Cac bai toan theo chu de luyen thi vao lop 10 mon toan

Cho đường tròn O đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C.. Cho P là một điểm nằm trên d sao minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK..

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

BÀI TẬP TỔNG HỢP THEO CHỦ ĐỀ

TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 1 năm 2023

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO LỚP 10

CH Ủ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài 1: Cho biểu thức: 2

6

A x

=+ và

=+ ; c) Tìm số nguyên tố x lớn nhất thỏa mãn 2

=

− c) Đặt C= −A 2 B Tìm x để C= x

Bài 3: Cho hai biểu thức:

( )21

x A

b) Rút gọn B c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P=4 :A B có giá trị là số nguyên nhỏ nhất

Bài 4: Cho biểu thức: 4

1

x A x

c) Tìm x để biểu thức M = A B nhận giá trị nguyên

Bài 5: Cho hai biểu thức 3

3

x A x

=+ ; c) Tìm giá trị x nguyên lớn nhất thỏa mãn A B⋅ ≤ −1

Bài 6: Cho hai biểu thức: 1

2

x A x

x B

x x

=

− ; c) Cho P=A B Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P>1

Bài 7: Cho hai biểu thức 1

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25;

b) Rút gọn biểu thức B;

A

= Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn: P+ = m 1

Bài 9: Cho hai biểu thức 4

3

A x

=

x B

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B≥ A

Bài 11: Cho hai biểu thức

5

=

−

x H

x và

255

−+

3) Tìm các giá trị của x thỏa mãn A + B = 2

Bài 13: Cho hai biểu thức: A x x 4

B đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 14: Cho biểu thức: A 1 1

x 3

−

=

− với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 91) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 64

x 2

=

− 3) Với x Z∈ , tìm GTLN của biểu thức K=Q P 1( − )

Bài 17: Cho các biểu thức 2

3

x A x

−

=+ và

42

B

x x

c) Cho P = B A : Tìm các giá trị của x là số thực để P nhận giá trị nguyên

Bài 20: Cho các biểu thức A = 1 3

CH Ủ ĐỀ 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,

H Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1:

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình

Một sân bóng đá theo chuẩn FIFA là sân hình chữ nhật, chiều

dài hơn chiều rộng 37 m và có diện tích 2

7140 m Tính chiều dài và chiều rộng của sân bóng đá

Bài 2: Gi ải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 m, đường chéo của mảnh đất dài 10 m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

Bài 3: Hai người làm chung một công việc thì sau 15 giờ sẽ xong Nếu người thứ nhất làm một

mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì cả hai người làm được 1

4 công việc Tính thời gian để mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc

Bài 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

1) Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 180 tấn hàng để ủng hộ đồng bào

các tỉnh khó khăn để chống dịch Covid Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 3 xe nữa cùng loại Nhờ vậy, so với ban đầu, mỗi xe chở ít hơn 2 tấn Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau

Bài 5: Gi ải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Tháng thứ nhất hai đội sản suất được 1100 sản phẩm Sang tháng thứ hai, đội I làm vượt

mức 15% và đội II làm vượt mức 20% so với tháng thứ nhất, vì vậy cả hai đội đã làm được 1295 sản phẩm Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi đội làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 6: Gi ải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất của nhà máy theo kế hoạch phải làm 1800 bộ kit test COVID-19 Nhưng tổ I

đã làm vượt mức 25% kế hoạch và tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, vì vậy hai tổ đã làm được

2300bộ kit test COVID-19 Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu bộ bộ kit test COVID-19?

Bài 6: Gi ải bài toán bằng cách lâp phương trình hoặ hệ phurong trình:

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 80 km Một canô đi xuôi đòng từ bến A đến bến B ,

rối quay lại bến A Tồng thời gian canô chạy trên sông cả đi và về là 9 giờ Tính vận tốc riêng của

canô, biết rẳng vận tốc cuia dòng nưởc là 2 km / h và giả sử vận tốc riêng của canô không đổi

Bài 7: Gi ải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một phân xưởng sản xuất thiết bị y tế theo kế hoạch phải sản xuất 1100 chiếc nhiệt kế điện tử phục vụ công tác đo thân nhiệt để phòng chống dịch bệnh trong một thời gian quy định Nhưng do tình hình dịch bệnh diễn biến phức tạp, để đáp ứng nhu cầu nhiệt kế điện tử của thị trường, mỗi ngày phân xưởng đã sản xuất vượt mức 5 nhiệt kế nên phân

xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng sản xuất bao nhiêu nhiệt kế điện tử?

Bài 8: Nếu giảm chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì

54m Nếu tăng chiều rộng của mảnh vườn thêm 2m và giảm chiều dài đi 4mthì diện tích mảnh vườn tăng thêm 2

32m Hãy tính các kích thước của mảnh vườn. Bài 9: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sẽ đầy bể trong giờ 20 phút Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2

15 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Bài 10: Gi ải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 720 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ

I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất vượt mức 99

chi tiết máy Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 11: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai tổ sản xuất của nhà máy theo kế hoạch phải làm 1800 bộ kit test COVID-19 Nhưng

tổ I đã làm vượt mức 25% kế hoạch và tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, vì vậy hai tổ

đã làm được 2300 bộ kit test COVID-19 Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu

bộ kit test COVID-19?

Bài 12: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mở vòi 1 chảy một mình trong 3 giờ rồi khóa lại, mở vòi 2 chảy tiếp trong 4 giờ thì lượng nước trong bể chiếm 60%

bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 13: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Lúc 7 giờ sáng, một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi ngay lập tức ngược dòng từ B

trở về A, ca nô về đến A lúc 13 giờ 15 phút chiều cùng ngày Biết vận tốc dòng nước là 3km/h và khoảng cách giữa hai bến A, B là 45km Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng

Bài 14: (Gi ải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình)

Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều

đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)

Bài 15:Gi ải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một phòng họp có 300 ghế ngồi, được xếp thành một số hàng có số ghế bằng nhau Buổi họp hôm đó có 378 người đến dự nên ban tổ chức đã kê thêm 3 hàng ghế và mỗi hàng ghế phải

xếp thêm 1 ghế mới đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế biết rằng số hàng ghế lúc đầu không vượt quá 20 hàng?

Bài 16:Gi ải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Xí nghiệp may mặc Nam Khánh nhận được hợp đồng của công ty Gia Huy may 1000 chiếc áo khoác trong thời gian nhất định Tuy nhiên, sau đó, công ty Gia Huy có thương lượng lại là muốn nhận được đủ 1000 áo trước 5 ngày so với dự kiến ban đầu Xí nghiệp

Nam Khánh tính toán và thấy rằng mỗi ngày cần may tăng thêm 10 áo sẽ đáp ứng được yêu cầu này Hỏi theo kế hoạch ban đầu, xí nghiệp Nam Khánh cần hoàn thiện hợp đồng trong bao nhiêu ngày?

Bài 17: Gi ải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình”

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 4 giờ 48 phút bể sẽ đầy Nếu chỉ mở cho mỗi vòi chảy một mình thì vòi thứ nhất đầy bể chậm hơn vòi thứ hai là 4 giờ Hỏi

mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 18: Gi ải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình”

Một đội xe vận tải nhận chở 180 tấn hàng, được chia đều cho các xe Lúc khởi hành, có 2

xe bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 3 tấn so với dự định Hỏi ban đầu có bao nhiêu xe

Bài 19: Gi ải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Tháng thứ nhất hai đội sản xuất làm được 700 sản phẩm Sang tháng thứ hai, đội I làm vượt mức 10% và đội II làm vượt mức 25% so với tháng thứ nhất, vì vậy cả hai đội đã làm được 830 sản phẩm Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi đội làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 20:Gi ải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc không đổi, hai địa điểm cách nhau 30 km Khi đi từ B về A, người đó chọn đường khác dễ hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6 km Vì lúc về, người đó đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h nên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi là 20 phút Tính vận tốc lúc đi của người đó

CH Ủ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VI-ÉT

Bài 1: Giải phương trình:

Bài 5: Cho phương trình x2 −2x +m − =1 0 (m là tham số) Tìm m đẻ phương trình có hai

Bài 8: Cho phương trình x2 −(2m+5)x +2m+ =1 0 (1), m là tham số

2

m = −

b) Tìm các giá trị của m để (1) có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2 sao cho P = x1 − x2 đạt giá nhỏ nhất

Bài 9: Cho phương trình x2 +mx − =3 0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x thỏa mãn x1 + x2 = 4

Bài 10:Cho phương trình x2 −10mx +9m =0 (1) với m là tham số

a) Giải phương trình (1) với m =1

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1 −9x2 = 0

Bài 11: Cho phương trình x2 −(2m −1)x m+ 2 − =1 0 (1), m là tham số

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn ( )2

x −x =x − x

Bài 12: Cho phương trình x2 −3x m− 2 + =1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1 +2x2 =3

Bài 13: Cho phương trình x2 −(2m+1)x m+ 2 − =1 0 (1) (m là tham số) Tìm các giá trị của m

x − mx +m x + =

Bài 14:Cho phương trình x2 −(m +1)x m+ − =4 0 (1) (m là tham số) Tìm giá trị m để phương

Bài 17: Cho phương trình x2 −2(m +1)x +4m =0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

x x là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5

Bài 22: Cho phương trình x2 +(m +2)x m− − =4 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân

biệt x x1, 2 thỏa mãn x1 < ≤0 x2

Bài 23:Cho phương trình x2 +2mx +4m− =4 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn x1 <2,x2 <2

Bài 24:Cho phương trình x2 −4x − =3 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Không giải phương

trình hãy tính giá trị biểu thức 12 22

Bài 6: Cho hàm số y =(m −2)x + có đồ thị là đường thẳng d (m là tham số, 5 m ≠ 2)

a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2

b) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d bằng 3

Bài 7: Cho hàm số y =(m−1)x + +3 m Tìm điểm cố định mà hàm số đi qua với mọi m

Bài 8: Cho đường thẳng ( ) :d y =mx −2m −1 với m là tham số Tìm m sao cho khoảng cách từ O đến d là lớn nhất

Bài 9:Cho đường thẳng ( ) :d y =(m+1)x − Tìm m sao cho kho1 ảng cách từ O đến d đạt giá trị lớn nhất

Bài 10: Cho hàm số bậc nhất y =(m −1)x +4(m +1) có đồ thị là đương thẳng d Tìm m để đường thẳng d tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 4

Bài 11: Cho hàm số y =mx +3 (m ≠ 0) có đồ thị là đường thẳng d và hàm s1 ố y 1x 3

m

−

(m ≠ 0) có đồ thị là đường thẳng d G2 ọi A là giao điểm của d và 1 d , B và C l2 ần lượt là giao điểm

của d và 1 d v2 ới trục hoành Tìm m để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất, tính diện tích đó

Bài 12: Cho hàm số bậc nhất y =(m −1)x m+ −3 (m ≠1) có đồ thị là đường thẳng d gọi A, B

lần lượt là giao điểm của d với hai trục tọa độ Tìm m sao cho tam giác OAB cân

Bài 13: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua a A( )1;2 và B −( )1;4

Bài 14: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A −( )2;3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1

Bài 15: Viết phương trình đường thẳng d viết d đi qua M −( )3;5 và cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng 2

Bài 16: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua M( )2;5 và song song với đường thẳng ( ') :d y = −3x +5

b) d đi qua A( )1;2 và vuông góc với đường thẳng ( ') : 1 8

b) đi qua U −( )3;6 và tạo với trục Ox một góc 60°

c) đi qua N −( )2;1 và tạo với trục Ox một góc 135°

d) đi qua giao điểm G của hai đường thẳng ( ) :d1 y =4x − và 3 ( ) :d2 y =2x − và có hệ số góc k 5

CH Ủ ĐỀ 5: TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Bài 1: Cho đường thẳng ( ) :d y =2mx +2m −3 và parabol ( ) :P y =x2 Tìm m để d tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 2: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =2(m+3)x m+ 2 −5 Tìm m để d tiếp xúc với (P), tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 3: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =2x +3

a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d và (P), trong đó A có hoành độ âm Vẽ d và (P) trên cùng một

hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ điểm C ∈AB của (P) sao cho S ABC lớn nhất

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =2x +m−2

Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 sao cho

x −x =

Bài 5: Cho hàm số y =2x2 có đồ thị (P)

a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ( ) :d y =2mx +1 cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =5x m− +1 (m là tham số)

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 5

b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn 2x1 = x2

Bài 8: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =mx +m+1 Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn 2x1 −3x2 = 5

Bài 9: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =2(m +1)x +3 Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn 2x1 + x2 =5

Bài 10: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =(2m−1)x m− 2 +m Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn x1 = 2x2

Bài 11: Cho parabol ( ) :P y =x2 và ( ) :d y =(m −3)x m− +4 Tìm m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt x x1, 2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân

Bài 12: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =2mx x− 2 +m+1 Tìm m để d cắt (P)

tại hai điểm phân biệt A x y( ) ( )1; 1 , B x y sao cho 2; 2 y1 +y2 +2x1 +2x2 =22

Bài 13: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =(2m +1)x −2m Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A x y( 1; 1) (, B x y sao cho 2; 2) T =y1 +y2 −x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

Bài 14: Cho parabol ( ) :P y =x2 và đường thẳng ( ) :d y =2mx m− 2 +1 Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A x y( 1; 1) (, B x y sao cho 2; 2) y1 −y2 > 4

Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( )d :y=(2m+1)x−2m+4 và

: =

a) Tìm chứng minh rằng: ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt ,A B

b) Gọi H và K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A,B trên trục hoành Tìm m để đoạn

thẳng HK bằng 4 ?

Bài 16: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng ( )d :y=mx− +m 1 và parabol ( ) 2

:

P y=x

a) Tìm toạ độ giao điểm của ( )d và ( )P khi m=7

b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x sao cho 1, 2 ( )d và ( )P

Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: y = + x 1 và d2: y = mx + 3 Tìm

m sao cho d1 cắt d2 tại một điểm có tung độ gấp đôi hoành độ

Bài 19 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( ) 2

biệt A và B

b) Gọi x x1; 2 lần lượt là hoành độ tương ứng của A và B Chứng minh x1−x2 = 4

1 23

d

y x

Bài 2: Giải hệ phương trình:

2

45

y x

Bài 5: Giải hệ phương trình:

y x

Bài 9: Giải hệ phương trình sau: ( )

a) Giải hệ phương trình ( )I khi m=1

b) Tìm m để hệ ( )I có nghiệm duy nhất (x y; ) thỏa mãn x+ = −y 3

Bài 12: Cho hệ phương trình: 2 5 1

a) Giải hệ phương trình khi m=2;

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x y; ) thỏa mãn: 2x+ ≤y 3

Bài 14: Cho hệ phương trình : 2 4

a) Giải hệ phương trình với a=1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 15: Cho hệ phương trình: 1

a) Giải hệ phương trình khi m=2

Bài 16: Cho hệ phương trình: 2 5

12a) Giải hệ phương trình với m=2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y, ) trong đó ,x y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y; ) thỏa mãn x= y

Bài 17: Cho hệ phương trình: ( )

Bài 18 Cho hệ phương trình: 2x + y = 8

4x + my = 2m + 18





1 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) và tìm nghiệm duy nhất đó

2 Với (x; y) là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm m để:

1 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x y; ) và tìm nghiệm duy nhất đó

2 Với (x y; ) là nghiệm duy nhất ở trên:

a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

b) Tìm m nguyên để cả x và y là các số nguyên

c) Tìm m để biểu thức S = x2 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất

d) Tìm mđể biểu thức =T xy đạt giá trị lớn nhất

CH Ủ ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Câu 1 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và

đường tròn tại hai điểm E và B (E nằm giữa B và H)

1 Chứng minh  ABE=EAH và ∆ABH ∆EAH

tại K Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp

3 Xác định vị trí điểm H để AB=R 3

Câu 3. Cho đường tròn( )O có đường kínhAB=2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó

(E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn( )O

tại điểm thứ hai là K

1 Chứng minh∆KAF ∆KEA

bán kính IE tiếp xúc với đường tròn( )O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F

3 Chứng minhMN/ /AB,trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE BE, với đường tròn( ).I

4 Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giácKPQ theo R khi E chuyển động trên đường

tròn ( ),O với P là giao điểm của NF và AK Q; là giao điểm của MF và BK

Câu 4. Cho( ; )O R và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB AC, với đường tròn( , CB là các tiếp điểm)

1 Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

OE OA=R

3 Trên cung nhỏ BC của (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K của

(O R; )cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

4 Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại

M, N Chứng minh PM+QN ≥MN

Câu 5. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia

4 Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB=2

Câu 6 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi d1vàd2là hai tiếp tuyến của đường

tròn (O) tại hai điểm A và B Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B) Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai

đường thẳng d1và d2lần lượt tại M, N

1 Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

MIN=

3 Chứng minhAM BN =AI BI

4 Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O) Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng

Câu 7. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm

bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên

AB

1 Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh  ACM = ACK

3 Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C

4 Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A Cho P là một điểm nằm trên d sao

minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Câu 8. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB <

AC, d không đi qua tâm O)

1 Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp

AN = AB AC Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm, AN = 6cm

3 Gọi I là trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T Chứng minh: MT // AC

4 Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài

Câu 9.Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng

AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P

1 Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật

2 Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

3 Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF

4 Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất

Câu 10. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K Gọi

M là điểm bất kì nằm trên cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường

thẳng AM, BM lần lượt tại H và D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai

C, I khác O) Đường thẳng IA cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E) Gọi H là

trung điểm của đoạn thẳng DE

1 Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn

MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K

1 Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường tròn

4 Gọi P và Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK

và E là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) Chứng minh

ba điểm D, E, K thẳng hàng

Câu 13 Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm Lấy S là một điểm bất

kì trên tia đối của tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;

R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của

đoạn thẳng AB

1 Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO

2 Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo  CSD

3 Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC

4 Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định

Câu 14.Cho đường tròn( )O ,đường kínhAB.Vẽ các tiếp tuyếnAx By, của đường tròn M là

một điểm trên đường tròn(M khácA B, ).Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax By, lần lượt tạiP Q,

1 Chứng minh rằng: Tứ giác APMO nội tiếp

Câu 15 Cho đường tròn ( )O và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AM AN,

với các đường tròn( )O (M N, ∈( )O ) Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn ( )O tại hai điểmB C, phân biệt (Bnằm giữaA C, ) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC

1 Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp được trong đường tròn

AN = AB AC

3 Đường thẳng qua B song song với AN cắt đoạn thẳng MN tại E Chứng minhEH / /NC

Câu 16 Cho đường tròn tâmO bán kính R và một điểm A sao cho OA=3 R Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQvới đường tròn( ; )O R ( , P Q là 2 tiếp điểm) Lấy M thuộc đường tròn( ; )O R

tròn(O R; ).Tia PN cắt đường thẳng AQtại K

KA =KN KP

2 Kẻ đường kínhQScủa đường tròn(O R; ).Chứng minh NS là tia phân giác của  PNM

3 GọiG là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK.Tính đội dài đoạn thẳng AG theo bán

kính R

Câu 17 Cho tam giác ABC nhọn(AB<AC)nội tiếp đường tròn( ),O hai đường caoBE CF,

cắt nhau tại H Tia AO cắt đường tròn( )O tại D

1 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn;

2 Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành;

3 Gọi M là trung điểm của BC , tia AM cắt HO tại G Chứng minh G là trọng tâm của tam giác BAC

Câu 18. Cho đường tròn(O R; )có đường kính AB cố định Trên tia đối của tia AB lấy điểm

Csao choAC=R. QuaC kẻ đường thẳng d vuông góc với CA.Lấy điểm M bất kì trên( )O

không trùng vớiA B, Tia BM cắt đường thẳng d tại P Tia CM cắt đường tròn( )O tại điểm thứ hai làN,tia PA cắt đường tròn( )O tại điểm thứ hai làQ

1 Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp;

2 TínhBM BP theo R

4 Chứng minh trọng tâmG của tam giácCMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi

Mthay đổi trên( )O

Câu 19.Cho ABC∆ có ba góc nội tiếp đường tròn( ),O bán kính R Hạ đường caoAH BK, của tam giác Các tiaAH BK, lần lượt cắt( )O tại các điểm thứ hai làD E,

1 Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn đó

2 Chứng minh.HK/ /DE

3 Cho ( )O và dây AB cố định, điểmC di chuyển trên( )O sao cho ABC∆ có ba góc nhọn

Câu 20. Cho  90 ,o

tại B và D Các tiếp tuyến với đường tròn( )A kẻ từ B và D cắt nhau tại C

1 Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh?

2 Trên BC lấy điểm M tùy ý ( M khác B vàC ) kẻ tiếp tuyến MH với đường tròn( )A ,(H là

45

MAN =

3 P Q; thứ tự là giao điểm củaAM AN; vớiBD Chứng minh rằngMQ NP; là các đường cao của∆AMN

Câu 21 Cho ∆ABC AB( < AC)có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O R; ).Vẽ đường

cao AH của ∆ABC, đường kính AD của đường tròn Gọi E F, lần lượt là chân đường vuông

góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD M là trung điểm củaBC

1 Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp

Câu 22 Cho ABC∆ nhọn (AB<AC)ba đường caoAP BM CN, , của ABC∆ cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp

3 Kẻ tiếp tuyến BD với đường tròn đường kính AH ( D là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyến BE với

Câu 23. Cho nửa đường tròn O đường kính AB=2R Điểm M di chuyển trên nửa đường

tròn (M khác A và B) C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là tiếp tuyến với

nửa đường tròn tại B Tia AM cắt d tại điểm N Đường thẳngOC cắt d tại E

1 Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp

2 Chứng minh:AC AN = AO AB

4 Tìm vị trí điểm M sao cho (2.AM +AN)nhỏ nhất

Câu 24 Cho đường tròn tâmO bán kính R và đường thẳng( )d không đi qua O, cắt đường tròn ( )O tại 2 điểmA B, Lấy điểm M bất kỳ trên tia đối BA, qua M kẻ hai tiếp tuyến

,

MC MDvới đường tròn (C D, là các tiếp điểm)

1 Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp đường tròn

2 Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh HM là phân giác của  CHD

3 Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC MD, theo thứ tự tạiP Q, Tìm

vị trí của điểm M trên( )d sao cho diện tích∆MPQnhỏ nhất

Câu 25. Cho ABC∆ có ba góc đều nhọn, hai đường cao BD vàCE cắt nhau tại H ( D thuộc

;

AC EthuộcAB)

1 Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn;

2 Gọi M I, lần lượt là trung điểm của AH và BC Chứng minh MI vuông góc với ED

Câu 26. Cho ABC∆ có ba góc đều nhọn(AB<AC)nội tiếp trong đường tròn tâm O, kẻ đường caoAH GọiM N, là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.Kẻ NE vuông góc

với AH. Đường vuông góc với AC tạiC cắt đường tròn tại I và cắt tia AH tại D Tia AH cắt đường tròn tại F

1 Chứng minh  ABC+ACB=BIC và tứ giác DENC nội tiếp được trong một đường tròn

2 Chứng minh hệ thứcAM AB =AN AC và tứ giác BFIC là hình thang cân

3 Chứng minh: tứ giác BMED nội tiếp được trong một đường tròn

Câu 27. Cho nửa đường tròn( )O đường kínhAB. GọiC là điểm cố định thuộc đoạn thẳng

tròn ( )O tại điểm M Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F,tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E Đường thẳng AE cắt nửa

đường tròn ( )O tại điểm D ( D khác A )

1 Chứng minh:AD AE = AC AB

2 Chứng minh: Ba điểmB F D, , thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp∆CDN

3 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF.Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB

Câu 28. Cho ABC∆ nhọn(AB<AC)nội tiếp( ),O vẽ đường kínhAD.Đường thẳng đi qua B vuông góc với AD tại E và cắt AC tại F Gọi H là hình chiếu của B trên AC và M là trung

tiếp tứ giác AMHN theo a

tiếp điểm) Chứng minh ba điểmE H F, , thẳng hàng

Câu 30. Cho ABC∆ đều có đường caoAH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B C H, , ).GọiP Q, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB AC,

1 Chứng minh tứ giácOBDC nội tiếp đường tròn;

2 Gọi M là giao điểm của BC và OD BiếtOD=5(cm) Tính diện tích BCD∆

3 Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với ( )O tại A d, cắt các đường thẳngAB AC, lần lượt tạiP Q, Chứng minhAB AP = AQ AC

4 Chứng minh  .PAD=MAC

Câu 32. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C cố định trên nửa đường tròn Điểm M thuộc cung AC(M ≠ A; C) Hạ MH AB⊥ tại H Nối MB cắt CA tại E Hạ

1 BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp

AK AC= AM

3 AE AC +BE BM không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

4 Khi M chuyển động trên cung AC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC đi qua hai điểm cố định

Câu 33. Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ở ngoài đường tròn Vẽ đường thẳng

4 Tìm vị trí của M để diện tích HBO∆ lớn nhất

Câu 34 Cho (O; R) và điểm A thuộc đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên

Ax lấy điểm H sao cho AH < R Dựng đường thẳng d Ax⊥ tại H Đường thẳng d cắt đường tròn tại E và B (E nằm giữa H và B)

2 Lấy điểm C thuộc Ax sao cho H là trung điểm AC Nối CE cắt AB tại K Chứng minh

AHEK là tứ giác nội tiếp

3 Tìm vị trí của H trên Ax sao cho AB=R 3

Câu 35. Cho ABC∆ vuông ở A Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm( )O có đường kínhMC.Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm( )O tạiD, đường thẳng AD cắt

đường tròn tâm( )O tại S

1 Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp vàCA là tia phân giác của góc.BCS

2 Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn( )O Chứng minh các đường thẳng

BA EM CDđồng quy

Câu 36.Cho đường tròn(O R; ), đường kínhAB.Điểm H thuộc đoạn OA. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H Vẽ đường tròn( )O1 đường kính AH và đường tròn( )O2 đường kính BH Nối AC cắt đường tròn( )O1 tại N Nối BC cắt đường tròn( )O2 tại M Đường thẳng MN cắt

đường tròn(O R; )tại E và F

1 Chứng minhCMHN là hình chữ nhật

2 Cho AH =4cm,BH =9cm Tính MN.

3 Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( )O1 và ( )O2

Câu 37.Cho đường tròn(O R; )có hai đường kính vuông góc AB và CD Gọi I là trung điểm

của OB.Tia CI cắt đường tròn (O; R) tại E Nối AE cắt CD tại H; nối BD cắt AE tại K

1 Chứng minh tứ giácOIED nội tiếp

AH AE= R

3 Tính tan BAE

4 Chứng minh OK vuông góc với BD

Câu 38 Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD Điểm H thuộc đoạn OD Kẻ

cắt CK tại N

AH AD=AB

2 Chứng minh tam giác CAN cân tại A

3 Giả sử H là trung điểm của OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy là HD, đường cao BH

4 Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ABN lớn nhất

Câu 39 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn

tại F Nối BF cắt ED tại K

1 Chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, K thuộc một đường tròn

3 Cho  30 ;ABC= o BC=10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC

4 Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác ABC∆ lớn nhất

Câu 40. Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cố định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn tại B (B khác A) Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt AB tại D Nối OM cắt AB tại I, cắt cung nhỏ AB tại E

1 Chứng minh OIDC là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh tích AB.AD không đổi khi M di chuyển trên Ax

3 Tìm vị trí điểm M trên Ax để AOBE là hình thoi

Câu 41. Cho đường tròn(O R; )đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn Gọi M và N là

điểm BC Dựng hình bình hành ADEF

1 TínhMIC

2 Chứng minh DN là tiếp tuyến của đường tròn (O R; ).

3 Chứng minh rằng F thuộc đường tròn (O R; )

4 Cho  30 ;CAB= o R=30cm. Tính thể tích hình tạo thành khi cho ABC∆ quay một vòng

quanh AB

Câu 42. Cho đường tròn (O R; )với dây AB cố định Gọi I là điểm chính giữa cung lớn AB

1 Chứng minh IAB∆ và MAC∆ là tam giác cân

2 Chứng minh C thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên cung nhỏ IB

3 Tìm vị trí của M để chu vi MAC∆ lớn nhất

Câu 43. Cho đường tròn(O R; )đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax

lấy điểmK AK( ≥R) Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d AB⊥ tại

O, d cắt MB tại E

1 Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp;

2 OK cắt AM tại I Chứng minh OI.OK không đổi khi K chuyển động trên Ax;

3 Chứng minh KAOE là hình chữ nhật;

một đường tròn cố định

Câu 44 Cho đường tròn (O) đường kínhAB=2 R Gọi C là trung điểm của OA Dây

1 Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp

4 Tìm vị trí điểm K để tổng KM KN KB+ + lớn nhất

Câu 45 Cho đường tròn(O R; )và điểm A ở ngoài đường tròn Qua A kẻ 2 tiếp tuyến

,

AB AC tới đường tròn (B và C là 2 tiếp điểm) I là một điểm thuộc đoạn BC IB( <IC) Kẻ

đường thẳng d OI⊥ tại I Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại E và F

1 Chứng minh OIBE và OIFC là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh I là trung điểm EF

3 K là một điểm trên cung nhỏ BC Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K cắt AB; AC tại M

và N Tính chu vi AMN∆ nếuOA=2R

4 Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC tại P và Q Tìm vị trí của A để

APQ

Câu 46. Cho 2 đường tròn( )O và ( )O' cắt nhau tại hai điểmA B, phân biệt Đường thẳng

OA cắt ( ) ( )O ; O' lần lượt tại điểm thứ haiC D, Đường thẳng 'O Acắt ( ) ( )O ; O' lần lượt tại điểm thứ haiE F,

1 Chứng minh 3 đường thẳngAB CE, và DF đồng quy tại một điểm I

2 Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn

3 ChoPQlà tiếp tuyến chung của( )O và( )O' (P∈( )O Q, ∈( )O' ) Chứng minh đường

Câu 47. Cho hai đường tròn (O R; )và(O R'; ')với R>R'cắt nhau tại A và B Kẻ tiếp tuyến

chung DE của hai đường tròn với D∈( )O vàE∈( )O' sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với

A

1 Chứng minh rằng  .DAB=BDE

2 Tia AB cắt DE tại M Chứng minh M là trung điểm của DE

3 Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q Chứng minh rằngPQsong song vớiAB

Câu 48. Cho đường trong (O R; )và đường thẳng d không quaO cắt đường tròn tại hai điểm

,

A B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, là

các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của AB ;

1 Chứng minh rằng các điểmM D O H, , , cùng nằm trên một đường tròn

2 Đoạn OM cắt đường tròn tại I Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

MCD

3 Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC MD, thứ tự tại P và Q Tìm vị trí

của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất

Câu 49.Cho ABC∆ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O R; ) Ba đường cao AD BE CF; ;

cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm BC, vẽ đường kính AK

minh điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định

Câu 50 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vuông góc là AB và CD Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH AB⊥ tại H Nối AC cắt HK tại I, tia BC cắt HK tại E; nối AE cắt đường tròn (O;R) tại F

1 Chứng minh BHFE là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh EC.EB = EF.EA

3 Cho H là trung điểm OA Tính theo R diện tích∆CEF

4 Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC Chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua một

điểm cố định

CH Ủ ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH NÓN, TRỤ, CẦU

1) Các bài toán v ề hình trụ

Bài 1 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Giảng Võ -Quận Ba Đình 2021)

Bài 2 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Amsterdam- 2021)

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với đường kính đáy 60cm , chiều cao là 1m Hỏi

bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua chiều dày của vỏ thùng và lấy 3,14

π ≈ )

Bài 3 (Đề thi thử vào 10 quận Tây Hồ - 2021)

Người ta thả một cục đá vào cốc thủy tinh hình trụ có chứa nước, đá chìm hoàn toàn xuống

phần nước trong cốc Em hãy tính thể tích cục đá đó biết diện tích đáy của cốc nước hình trụ là

2

16, 5 cm và nước trong cốc dâng thêm 80mm

Bài 4 (Đề thi thử vào 10 Trường Nghĩa Tân quận Cầu Giấy - 2021)

Một lon sữa đặc có dạng hình trụ với bán kính đáy bằng 3,5cm và chiều cao 7,8cm

Tính thể tích sữa chứa trong lon (bỏ qua bề dày vật liệu, lấy π 3,14)

Bài 5 (Đề thi thử vào 10 huyện Ba Vì - 2021)

Một khách hàng muốn đặt hàng xưởng gò hàn một chiếc thùng hình trụ bằng sắt có chiều cao 2,4mét và đường kính đáy là 2mét Tính thể tích của chiếc thùng đó? (Không tính độ dày của tấm sắt làm thùng)

Bài 6 (Đề thi thử vào 10 trường Nguyễn Trường Tộ - 2021)

Người a thả một quả trứng chìm hoàn tòan vào một cốc nước hình trụ có diện tích đáy là 3

15cm thì thấy nước trong cốc tăng thêm 8mm ( nước không bị tràn ra ngoài) Tính thể tích của quả trứng đã thả vào cốc nước?

Bài 7 (Đề thi thử vào 10 huyện Thanh Oai - 2021)

Một Téc nước hình trụ tròn có bán kính 60cm, chiều cao 220cm Hỏi:

a) Diện tích Inox cần làm ra cái Téc nước (có nắp) là bao nhiêu mét vuông (giả sử

phần nắp cong không đáng kể)

b) Khi Téc nước hình trụ chứa đầy nước thì được bao nhiêu lít?

Bài 8 (Đề thi thử vào 10 quận Long Biên - 2021)

Thùng rác inox hình trụ tròn có nắp lật xoay được sử dụng khá phổ biến do nắp

được thiết kế có trục xoay mang đến khả năng tự cân bằng trở về trang thái ban đầu

sau khi bỏ rác Biết thùng có đường kính đáy 40 cm và chiều cao 60 cm Hãy tính diện tích inox làm ra chiếc thùng rác trên (coi các mép gấp khi làm thùng rác không đáng kể)

Bài 9 (Đề thi thử vào 10 quận Hà Đông - 2021)

Công ty sũa Vinamilk chuyên sản xuất sữa Ông Thọ, hộp sữa có dạng

hình trụ có đường kính 7 cm, chiều cao là 8 cm Tính diện tích giấy

làm nhãn mác cho 24 hộp sữa (một thùng) loại trên theo 2

cm Biết nhãn dán kín phần thân hộp sữa như hình vẽ và không tính phần mép dán

(Lấy π ≈3,14; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Khi uống trà sữa, người ta thường dùng ống hút bằng nhựa hình trụ có đường kính đáy 0,9 cm, độ dài trục 21 cm Hỏi khi thải ra ngoài môi trường, diện tích nhựa gây ô nhiễm môi trường do 1000 ống hút gây ra là bao nhiêu?

Bài 9 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Ái Mộ - 2021)

Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy 1m,

với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0, 5m

của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (lấy π ≈3,14, kết

quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, theo đơn vị 3

Bài 11 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Evrest - 2022)

Cho hình nón có đường sinh bằng 17cm và diện tích xung quanh bằng 2

136πcm Tính thể tích của hình nón đó (Lấy π ≈3,14)

Bài 12 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Đoàn Thị Điểm - 2022)

Nón là một sản phẩm gắn liền với người nông dân Việt Nam Nón là người dân hay dùng thường có đường kính 40cm, chiều cao khoảng từ 17,5 đến 18,3cm Để nón bền người ta thường

phủ lên mặt ngoài của nón một lớp sơn Tính diện tích bề mặt được sơn của một chiếc nón có chiều cao 18cm

(Lấy π ≈3,14, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Bài 13 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Khương Thượng- 2022)

Một chiếc nón lá hình nón có đường sinh bằng 20cm , đường kính bằng 30cm Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón Tính diện tích lá cần dùng cho một chiếc nón đó

Bài 14 (Đề thi thử vào 10 trường THCS School- 2022)

Một chiếc lều dã ngoại hình nón bằng vải có bán kính đáy là 1,5m và độ dài đường sinh là 2,5m Tình thể tích và diện tích xung quanh của chiếc lều

B A

H O C

Bài 15 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Quốc Oai - 2022)

Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy là 10 cm, chiều cao bằng đường kính đáy Tính thể tích của chiếc cốc đó

Bài 16 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Lương Thế Vinh - 2022)

108 cmπ Biết chiều cao của lon nước ngọt gấp hai lần đường kính đáy Tính diện tích vật liệu cần dùng để làm một vỏ lon như vậy (bỏ qua diện tích phần ghép nối)

Bài 17 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Thái Thịnh - 2022)

Người ta đặt một khối nón vào trong một khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước Biết rằng đỉnh

khối nón trùng với tâm một mặt của khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện Tính thể tích lượng nước trong khối bị tràn ra ngoài

Bài 18 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Ái Mộ - 2022)

Nhà hát Cao Văn Lầu, Trung tâm triển lãm văn hóa nghệ thuật tỉnh Bạc Liêu có hình dáng 3 chiếc nón lá lớn nhất Việt Nam, mái nhà hình nón làm bằng vật liệu composite và được đặt hướng vào nhau Em hãy tính thể tích của một mái nhà hình nón biết đường kính là 45m và chiều cao là 24m

(lấy π ≈3,14, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, ba hình nón có bán kính bằng nhau)

sau:

Bài 19 Một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng a và 2a, chiều cao bằng a

1 Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt;

3) Các bài toán v ề hình cầu

Bài 21 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Ái Mộ - quận Long Biên 2021)

O S

A

1 Một quả bóng World Cup xem như một hình cầu có đường

kính là 17 cm Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu (lấy

3,14

π ≈ )

Bài 22 (Đề thi thử vào 10 trường trung tâm GDVH Edufly 2021)

Bán kính trái đất là 6370 km (hình vẽ bên) Biết 29% diện tích trái đất không bị

bao phủ bởi nước bao gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng bằng và các địa hình

khác Tính diện tích bề mặt bị bao phủ bởi nước (làm tròn đến hai chữ số thập

2 Tính thể tích của khối cầu tương ứng

Bài 24 Cho đường tròn ( )O đường kính AB , dây CD AB⊥ tại H Cho biết CD=12 cm và

4 cm

AH = Quay đường tròn này một vòng quanh AB Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

được tạo thành

Bài 25.Cho đường tròn ( ; )O R ngoại tiếp tam giác đều ABC Quay đường tròn này một vòng

quanh đường kính AOD ta được một hình cầu ngoại tiếp một hình nón Tính thể tích phần bên

trong hình cầu và bên ngoài hình nón

Bài 26. Bạn An lấy thước dây đo vòng theo đường xích đạo của quả địa cầu trong thư viện được độ dài 94, 2 cm Hãy tính

1 Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu

2 Thể tích của quả địa cầu

Bài 27. Quả bóng bàn có số đo diện tích bề mặt (tính bằng 2

cm ) gấp 1, 5 lần số đo thể tích của nó (tính bằng 3

cm ) Tính bán kính, diện tích và thể tích của quả bóng bàn

Bài 28. Một hình cầu đặt vừa khít trong một hình trụ có chiều cao là 18 cm Tính thể tích phần

không gian nằm trong hình trụ nhưng nằm bên ngoài hình cầu

Bài 29. Một trái bưởi hình cầu có đường kính 18 cm Lớp vỏ dày 1 cm Tính thể tích của lớp vỏ

bưởi

Bài 30.Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng 2

cm ) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng 3

cm ) Tính bán kính của hình cầu đó

CH Ủ ĐỀ 8: PHƯƠNG TRÌN VÔ TỈ

Bài 1: Giải phương trình: 3x−2 x+ −3 3 5x+ +4 10=0

Bài 2: Giải phương trình: 3x−2 x− =3 8 x− 6

Bài 3: Giải phương trình: 2 2 2

Bài 7: Giải phương trình x2 +4x +18= 6 x + +5 2x 3x +4

Bài 8: Giải phương trình 2 3

Bài 14:Giải phương trình: 3x+ +4 x+ = +3 1 2 x+ −3 3x+ −3 x+3

Bài 15: Giải phương trình: 2

CH Ủ ĐỀ I: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

Bài 1.(Trường THCS Yên Hòa – Cầu Giấy 2020-2021)

Cho x , y, z là các số thực thỏa mãn x≥ , 7 x+ ≥y 12 và x+ + =y z 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của

A=x +y + z

Bài 2 (Thi th ử Trường Vinshool – Hà Nội 2020-2021)

Cho a b c là các số dương thay đổi thỏa mãn , , 1 1 1 2020

Bài 3 (Trường THCS Thạch bàn Hà nội 2020-2021)

Với a , b , c là các số dương thoả mãn có ab bc+ =2ac Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 4 (Trường THCS Phúc Lợi Quận Long Biên 2020-2021)

Cho a b, là các số không âm thỏa mãn 2 2

Bài 5 (Trường THCS Phúc Đồng Quận Long Biên 2020-2021)

Cho hai số dương a và b thỏa mãn 1 1 2

a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 6 (Trường THCS Ngọc Thụy Long Biên 2020-2021)

Với x y, là các số dương thỏa mãn điều kiện x≥2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với x> , 0 y> và 0 x2+y2 = Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 B

Bài 9.(Trường THCS Lương Thế Vinh Cầu Giấy 2020-2021)

Bài 10.(Trường THCS Giang Biên 2020-2021)

Cho a b c là các s, , ố dương và a b c+ + ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

=

Bài 11.(Trường THCS Gia Thụy Long Biên 2020-2021)

Cho các số thực dương a b c, , .Chứng minh rằng:

Bài 12.(Trường THCS Đức Giang 2020-2021)

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

Bài 14.(Trường THCS Đa Trí Tuệ 2020-2021)

Bài 15.(Trường THCS Cự Khôi – Long Biên 2020-2021)

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 16.(Trường THCS Cầu Giấy – Cầu Giấy 2020-2021)

Cho các số thực dương a, b thay đổi luôn thỏa mãn a+ +3 b+ = Tìm giá trị lớn nhất 3 4

của biểu thức P= a+ b

Bài 17.(Trường THCS Ái Mộ – Long Biên 2020-2021)

Cho hai số x>0, y>0 và x+ =y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 18. (Qu ận Hà Đông 2020-2021)

Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn x+ + ≥ Tìm giá try z 6 ị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 19. (Qu ận Long Biên 2020-2021)

Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn x+ + =y z 2020

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 21. (Huy ện Thanh Oai 2020-2021)

Cho các số thực dương x, y là những số thực thỏa mãn: x+ +y xy=8 Tìm giá trị nhỏ

Bài 23.(Trường Quỳnh Mai - Hà Nội 2020-2021)

Cho x ; y là các số thực dương thỏa mãn x+ ≤y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 25.(Trường Thái Thịnh- Đống Đa 2020-2021)

Với x, y≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0

Bài 26.(Trường Lương Thế Vinh - Hà Nội 2020-2021)

P= + +x − −x −x

Bài 27.(Trường Quốc Oai - Hà Nội 2020-2021)

Cho các số thực dương x , y thỏa mãn: x+ =y 15 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 28. (Qu ận Long Biên 2020-2021)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Bài 29.(Trường Đoàn Thị Điểm 2022-2023)

Cho hai số thực ,x y thỏa mãn x≥1;x+ ≤ y 4

A=x + xy+ y

Bài 30.(Trường Archimedes Academy 2022-2023)

Bài 31 (Trường Lương Thế Vinh 2022-2023)

Cho a b, là các số dương thỏa mãn ab 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 35 Với các số thức không âm a, b, c thỏa mãn a + + = b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

Bài 38 Cho x y là hai s, ố thực dương thỏa mãn x+ ≥y 3

2

x y

Bài 39 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + + = y z 3

Chứng minh rằng : 2 xy2 2 yz2 2 xz2 1

Bài 42 Với a, b là các số thực thỏa mãn 2 2

a + b = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=abc

Bài 45 Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn: a+ =b 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 47 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + + = b c 1

Tính giá trị nhỏ nhất của bieur thức P a b

Bài 2: a) Với x=36 thì A= 7.

5

B x

=

− c) Đặt C= −A 2 B Tìm x để C= x ĐKXĐ: x≥0,x≠25

95

x C x

−

=

−

95

x

x x

11

B x

=

− với x> và 0 x≠ 1c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P=4 :A B có giá trị là số nguyên nhỏ nhất Với x>0;x≠ ta có: 1

x

x x

=

−

−

41

x x

=

−

44

=

−

c) 2

1

x M

x

+

=+11

Bài 5: a) Tính giá trị của biểu thức A khi x=16

=+ c) Tìm giá trị x nguyên lớn nhất thỏa mãn A B⋅ ≤ −1 ĐK: x≥0,x≠9

Vậy giá trị x nguyên lớn nhất thỏa mãn A B⋅ ≤ −1 là x= 8

Bài 6: a) Tính giá trị của A khi x=16

Khi x=16 thì 1

2

A= b) Rút gọn biểu thức B

1

B x

=

− với x≥ và 0 x≠ 1c) Cho P=A B