TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN CÁC KHÍ BOSE TƯƠNG TÁC YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC S. TSKH

Ngưng tụ Bose-Einstein BEC đã được quan sát thành công bằng thựcnghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trong mộtthể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Trần Hữu Phát,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nềntảng để tôi hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngàycàng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việccùng thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sauĐại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội và các Giáo sư, PhóGiáo Sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thứcquý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trongthời gian qua

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thântrong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôitrong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Nguyễn Xuân Tuấn, học viên cao học khóa 2011 – 2013chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Tôi xin cam đoan đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của

riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùngvới các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàntoàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 9 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Xuân Tuấn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3

1.1 Giới thiệu 3

1.2 Làm lạnh nguyên tử 5

1.3 Ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí Bose lí tưởng 6

CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN CÁC KHÍ BOSE TƯƠNG TÁC YẾU 11

2.1 Phương pháp hàm cho khí Bose phi tương đối tính 11

2.1.1 Hình thức trường phức 12

2.1.2 Hình thức trường thực 13

2.2 Hạt nhân Boson trong xấp xỉ một vòng 16

2.2.1 Trạng thái cơ bản cổ điển 17

2.2.2 Sự dao động Gaussian 18

2.2.3 Tái chuẩn hóa 20

2.2.4 Ngưng tụ và áp suất ở nhiệt độ không 22

2.3 Thế năng hiệu dụng ở nhiệt độ hữu hạn 25

2.3.1 Vòng hiệu chỉnh hiệu thế năng hiệu dụng 26

2.3.2 Đóng góp một vòng lặp cho năng lượng riêng 30

2.3.3 Ngưng tụ và áp suất ở nhiệt độ hữu hạn 37

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) đã được quan sát thành công bằng thựcnghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trong mộtthể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độtuyệt đối bằng laser Đó là BEC từ khí Bose Sau đó không lâu BEC từ khíFermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định Phát kiến BEC đã mở ra mộtgiai đoạn phát triển như vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thựcnghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử Thực vậy, ngưng tụBose-Einstein được tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống

kê Bose-Einstein, vì thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rấtđặc biệt: là một chất lỏng lượng tử với tính kết hợp rất cao như các tia laser.Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuậtdùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trênthực nghiệm các BEC 2 thành phần từ phân tử khí gồm 2 thành phần khí khácnhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa 2thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn Đây chính là mộtmôi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượnglượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các váchngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực

Các chất lỏng lượng tử quen thuộc mà thực nghiệm đã phát hiện từ lâu là

3He và 4He Hiện nay thực nghiệm cũng đã khẳng định được các BEC cũng

là chất lỏng lượng tử và trong điều kiện nhất định cũng có tính siêu lỏng Từ

đó phát triển một phương hướng nghiên cứu đầy triển vọng, đó là nghiên cứucác hiện tượng lượng tử tương tự với những hiện tượng đã biết trong thủyđộng học cổ điển, chẳng hạn hiện tượng không ổn định Kelvin-Helmholtz,

không ổn định Rayleigh – Taylor Đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ

Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu” nghiên cứu một cách hệ thống sự

phụ thuộc của áp suất và năng lượng của hệ vào nhiệt độ tuyệt đối, đặc biệt là

ở gần đúng nhiệt độ thấp và ở gần đúng nhiệt độ cao

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Nghiên cứu tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khíBose tương tác yếu, chỉ ra được sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng

vào nhiệt độ T, vẽ được đồ thị liên hệ giữa áp suất và năng lượng vào nhiệt độ T ở gần đúng nhiệt độ thấp.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

- Hệ khí Bose tương tác yếu một thành phần

5 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn

- Phương pháp giải tích toán học

- Phương pháp tính số

6 Cấu trúc luận văn.

- Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein

- Chương 2: Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khíBose tương tác yếu

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose-Einstein, điều kiện đểxuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ,ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lí tưởng

1.1 Giới thiệu.

Ngưng tụ Bose-Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quansát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ trởthành chủ đề chính trong lí thuyết và thực nghiệm

Năm 1924, nhà vật lí học người Ấn Độ Satyendra Nath Bose đã gửiEinstein một bài báo, trong đó ông bắt nguồn từ định luật Planck trong bức xạcủa photon như khí của hệ hạt đồng nhất Einstein đã tổng quát hóa lí thuyếtcủa Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử mà

số lượng hạt được bảo toàn, và trong cùng năm, dự đoán rằng nhiệt độ đủthấp, các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ Chúngđược biết đến như một hiện tượng, gọi là ngưng tụ Bose-Einstein (BEC), xảy

ra đối với các hạt boson có tổng số spin nguyên

Ngưng tụ Bose-Einstein và quá trình ngưng tụ nó, được dự đoán cónhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều năm thí nghiệm đã cố gắng sản xuấtngưng tụ Bose-Einstein ở trong phòng thí nghiệm Cuối cùng vào năm 1995,nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm được điều hành bởi viện quốc gia về tiêuchuẩn và công nghệ và đại học Colorado ở Boulder, Colorado và viện côngnghệ Massachusetts (gọi tắt là MIT) đã thu được bằng chứng thuyết phục chongưng tụ Bose-Einstein trong khí loãng nguyên tử

Ở MIT đã xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose-Einsteinnguyên tử giống như laser, nói cách khác sóng nguyên tử có tính kết hợp.Trong nhiều năm thí nghiệm đã thành công trong việc quan sát sự kết hợp

trực tiếp và đã giải thích bước đầu “nguyên tử laser” tạo ra một chùm nguyên

tử kết hợp, tương tự photon phát ra bởi laser quang học Đồng thời các nhà líthuyết đã làm rõ nhiều vấn đề, đưa ra và đã phát triển cách thức mạnh mẽ để

mô phỏng thực nghiệm

Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bịảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tửkhác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh

dấu bởi bước sóng De Broglie

2 2

Vì khi khí được làm lạnh, sự nhòe tăng lên và có nhiều hơn một nguyên

tử ở mỗi hình lập phương kích thước dB Các hàm sóng của nguyên tử liền

kề sau đó chồng chất, các nguyên tử mất đi sự giống nhau và hành vi của khíđược chi phối bởi thống kê lượng tử Thống kê Bose-Einstein tăng đội ngộttạo cơ hội tìm nhiều hơn một nguyên tử trong cùng trạng thái, và chúng ta cóthể nghĩ sóng vật chất trong khí Bose như “dao động điều hòa” Kết quả làngưng tụ Bose-Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái cơ bản của khí.Einstein đã miêu tả quá trình như ngưng tụ không có tương tác làm cho nó làmột mô hình quan trọng của thống kê cơ học lượng tử Sự phân bố mật độngưng tụ được miêu tả bởi hàm sóng đơn vi mô với biên độ và pha được xácđịnh rõ, giống như một lĩnh vực cổ điển

1.2 Làm lạnh nguyên tử.

Ngưng tụ Bose-Einstein được trích dẫn như một hiện tượng quan trọngtrong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng chongưng tụ đến từ nghiên cứu về Hêli siêu lỏng Trong trường hợp của Hêli siêulỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quátrình chuyển đổi, mục đích lâu dài trong vật lí nguyên tử là đạt được BECtrong khí nguyên tử loãng, thách thức là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanhhoặc dưới 1µK đồng thời ngăn chặn nguyên tử ngưng tụ trở thành chất rắnhoặc chất lỏng Nỗ lực để có được ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thínghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành phaloãng, sau đó bị mắc kẹt bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi,cách tiếp cận này đã tiến đến rất gần quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sựtương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giớihạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ

Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy

từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử Những kĩthuật này đã thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh Nguyên tử ở nhiệt độ dưới

mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tửkiềm là rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser bởi vì quá trình cóquang học có thể được kích thích bởi laser có sẵn và bởi chúng có thuận lợi là

có cấu trúc mức năng lượng dễ làm mát ở nhiệt độ thấp, tuy nhiên nhiệt độthấp nhất mà làm mát bằng laser kĩ thuật có thể đạt được bị giới hạn bởi nănglượng photon đơn Các con đường thành công để ngưng tụ Bose-Einstein là

sự kết hợp hài hòa của phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, mộtkim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi,làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao được phép thoát ra khỏi mẫunguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm Sự va

chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bốvận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell-Boltzmannnhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậccường độ với nhược điểm duy nhất là số lượng của các nguyên tử bị mắc kẹtgiảm Thách thức trong việc làm mát cho kim loại kiềm là câu hỏi là: làm thếnào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi khôngđáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mật độ thấp, nơi mà ánhsáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử Mặt khác đòi hỏi phải cómật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, cần sản xuất tỉ lệ vachạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không để kéodài tuổi thọ của các khí bị mắc kẹt.

Cho bay hơi làm mát để làm việc, nguyên tử mất đi phải được cách linhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnhvực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phươngpháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường Sau khi nguyên tử bị mắckẹt và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và một điện thế được xâydựng xung quanh nguyên tử với một từ trường đồng nhất Điều này hạn chếcác nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ của không gian Nguyên tử chỉ cóthể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần thiết là ngắn hơn nhiều so với thờigian sống của một nguyên tử trong bẫy, điều này đòi hỏi một cái bẫy giam kínchứa mật độ cao Các thí nghiệm lần đầu tiên quan sát BEC là sử dụng bẫycực từ tuyến tính

1.3 Ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí Bose lí tưởng

Theo công thức của thống kê Bose-Einstein, số hạt trung bình có nănglượng trong khoảng từ  đến  d là bằng

( )( )

trong đó dN( ) là số các mức năng lượng trong khoảng từ  đến  d

Ta đi tìm dN( ) Theo quan điểm lượng tử, các hạt Boson chứa trongthể tích V có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie Vì vậy có thể xác

định dN( ) bằng cách áp dụng công thức

2 2

2

2

p m

Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, cho nên số trạng thái khả dĩứng với cùng giá trị của spin s của hạt g 2s1 Do đó, số các mức nănglượng trong khoảng  đến  d bằng

3

2 3

2( )

0

  (1.11)Thực vậy, hạt trung bình dn( ) chỉ có thể là một số dương, do đó, theo(1.9), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.9) là luôn luôn dương (nghĩa là

khi  0, để cho exp  

2 0

d d

3/2 0

x

xdx e

Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độnào đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn T , nghĩa là0

0

0    (1.16)Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên  0 Nhưng khi đó, đối với  0

điều kiện (1.10) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt N' N Thực vậy đối với

0

  và  0 điều kiện (1.10) có dạng phương trình (1.14), từ đó

3/2 '

0

N N

Còn các hạt còn lại N N ', cần phải được phân bố như thế nào đó khác

đi, chẳng hạn như tất cả các số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là

chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.

Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm0

ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ đượcphân bố trên các mức khác theo định luật

khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose Ở nhiệt độ không

tuyệt đối (T 0) tất cả các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức không

CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA NGƯNG TỤ

BOSE-EINSTEIN CÁC KHÍ BOSE TƯƠNG TÁC YẾU 2.1 Phương pháp hàm cho khí Bose phi tương đối tính.

Hàm sóng  ( , )x t cho một hạt tự do phi tương đối tính có khối

lượng m thỏa mãn phương trình Schrodinger

1 2

2

t i

m

   (2.1)Trong mô hình lượng tử hóa lần hai của hệ thống, nhiều hạt có hàm sóng( , )x t

 trở nên tương ứng với trường lượng tử Phương trình sóng (2.1) làphương trình chuyển động cổ điển, nó xuất phát từ phương trình SchrodingerLagrangian

ở đây chúng ta đã bao gồm cả các đóng góp từ thế hóa học.

Để tìm ra phương trình trạng thái thì áp suất như hàm của mật độ/

3/2 3

£2

ở đây ò là tenxơ phản đối xứng hai chiều với ab ò12 1 Sau khi biểu diễn tác

động tương ứng trong điều kiện của các thành phần Fourier phức trong (2.7),

hàm phân bố bây giờ được đưa bởi hàm tích phân

hai năng lượng e 1k và e 2k ở đây thực sự đều bằng e k k  

Từ hình thức hàm phân bố (2.17) chúng ta thấy rằng trong các số hạng

của các thành phần trường thực, tự do, lí thuyết trường phi tương đối tính là

tương tác ở cấp độ cơ bản Phần đường chéo của tác động di chuyển các

trường 1 và 2 ở thời gian cố định với đường truyền

:n :n (2.19)

của cường độ cho bởi tần số Matsubara Năng lượng tự do bây giờ thu được

trong chuẩn lí thuyết nhiễu loạn, cái mà hầu như không giải quyết đáng kể tới

tất cả các bậc trong tương tác Đầu tiên, chúng ta cần hàm phân bố tự do

Lấy logarithm, chúng ta tìm thấy kết quả không tương tác

ở đây các vòng lặp khép kín biểu thị các vết trên các biến trong các hàm

truyền Sự tương tác động sẽ xáo trộn các trường trong hai sơ đồ vòng lặp

(2.21)

này Trường một sẽ chuyển sang trường hai và ngược lại với hằng số liên kết

là n Khi hàm truyền tự do có  1, 2 0 0 thì chỉ các vòng lặp với một sốchẵn của tương tác sẽ đóng góp Sau đó chúng ta sẽ tìm thấy năng lượng tự dođầy đủ

=

1 2 , 1 2 1 2 1 2

2.1.3 Hàm truyền tự do của trường thực.

Các hàm truyền trong (2.18) chỉ di chuyển các trường ở thời gian cốđịnh Chuyển động trong thời gian được gây ra bởi sự tương tác động lực họctrong (2.15) Hiệu ứng đầy đủ của nó có thể dễ dàng được tính toán trong líthuyết nhiễu loạn Đối với trường một, khi chúng ta xem xét lại một cách thứcFourier với động lượng đã cho k và tần số Matsubara n Chúng ta tìm được

D11 =  1 1* =

= + + + … = D11(0) D11(0)( )n D22(0)(n)D11(0)

trình Dyson-Schwinger cho đường truyền đầy đủ

(0) (0) (0)

ab ab ac cd db

D D D  D (2.26)Với các đường truyền tự do (2.18), D  và năng lượng riêng không chéo12(0) 0hóa (0)

1 2

k n ab

n k

e M

2 1

Biểu thức trên được chấp nhận với kết quả trước đó

2.2 Hạt nhân Boson trong xấp xỉ một vòng.

Ở đây xem xét trường hợp lí tưởng của boson chỉ có thế năng tương tácđẩy V r( ) ở khoảng cách ngắn Nhiệt động lực học của khí này sau đó sẽ chủ

yếu độc lập với hình dạng thế năng, nó chỉ nhập kết quả thông qua chiều dàitán xạ sóng S [16].

3 ( )4

m   Trường phi tương đối tính  được xác định thông qua

2.2.1 Trạng thái cơ bản cổ điển.

Bao gồm các tương tác ở trên Lagrangian Euclidean (2.5) mô tả cácboson được thay đổi thành

Trong giới hạn cổ điển ở nhiệt độ không, hệ thống sẽ ở trong trạng thái

có năng lượng thấp nhất Các trường sau đó sẽ đạt được một giá trị không đổiđược đưa ra bởi mức tối thiểu của thế năng cổ điển

* * 2

nó là bất biến với sự chuyển pha ( )x e i ( )x

   và vì vậy chỉ phụ thuộc vàomodun  của trường

Để định lượng hơn, trạng thái cơ bản bị phá vỡ đối xứng có một áp suất

cổ điển được đưa ra bởi mức tối thiểu của thế năng (2.34), tức là

khi biểu diễn hai số hạng của hai thành phần thực của trường phức  và  Các số hạng tuyến tính trong  đã được loại bỏ vì chúng sẽ không đóng gópsau khi tích phân trong toàn bộ không gian Toán tử ma trận Mˆab bây giờ là

2 2

          (2.43)Tổng hợp các tần số Matsubara có sử dụng (2.9), chúng ta có được nănglượng tự do

như một hàm của ngưng tụ  , đây là thế năng hiệu dụng U cho hệ trong eff

xấp xỉ một vòng Năng lượng tự do nhiệt động lực học là giá trị của hàm trongmức tối thiểu của nó Do các dao động lượng tử, điều này sẽ thay đổi đôi chút

từ mức tối thiểu cổ điển ở v2  / Đối với các giá trị của ngưng tụ, hệ thứctán sắc (2.43) đơn giản kết quả của Bogoliubov [3]

2.2.3 Tái chuẩn hóa.

Tổng vô hạn trong (2.44) được xem là khác nhau rõ rệt trong giới hạn

tử ngoại k   Một phân kì tương tự cũng được tìm thấy Chúng ta có thểloại bỏ phân kì mạnh bằng cách trừ đi số hạng đầu tiên trong (2.10) vì vậychúng ta tìm lại được áp suất trong khí không tương tác Lấy giới hạn thể tích

vô hạn sau đó chúng ta sẽ có thế năng hiệu dụng

Tuy nhiên, tích phân đang miêu tả dao động Gaussian ở nhiệt độ không vẫnkhông hữu hạn Các phân kì có thể loại bỏ bằng tái chuẩn hóa hằng số liên kết

 và thế hóa học  Đối với mục này chúng ta sẽ đưa vào các số hạng phản

Lại một lần nữa chúng ta lờ đi các số hạng tuyến tính trong trường dao động 

Ở nhiệt độ không chúng ta có được thế năng hiệu dụng sau khi tái chuẩn hóa

2 4

3

2 4 3

Biểu thức cho số hạng phản có thể đạt được bởi cô lập hai phân kì trongtích phân (2.48), bởi khai triển biểu thức (2.43) theo  cho giá trị lớn củađộng lượng k Cắt bỏ tích phân tại k , sau đó chúng ta viết lại như sau

không đổi Hằng số tái chuẩn hóa  tăng có giới hạn.

Loại bỏ phân kì, chúng ta bây giờ có thể cho phép giới hạn    Sau

2.2.4 Ngưng tụ và áp suất ở nhiệt độ không.

Vì dao động lượng tử, mức tối thiểu của thế năng hiệu dụng (2.52) làđược chuyển từ giá trị cổ điển Trong mức tối thiểu mới đạo hàm(U eff /v) 0 Với