Bài giảng Dạng vi phân và công thức Stokes

Bài giảng về dạng vi phân và công thức Stokes Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 23 tháng 12 năm 2020 ∫

Đây khởi đầu là bài giảng cho môn cao học “Giải tích trên đa tạp” dựa trên bài giảng

của R Sjamaar [Sja15] Tham gia đánh máy một phần bản đầu trong các năm 2015, 2016

có Phan Đình Hiếu (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hoàng Nguyên

(sinh viên ngành Toán khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Toán Giải tích khóa

2012)

Hiện bài giảng được xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối và học viên

cao học, nhằm trình bày dạng vi phân một cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, đi kèm với

ứng dụng Bài giảng đã được dùng cho các lớp cao học Giải tích, Hình học Tôpô; và khóa

học ngắn cho sinh viên đại học Với các lớp cao học Hình học Tôpô thì một số đề tài được

bổ sung

Huỳnh Quang Vũ

Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia

Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn

Tài liệu này cùng mã nguồn có ở https://sites.google.com/view/hqvu/teaching

This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see

http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensedunder the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Mở đầu 5

1.1 Định nghĩa dạng vi phân 7

1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid 7

1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở 9

1.1.3 Dạng vi phân tổng quát 11

1.2 Tính chất và phép toán cơ bản 12

1.2.1 Tính đan dấu 12

1.2.2 Phép nhân của dạng 13

1.2.3 Đạo hàm của dạng 14

1.2.4 Đổi biến trên dạng 18

1.2.5 Tích phân của dạng 22

1.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thức 23

2 Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp 29 2.1 Đa tạp 29

2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàm 32

2.1.2 Định hướng 33

2.1.3 Đa tạp có biên 36

2.2 Dạng vi phân trên đa tạp 38

2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơ 38

2.2.2 Định thức trên không gian vectơ 41

2.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất 42

2.2.4 Dạng thể tích của đa tạp 44

2.3 Tích phân trên đa tạp 47

2.3.1 Định nghĩa địa phương 47

2.3.2 Định nghĩa toàn cục 49

2.4 Công thức Stokes cho đa tạp 52

2.4.1 Chứng minh công thức Stokes 53

3

3 Ứng dụng 63

3.1 Ứng dụng trong Giải tích 63

3.1.1 Công thức Stokes cho miền với biên trơn 63

3.1.2 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng 67

3.2 Định lý điểm bất động Brouwer 68

3.3 Dạng khớp và dạng đóng 69

3.4 Đối đồng điều de Rham 73

Khái niệm “vi phân” đã xuất hiện trong chương trình toán trung học phổ thông Sách giáokhoa [SGKGT11, tr 213] viết công thức

𝑑𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)Δ𝑥và

𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

Vi phân này được dùng trong phương pháp đổi biến để tính tích phân, như trong [SGKGT12,159], ở đó có những tính toán như: Đặt 𝑥 = sin𝑡 thì 𝑑𝑥 = 𝑑(sin𝑡) = cos𝑡𝑑𝑡 Đối với nhiềungười các tính toán này tuy hiệu quả nhưng các khái niệm chưa rõ nghĩa

Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ở bậc đại học ta xét những tích phân như

Lý thuyết dạng vi phân nhằm đưa ra một cách hiểu và các cách làm việc thống nhất vàtổng quát cao trên các đối tượng này

Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vitích phân hàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường vàmặt Môn học này tập trung thảo luận việc tổng quát hóa các công thức này lên không giannhiều chiều để được một công thức Stokes tổng quát Chúng ta sẽ khảo sát dạng vi phân,các đa tạp – tổng quát hóa của đường và mặt, và các tích phân trên đó Chúng ta sẽ thảo luậnvài ứng dụng trong Giải tích và Tôpô

5

gian Euclid

1.1 Định nghĩa dạng vi phân

1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian

Eu-clid

Người đọc có thể xem lại nội dung này trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến, hoặc

[Lan97] Trong môn này khi nói đến không gian R𝑛, 𝑛 ∈ Z+, thì ta dùng cấu trúc tuyến tính,

chuẩn, khoảng cách, và tích trong Euclid, cụ thể nếu 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛) ∈ R𝑛thì chuẩn (tức

chiều dài) của 𝑥 là

k𝑥k = (𝑥2

1+ 𝑥2

2+ · · · + 𝑥2

𝑛)1 /2,khoảng cách giữa 𝑥 và 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛là

Cho 𝐷 là một tập con của R𝑛, 𝑥 là một điểm trong của 𝐷 Nhắc lại kí hiệu 𝑒1=

(1, 0, 0, , 0), 𝑒2=(0, 1, 0, , 0), , 𝑒𝑛=(0, , 0, 1) là các vectơ tạo thành cơ sở tuyến

tính chuẩn tắc của R𝑛.Đạo hàm riêngcủa 𝑓 : 𝐷 → R theo biến thứ 𝑖 tại 𝑥 được định nghĩa

Đây chính là đạo hàm một biến của hàm 𝑓 khi xem 𝑓 chỉ là hàm theo biến 𝑥𝑖, là tỉ lệ, hay

tốc độ thay đổi của giá trị của hàm so với giá trị của biến thứ 𝑖 tại điểm đang xét Yêu cầu 𝑥

là một điểm trong của miền xác định là một điều kiện đủ để xét giới hạn khi ℎ → 0 Ta có

thể lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng Trong môn này ta thường lấy tới đạo hàm riêng

cấp hai, như 𝜕2𝑓

𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗

7

Tổng quát hơn ta xét hàm 𝑓 : 𝐷 → R𝑚 Nếu 𝑓 liên tục và tất cả các đạo hàm riêngmọi cấp của các hàm thành phần của 𝑓 tồn tại và liên tục tại 𝑥 thì ta nói 𝑓 khả vi liên tục

(continuously differentiable) haytrơn(smooth) tại 𝑥 Ma trận các đạo hàm riêng của 𝑓 tại 𝑥được gọi làma trận Jacobicủa 𝑓 tại 𝑥, kí hiệu là 𝐽𝑓 (𝑥) =𝜕 𝑓

Nếu có một hàm tuyến tính 𝑓′(𝑥) : R𝑛→ R𝑚 sao cho có một quả cầu 𝐵(𝑥,𝜖) ⊂ 𝐷 vàmột hàm 𝑟 : 𝐵(𝑥,𝜖) → R𝑚thỏa mãn:

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓 (𝑥) + 𝑓′(𝑥)(ℎ) + 𝑟 (ℎ), ∀ℎ ∈ 𝐵(𝑥, 𝜖)

và limℎ→0𝑟 (ℎ)

|ℎ | =0,thì công thức (1.1.3)ánh xạ 𝑓′(𝑥) (còn được kí hiệu là 𝑑𝑓 (𝑥)) được gọi

làđạo hàm(derivative - dẫn xuất) của 𝑓 tại 𝑥 Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính củahàm:

𝑓(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑓 (𝑥) + 𝑓′(𝑥)(ℎ)

Rõ ràng nếu hàm có đạo hàm (khả vi) thì nó liên tục

Nếu 𝑓 khả vi liên tục tại 𝑥 thì 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥, và ánh xạ tuyến tính 𝑓′(𝑥) có thể biểudiễn trong cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của R𝑛bởi ma trận Jacobi 𝐽𝑓(𝑥), tức là

𝑓′(𝑥)(ℎ) = 𝐽𝑓 (𝑥) · ℎtrong đó phép nhân bên vế phải là phép nhân ma trận

Cần nhấn mạnh rằng theo quan điểm tổng quát thìđạo hàm tại một điểm là một ánh xạ tuyến tínhchứ không phải là một số thực hay một ma trận

Nếu ℎ là một vectơ đơn vị (tức vectơ có chiều dài bằng 1) thì ta suy ra ngay

Cho 𝑈, 𝑉, 𝑊 là tập mở của R𝑘, R𝑙, R𝑝theo thứ tự đó, cho 𝑓 : 𝑈 → 𝑉 and 𝑔 : 𝑉 → 𝑊 cóđạo hàm khi đó ta có công thức đạo hàm hàm hợp

(𝑔 ◦ 𝑓 )′(𝑥) = 𝑔′( 𝑓 (𝑥)) ◦ 𝑓′(𝑥)

Nếu viết theo ma trận biểu diễn thì công thức này cho

𝐽𝑔◦ 𝑓(𝑥) = 𝐽𝑔( 𝑓 (𝑥)) · 𝐽𝑓(𝑥)

1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở

Dạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm và tích phân Các tính chất của dạng vi phân và

sự quan trọng của nó là từ điều này

Với hàm thực 𝑓 : R𝑛→ R thì một đại diện cho dạng vi phân là 𝑑𝑓 phải liên quan khắngkhít với đạo hàm của 𝑓 Nhắc lại tại mỗi điểm 𝑥 ∈ R𝑛thì đạo hàm của 𝑓 tại 𝑥 được kí hiệu

thì 𝑑𝑥𝑖 là đạo hàm của ánh xạ này, như đã xét trong đạo hàm của hàm nhiều biến

Vì ∇𝑥𝑖 =𝑒𝑖 nên 𝑑𝑥𝑖 là ánh xạ từ R𝑛 vào (R𝑛)∗ sao cho với mỗi 𝑥 ∈ R𝑛 thì 𝑑𝑥𝑖(𝑥) =

Như vậy 𝑑𝑥𝑖là một ánh xạ cho tương ứng mỗi điểm với một hàm thực tuyến tính Người tathường gọi hàm thực làphiếm hàm(functional).

𝑘 = 0các số hạng với chỉ số 𝑘 không xuất hiện.

Tập hợp tất cả các dạng vi phân bậc 𝑘 trên 𝑈 với 𝑘 ∈ N được kí hiệu là Ω𝑘(𝑈) Vì ta sẽchỉ làm việc với dạng trơn nên về sau ta có thể chỉ gọi tắt là dạng

Ví dụ 1.1.9 Trong R thì hàm cos là một dạng bậc 0, còn 𝑥2𝑑𝑥, sin 𝑥3𝑑𝑥 là các dạng bậc 1

Ví dụ 1.1.10 Trong R2thì 𝑦𝑑𝑥 +𝑥2𝑑𝑦là một dạng bậc 1, còn 𝑦3𝑑𝑥𝑑𝑦+ 𝑥4𝑑𝑦𝑑𝑥là một dạngbậc 2

Ví dụ 1.1.11 Trong R3thì 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑧 là một dạng bậc 2

Ví dụ 1.1.12 Trong R𝑛thì 𝑑𝑥1, 𝑑𝑥2, , 𝑑𝑥𝑛, 2𝑑𝑥1+ 3𝑑𝑥2, 𝑥2

1𝑥2𝑑𝑥1+ 𝑥3𝑑𝑥4là các dạng bậc1

Ví dụ 1.1.13 Với mỗi bậc 𝑘 ≥ 0 có một dạng 0 là dạng mà giá trị tại mỗi điểm là hàm hằng

Ta thấy ngay với hai phép toán trên thì với mỗi 𝑘 ≥ 0 tập hợp Ω𝑘(𝑈) tất cả các dạng viphân bậc 𝑘 trên 𝑈 là một không gian vectơ trên trường số thực

Ghi chú 1.1.14 Ta không thể cộng trừ hai dạng khác bậc, vì tại mỗi điểm chúng là những

hàm có miền xác định khác nhau Chẳng hạn ta không thể xét một biểu thức như 𝑧𝑑𝑥 +𝑥𝑑𝑦 +𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦vì nó không có nghĩa

Một hệ quả đơn giản của tính đan dấu là mọi 𝑘-dạng với 𝑘 > 𝑛 đều bằng dạng 0 Vì vậy

ta chỉ quan tâm tới dạng bậc 𝑘 ≤ 𝑛

1.2.2 Phép nhân của dạng

Người ta định nghĩa được một phép nhân trên các dạng vi phân được gọi làphép nhân ngoài,thường được kí hiệu bởi ∧ (wedge - chèn, nêm), nhưng ở đây ta bỏ qua kí hiệu đó cho đơngiản hơn

Trước hết ta định nghĩa đạo hàm của dạng bậc 0.

Định nghĩa 1.2.10 Cho 𝑈 ⊂ R𝑛mở và 𝑓 là một dạng trơn bậc 0 trên 𝑈, tức 𝑓 : 𝑈 → R làmột hàm trơn Đạo hàm của dạng bậc 0 này được định nghĩa là

𝑑𝑓 =𝑛

∑︁

𝑖=1

𝜕 𝑓

Như vậy đạo hàm của một dạng bậc 0 là một dạng bậc 1 Ta thấy 𝑑𝑓 không gì khác hơn

là đạo hàm của ánh xạ 𝑓 trong phép tính vi phân hàm nhiều biến Cụ thể hơn, với 𝑥 ∈ 𝑈 và

và với mỗi số thực 𝑡 thì (𝑑 sin)(𝑡) là ánh xạ cho bởi công thức

𝑑(sin)(𝑡)(Δ𝑡) = (cos𝑡)Δ𝑡

Với hàm 𝑢(𝑥) = 𝑥2thì 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 Chú ý là ta viết 2𝑥 để chỉ hàm mang mỗi số thực thànhhai lần số thực đó, chứ không phải để chỉ một số thực nào Cách lạm dụng kí hiệu này trướcnay ta vẫn hay làm, chẳng hạn khi viết tắt “hàm 𝑢(𝑥) = 𝑥2” thay vì viết “hàm 𝑢 xác định bởiqui tắc 𝑢(𝑥) = 𝑥2”

Đây là một cách hiểu và viết chính xác cho khái niệm “vi phân” xuất hiện trong một

số tài liệu về phép tính vi phân hàm một biến như sách giáo khoa trung học phổ thông[SGKGT11, tr 213] mà ta đã nhắc tới ở phần Mở đầu

Ví dụ 1.2.14 Cho 𝑈 ⊂ R𝑛mở và 𝑓 là một hàm hằng trên 𝑈 thì 𝑑𝑓 là dạng 0

Ví dụ 1.2.15 Với

𝑓 : R2→ R(𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑓 (𝑥, 𝑦)thì

𝑑𝑓 = 𝜕 𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥+𝜕 𝑓𝜕 𝑦𝑑𝑦

Đây là một cách hiểu và viết chính xác cho khái niệm “vi phân toàn phần” xuất hiện trongmột số tài liệu về phép tính vi phân hàm nhiều biến

Trên là đạo hàm của 0-dạng, bây giờ ta nói về đạo hàm của 𝑘-dạng với 𝑘 > 0

Định nghĩa 1.2.16 Ta định nghĩađạo hàm dạngcủa một dạng bậc 𝑘 > 0 là dạng bậc (𝑘 +1)cho bởi

𝜕𝑄

𝜕𝑥 𝑑𝑥+𝜕𝑄𝜕 𝑦𝑑𝑦+𝜕𝑄𝜕𝑧𝑑𝑧

𝑑𝑧𝑑𝑥+

Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường 𝐹 = (𝑃,𝑄, 𝑅) thì hàm

𝜕𝑃

𝜕𝑥 +𝜕𝑄𝜕 𝑦 +𝜕 𝑅𝜕𝑧được gọi là div 𝐹 (divergence)

Từ đây trở đi nhiều vấn đề mà chúng ta thảo luận liên quan và gần gũi với những gì đã

có trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến Người đọc nên đồng thời tra cứu một tài liệumôn này, chẳng hạn như [Vugt3], để dễ theo dõi hơn

Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường 𝐹 = (𝑃,𝑄, 𝑅) thì trường

được gọi là curl 𝐹 hay rot𝐹

Ví dụ 1.2.20 Một dạng bậc 1 trên R phải là 𝑓 𝑑𝑥 Đạo hàm của dạng này là

Ví dụ 1.2.23 Với dạng bậc 0 thì công thức đạo hàm của tích trở thành 𝑑( 𝑓 𝑔) = (𝑑𝑓 )𝑔 +

𝑔(𝑑𝑓 ), chính là công thức Leibniz cho đạo hàm của tích của hàm thực Mặt khác trongchứng minh trên ta cũng đã dùng công thức Leibniz

Mệnh đề 1.2.24 Đạo hàm của đạo hàm của một dạng trơn cấp hai bất kì bằng 0, nghĩa là

với dạng 𝜔 trơn cấp hai bất kì thì 𝑑(𝑑𝜔) = 0, hay ngắn gọn hơn:

Ví dụ 1.2.28 Trong R3cho 𝛼 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 Như trên



𝜕 𝑅

𝜕 𝑦 −𝜕𝑄𝜕𝑧

𝑑𝑦𝑑𝑧+ 𝑑



𝜕𝑃

𝜕𝑧 −𝜕 𝑅𝜕𝑥

𝑑𝑧𝑑𝑥

1.2.4 Đổi biến trên dạng

Trên R ta thường đổi biến trong tích phân như sau Xét tích phân∫

𝑓(𝑢)𝑑𝑢 Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥),khi đó 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥, 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 = 𝑓 (𝑢(𝑥))𝑢′(𝑥)𝑑𝑥, và

∫ 𝑏 𝑎

∫ 𝜋 /2 0sin2𝑡 cos 𝑡𝑑𝑡 =

∫ 1 0

𝑢2𝑑𝑢 = 𝑢

33

10=1

3.Mục đích chính của phần này là chuẩn bị để tổng quát hóa công thức trên Câu hỏi đặt

ra là: Giả sử 𝜔 là một dạng theo biến 𝑦, nếu đổi biến 𝑦 = 𝜑(𝑥) thì 𝜔 được viết theo biến 𝑥

ra sao? Nói cách khác câu hỏi đặt ra là có dạng nào “tương ứng” với 𝜔 sau khi đổi biến haykhông? Dưới đây ta xây dựng dạng tương ứng đó, gọi là dạng kéo lui của dạng 𝜔

(𝜑∗( 𝑓 𝑑𝑢))(𝑥) = 𝑓 (𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)(𝑑𝑥)(𝑥) = 𝑓 (𝑢(𝑥))𝑢′(𝑥)𝑑𝑥(𝑥)

Ta có thể viết tắt rằng nếu đổi biến 𝑢 = 𝑢(𝑥) thì 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 trở thành 𝑓 (𝑢(𝑥))𝑢′(𝑥)𝑑𝑥, giốnghình thức của công thức đổi biến trong tích phân hàm một biến

Ví dụ 1.2.32 Cho ánh xạ 𝛾 : R → R2, 𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) Cho dạng bậc một 𝜔 = 𝑃𝑑𝑥 +𝑄𝑑𝑦

xác định trên một tập mở của R2chứa ảnh của 𝛾 Ta có

Ví dụ 1.2.34 Trong R𝑛, với dạng 𝜔 = 𝑑𝑢1𝑑𝑢2· · · 𝑑𝑢𝑛, với 𝑢 = 𝜑(𝑥) thì

𝜕𝜑2

𝜕𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖

!

· · ·𝑛

Mệnh đề 1.2.36 Tính chất của kéo lui:

(a) 𝜑∗(𝑎𝜔1+ 𝑏𝜔2) = 𝑎𝜑∗𝜔1+ 𝑏𝜑∗𝜔2, với 𝑎, 𝑏 ∈ R (tính tuyến tính).

(b) 𝜑∗(𝜔1𝜔2) = (𝜑∗𝜔1)(𝜑∗𝜔2) (kéo lui của tích bằng tích của kéo lui).

(đạo hàm và kéo lui giao hoán).

Chứng minh. Hai tính chất đầu được để trong phần bài tập

(c) Ta kiểm bằng cách tính toán ra công thức tường minh Viết 𝑥↦→ 𝑦𝜑 ↦→ 𝑧 Trước tiên cho𝜓một hàm thực 𝑓 theo biến 𝑥 ta có ngay 𝜑∗(𝜓∗( 𝑓 )) = 𝜑∗( 𝑓 ◦ 𝜓) = ( 𝑓 ◦ 𝜓) ◦ 𝜑 = 𝑓 ◦ (𝜓 ◦ 𝜑) =(𝜓 ◦ 𝜑)∗( 𝑓 )

Do kéo lui của tích bằng tích của kéo lui, ta chỉ cần kiểm tra công thức (1.2.37) cho kéolui của một dạng 𝑑𝑧𝑖 Theo công thức đạo hàm của hàm hợp:

Ở bước cuối ta đã dùng công thức đạo hàm của tích (1.2.22), và 𝑑2=0 

Ghi chú 1.2.39 Trên đây chúng ta đã thảo luận một cách trình bày tương đối trực tiếp, ngắn

gọn và dễ hiểu về dạng vi phân trong không gian Euclid Trong các tài liệu khác người ta có

thể gọi đây là cách trình bày địa phương, sử dụng hệ tọa độ Các tài liệu này thường chỉ coiđây là một biểu hiện cụ thể của một lý thuyết toàn cục không dựa vào hệ tọa độ, sử dụng đại

số đa tuyến tính và các tensor Chẳng hạn công thức mà ta dùng làm định nghĩa của dạng viphân (1.1.3) chỉ là một định lý trong [Mun91, tr 235]

1.2.5 Tích phân của dạng

Định nghĩa 1.2.40 Cho 𝑓 𝑑𝑥1· · · 𝑑𝑥𝑛 là một dạng bậc 𝑛 trên 𝐷 ⊂ R𝑛 Ta định nghĩa tíchphân của dạng này là

∫𝐷

𝑓 𝑑𝑥1· · · 𝑑𝑥𝑛=

∫𝐷𝑓

𝑓(𝜑(𝑢))| det 𝐽𝜑|𝑑𝑢1𝑑𝑢2· · · 𝑑𝑢𝑛 (1.2.41)

Có một sự khác biệt về dấu của định thức của đạo hàm giữa công thức đổi biến của tích phân(1.2.41) với công thức đổi biến của dạng (1.2.35) Sự khác biệt đó sẽ mất đi nếu ta chỉ xétcácphép đổi biến bảo toàn định hướng, là các phép đổi biến có định thức của Jacobi luôndương

Mệnh đề 1.2.42 (tích phân dạng không đổi qua phép đổi biến bảo toàn định hướng)

Nếu 𝑈,𝑉 là hai tập mở trong R𝑛, 𝜑 là một phép đổi biến bảo toàn định hướng từ 𝑈 lên 𝑉,

và 𝜔 là một dạng bậc 𝑛 khả tích trên 𝑉, thì

∫𝑉

𝜔 =

∫𝑈

𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦))

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)

... khơng dựa vào hệ tọa độ, sử dụng đại

số đa tuyến tính tensor Chẳng hạn công thức mà ta dùng làm định nghĩa dạng viphân (1.1.3) định lý [Mun91, tr 235]

1.2.5 Tích phân dạng< /b>