Preview một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính số phức và ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sinh viên: Ngan - Kẹo Pạ Sớt Lớp: K5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGAN – KẸO PẠ SỚT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sinh viên: Ngan - Kẹo Pạ Sớt Lớp: K55 ĐHSP Toán

Người hướng dẫn : TS Hoàng Ngọc Anh

Sơn La, năm 2018

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khoá luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Dự kiến đóng góp của khóa luận 2

7 Cấu trúc khoá luận 2

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Hệ phương trình tuyến tính 3

1.1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính 3

1.1.2 Phân loại hệ phương trình tuyến tính 4

1.2 Ma trận 6

1.2.1 Các khái niệm 6

1.2.2 Các tính chất của ma trận 8

1.3 Định thức 8

1.3.1 Định nghĩa định thức 8

1.3.2 Tính chất của định thức 8

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 10

2.1 Phương pháp thế 10

2.1.1 Phương pháp giải 10

2.1.3 Bài tập áp dụng 11

2.2 Phương pháp cộng đại số 12

2.2.1 Phương pháp giải 12

2.2.2 Một số ví dụ 13

2.2.3 Bài tập áp dụng 14

2.3 Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo 18

2.3.1 Phương pháp giải 18

DI ỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TR ẦN H ƯNG ĐẠ O TP.QUY NH ƠN http://daykemquynhon.ucoz.com N ơi b ồi d ưỡ ng ki ến th ứ c Toán - Lý - Hóa cho h ọc sinh c ấp 2+3 /

2.3.3 Bài tập áp dụng 20

2.4 Phương pháp dùng định thức 24

2.4.1 Phương pháp giải 24

2.4.2 Một số ví dụ 25

2.4.3 Bài tập áp dụng 26

2.5 Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss 31

2.5.1 Phương pháp giải 31

2.5.2 Một số ví dụ 32

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

DI ỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TR ẦN H ƯNG ĐẠ O TP.QUY NH ƠN http://daykemquynhon.ucoz.com N ơi b ồi d ưỡ ng ki ến th ứ c Toán - Lý - Hóa cho h ọc sinh c ấp 2+3 /

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn khoá luận

Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa

to lớn trong việc nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế

Rất nhiều sinh viên khi học môn Toán cao cấp nói chung và môn Đại số tuyến tính nói riêng đều có câu hỏi: Tại sao phải học những môn này mà khi ra trường chúng ta chỉ dạy toán Trung học phổ thông, kiến thức ở đó đâu liên quan

gì đến kiến thức toán cao cấp vốn khó này? Nhưng trên thực tế, đối với tôi hệ phương trình tuyến tính là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán học phổ thông của nước CHDCND Lào Đề thi tuyển sinh vào đại học của nước CHDCND Lào hàng năm đều có câu liên quan đến hệ phương trình tuyến tính

Đó cũng là phần học quan trọng ở nội dung đại số lớp 12

Từ khá lâu nay việc tìm cách tổng hợp các phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính cũng đã được rất nhiều người quan tâm Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính Tuy nhiên đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ

cho kết quả tốt nhất đó là việc nghiên cứu rất quan trọng

Vì vậy, với mong muốn được tìm hiểu, tổng hợp và phân loại các phương

pháp giải hệ phương trình tuyến tính, tôi đã chọn nghiên cứu khoá luận: “Một số

phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng quan kiến thức về hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức

Từ đó nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và làm rõ các kiến thức, các phương pháp nói trên để phân tích, tìm lời giải các bài tập áp dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khoá luận tập trung nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

4 Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Giáo trình Toán học cao cấp về Đại số tuyến tính và sách giáo khoa môn Toán lớp 12 của nước CHDCND Lào

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

6 Dự kiến đóng góp của khóa luận

Khoá luận trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về hệ phương trình tuyến tính và các ví dụ áp dụng đối với mỗi phương pháp giải hệ

phương trình tuyến tính

7 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính



 

 (1) Trong đóa bij, i cho trước (j1, ;n i1, )m thuộc K,x j(j 1, )n là các ẩn số

gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát (gồm m phương trình, n ẩn số) aijgọi

có được bằng cách thêm vào hệ

số tự do vào cột thứ (n+1) gọi là ma trận bổ sung

là: A.x = β

- Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số c c1 , 2 , ,c nt K sao cho khi thay



j j

x c thì mọi đẳng thức trong hệ (1) đều là những đẳng thức số đúng

- Hệ phương trình (1) được gọi là có nghiệm (hay tương thích) nếu tập hợp các nghiệm của nó khác rỗng Ngược lại nếu tập hợp các nghiệm là tập rỗng thì

hệ (1) gọi là vô nghiệm

- Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu chúng có cùng ẩn số và cùng tập nghiệm

1.1.2 Phân loại hệ phương trình tuyến tính a) Hệ Cramer

Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn số mà ma trận các hệ số của nó không suy biến (detA0) gọi là hệ Cramer

Hệ Cramer có duy nhất nghiệm

x j n (ở đó  là định thức của ma trận A)

b) Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ij

a x b i 1, m có nghiệm

khi và chỉ khi hạng A = hạngA bs

Phương pháp giải:

Cách 1: Phương pháp dùng định thức Cách giải: Giả sử hạng A hạng bs 

A k

- Nếu kn thì hệ có duy nhất nghiệm (sử dụng cách giải như hệ Cramer)

- Nếu k n thì hệ vô số nghiệm (chọn k ẩn chính, còn n k ẩn còn lại coi

là ẩn tự do )

Cách 2: Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss

Nhận xét: Cho hệ phương trình tuyến tính : ij

a x b i m (1)

Nếu dùng các phép biến đổi sau đây thì ta vẫn nhận được một hệ phuơng trình tương đương với hệ (1), nghĩa là hệ có cùng tập nghiệm với hệ (1)

- Đổi chỗ cho hai phương trình của hệ

- Nhân 2 vế của một phương trình nào đó với số k0

- Cộng vào 1 phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại thì ta được một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ phương trình đã cho

Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, ta sẽ dùng 3 phép biến đổi trên cho ma trận bổ xung để biến đổi ma trận đó về dạng tam giác hay dạng hình thang Hay đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mới tương đương, sao cho các phương trình về sau số ẩn càng ít đi

c) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính mà các hệ số tự do của nó đều bằng 0 gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Như vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng:

ij 1

0, 1, (1')

n j j

1.2 Ma trận 1.2.1 Các khái niệm a) Định nghĩa

Cho ma trận A   aij Đổi dòng thành cột (cột thành dòng) của ma trận

A, ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A Kí hiệu: A t

Đường thẳng đi qua a a11, 22, ,a được gọi là đường chéo chính của ma nn

trận A, mỗi phần tử a được gọi là phần tử chéo của ii A

- Ma trận vuông A(aij) cấp n được gọi là ma trận chéo cấp n nếu

cho

AB = BA = I (I - Ma trận đơn vị) thì ma trận A gọi là khả nghịch và ma trận B gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1

- Một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại

Loại 2: A thay đổi khi Đổi chỗ hai dòng làm định thức đổi dấu

Loại 3: A không thay đổi khi:

- Nhân một số với một dòng rồi cộng vào dòng khác

- Đưa thừa số chung của một dòng ra ngoài

- Nếu một dòng là tổ hợp tuyến tính làm cho A bằng tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

2.1 Phương pháp thế 2.1.1 Phương pháp giải

Bước 1: Chọn một phương trình biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

Bước 2: Thế vào phương trình còn lại

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

Theo quy tắc thế hệ phương trình tương đương với hệ phương trình sau:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( ; ) (3; 2)x y  

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau: 2 5 (1)

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (1) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

và có hệ phương trình tương đương sau: 5 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là :( ; )x y (2;1)

Ví dụ 3 (Phương pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là

nghiệm của hệ phương trình 3

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

và có hệ phương tình tương đương sau: 4 3 9

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (1) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

và có hệ phương trình tương đương sau: 2 3

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

và có hệ phương trình tương đương sau: 2 2 3

Theo quy tắc thế ta được:

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

và có hệ phương trình tương đương sau: 2 3 1

Cách giải Bước 1: Nhân hai vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao

cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong

đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương

Lời giải: Ta thấy rằng: khử biến y bằng cách nhân 2 vào hai vế phương

trình (2), sau đó cộng từng vế của hai phương trình ta sẽ được hệ phương trình tương đương với hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; ) (2;1)x y 

Ví dụ 3 (Phương pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là

nghiệm của hệ phương trình: 3 5 0

A.(1;2) B.(1;2) C.(10;5) D.(10;5)

Đáp số: Phương án A 2.2.3 Bài tập áp dụng

Bài 1 Giải hệ phương trình sau 2 0 (1)

Lời giải: Nhân 1

2 vào hai vế của phương trình (2), sau đó cộng từng vế của hai phương trình ta sẽ được hệ phương trình tương đương sau:

2 0

10

Vậy hệ phương trình vô số nghiệm

Bài 2 Giải hệ phương trình sau

Lời giải: Lấy (1) 2(2) (2)và lấy (1) 2(3) (3) ta sẽ được hệ

phương trình tương đương sau

Lời giải: Nhân 1

4 vào cả hai vế của (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x5,y 9,z  1

Bài 4 Giải hệ phương trình sau

Lời giải: Nhân 4(1) (2) (2) và nhân 5(1) (3) (3) ta sẽ được hệ

tương đương sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là :x 16,y8,z7

Bài 5 Giải hệ phương trình sau:

Nhân 2(1) (2) (2) và nhân 3(1) (3) (3) ta sẽ được hệ phương

trình tương đương như sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x2,y 1,z 1

Bài 6 Giải hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x 3,y 2,z 1

Bài 7 Giải hệ phương trình sau

Lời giải: Nhân 3(1) (2) (2) và nhân 5(1) (3) (3) ta sẽ được hệ

phương trình tương đương như sau:

28112

183

11

1711

Lời giải: Chia cả hai vế của phương trình (3) cho 2 và sau đó đổi phương

trình (3) thành phương trình (1) và ngược lại ta có:

Nhân 4(1)(2)(2)và nhân 7(1)(3)(3) ta sẽ được hệ phương trình

tương đương như sau:

2.3 Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo 2.3.1 Phương pháp giải

Xét phương trình ma trận AX B, nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo

là A ta có thể tìm được nghiệm của hệ phương trình 1

Nghĩa là từ AX B ta được A AX1  A B hoặc 1 X A B 1

Vậy ta tìm được nghiệm của hệ phương trình là:X  A B 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:x2,y1

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

=

91011

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:x1 1,x2 2 và x3 3

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau:

Do

1 3 1det( ) 2 5 3 45 27 2 ( 15 54 3) 20

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x1,y2,z 3.

Ví dụ 4 (Phương pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là

nghiệm của hệ phương trình

Bài 1 Giải hệ phương trình sau: 2 3 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x 8,y 5.

Bài 2 Giải hệ phương trình sau: 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:x5,y 4

Bài 3 Giải hệ phương trình sau: 4 5 2

Lời giải: Từ hệ phương trình ta viết được 4 5 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x3,y 2

Bài 4 Giải hệ phương trình sau:

Do

2 1 3det( ) 1 1 1 3 6 9 4 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:x2,y 3,z   1.

Bài 5 Giải hệ phương trình sau:

620

KHOA: TOÁN – LÝ - TIN

- -

TÔ THỊ HOÀN

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN – LÝ - TIN

- -

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sinh viên: Tô Thị Hoàn Lớp: K55 ĐHSP Toán Người hướng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2018

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Ngọc Anh (2012), Đại số tuyến tính, Giáo trình nội bộ Trường

[4] Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập đại số tuyến tính, NXB Đại học

Quốc Gia Hà Nội

[5] Nguyễn Đình Trí (2002), Toán học cao cấp tập một, NXBGD

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K55 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2018

Người thực hiện khóa luận

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khóa luận 2

6 Cấu trúc khóa luận 2 Chương 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1 1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức 3 1.2 Định nghĩa số phức 6 1.2.1 Định nghĩa 6 1.2.2 Định lý 6 1.3 Dạng đại số của số phức 6 1.3.1 Xây dựng số i 6 1.3.2 Biểu diễn hình học của số phức 7 1.3.3 Phép cộng và phép trừ số phức 8 1.3.4 Phép nhân số phức 9 1.3.5 Số phức liên hợp và module của số phức 10 1.3.6 Phép chia cho số phức khác không 11 1.3.7 Căn bậc hai của số phức 111.4 Dạng lượng giác của số phức 12

1.4.1 Argument của số phức z0 12

1.4.2 Dạng lượng giác của số phức 12 1.4.3 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 12 1.4.4 Công thức Moivre 13 1.4.5 Căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác 13 Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC 14

VÀ ĐẠI SỐ 14 2.1 Ứng dụng số phức trong lượng giác 14 2.1.1 Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác 14 2.1.2 Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác 16 2.1.3 Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn 20 2.1.4 Tìm căn bậc n của số phức 21 2.1.5 Bài tập tự luyện 23 2.2 Ứng dụng số phức trong đại số 24 2.2.1 Ứng dụng số phức giải hệ phương trình 24 2.2.2 Ứng dụng số phức giải phương trình bậc hai 34 2.2.3 Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức 39 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47