Microsoft Word 61 CHUYÃ−N VĨNH LONG 2021 2022 doc x 1 2x x x x x x +1 x +1 26 43 x SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TỈNH VĨNH LONG Năm học 2021 2022 Môn thi TOÁN Thời gi[.]
Trang 1x 1
2x x
x x x x +1x +1
26
43 x
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức A = x
minh B > A
và B = 1 với x 0 , x 1. Rút gọn A và chứng
b) So sánh 24 + và 10
Câu 2 (1,0 điểm)
Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = m 1 x + m + 4 (m là tham số) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Giải phương trình: = x 1
x +
b) Giải hệ phương trình:
x
x y
y =
1 2 3
a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
2 y + 2xy + y = 32x
Cho hình vuông ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm,
A cắt tia CD tại F
a) Tính diện tích AEF
BE = 3 BC Tia Ax vuông góc với AE tại
4
b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K Chứng minh: AE 2 = KF CF
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho O ; R và điểm M sao cho OM = 2R Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với O (A, B là các tiếp điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A) Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB Tiếp tuyến của O tại C cắt OI tại Q Chứng minh:
a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn
b) AMB là tam giác đều.
c) OQ MQ
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho số thực x thỏa mãn 1 x 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 3 + x + 6 x
x 3 x
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2x x
2x x
x x x x +1x +1
x 1 26
x
x
x x
x 1
2 x 1
x 1 x 2 x +1x 1 x
x
x x
x
26
43 x
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức A = x
minh B > A
và B = 1 với x > 0 , x 1 Rút gọn A và chứng
b) So sánh 24 + và 10
Lời giải
x 2 x x x ( 2 1 )
a) Với x > 0 , x 1 Ta có: A = =
x ( 1)
x + 1 ( + 1 ) ( x + 1 )
Ta lại có: B A = x ( 1) = x 2 +1 = ( 1)2
> 0 với x > 0 , x 1.
B > A (đpcm)
b) Ta co:
(
24 + 26 )2
= 24 + 26 + 2
= 50 + 2 < 50 + 2 = 100 = 102
24 + < 10
Câu 2 (1,0 điểm)
Cho Parabol (P):
y = x2 và đường thẳng (d): y = (m 1) x + m + 4 (m là tham số) Tìm m để (d) cắt
(P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung
Lời giải
Xét PT hoành độ giao điểm:
x2 = (m 1) x + m + 4 x2 (m 1) x m 4 = 0 (*)
Ta có: = (m 1)2 4 (m 4) = m2 2m +1+ 4m +16 = (m2 + 2m +1) +16 = (m +1)2 +16 > 0 m
pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt m
Theo Vi-et ta có: x1 + x2 = m 1
1 2 = m 4
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung thì pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu hay:
m 4 < 0 m > 4
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Giải phương trình: = x 1
x +
b) Giải hệ phương trình:
x
x y
y =
1 2 3
a) ĐK: 43 x
0 x 43 x y
Trang 3
Phương trình x 1 0
x 1 1 x 43
1 x 43 x = 7
43 x = ( x 1)2 43 x = x2 2x +1 x2 x 42 = 0 ( x 7)( x + 6) = 0
Trang 4
(
b) ĐK: x y
2x +
x y 2x = 1 2x ( x y ) + 2x = 1( x y) (1)
Hệ phương trình 2 y 4 y ( x y ) 2 y = 3( x y ) (2)
x y
Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: 2x ( x y ) + 2x + 4 y ( x y ) 2 y = 2 ( x y )
2 ( x y )( x + 2 y ) = 0 x y = 0 x + 2 y = 0 x = y
x = 2 y ( ( TM KTM ) )
Với
x = 2 y 2 y + 2 y = 1 y = 7
x = 7
x = 7
Thử lại ta thấy 6
y = 7
(TM )
x = 7
Vậy hệ pt có nghiệm là: 6
y = 7
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
Lời giải x
2 y + 2xy + y = 32x
a) Giả sử 6 số nguyên liên tiếp lần lượt là:
x ; x +1; x + 2; x + 3; x + 4; x + 5 ( x)
Ta có: x2 +
( x +1)2 +( x + 2)2 + ( x + 3)2 + ( x + 4)2 + ( x + 5)2
= x2 + x2 + 2x +1+ x2 + 4x + 4 + x2 + 6x + 9 + x2 + 8x +16 + x2 +10x + 25
= x2 + x2 + 2x +1+ x2 + 4x + 4 + x2 + 6x + 9 + x2 + 8x +16 + x2 +10x + 25
= 6x2 + 30x + 55
b) Ta có: x2 y + 2xy + y = 32x y x2 + 2x +1 = 32x y = 32x
( x +1)2
Do: x ; y + 32x
( x +1)2 32x ( x + 2) ( x +1)2 32x2 + 64x + 32 32 ( x +1)2 32 ( x +1)2
( x +1)2 U (32) = 1; 2; 4;8;16;32 ( x +1)2 4;16 (Vì: ( x +1)2 > 1 và là số chính phương)
TH1: ( x +1)2 = 4 x2 + 2x 3 = 0 x = 1 (TM ) y = 8 (TM )
x = 3 ( KTM )
TH2: ( x +1)2 = 16 x2 + 2x 15 = 0 x = 3
(TM ) y = 6 (TM )
x = 5 ( KTM )
Vậy nghiệm của pt là: ( x; y ) = (1;8) ; (3; 6)
Trang 5BC biết AB = 4cm, A cắt tia CD tại F.
BE = 3 BC Tia Ax vuông góc với AE tại
4
Trang 6 B
(
x
3
1
I
1
42 + 32 AB2 + BE2
a) Tính diện tích AEF
b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K Chứng minh: AE 2 = KF CF
Lời giải
E
F
a) Ta có: A = A(cùng phụ với A )
A = A2 (cmt ) Xét ABE và ADF có:
=
D = 90 ) ( gt
ABE = ADF ( g c g )
AD = AE (2 cạnh tương ứng) AEF cân tại A
Mà: BE = 3 BC (gt)
4 BE = 3 4 = 3(cm)
4
Theo Pi-Ta-Go ta có: AE =
b) Vì: AEF cân tại A (cmt)
E
=
1 =
F1 = 45
= 5(cm) S AEF
= AE AF2 = 5.5 2 = 12, 5 cm2
Mà: FI = EI ( gt ) AI là trung trực của EF AI EF IAE ; IAF cân tại I.
FI = EI = AI
I =
C
Trang 7Xét IKF và CEF có:
F
chung IKF ∽ CEF ( g g )
CF =EF KF.CF = IF.EF
KF.CF = IF.EF = IF.(2IE ) = 2IE2 = IE 2 + IA2 = AE 2 (đpcm)
Trang 8Q I
C B
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho (O ; R
) và điểm M sao cho OM = 2R Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp
điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A) Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB Tiếp tuyến của (O) tại C cắt OI tại Q Chứng minh:
a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn
b) AMB là tam giác đều.
c) OQ MQ
Lời giải
M
a) Ta có:
IC = ID ( gt ) OI CD tại I (Đường kính vuông góc với dây cung đi qua trung điểm)
OI là đường trung trực của CD OQ là đường trung trực của CD QD = QC
Xét DOQ và COQ có: QD = QC (cmt ) ; OC = OD = R ( gt ) ; OQ chung
DOQ = COQ (c.c.c)
OCQ = ODQ = 90
DOCQ nội tiếp.
b) Xét AOM tại A có: sin
M1
= OA OM =
R
= 1
M
= 30
Gọi H là giao điểm của AB và OM ta có: MA = MB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Mà: OA = OB = R OM là đường trung trực của AB OM AB tại H
HAM
= 90
30 = 60 hay
Mặt khác: ABM cân tại A (Vì: MA = MB) ABM đều (đpcm)
c) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
OI.OQ = OD2 = R2
OH OM =
OA
OI.OQ = OH OM
2
= R2
Xét OHI và OQM có: OI
= OM (cmt ) ; O
Trang 9(c g c)
OQM
=
OHI
= 90
OQ MQ (đpcm)
Câu 7 (1,0 điểm)
Trang 10T 6
(
x = 2
x = 2
Cho số thực x thỏa mãn 1 x 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 3 + x + 6 x
x 3 x
3 + x 6 x (3 + x)(3 x) + (6 x) x
Lời giải
9 x2 + 6x x2 2x2 6x 9
x2 3x
T (x2 3x) = 2x2 6x 9 Tx2 3Tx 2x2 + 6x + 9 = 0 (T 2) x2 + (6 3T ) x + 9 = 0 (*)
Có: = (6 3T )2 4 (T 2).9 = 36 36T + 9T 2 36T + 72 = 9 (T 2 8T +12)
Để phương trình (*) có nghiệm thì 0 9 (T 2 8T +12) 0 T 2 8T +12 0 T 2
Với T = 2 2x2 6x 9
x2 3x = 2 2x
2 6x 9 = 2x2 – 6x 9 = 0 (vô lý)
Với T = 6 x2 3x = 6 2x – 6x 9 = 6x 18x 4x 12x + 9 = 0 x = 2 (TM )
T Min = 6 x = 3
Vì: 1 x 2 Thay x = 2 vào T ta được: T =
x2 3x = 2 = 6, 5 2 2x – 6x 9) = 13(x – 3x)
4x2 12x 18 = 13x2 39x 9x2 27 x +18 = 0 x2 3x + 2 = 0 x = 1 (TM )
T Max
= 6,
x = 1
- THCS.TOANMATH.com
Trang 11 -………