantum Monte Carlo [82] và tính số bằng phương pháp nhóm tái chuẩn hóa [28, 29, 43, 44] Các kết quả tính số ñã chỉ ra rằng các hàm Green electron hai ñiểm

có cộng hưởng và cộng hưởng này có liên hệ với hiệu ứng Kondo Bên cạnh cộng hưởng Kondo này, trạng thái chuẩn liên kết Fano trong phổ năng lượng của hệ electron trong QD và các ñiện cực cũng có thể ñóng góp một số cộng hưởng

Trong luận án này, khác với các nghiên cứu trước, chúng tôi sẽ ñưa ra các biểu thức giải tích chính xác của các số hạng cộng hưởng Kondo và Fano bằng cách giải các phương trình dưới dạng ma trận ñối với các hàm Green ñể tìm nghiệm giải tích tường minh Từ các biểu thức giải tích này chúng tôi sẽ thu ñược toàn bộ các cộng hưởng và ñiều kiện ñể tồn tại các cộng hưởng ñó ðặc biệt, chúng tôi sẽ chỉ ra

sự khác biệt giữa cộng hưởng Kondo và cộng hưởng Fano, nếu chúng tồn tại [62, 66]

Nghiên cứu về tính truyền dẫn giữa các chấm lượng tử làm cơ sở trong thông tin lượng tử và máy tính lượng tử Trong một máy tính ñiện tử lượng tử của tương lai, các phép tính toán dùng ñể tính không còn là các phép tính toán thông thường dùng trong máy tính cổ ñiển nữa mà sẽ là các phép toán của cơ học lượng tử Vì thế, ñơn vị cơ bản ñể chứa tin tức sẽ là các mẩu tin lượng tử - quantum bit hay gọi tắt là qubit Một qubit có thể ở trạng thái chứa trị số 0 hoặc ở trạng thái chứa trị số 1 hay cũng có thể ở một trạng thái vừa chứa trị số 1 với một tỷ số xác xuất nào ñó và trị số

0 với một tỷ số xác suất còn lại Trong thực hiện vật lí tên gọi qubit dành cho một hệ lượng tử có hai trạng thái Cho nên, bất kì hai trạng thái lượng tử của một hệ nào ñó cũng có thể xem là một qubit Nhưng trong trường hợp cụ thể qubit là một hệ lượng

tử hai mức với giả thiết rằng cả hai mức năng lượng này không suy biến Có nhiều

hệ vật lí khác nhau thực hiện mô hình qubit, chẳng hạn như: hai mức năng lượng của hạt có mômen từ spin 1/2 trong từ trường không ñổi, một nguyên tử hai mức, hai trạng thái phân cực của một phôtôn, mức năng lượng kích thích thấp nhất và trạng thái cơ bản trong chấm lượng tử bán dẫn, Cho tới nay, người ta cũng chưa biết nên chọn hệ vật lí nào trong các hệ kể trên ñể làm qubit vì mỗi hệ có những ưu ñiểm và nhược ñiểm khác nhau Thông tin lượng tử ñược mã hóa vào trong qubit là hai thành phần hàm sóng của qubit ñối với trạng thái thuần lượng tử hoặc là ma trận mật ñộ 2 2× ñối với các trạng thái pha trộn

Tương tự như máy tính ñiện tử cổ ñiển, máy tính lượng tử sẽ ñiều khiển một

bộ các qubit chứa trong não của máy tính bằng cách tác ñộng trên các qubit này một loạt các cổng logic lượng tử Như vậy, qubit có vai trò quan trọng trong việc tạo ra máy tính lượng tử và thông tin lượng tử nên trong hơn một thập kỉ qua các nhà lý thuyết và thực nghiệm rất quan tâm ñến nghiên cứu ñộng lực học qubit và hệ qubit

và ñã ñạt ñược nhiều kết quả quan trọng Trên thực tế bất kì một hệ lượng tử nào cũng tương tác với môi trường (environment) quanh nó, ñiều này ñã gây ra giảm kết hợp (decoherence) của hệ lượng tử [61] Các quá trình suy giảm kết hợp của qubit ñược cho là cơ chế chính cản trở các quá trình tính toán lượng tử và thông tin lượng

tử trở thành hiện thực Hiểu ñược và triệt tiêu ñược các quá trình này là một nhiệm

vụ quan trọng của khoa học thông tin lượng tử Việc nghiên cứu về ñộng lực học qubit và hệ các qubit có tương tác với môi trường chưa ñược xét một cách ñầy ñủ

Gần ñây, vấn ñề nghiên cứu các hệ nguyên tử hoặc giống nguyên tử hai mức

có chức năng như bit lượng tử tích ñiện (charge qubits) trong ñiện ñộng lực học lượng tử về cavity ñược quan tâm rất nhiều là vì nó ñược sử dụng giống như một phần tử của các hệ xử lý thông tin lượng tử (quantum information QI) [8, 9, 20, 36,

52, 79, 80, 90, 91] ðiện ñộng lực học lượng tử về cavity là lý thuyết lượng tử của các hệ nguyên tử hoặc giống nguyên tử tương tác với trường ñiện từ trong microcavity Do ñiều kiện biên nên trường ñiện tử trong microcavity có phổ năng lượng gián ñoạn Liên kết mạnh của hệ electron hai mức tương tác với ñơn mode

lượng tử của trường ñiện từ trong microcavity ñã ñược quan sát trong thực nghiệm [30, 38, 50, 56, 57, 74, 76] Sự giảm kết hợp của bit lượng tử tích ñiện trong ñiện ñộng lực học lượng tử về cavity do tương tác của chúng với môi trường và ảnh hưởng của nó lên xử lý thông tin lượng tử cũng ñã ñược nghiên cứu Tuy nhiên, cho ñến nay việc giải toàn bộ hệ phương trình tốc ñộ của bit lượng tử tích ñiện cùng với

sự suy giảm kết hợp trong ñiện ñộng lực học lượng tử về cavity chưa ñược nghiên cứu ñầy ñủ Mặt khác, ñối với việc nghiên cứu toàn diện các tính chất vật lí của hệ liên kết mạnh, hệ bit lượng tử tích ñiện và các photon trong microcavity, chúng ta cần phải xác ñịnh sự tiến triển theo thời gian của ma trận mật ñộ rút gọn của hệ này khi tính ñến sự tương tác với môi trường là vấn ñề ñược nghiên cứu trong luận án này

Phần tử cơ bản nhất của bất kì một hệ xử lý QI là qubit Sự trao ñổi trạng thái lượng tử giữa hai qubit là cơ chế vật lí ñể chuyển giao, hoặc truyền thông tin lượng

tử từ qubit này ñến qubit khác [4, 13, 14, 24, 25, 33, 47, 48, 54, 64, 67, 78, 85] ðặc biệt Lloyd [54] và Bose [13] ñã ñề xuất sử dụng chuỗi spin tương tác ñể truyền thông tin lượng tử giữa hai spin-qubit ở vị trí ñầu và cuối của mỗi chuỗi này Sự truyền thông tin lượng tử từ ñầu ñến cuối chuỗi spin ñã ñược nghiên cứu bởi nhiều tác giả [4, 24, 33, 48, 85] Bên cạnh tương tác giữa hai spin-qubit liền kề, tương tác giữa chuỗi spin-qubit với môi trường là nguyên nhân giảm kết hợp của nó ðộng lực học lượng tử của hệ hai spin-qubit có tương tác, cùng với suy giảm kết hợp ñã ñược nghiên cứu bởi nhiều tác giả, nhưng các quá trình suy giảm kết hợp của chuỗi gồm có nhiều hơn hai spin-qubit chưa ñược xem xét kĩ Với mục ñích ñó, trong luận

án này chúng tôi tập trung vào nghiên cứu ñộng lực học lượng tử của chuỗi gồm ba spin-qubit với các quá trình suy giảm kết hợp

Từ các biểu thức giải tích của ma trận mật ñộ rút gọn của hệ qubit, chúng tôi

áp dụng nghiên cứu tính ñan rối lượng tử và ñộ tin cậy lượng tử của hệ khi truyền qua các kênh suy giảm kết hợp

ðan rối lượng tử không những là ñiều cơ bản ñược quan tâm trong cơ học lượng tử mà nó còn là một nguồn quan trọng trong việc xử lý thông tin lượng tử

[39, 61] ðan rối lượng tử là một tính chất cơ bản của các hệ lượng tử, tính chất này của hệ cĩ nhiều tiềm năng để sử dụng trong viễn tải lượng tử (quantum teleportation), mật mã lượng tử (quantum crytography) và các ứng dụng khác [61] Viễn tải lượng tử hay truyền thơng lượng tử là một quá trình truyền một trạng thái lượng tử khơng xác định đến một nơi nhận ở xa ðiểm quan trọng nhất của quá trình này là dựa trên cơ sở của đan rối lượng tử Khởi đầu của quá trình này được áp dụng

để tạo ra các giao thức (protocol) của truyền thơng giữa hai đối tượng chia sẻ đan rối lượng tử của các trạng thái Bell của hai qubit [15, 31] Sự thực hiện thành cơng của thí nghiệm về giao thức truyền thơng lượng tử dựa trên cơ sở trạng thái của hệ hai qubit [19] đã thơi thúc các nghiên cứu về mặt lí thuyết của các giao thức dựa trên trạng thái đan rối của nhiều qubit Trong trường hợp tổng quát, khi thực hiện đầy đủ sự sắp xếp theo hệ thống đối với viễn tải lượng tử cần địi hỏi: số lượng trạng thái đan rối lượng tử được sử dụng trong mỗi giao thức và các trạng thái đan rối này là pha trộn do tương tác với mơi trường Giá trị của đan rối lượng tử của các trạng thái pha trộn ban đầu phân bố giữa các đối tượng để xác định hiệu quả của giao thức kèm theo trong viễn tải lượng tử [16, 17, 86] Tuy nhiên khơng tránh được

sự tương tác giữa qubit và mơi trường dẫn đến tính đan rối lượng tử của hệ khơng được bảo tồn theo thời gian Hiện tượng đan rối lượng tử giữa hai qubit hồn tồn biến mất sau một khoảng thời gian hữu hạn, gọi là hiệu ứng ''đan rối lượng tử đột ngột chết'' (entanglement sudden death ESD) đã được tiên đốn trước bởi lý thuyết [94, 95] và sau đĩ đã được kiểm tra bằng thực nghiệm [6, 53] ðiều này chỉ ra rằng tính chất đặc biệt của đan rối lượng tử khác với tính kết hợp của hệ Từ những điểm như vậy, hình như ESD là một điều bất lợi trong quá trình sử lý thơng tin lượng tử Gần đây Bellomo và các đồng tác giả [10, 11] đã chỉ ra rằng tính đan rối lượng tử

cĩ thể hồi sinh sau một khoảng thời gian chết, như vậy đã mở rộng ý nghĩa của thời gian đan rối lượng tử của qubit Hiện tượng vật lí đáng chú ý này đã được thực nghiệm quan sát thấy [89] Tuy nhiên trong [93], Muhammed Yưnaç và các đồng tác giả mới chỉ xét hiệu ứng ESD đối với hai hệ qubit-cavity giống nhau khơng kể đến tương tác với mơi trường Trong [94], các tác giả mới chỉ xét hiện ứng ESD khi

kể ñến ảnh hưởng của hiện tượng phát xạ tự phát trong chân không mà chưa kể ñến các ảnh hưởng suy giảm kết hợp khác Trong luận án này, chúng tôi cũng xét ñan rối lượng tử giữa các qubit, hoặc giữa các photon, hoặc giữa qubit và photon với trạng thái ban ñầu của trường ñiện từ trong cavity là chân không, nhưng xét ñồng thời ảnh hưởng của ba cơ chế làm suy giảm kết hợp của hệ ñó là: hồi phục, lật pha

Viễn tải lượng tử là một quá trình mà người gửi gọi là Alice, gửi một trạng thái lượng tử chưa xác ñịnh cho một người ở xa, gọi là Bob, qua hai kênh cổ ñiển và lượng tử [15,18, 19] Nếu một cặp hạt có ñan rối lượng tử lớn nhất thì tạo thành một kênh lượng tử tốt nhất ñể sử dụng trong viễn tải lượng tử Tuy nhiên, trong khi trạng thái ñan rối lượng tử ñược phân bố và lưu giữ bởi Alice và Bob thì trạng thái này có thể bị mất tính kết hợp của nó và trở thành trạng thái pha trộn do tương tác của hệ với môi trường Bennett và các ñồng tác giả [15] ñã chỉ ra rằng nếu kênh càng ít ñan rối lượng tử thì ñộ tin cậy trong viễn tải lượng tử càng giảm Popescu [77] ñã phát

hiện ra mối liên hệ giữa viễn tải lượng tử, bất ñẳng thức Bell và tính không ñịnh xứ ðiều này ñã chứng minh ñược rằng trạng thái pha trộn là trạng thái không vi phạm bất ñẳng thức Bell nhưng vẫn có thể sử dụng ñối với viễn tải lượng tử Horodecki

và các ñồng tác giả ñã chỉ ra rằng bất kì trạng thái pha trộn nào của hai spin 1/2, trạng thái vi phạm bất ñẳng thức Bell-CHSH, cũng có thể dùng cho viễn tải lượng

tử Horodecki và các ñồng tác giả [40] cũng ñã chứng minh ñược mối liên hệ giữa

ñộ tin cậy tối ưu của viễn tải lượng tử và phần ñơn lớn nhất của kênh lượng tử Trong [7], Banaszek ñã phát hiện ra ñộ tin cậy của viễn tải lượng tử khi sử dụng các trạng thái ñan rối không lớn nhất Ishizaka [41] ñã nghiên cứu kênh lượng tử có tương tác với môi trường ñịa phương hai mức Mặc dù các nghiên cứu ñược ñề cập

ở trên ñã phát hiện ra mối tương quan trọng yếu giữa mức ñộ ñan rối lượng tử của kênh lượng tử trong viễn tải lượng tử, nhưng dường như ít nghiên cứu ñến mối liên

hệ trực tiếp giữa viễn tải lượng tử và tốc ñộ suy giảm kết hợp Thật là thú vị nếu biết ñược bằng cách nào mà loại nhiễu và cường ñộ của nhiễu tác ñộng lên các kênh lượng tử ảnh hưởng ñến ñộ tin cậy của viễn tải lượng tử Trong [72], Sangchul Oh

và các ñồng tác giả ñã sử dụng hai qubit EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) ñể làm kênh lượng tử có tương tác với các kênh nhiễu khác nhau Sangchul Oh ñã phát hiện

ra ñộ tin cậy của viễn tải lượng tử như hàm của thời gian mất kết hợp và góc của trạng thái không xác ñịnh ñã ñược truyền ñi ðồng thời cũng khảo sát các tính chất của ñộ tin cậy trung bình phụ thuộc vào loại nhiễu tác ñộng lên các qubit ở mỗi giai ñoạn viễn tải lượng tử Eylee Jung [45] và các ñồng tác giả ñã xét viễn tải lượng tử với các trạng thái GHZ và W tương ứng, khi các kênh nhiễu làm cho các kênh lượng tử trở thành trạng thái pha trộn Eylee Jung ñã phát hiện ra trong hai loại kênh

bị nhiễu GHZ và W , kênh nào làm mất ít thông tin lượng tử hơn còn tùy thuộc vào loại kênh nhiễu Tuy nhiên trong [45] và [72], các tác giả ñã không gắn các qubit với một hệ vật lí cụ thể nào ñể thực hiện nhiệm vụ ñó, ñồng thời các tác giả cũng bỏ qua Hamiltonian của hệ qubit Trong luận án này, chúng tôi cũng xét viễn tải lượng tử với các trạng thái Bell, GHZ và W , tương ứng, khi các kênh nhiễu

là hệ qubit gồm cả Hamiltonian của hệ cũng như tương tác của hệ với môi trường là nguyên nhân làm cho hệ suy giảm kết hợp ðồng thời chúng tôi sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa ñan rối lượng tử của hệ và lượng thông tin mà chúng ta nhận lại ñược trong viễn tải lượng tử

Trên cơ sở ñó tôi chọn ñề tài nghiên cứu cho luận án tiến sĩ của mình là:

Một số hiệu ứng lượng tử trong các hệ nanô trên cơ sở chấm lượng tử

2 Mục ñích, ñối tượng và phạm vi nghiên cứu

Do ñối tượng nghiên cứu là QD, qubit và hệ qubit có tương tác với môi trường là một vấn ñề rộng, nên luận án tập trung khảo cứu các vấn ñề sau:

1/ Nghiên cứu hàm Green của electron trong QD một mức ñể ñưa ra các biểu thức giải tích chính xác của các số hạng cộng hưởng Kondo và Fano Từ các biểu thức giải tích này, chúng tôi sẽ thu ñược toàn bộ các cộng hưởng và ñiều kiện ñể tồn tại các cộng hưởng này ðặc biệt, chúng tôi sẽ chỉ ra sự khác biệt giữa cộng hưởng Kondo và cộng hưởng Fano, nếu chúng tồn tại

2/ Nghiên cứu lý thuyết ñối với dạng tổng quát của ma trận mật ñộ rút gọn của hệ liên kết mạnh qubit-photon trong MC ñơn mode với ba cơ chế chính về sự mất kết hợp của hệ

3/ Nghiên cứu ñộng lực học lượng tử của hệ ñối xứng gồm ba spin-qubit giống nhau, tương tác giữa hai spin-qubit liền kề là tương tác trao ñổi theo kiểu XY Heisenberg trong gần ñúng Markov với tương tác giữa hệ và môi trường là tương tác yếu Chúng tôi xét hai trường hợp ñó là: hệ ba spin-qubit mà mỗi spin-qubit của

hệ ñộc lập tương tác với OLIB và hệ ba spin-qubit tương tác với OCB Các công thức Lindblad với hai cơ chế vật lý của tính mất kết hợp ñó là hồi phục và lệch pha

sẽ ñược sử dụng ñể xét ñến ảnh hưởng của môi trường lên hệ

4/ Nghiên cứu về ñộng lực học ñan rối lượng tử và viễn tải lượng tử của hệ qubit với các trạng thái lượng tử ban ñầu ñược chuẩn bị khác nhau khi truyền qua các kênh suy giảm kết hợp là hệ qubit-cavity ñộc lập hoặc spin-qubit

3 Phương pháp nghiên cứu

ðể giải quyết các vấn ñề ñặt ra, chúng tôi sử dụng các lý thuyết sau:

1/ Lý thuyết trường lượng tử trong vật lí chất rắn và quang học lượng tử

2/ Lý thuyết lượng tử về hệ mở, trong ñó áp dụng phương trình Liouville lượng

tử trong gần ñúng Markov ñối với ma trận mật ñộ

3/ Lý thuyết nhiễu loạn

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài nghiên cứu

ðề tài nghiên cứu có ý nghĩa khoa học cao ñó là xây dựng ñược các biểu thức giải tích của các quá trình vật lí trong các hệ chấm lượng tử và bit lượng tử có tương tác với môi trường góp phần vào sự phát triển của thông tin lượng tử và máy tính lượng tử trong tương lai

5 Bố cục của luận án

Ngoài phần mở ñầu, kết luận và các phụ lục, luận án gồm 4 chương:

Chương 1 trình bày tổng quan về lý thuyết lượng tử của hệ mở gồm các vấn ñề: phương pháp hàm Green phụ thuộc thời gian ở nhiệt ñộ khác không, ma trận mật ñộ và phương trình master cho hệ lượng tử mở ðây là lí thuyết cơ sở của luận

án Trong chương 2, bằng cách áp dụng phương pháp hàm Green không cân bằng, chúng tôi nghiên cứu ñầy ñủ về chấm lượng tử một mức Các kết quả thu ñược là tổng quát bao trùm kết quả của nhiều tác giả ñã nghiên cứu trước Chương 3 trình bày về hệ thông tin lượng tử gồm một chấm lượng tử hai mức ñặt trong một hốc lượng tử Trong chương 3 chúng tôi ñã thiết lập và giải các phương trình xác ñịnh

ma trận mật ñộ khi có sự giảm kết hợp do ảnh hưởng của môi trường Vấn ñề này

ñã ñược nghiên cứu trong trường hợp tổng quát Từ các biểu thức giải tích của ma trận mật ñộ thu ñược, chúng tôi áp dụng nghiên cứu ñộng lực học ñan rối lượng tử

và viễn tải lượng tử giữa các hệ qubit-cavity ñộc lập Chương 4 trình bày về ñộng lực học chuỗi ba bit lượng tử và khảo sát các quá trính vật lý khi truyền thông tin lượng tử theo chuỗi này

Chương 1- TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ

CỦA HỆ MỞ

1.1 Phương pháp hàm Green phụ thuộc thời gian ở nhiệt ñộ khác không

ðể nghiên cứu các ñại lượng vật lý thay ñổi theo thời gian người ta mở rộng hình thức luận thời gian ảo thành hình thức luận thời gian phức, với phần thực và phần ảo của thời gian phức là thời gian thực t và thời gian ảo τ [1]

Xét giá trị trung bình của T-tích hai toán tử trường boson trong biểu diễn Heisenberg ϕ rH( 1, t1) và ϕ rH( 2, t2)+ ở hai thời ñiểm tùy ý t1 và t2 trên tập hợp thống kê cân bằng ở nhiệt ñộ khác không

{ }

ˆ H

Trong vế phải các hệ thức (1.4) và (1.5) các tổng theo m và n bao gồm tất cả các trạng thái với các mức năng lượng Em và En lớn hơn một giá trị cực tiểu E0 nào

vì có thể kéo dài giải tích theo t từ trục thực vào mặt phẳng biến số phức cho nên ta

có thể xét các toán tử trong trường hợp phụ thuộc thời gian phức t trong biểu diễn Heisenberg và ñịnh nghĩa

ñoạn nào giao nhau và chọn trước một chiều chạy dọc theo ñường C làm chiều dương Giải sử t và 1 t là hai ñiểm trên ñường C Nếu từ 2 t ñến 1 t phải ñi dọc theo 2

C theo chiều dương thì ta quy ước rằng t > 2 t , còn nếu từ 1 t ñến 1 t phải ñi dọc 2theo C theo chiều ngược lại với chiều dương thì ta qui ước rằng t > 1 t Với hai thời 2ñiểm phức t và 1 t bất kì trên ñường C ta ñịnh nghĩa T-tích của hai toán tử trường ở 2hai thời ñiểm này xét ñối với chiều dương trên ñường C như sau:

{ }

ˆ H

Toán tử e−βHˆ cũng có thể ñược biểu diễn qua H và ˆ0 S t, t( )0 như sau

H trong biểu diễn Schrödinger sau khi thay thế tất cả các toán tử trường trong biểu diễn Schrödinger bằng các toán tử tương ứng trong biểu diễn tương tác Theo ñịnh nghĩa (1.17) toán tử S t, t( )0 có tính chất

với TC là kí hiệu T-tích xét theo chiều dương trên ñường C ñi qua hai ñiểm t và t , 0các tích phân ñược lấy theo ñường cong C từ t ñến t Từ các công thức vừa viết 0suy ra rằng các toán tử S t, t( )0 có tính chất nhóm sau ñây

trong ñó t , 0 t và 1 t là ba ñiểm trên ñường cong C 2

Hãy áp dụng các công thức biểu diễn các toán tử e−βHˆ, i t t( 0 )Hˆ

e − và i t t( 0 )Hˆ

e− −qua các toán tử Hˆ 0

e−β , i t t( 0 )Hˆ 0

e − , i t t( 0 )Hˆ 0

e− − và S t, t( )0 ñể biến ñổi biểu thức (1.13) của hàm Green phụ thuộc thời gian phức ở nhiệt ñộ khác không Ta chọn ñường C ñi từ ñiểm t , qua hai ñiểm 0 t , 1 t (nếu 2 t > 2 t ) hoặc qua hai ñiểm 1 t , 2 t (nếu 1 t > 1 t ) rồi 2ñến ñiểm t0− β Trong trường hợp i t > 1 t biểu thức trên tử số trong vế phải công 2thức (1.13) có thể viết lại ñược dưới dạng như sau

Tr e−β T ϕ r, t ϕ r , t  =Tr e−β T ϕ r, t ϕ r , t S , (1.27) trong ñó ϕ rˆ( 1, t1) và ϕ rˆ( 2, t2) là các toán tử trường trong biểu diễn tương tác và

( 0 0)

S=S t − βi , t (1.28) Với t > 2 t ta có kết quả tương tự 1

Tr e−β T ϕ r, t ϕ r , t  =Tr e−β T ϕ r, t ϕ r , t S (1.29) Cuối cùng ta thu ñược biểu thức

ˆˆ

D r r, ; t −t quy về việc tính giá trị trung bình của T-tích các toán tử trường tự

do ñối với chiều dương trên ñường C và tính các tích phân theo C từ t ñến t − β i

1.2 Ma trận mật ñộ

Nếu hệ lượng tử là cô lập, hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác của hệ

và trường ngoài ñã biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử ñược mô tả bởi hàm sóng và gọi là trạng thái thuần lượng tử ψi [2] Ta khảo sát hệ lượng tử mà mỗi trạng thái lượng tử i của chúng ñược diễn tả bằng một véctơ trạng thái ψ trong ikhông gian Hilbert các hàm sóng Ta chọn các véctơ trạng thái này sao cho chúng trực giao và chuẩn hóa với nhau

i j ij

ψ ψ = δ (1.31) Các véctơ trạng thái ψ thỏa mãn phương trình Schrödinger i

trong ñó ˆH là Hamiltonian của hệ

Nếu biết chính xác hệ vi mô mà ta quan tâm nằm ở một trạng thái ψ xác jñịnh, như ñã biết, thì giá trị trung bình của ñại lượng vật lí A bất kỳ ñược xác ñịnh theo công thức

j

A = ψ A ψ , (1.33) trong ñó ˆA là toán tử tương ứng với ñại lượng vật lí A

Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác giữa hệ với các hệ xung quanh không xác ñịnh ñược một cách chính xác thì trạng thái của hệ không ñược mô tả bằng hàm sóng [2, 3] Bởi vì khi chưa biết tương tác giữa hệ và trường ngoài thì không thể giải phương trình Schrödinger ñể xác ñịnh hàm sóng Khi ta không biết một cách chính xác hệ lượng tử mà ta quan tâm nằm ở trạng thái nào mà chỉ biết nó

có thể ở trạng thái ψ với một xác suất pi i nào ñó thì ta nói hệ ở trong trạng thái pha trộn Giá trị trung bình của ñại lượng vật lí A bất kì trong trạng thái pha trộn sẽ

Nếu ta ñịnh nghĩa một toán tử ˆρ như sau

ðể thiết lập sự tiến triển của ma trận mật ñộ bằng cách lấy ñạo hàm theo thời gian cả hai vế của hệ thức (1.35) rồi sử dụng phương trình Schrödinger ta thu ñược phương trình chuyển ñộng của toán tử ma trận mật ñộ hay còn gọi là phương trình Liouville lượng tử hay phương trình von Neumann

ñó luôn xảy ra tương tác giữa các phần của hệ với nhau ðể mô tả trạng thái ñộng lực của phần hệ con bất kì, chúng ta phải sử dụng ma trận mật ñộ rút gọn ðể cho ñơn giản ta xét một hệ lớn gồm hai hệ con a và b tương tác với nhau Ma trận mật

ñộ mô tả hệ lớn là ρ Chúng ta kí hiệu { }ai là hệ cơ sở của các trạng thái của hệ con a, tương tự { }bi là hệ cơ sở của các trạng thái của hệ con b Các hệ cơ sở này

là hoàn toàn ñầy ñủ, trực giao và chuẩn hóa Chúng ta chọn {a bi j = ai ⊗ bj } là

hệ cơ sở của các trạng thái của hệ lớn

Xét ñại lượng vật lí A của hệ con a mà chúng ta cần nghiên cứu, ñại lượng vật lí này chỉ tác dụng lên các biến của hệ con a Giá trị trung bình của A ñược tính theo công thức

( )

a

A =Tr ρ A (1.47)

( )a

ρ ñược gọi là ma trận rút gọn của hệ con a, ma trận này thu ñược từ ma trận ρ

của hệ lớn bằng cách lấy vết từng phần trên hệ cơ sở { }bi của hệ con b

1.3 Phương trình master cho hệ lượng tử mở

Xét một hệ mở lượng tử S tương tác với môi trường E ðộng lực học lượng

tử chính xác cho hệ lớn ñược ñiều chỉnh bởi phương trình Liouville lượng tử ñối với

ρ

= − ρ , (1.50) trong ñó H là Hamiltonian của hệ lớn tot

H =H+H +H , (1.51)

ở ñây H và H là Hamiltonian của hệ S và môi trường E, còn E H là Hamiltonian inttương tác của hệ và môi trường

Trạng thái ñộng lực học của hệ S ñược mô tả bởi ma trận mật ñộ rút gọn ρ

Ma trận này thu ñược từ ma trận ρ bằng cách lấy vết trên cơ sở của không gian totHilbert của các véctơ trạng thái của môi trường Phương trình chuyển ñộng của ma trận mật ñộ rút gọn của hệ S ñược gọi là phương trình master (hay phương trình tốc

ñộ (rate))

Từ phương trình Liouville lượng tử ñối với ma trận mật ñộ của hệ lớn ρtot, chúng ta có thể thu ñược phương trình vi - tích phân master của ma trận mật ñộ rút gọn ρ của hệ mở S Bằng cách, nếu tương tác giữa hệ và môi trường của nó là yếu

và sự biến thiên của các trường vật lí của môi trường là chậm thì chúng ta có thể áp dụng gần ñúng Markov Trong gần ñúng Markov, môi trường ñược giả sử là rất

nhanh chóng quên ñi sự tự tương quan bên trong của nó ñể có thể thành lập sự diễn biến tương tác với hệ ðiều này có nghĩa rằng nếu bất kì sự tương quan ñộng lực lượng tử giữa các phần của môi trường ñã ñược thành lập mà bị phá hủy trong khoảng thời gian τcorr thì khoảng thời gian này phải nhỏ hơn nhiều so với khoảng thời gian ñặc trưng τ ñối với ma trận mật ñộ ρ của hệ S thay ñổi ñáng quan tâm S

Sự giả thiết τcorr << τ tạo thành gần ñúng Markov [22] Do ñó, chúng ta có thể mở Srộng giới hạn trên của tích phân thành vô hạn dẫn ñến phương trình master của ma trận mật ñộ của hệ mở lượng tử S trở thành phương trình vi phân ñịnh xứ theo thời gian Phương trình này có dạng

[ ]

d

i H, Ldt

ρ

= − ρ + ρ , (1.52) trong ñó L ñược gọi là siêu toán tử Liouvillian Toán tử tuyến tính này gồm hai phần

L ρ là hoàn toàn dương mô tả tác dụng tiêu tán và lệch pha của môi trường lên hệ S

1

2

δ = ∑Γ , (1.55) trong ñó hA là một hằng số thực, Γ là các vi tử tác dụng lên các véctơ trạng thái Atrong không gian Hilbert của hệ S

tử Γ Một trường hợp ñặc biệt của hệ thức (1.56) gọi là công thức Linblad [51] có Adạng

Chương 2- HÀM GREEN CỦA ELECTRON TRONG CHẤM

LƯỢNG TỬ MỘT MỨC

2.1 Hệ phương trình Dyson

Chúng tôi xét transistor một ñiện tử (single electron transistor-SET) bao gồm

QD ñược liên kết với hai ñiện cực thông qua hai hàng rào thế Electron truyền tải qua SET ñã ñược nghiên cứu nhiều, kể cả về mặt lí thuyết lẫn thực nghiệm [27, 28,

29, 32, 37, 42, 43, 44, 60, 63, 65, 68, 75, 82, 83, 84, 88, 92] Hamiltonian toàn phần của hệ electron trong SET này ñược giả sử có dạng

ở ñây c và c+σ là các toán tử hủy và sinh electron ở mức năng lượng E trong 0

QD, aσ( )k , bσ( )k và a+σ( )k , b+σ( )k là các toán tử hủy và sinh các electron với véctơ xung lượng k trong hai ñiện cực; µ , µa, µ là các thế hóa học tương ứng btrong QD và các ñiện cực; V k và a( ) V k là các hằng số liên kết trong b( )

Hamiltonian tương tác hiệu dụng mô tả hiệu ứng chui hầm

ðể nghiên cứu các hàm Green chúng tôi sử dụng biểu diễn Heisenberg

Các công thức này không những sử dụng cho hình thức luận thời gian thực

mà còn sử dụng ñối với thời gian phức trong hình thức luận Keldysh Trong các số hạng của các toán tử ở vế bên phải của các công thức (2.2), chúng tôi ñịnh nghĩa các hàm Green như sau

và T là kí hiệu trật tự dọc theo ñường (contour) Keldysh C trong mặt phẳng thời Cgian phức ñược trình bày như hình 2.1

Áp dụng phương trình Heisenberg và các hệ thức phản giao hoán ñồng thời gian giữa các toán tử sinh và hủy electron, chúng tôi thu ñược phương trình chuyển ñộng cho các toán tử có dạng sau

Gσσ′ t − t′

z 0