Giáo trình lý thuyết phần tử hữu hạn tập 1

Xấp xỉ hàm Trong tư tưởng của phương pháp gần đúng này, các hàm cần tìm là các hàm thoả mãn các điều kiện biên và xấp xỉ cho biến trường cần tìm tại điểm bất kỳ, là tổ hợp tuyến tính của

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

MỤC LỤC

Lời nói đầu:

Chương 1 : Nhập môn

1.1 Điều kiện cân bằng

4.2, Điều kiện biên

1.3 Xap xi nghiệm

1.3.1 Xap xi ham

4.3.2 Phuong pháp sai phân hữu hạn

4.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 2 : Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu

2.1 Các điều kiện cân bằng

2.2 Quan hệ biến dạng và chuyển vị

2.3 Các quan hệ vật liệu tuyến tính

2.4 Nguyên lý công khả dĩ

2.5 Các nguyên lý năng lượng

2.8 Áp dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 3 : Tính chất phần tử

3.1 Mô hình chuyển vi

3.2 Quan hệ giữa bậc tự do nút và các tọa độ tổng quát

3.3 Yêu cầu hội tụ

5.2.2 Các bước cơ bản trong phân tích PTHH

Chương 6 : Chương trình PASSFEM

Chương trình con PASIN

Chương trình con FELIB

Chương trình con COLUMH

Chương trình con CADNUM

Chương trình con PASSEM

Chương trình con PASOLV

Chương trình con PASLOD

Chương trình con DISP

Chương trình con cho phần tử dàn 3D

Chương trình con cho phần tử thanh 3D

sự xuất hiện của các máy tính cá nhân (PC) cùng với những tiến bộ to lớn của công nghệ tin học trong những năm gần đây mới thật sự cho phép phương pháp tính này được ứng dụng một cách phổ biến và rộng rãi Cùng với việc tính giải các đại lượng cơ học của kết cấu như Biến dạng; Ứng suất; Chuyển vị PP PTHH còn là cơ sở của lĩnh vực mô phỏng hoá trong các bài toán thiết kế Thông qua sự phát triển của kỹ thuật đô hoạ trên máy tính người ta có thể mô phỏng hoá các hoạt động của kết cấu; giả định vô số các phương án tính toán để từ đó chọn lựa giải pháp tối ưu Điều này cho phép giảm chỉ phí và thời gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống

Hiện nay cùng với sự tiên bộ của khoa học kỹ thuật máy tính đã trở thành một bộ phận quen thuộc và không thể thiếu trong các hoạt động nghiên cứu cũng như _ứng dụng thực tiễn Theo đó cũng ngày càng xuất hiện nhiều hơn các chương trình tính toán sử dụng PP PTHH với phạm vi ting dụng ngày càng phong phú và

đa dạng : tính toán kết cấu; tính toán nhiệt; điện từ; mô phỏng; tối ưu hoá V.V Đối với thực tế ở Việt nam PP PTHH cũng đã từng được nghiên cứu

và ứng dụng khoảng 15 đến 20 năm trở lại đây với số lượng người tham gia nghiên cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vì ứng dụng ngày càng phong phú thêm

Để đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứa PP PTHH - nắm bắt các khía cạnh, cốt lõi của nó theo một trình tự LOGIC và tạo điều kiện cho các đọc giả có thể vận dụng nó để lập trình tìm lời giải cho một bài toán cụ thể, tập thể tác giả chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu và biên soạn tài liệu này Để tài liệu có thể đến

LÝ THUYẾT PHẦN TỬHỮU HẠN

được tay bạn đọc chúng tôi đã tham khảo nhiều tài liệu của các tác giả nổi tiếng

nhu R.L Taylor, E.L.Wilson, K.Bathe, S.Timoshenko, O.C.ZienkieWicz v.v và

cuối cùng đã chọn cách trình bày nội dung sách theo tài liệu: Finite Element Analysis - Theory And Programming ciia tac gid C.S Krishnamoorthy Sách này được biên soạn chủ yếu phục vụ các đối tượng nghiên cứu có trình độ đại học và trên đại học (nghiên cứu sinh, học viên cao học .), thuộc khối Ky thuật công trình và Cơ kỹ thuật - Là các đối tượng đã được trang bị tốt các kiến thức về lý thuyết ma trận, về đại số tuyến tính và tin học đại cương Đây là một cuốn sách được trình bày theo kiểu giáo trình với các diễn giải lý thuyết cô đọng

và dễ hiểu, có phân ví dụ mình hoạ và giải thuật để người đọc có thể vận dụng Sách được trình bày với tổng số l3 chương xuất bản thành 2 tap

Tap [ - sôm 7 chương trong đó 5 chương đâu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết chung của PP PTHH Chương 6 là cấu trúc và giải thuật của một chương trình tính mình hoạ Chương 7 trình bày các lý thuyết tính giải bài toán thanh phẳng (2D) và thanh không gian (3D) |

Tap 2 : g6m 6 chương còn lại trình bày các dạng bài toán điển hình của

PP PTHH : bài toán vỏ; bài toán ứng suất; tấm chịu uốn; bài toán nhiệt động v.v và cuối cùng là phân mã nguồn của toàn bộ chương trình tinh theo các lý thuyết đã trình bày trong các chương trước

Tuy nhiên do kiến thức còn hạn chế, thời gian biên soạn ngắn chắc chắn trong lần xuất bản đâu tiên này không thể tránh khỏi các sai sót đáng tiếc, xin được thông cảm và rất mong nhận được các ý kiến đóng góp xây dựng của các đọc giả gan xa

CAC TAC GIA

Trong không gian 3 chiều tổng quát, các ẩn số trên tạo lên các trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất và bài toán đặt ra là các bài toán của lý thuyết trường, trong đó các ẩn số cần tìm trên được gọi chung là các biến trường Để có thể nhận lời giải, trước hết cần xác định các quan hệ cơ học (các điều kiện ràng buộc) giữa chúng cùng với ngoại tải tác dụng lên cơ hệ

Các điều kiện ràng buộc thường được phân thành :

Điều kiện trường : điều kiện viết cho trường các thông số bên trong kết cấu

Điều kiện biên viết cho trường các thông số trên biên của kết cấu (với các bài toán động còn cần tới các điều kiện đầu)

1.1 Điều kiện côn bằng

Điều kiện cân bằng, về toán, có thể hình thành theo các phương pháp của phương trình vật lý-toán (phương trình đạo hàm riêng) Điều kiện cân bằng cũng có thể hình thành bằng cách sử dụng phép tính biến phân

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng mô tả điều kiện trường của cơ hệ thường được hình thành từ các điều kiện cân bằng tĩnh học và điểu kiện liên tục của chuyển vị

Các phương trình đạo hàm riêng này cũng có thể nhận được bằng cách sử dụng phương trình Euler-Lagrange của nguyên lý biến phân như sẽ trình bày trong chương 2

Chang han trong sức bến vat liệu, bài toán uốn của dầm được mô tả bằng phương trình vị phân bậc 4

1.1.2 Tiếp cận biến phân

Ở phương pháp tiếp cận này, việc giải bài toán dẫn tới tìm cực trị của các phiếm hàm mô tả sự làm việc của kết cấu Phiếm hàm mô tả ở đây có thể là tổng thế năng hay năng lượng bù của cơ hệ Trong biến phân, như ta đã biết

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

để tìm cực trị phiếm hàm ta cho biến phân bậc nhất bằng không áp dụng cho cơ hệ, điều này dẫn tới phương trình cân bằng hoặc phương trình liên tục của bài toán, trong đó các biến trường phải thoả mãn Chẳng han thé năng của tấm đẳng hướng, chịu tải phân bố đều cường độ p được cho bởi

1.2 điều kiện biên

đối với các bài toán cơ học vật rắn biến dạng, để giải được, bên cạnh các điều kiện trường, phải kể đến các điều kiện biên Các điều kiện biên có thể

là động học - nghĩa là chuyển vị và đạo hàm chuyển vị phải tuân thủ, hoặc tĩnh học nghĩa là nội lực hay ứng suất phải tuân thủ, Khi giải các bài toán động còn cần thêm các điều kiện ban đầu

trên hình 1.1 minh hoạ dầm conson AB chịu tải phân bố đều Coi chuyển vị đứng w là biến trường Biến này phải thoả mãn phương trình vi phân cân bằng (điều kiện trường)

đj'w EI——=p

Hình 1.1 - Dầm conson chịu tải phân bố đều

Nghiệm của phương trình trên phải đồng thời thoả mãn điều kiện biên tại đầu mút A và B như sau :

"_ Điều kiện biên động hoc tai A

- Chuyển vị tại điểm A bang 0 wk» =

, ` đi + A bi 0 dw =0

- Góc xoay tại điểm A bằng ~ Ì¿-,

" Điều kiện biên tĩnh học tại B

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

khó hoặc không thể nhận được nghiệm giải tích Vì vậy trong tính toán thực

tế thường sử dụng các phương pháp số cho lời giải xấp xỉ, trong đó 3 phương pháp gần đúng sau là phổ biến :

máy tính

1.3.1 Xấp xỉ hàm

Trong tư tưởng của phương pháp gần đúng này, các hàm cần tìm là các hàm thoả mãn các điều kiện biên và xấp xỉ cho biến trường cần tìm tại điểm bất

kỳ, là tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các hàm được chọn trước Tiếp

đó vấn đề xác định biến trường chuyển thành bài toán xác định các tham số

tổ hợp của hàm xấp xi và các tham số này được xác định từ điều kiện các nguyên lý biên phân Các phương pháp biến phân cổ điển quen thuộc như Rayleigh-Ritz, Galerkin và phương pháp khử sai số điểm đều dựa trên tư tưởng xấp xi hàm, tuy nhiên giữa các phương pháp này khác nhau về thủ tục ước lượng các tham số cần tìm Phương pháp Raylejgh-Ritz có thể xét ngắn gon qua vi du minh hoa sau :

Xét dầm tựa khớp đơn giản, trên hình 1.2, chiu một tai trong tap trung P giữa nhịp và tải phân bố đều cường độ pạ Ở bài toán này, nếu xác định được độ võng của đầm thì đồng thời xác định được mômen uốn và lực cắt tại tiết diện bất kỳ Chọn hàm xấp xỉ cho độ võng w của dầm dưới dạng :

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

, 7F.X SH w= 4, Sin-——+ 4, sin —— (a)

‘Hinh 1.2 - Dầm tựa khớp đơn giản

Từ lý thuyết sức bên vật liệu cơ bản, ta đã biết thế năng biến dạng U của dầm chịu uốn là :

tự do Theo phương pháp Rayleigh-Ritz, các hệ liên tục được thay bằng các

hệ hữu hạn bậc tự do Đối với trường hợp các vật thể 3 chiểu, các biến trường w,u, v có thể xấp xỉ bằng hàm 3 biến :

này

1I =(H,y,w)= II(x,y,#,q, „,Ð, Є€, C (1.5) Như đã trình bày trên, đối với vật thể cân bằng bên, thế năng đạt tới giá trị đừng và khi biểu diễn thế năng qua các tham số tổ hợp hàm a,b,,c, thì phải thoả mãn các phương trình sau:

1.3.2 Phương pháp sai phân hữu han

Trước sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn đã được sử dụng để giải một số bài toán phức tạp của cơ học kết cấu Trong phương pháp này, vật thể hay hệ kết cấu được rời rạc bằng lưới các điểm nút như trên hình 1.3

Biến trường được mô tả bởi các trị rời rạc của biến tại các điểm nút Như vậy phương pháp sai phân hữu hạn không cho phép tính biến trường tại các điểm bất kì trong kết cấu mà chỉ tính trên một số hữu hạn các điểm nút Tuy nhiên khi lưới sai phân đủ dày, kết quả nhận được trên các nút của lưới sai

[TRE VIÊN HO GIÊY KÝ THUẬT GUÁN SỬ HC

phân cũng đủ để mô tả sự làm việc của kết cấu

_LY THUYET PHAN TU HOU HAN

Hình 1.3 - Rời rạc hoá theo phương pháp sai phân hữu hạn

Ví dụ trong trường hợp của tấm chịu uốn, chuyển vị pháp tuyến w tại mỗi nút được xem là ẩn số Phương trình vi phân mô tả sự làm việc của hệ và các điều kiện biên được chuyển về dạng sai phân hữu hạn Xét trường hợp tấm mỏng đẳng hướng, dạng sai phân hữu hạn của phương trình 1.2 viết cho mỗi nút của lưới hình vuông trên hình 1.4 là:

Hình 1.4 - Mẫu sai phân hữu hạn

Xét tấm vuông tựa khớp, kích thước 4m x 4m chịu áp lực 6kN/m? kể cả trọng luợng bản thân Bề dày tấm 12cm Giả thiết E = 2.10’kN/m’, p = 0.15 Rời rạc tấm bằng 25 nút như trên hình 1.5 Ngoài ra cần bổ xung các nút phụ 26 + 37 ngoài phạm vi tấm Điều đó là cần thiết như sẽ trình bày dưới

đây

Do tải và điều kiện biên là đối xứng qua hai trục cho nên ta chỉ cần xét cho

áp dụng các điều kiện biên :

(1) chuyển vị w = 0 doc theo gối tựa

W,=W, =W; = Wy = Ws SW, = Wig = Wy, = Wis = Wye

= Wag = Wo) = Wry = Wo; = Mự, = M¿; = Ô

(ii) mô men uốn bằng không dọc theo gối tựa

LÝ THUYET PHAN TU HOU HAN

W3, = Wg

W37 = Wig

(c)

áp dụng dạng sai phân hữu hạn của phương trình 1.7 cho các điểm nút 8, 9,

13, sử dụng điều kiện (a), (c) và điều kiện đối xứng ta được

Hình 1.5 - Rời rạc hoá tấm tựa khớp đơn giản

Rút gọn phương trình (đ) trên ta được:

LY THUYET PHAN TU HUU HAN

Thế các giá trị số trong phvong trinh (f) cho w,,,, = W,; ta dugc :

4

w = 1.03125 PA

INAX

6.0x 1.04

Ví dụ trên minh hoạ phương pháp giải bài toán khi dạng sai phân hữu hạn của phương trình vi phân mô tả sự làm việc của kết cấu là đã biết Trong trường hợp lưới rời rạc là đều đặn thì dễ nhận được dạng sai phân hữu hạn, tuy nhiên điều đó càng phức tạp hơn với lưới rời rạc bất kỳ Đặc biệt khi vật liệu không đẳng hướng, hình dạng vật thể là tuỳ tiện Nói chung phương pháp này ít được sử dụng trên máy để giải các lớp bài toán tổng quát Dầu sao những khái niệm rời rạc trong phương pháp này đã hình thành cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn

LY THUYET PHAN TỬ HỮU HẠN

4.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn

Argyris và Kelsey (xem chương [7]) là những tác giả có đóng góp chủ đạo trong phát triển các phương pháp ma trận cho phân tích kết cấu Trong các công trình của mình, các tác giả trên đã đưa ra các dạng ma trận cho phương pháp lực và phương pháp chuyển vị trên cơ sở ứng dụng các nguyên

lý năng lượng của cơ học kết cấu Tiếp theo phải kể tới các công trình của Turner, Clough, Martin và Topp đã dẫn tới phát minh phương pháp phần tử hữu hạn Clough trong nhiều tác phẩm đã mô tả vật lý cho phương pháp và

là người đầu tiên dùng thuật ngữ phần tử hữu hạn Từ đó hàng loạt các công trình đã ra đời trong 25 năm trở lại đây cả về nền tảng toán học lẫn các thế

hệ phương pháp để giải các bài toán trường của phân tích kết cấu (xem các chương [10,11,12]) Cũng trong thời gian đó, cùng với sự phát triển như vũ bão của công nghệ máy tính, một số lượng lớn các bộ chương trình đã ra đời

để phân tích phần tử hữu hạn và ngày càng chiếm vị trí trọng yếu trong lĩnh vực kỹ thuật này Dưới đây trình bày ngắn gọn tư tưởng phương pháp

Phương pháp phần tử hữu hạn khái quát những đặc điểm tốt nhất của 2 phương pháp xấp xi đã nói trên Đặc biệt nội dung phương pháp này được trình bày qua các khái niệm vật lý và vì thế nó hoàn toàn thích hợp với phương pháp tư duy của các kỹ sư xây dựng và kết cấu

Tư tưởng cơ bản của phương pháp là vật thể hoặc kết cấu có thể phân chia thành các phần tử nhỏ hơn, có kích thước hữu hạn và được gọi là các "phần

tử hữu hạn" Vật thể hay hệ kết cấu ban đầu được coi là tập hợp các phần tử được nối với nhau tại một số hữu hạn các điểm - “điểm nút” Như vậy khái niệm rời rạc trong phương pháp phần tử hữu hạn cũng giống như trong phương pháp sai phân hữu hạn

Các tính chất của phần tử được xây dựng và tổ hợp lại để nhận nghiệm cho toàn bộ kết cấu Ví dụ trong mô hình chuyển vị, theo phân tích phần tử hữu hạn thường chọn một số hàm đơn giản - “ hàm dáng ” để xấp xỉ đường cong chuyển vị trong phần tử theo chuyển vị tại nút của phần tử Thủ tục này tựa

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

như thủ tục đã dùng trong phương pháp xấp xỉ hàm theo Rayleight-RItz, điểm khác biệt là ở chỗ quá trình xấp xỉ các biến trường chỉ nằm ở mức phần tử Biến dạng và ứng suất bên trong phần tử cũng được biểu diễn theo chuyển vị nút Vì vậy có thể dùng nguyên lý chuyển vị khả dĩ hay nguyên

lý cực tiểu thế năng để dẫn ra phương trình cân bằng chỉ cho phần tử với

- các chuyển vị nút là ẩn số

Phương trình cân bằng của toàn kết cấu được thành lập từ tổ hợp các phương trình cân bằng của từng phần tử sao cho bảo toàn tính liên tục của chuyển vị tại các nút, nơi các phần tử được nối với nhau Đưa vào các điều kiện biên cần thiết và giải phương trình cân bằng đối với các chuyển vị nút Sau khi nhận giá trị chuyển vị nút của mỗi phần tử, có thể tính ứng suất và biến dạng theo các tính chất phần tử đã biết trước

Như vậy thay vì giải bài toán cho toàn bộ kết cấu trong một thuật toán, trong phương pháp phần hữu hạn, lưu ý chủ yếu tới hình thành các tính chất phần tử Các thủ tục tổ hợp phần tử, giải phương trình, tính ứng suất, biến dạng phần tử là như nhau cho mọi loại kết cấu Do đó phương pháp phần tử hữu hạn mở ra khả năng xây dựng các bộ chương trình có tính tổng quát, trong đó chứa thư viện các loại phần tử khác nhau và một khối chung cho tất cả các thủ tục phân tích khác Cấu trúc phân khối của tổ chức chương trình đã được 4p dụng cho phần lớn các bộ chương trình, đặc biệt sử dụng tiện lợi cho các bộ môn xây dựng khác nhau

Trong các chương sau của sách này sẽ trình bày các tính chất của các loại phần tử khác nhau, các thủ tục liên kết phần tử, kỹ năng giải và phát triển các chương trình tính toán cho các lớp bài toán khác nhau

2.1 Các điều kiện cân bằng

Xét trường hợp vật thể biến dạng trong trạng thái cân bằng Dưới tác dụng của ngoại lực, bên trong vật thể nảy sinh trạng thái ứng suất và bién dang Ngoại lực có thể là các lực tập trung, lực diện hay lực khối gây ra từ trọng lượng bản thân kết cấu Các lực khối tác động bên trong vật thể (ï) và có thứ nguyên là lực/đơn vị thể tích lực trên biên vật thé (ii) biểu diễn qua lực/đơn vị diện tích Ta thử xét điều kiện cân bằng tại một điểm bên trong vật thể

Trên hình 2.1 minh hoạ phân tố vi phân dx.dy.dz bên trong vật thể biến dạng, trạng thái ứng suất tổng quát và chuyển dịch từ điểm A đến A' Các thành phần lực tác động lên phần tử song song trục X, như trên hình 2.1b phải cân bằng: Ð_F, =0 ta có :

Chương 2 - Cúc nguyên lý cơ bản của cơ học kết cốu 25

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

Z5, dxdydz + Ox 4 —~ dxdydz + TT quy + X,dxdpdg = 0 a

Chia 2 vế cho dx.dy.dz ta được điều kiện cân bằng

Oo, ỞT,,

Tương tự, áp dụng điều kiện cân bằng tĩnh học cho các lực tác dụng đọc

26

Chương 2 - Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cốu

Hình 2.1b - Các lực tác dụng lên phân tố theo hướng x

Phương trình cân bằng mô men đối với các trục x,y,z là :

LÝ THUYET PHAN TU HOU HAN {o}" =[o, Ơ, Ơ, Tự Ty r.] (2.3)

Thay phương trình (2.2) vào (2.1) ta có :

Go, + Oly + Ox,

x

Hình 2.1c - Hệ lực tác dụng lên phần tử trên biên

Để phân tố cân bằng thì phải thoả mãn các phương trình sau

O,L+T,m+T,n=X,

tT ,l+t,m+on=Z, Trong d6 J, m, œ là các cosin chỉ phương của pháp tuyến bể mặt tại điểm xét Phương trình 2.4 thường được gọi là các điều kiện biên tĩnh học

28 Chương 2 - Cóc nguyên lý cơ bản củo cơ học kết cốu

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

Điều kiện cân bằng cho phân bố ứng suất hai chiều

Các điều kiện cân bằng tĩnh học trong và trên biên cho phan tố ứng suất hai chiều (chẳng hạn trong mặt phẳng 0XY) có thể suy trực tiếp từ phương trình 2.1.a và 2.4 Bằng cách loại bỏ mọi thành phần lực tác dụng theo

2.2 Quan hé bién dang va chuyén vi

Chuyển vị tại một điểm của vật thể biến dạng có thể mô tả bằng các thành phần u,v,w song song lần lượt với các trục X,Y,Z của hệ toạ độ Đẻcac Các

thành phần của chuyển vị này nói chung là hàm của các toạ độ X, Y, Z

Biến dạng trong vật thể biến dạng chính là các đạo hàm riêng của chuyển

vị u, v, w Mối quan hệ chuyển vị - biến dạng được cho bởi các hệ thức vi phân sau :

Chương 2 - Cóc nguyên lý cơ bản của cơ học kết cốu 29

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

_ Ov Ou | Oudu Ov Ov w Ôw Z»===†—†|———+?+——+——_—-

Ox Oy |OxO0Oy OxOy Oxdy

Từ phương trình (2.9) ta thấy nếu đã biết các thành phần chuyển vị dưới dạng các hàm liên tục của toạ độ x, y, z (thoả mãn các điều kiện biên động học) thì dễ dàng xác định được các thành phần biến dạng Ngược lại khi đã biết các thành phần biến dạng thì chúng ta

có 6 phương trình để xác định 3 thành phần chuyển vị ư,y,w Điều

đó có nghĩa là giữa các thành phần biến dạng phải thoả mãn các điều kiện nhất định Các điều kiện này nhận được bằng cách khử u,

v, w ra khỏi phương trình (2.9) và được gọi là các điều kiện tương thích (hay còn gọi là điều kiện liên tục của biến dạng) Ta có 6 điều kiện tương thích sau : |

LÝ THUYET PHAN TU HỮU HẠN

2.3 Cac quan hệ vột liệu tuyến †ính

Để xác định ứng suất trong các thành phần kết cấu, cần xác định được quan hệ giữa ứng suất và biến dạng Ta giả sử xét kết cấu chế tạo từ vật liệu đàn hồi, tuân theo định luật Hook Dưới dạng tổng quát, theo định luật Hook thì sáu thành phần ứng suất được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của 6 thành phần biến dạng Như vậy đối với vật liệu đồng chất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính phải thoả mãn quan hệ

Các ma trận [C] và [D] là đối xứng và như vậy ta cần 21 hằng số đàn hồi

để mô tả quan hệ vật liệu cho vật rắn đàn hồi tổng quát

32 Chương 2 - Cóc nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

Nếu vật liệu có 3 mặt đối xứng trực giao thì chỉ 9 hằng số đàn hồi là đủ

mô tả quan hệ vật liệu

Trong đó x - y, y- Zz, z - x là các mặt vật liệu đối xứng

2.3.1 Biến dạng và ứng suất ban đầu, ảnh hưởng nhiệt độ

Trong một số trường hợp, kết cấu có thể có ứng suất dư ban đầu trước khi biến dạng Các ứng suất trước{GØạ} này có thể tác động cùng với ứng suất

do biến dạng sinh ra

Kết cấu cũng có thể chịu các biến dang ban đầu {£ạ} (chẳng hạn do biến thiên của nhiệt độ), ứng suất nảy sinh trong kết cấu là do sự sai khác giữa biến dạng thực và biến dạng ban đầu

Về tính toán, như vậy khi kể tới ứng suất và biến dạng ban đầu, phương trình 2.12 a có dạng

Như đã chỉ ra trên, ảnh hưởng của nhiệt độ có thể xét như biến dạng ban đầu {e,} trong vat thé Vi du néu T là lượng chênh nhiệt độ, biến dạng ban đầu trong vật liệu đẳng hướng là :

Chương 2 - Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu 33

nhiệt độ ta thế phương trình 2.14 vào 2.13 và đặt thành phần {ơ,}= 0

2.3.2 Vật liệu đàn hồi đẳng hướng tuyến tính

Vật liệu đẳng hướng là vật liệu mà mọi mặt phẳng đều là mặt phẳng vật liệu đối xứng Với loai vật liệu này chỉ cần 2 hằng số vật liệu (Modul đàn hồi E và hằng số Poisson up ) là đủ để mô tả mối quan hệ vật liệu Khi biểu diễn biến dạng qua ứng suất, quan hệ vật liệu, kể cả ảnh hưởng của nhiệt

ứng suất phẳng : Điều kiện ứng suất phẳng được đặc trưng bởi giá trị ứng suất rất nhỏ theo một trong các hướng pháp tuyến nào đó (chẳng hạn theo hướng trục 0Z) Hình 2.2 (a) là ví dụ về trạng thái ứng suất phẳng

Tấm mồng chịu tải tác dụng trong mặt phẳng tấm

Trong các trường hợp này các thành phần ứng suất Ø;, 1;;, Ty; bằng không

và không có thành phần ứng suất nào thay đổi dọc theo chiều dây tấm Nghĩa là các thành phần ứng suất còn lại Ø,, Ơy, 1„y chỉ phụ thuộc vào x và

y mà thôi Kết cấu ứng suất phẳng trong thực tế thường có dạng tấm hoặc thanh phẳng chịu tải trọng trong mặt phẳng của kết cấu

Quan hệ vật liệu trong trạng thái ứng suất phẳng :

Chương 2 - Cúc nguyên lý cơ bản của cơ học két cau 35

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

phụ thuộc vào z từ đó suy ra:

36 - Chương 2 - Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu

y, các thành phần ứng suất là độc lập đối với góc 9, và toàn bộ các đạo hàm theo Ô triệt tiêu Các thành phần w, T;o Yyø ›Yzo tey bằng 0 quan hệ chuyển vị biến dạng có dạng

Chương 2 - Cúc nguyén ly co ban cua cơ học kết cấu 37

vị khả đĩ và nguyên lý luc kha di

Nguyên lý chuyển vị khả dĩ dựa trên cơ sở công khả đĩ sinh ra bởi các lực thực qua các chuyển vi kha đĩ Như sẽ chỉ ra về sau, nguyên lý này dẫn tới điều kiện cân bằng và được sử dụng để hình thành mô hình chuyển vị của phương pháp phần tử hữu hạn Còn nguyên lý lực khả đi sử dụng công khả

đĩ sinh ra bởi các lực khả dĩ trên các chuyển vị thực Từ nguyên lý lực khả

di dan tới điều kiện liên tục và được dùng trong mô hình cân bằng lực

Chương 2 - Cóc nguyên lý cơ bỏn của cơ học kết cấu 39

————snằỶtễ

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.4.1 Nguyên lý chuyển vị khả dĩ

Trong trường hợp vật rắn hay kết cấu 3 chiều, chuyển vị tại một điểm bất

kỳ được xác định bởi 3 thành phần u, v, w song song với các trục của hệ

toa độ để các x, y, z Các chuyển vị u, v, w là các hàm liên tục của các toạ

độ x, y, z Chuyển vi kha đĩ bất kì cũng là các hàm liên tục hơn nữa cũng

phải thoả mãn các điều kiện biên động học

Xét vật thể 2 chiều trên hình 2.2a Các điều kiện cân bằng viết cho ứng

suất bên trong và trên biên vật thể là các phương trình 2.5 và 2.6 xin được

viết lại như sau

Ox Oy

o,l+t,,m= X,

(2.6) T,l+o,m=Y,

Nhân lần luot phuong trinh can bang 2.5 vdi du va dv réi lấy tích phân

theo dién tich vat thé

Oo OT, ét,, Oo,

IÌÌ + By +x, Jone| 2y + 2y «4, oa =0 (2.26)

Dé sang tổ ý nghĩa vật lý của phương trình ta quan niém du va dv 1a cac

chuyển vị khả dĩ, đồng thời khai triển mỗi thành phần nhờ công thức

Green 2 chiều Nếu @(x,y) và W(x,y) là các hàm liên tục cùng với đạo hàm

riêng cấp 1 và 2, thì theo công thức Green

Như vậy phương trình 2.26 được chuyển thành :

đồn O dv đổy đu

_ i> 2x 2y cu 22H aay 2y [[(X,ôm+ Y,&y Jax dy

+ flo t+ rm) dut (1,14 om ).5v]dS = 0

(2.31)

Mỗi tích phân trong phương trình trên đều có ý nghĩa riêng Tích phân thứ

2 ở vế trái 2.31 là công khả dĩ thực hiện bởi các lực khối trên các chuyển

vị khả dĩ õu và õv tích phân đường có thể đơn giản hoá nhờ phương trình 2.6 như sau :

[io A+ ty.m)bu+ (t,,4+0,.m)dv] dS = [(Xsôu+Y,ôv)4S — (2.32)

Như vậy tổng công khả dĩ của ngoại lực öw, bằng :

ðW, = [[(X,öu + Y,öy)dxdy + [(X,öu+ Y,äy)4S (2.33)

T3 Chương 2 - Cóc nguyên lý cơ bản của cơ học kết cếu 41

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

Để dẫn ra ý nghĩa của tích phân thứ nhất trong vế trái của phương trình

2.31, ta xét phân tố dxdy có chiều dày đơn vị, chịu ứng suất ơ, như trên

hình 2.3:

Hình 2.3 - Phân tố vi phân chịu ứng suất

Giả sử phân tố được gán chuyển vị khả đĩ ôu và vị trí chuyển dịch như trên

hình 2.3 Công khả đĩ của nội lực thực hiện bởi ứng suất ơ, là :

ou “| —ơ,.dy.ổu =ơ, = dxdy (2.34)

l x

Ox

2,023

Như vậy tích phân thứ nhất của phương trình 2.31 là tổng công khả dĩ của

nội lực do hệ ứng suất Ø„, Øy, 1„„ sinh ra

Đồng thời chuyển vị khả dĩ õu sinh ra biến thiên biến đạng :

ổu + 23t dư —ÔM

Biến dạng de, được gọi là biến dạng kha di theo phương X

Thế 2.35 vào 2.34 ta được công khả dĩ của nội lực thực hiện trên ứng suất :

Cong kha di cua ndi luc = 0, 6¢, dxdy (2.36)

42 Chương 2 - Cóc nguyên lý cơ bản của cơ học kết cốu

LÝ THUYẾT PHẦN TỬ HỮU HẠN

Như vậy ta có thể viết lại tổng công khả dĩ của nội lực cho bởi tích phân thứ nhất của phương trình 2.31, như sau :

ôU = [[(ơ,ô£, +ơyô£, ++„.ỗy „ ) dxdy (2.37)

Các kết quả trên có thể mở rộng ra cho các hệ ứng suất 3 chiều (biểu thức 2.3a) Tổng công khả đĩ của nội và ngoại lực có thể biểu diễn bởi phương

trình sau :

OW, = ||[(X,õu+Y,ôv+Z,6w) 4V + [| (Xsôu+Y,8+Z,ðw)4S (2.38)

Trong đó S1 : phần bề mặt chịu ngoại tải Phương trình trên có thể viết ngắn gọn dưới dạng ma trận

8U = [If {oe} fo}av

Theo trình bày trên phương trình 2.31 trở thành

Từ đó có thể kết luận là quan hệ 5We = SU là điều kiện cần và đủ để hệ cân bằng, và nguyên lý chuyển vi kha di có thể phát biểu như sau: Hệ biến dạng là cân bằng khi tổng công khả dĩ của ngoại lực bằng tổng công khả dĩ của nội lực đối với mọi chuyển vị khả dĩ thoả mấn các điều kiện biên động học

2.4.2 Phương pháp chuyển vị đơn vị cưỡng bức

Xét vật thể hay hệ kết cấu trong trạng thái ứng suất Ø„, Ơy, Ø;; T„y; Tx;; Ty;- Giả sử cho chuyển vi khả dĩ ồr tại điểm đặt lực và theo hướng của ngoại lực P, đồng thời giữ nguyên vị trí của các tải trọng khác Nghĩa là chuyển

vị khả dĩ của các ngoại tải còn lại bằng không Khi đó công khả dĩ của các ngoại tải là P.õr Còn chuyển vị kha di Sr gay lén các biến dạng kha di Ô£,,ỗ£,,Ô£, „ðy „27 „ Lheo nguyên lý chuyển vi khả đĩ ta có :

Pér= ne (0 66, + 0 ,O&, + 0 OF, + TOV y + T OY yz +T,OV 4.) dV

Giả sử 5r bang don vị ta có :

P= {iL (0,56,,+0,58, + 4+ 7,07.) V (2.44)

44 Chuong 2 - Cac nguyén ly co ban cla co hoc két cau