PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM NĂM HỌC 2012 2013 Môn Toán (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn b[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN QUẢNG XƯƠNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán (Thời gian: 120 phút - không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Câu 2 (2 điểm):
1) Cho đa thức: chia hết cho đa thức Hãy tìm a, b, c
2) Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) (1 + 2x)(1 – 2x) – x (x + 2)(x – 2) b) a4 + 64
Câu 3 (2 điểm):
a) Chứng minh rằng nếu: và x = by + cz; y = ax + cz;
z = ax + by thì:
b) So sánh 2 số:
Câu 4 (3 điểm):
1) Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy các điểm E, F sao cho DE = BF Chứng minh AFCE là hình bình hành
2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng ở miền ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, BAHK Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành KBEQ, P là đỉnh thứ tư của hình bình hành FCDP Chứng minh rằng:
a) PFC = KQB
b) PAQ là tam giác vuông cân
Câu 5 (1 điểm): Chứng minh rằng biểu thức: chia hết cho 27 với n
là số tự nhiên
Họ tên: Số báo danh :
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN QUẢNG XƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2012-2013 - MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1
(2đ)
a) Điều kiện:
Ta có:
0,25 đ 0,5 đ
0,25 đ b) Ta có: (do x2 0 và x2 + 1 > 0)
Suy ra: A 0 => khi x2 = 0 x = 0 không thỏa mãn điều kiện Chứng minh: biểu thức không có giá trị nhỏ nhất
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu 2
(2đ)
1) Chia đa thức P(x) cho (x -1) ta được và
dư là: a + b + c + 1 Theo giả thiết ta có: a + b + c + 1 = 0
Ta lại chia cho (x - 1) được = x2 + 2x + (a+3) và dư là: 2a + b +
4 Theo giả thiết ta có: 2a + b + 4 = 0 vì P chia hết cho (x – 1)
Ta lại chia cho (x – 1) ta được số dư là: a + 6 Số dư này bằng 0 Suy ra: a = -6 Từ đó: b = -2a – 4 = 8 và c = -a – b – 1 = -3
Vậy: a = -6; b = 8; c = -3
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2) a 1 – 4x2 – x(x2 – 4) = 1 – x3 - 4x(x – 1)
= (1 – x)(1 + 5x + x2) b
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 3
(2đ)
a) Ta có: x + y = 2cz + ax + by = 2cz + z => 2cz = x + y - z Suy ra: c = =>
Tương tự ta có:
Vậy:
0,25 đ
0,25 đ
Vậy: B = 2A
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu 4
(3đ) 1) Gọi I là giao điểm của AC và BD => I là trung điểm của AC (1)Theo giả thiết : DE = BF mà ID = IB (ABCD là hình bình hành) => IE 0,5 đ
Trang 3= IF => I là trung điểm của EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AFCE là hình bình hành
I
E
F
0,5 đ
2) a Ta chứng minh : PFC = BCA = KQB (c.g.c)
Suy ra: PFC = KQB (đpcm)
b Theo câu a) ta có: PCF = KBQ do đó: ACP = QBA
=> APC = QAB (c.g.c)
Suy ra: AP = AQ (1)
Mặt khác ta có: QAP = QAB + BAC + CAP
= CPA + PCF + CAP
= 1800 - ACP + PCF
= 1800 - ACF = 1800 – 900 = 900 (2)
Từ: (1) và (2) suy ra đpcm
B
E
D
K
H
Q
P
0,5 đ 0,5 đ 0.25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Câu 5 Ta có: (n chữ số 9)
Trang 4(1 đ)
= 9(11…1 + 2n) (n chữ số 1)
Tích này chia hết cho 9 Ta chứng minh tổng trong ngoặc chia hết cho
3
Ta có: 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (n chữ số 1)
Số n và số có tổng chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho 3
(theo điều kiện chia hết cho 3) nên: 11…1 – n chia hết cho 3
0,5 đ
0,5 đ
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
………
Trang 5PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN QUẢNG XƯƠNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán (Thời gian: 120 phút - không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Câu 2 (2 điểm):
1) Cho đa thức: chia hết cho đa thức Hãy tìm a, b, c
2) Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) (1 + 2x)(1 – 2x) – x (x + 2)(x – 2) b) a4 + 64
Câu 3 (2 điểm):
a) Chứng minh rằng nếu: và x = by + cz; y = ax + cz;
z = ax + by thì:
b) So sánh 2 số:
Câu 4 (3 điểm):
1) Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy các điểm E, F sao cho DE = BF Chứng minh AFCE là hình bình hành
2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng ở miền ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, BAHK Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành KBEQ, P là đỉnh thứ tư của hình bình hành FCDP Chứng minh rằng:
a) PFC = KQB
b) PAQ là tam giác vuông cân
Câu 5 (1 điểm): Chứng minh rằng biểu thức: chia hết cho 27 với n
là số tự nhiên
Họ tên: Số báo danh :
Trang 6PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN QUẢNG XƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2012-2013 - MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1
(2đ)
a) Điều kiện:
Ta có:
0,25 đ 0,5 đ
0,25 đ b) Ta có: (do x2 0 và x2 + 1 > 0)
Suy ra: A 0 => khi x2 = 0 x = 0 không thỏa mãn điều kiện Chứng minh: biểu thức không có giá trị nhỏ nhất
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu 2
(2đ)
1) Chia đa thức P(x) cho (x -1) ta được và
dư là: a + b + c + 1 Theo giả thiết ta có: a + b + c + 1 = 0
Ta lại chia cho (x - 1) được = x2 + 2x + (a+3) và dư là: 2a + b +
4 Theo giả thiết ta có: 2a + b + 4 = 0 vì P chia hết cho (x – 1)
Ta lại chia cho (x – 1) ta được số dư là: a + 6 Số dư này bằng 0 Suy ra: a = -6 Từ đó: b = -2a – 4 = 8 và c = -a – b – 1 = -3
Vậy: a = -6; b = 8; c = -3
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2) a 1 – 4x2 – x(x2 – 4) = 1 – x3 - 4x(x – 1)
= (1 – x)(1 + 5x + x2) b
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 3
(2đ)
a) Ta có: x + y = 2cz + ax + by = 2cz + z => 2cz = x + y - z Suy ra: c = =>
Tương tự ta có:
Vậy:
0,25 đ
0,25 đ
Vậy: B = 2A
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu 4
(3đ) 1) Gọi I là giao điểm của AC và BD => I là trung điểm của AC (1)Theo giả thiết : DE = BF mà ID = IB (ABCD là hình bình hành) => IE 0,5 đ
Trang 7= IF => I là trung điểm của EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AFCE là hình bình hành
I
E
F
0,5 đ
2) a Ta chứng minh : PFC = BCA = KQB (c.g.c)
Suy ra: PFC = KQB (đpcm)
b Theo câu a) ta có: PCF = KBQ do đó: ACP = QBA
=> APC = QAB (c.g.c)
Suy ra: AP = AQ (1)
Mặt khác ta có: QAP = QAB + BAC + CAP
= CPA + PCF + CAP
= 1800 - ACP + PCF
= 1800 - ACF = 1800 – 900 = 900 (2)
Từ: (1) và (2) suy ra đpcm
B
E
D
K
H
Q
P
0,5 đ 0,5 đ 0.25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Câu 5 Ta có: (n chữ số 9)
Trang 8(1 đ)
= 9(11…1 + 2n) (n chữ số 1)
Tích này chia hết cho 9 Ta chứng minh tổng trong ngoặc chia hết cho
3
Ta có: 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (n chữ số 1)
Số n và số có tổng chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho 3
(theo điều kiện chia hết cho 3) nên: 11…1 – n chia hết cho 3
0,5 đ
0,5 đ
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
………
…,