TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ( CÓ LỜI GIẢI )

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ( CÓ LỜI GIẢI )

BAI TOAN CHUNG MINH

85 Cho a > 0 và f(x) là một hàm chắn, xác định và liên

tục trên R Chứng minh rằng với mọi x e R, ta đều có:

i node = [fĐát

Hướng dấn: Đặt z = — t, dt =?, f(t) =

Chứng minh [ f(t)dt = ['f(t)dt

GIẢI

Đặt z =— t; dt =— đz, ta có:

f F(t)dt = (ice) x f(-2)(-dz) =f a’f(z)dz _ f a'f(Œ)dt

(at +1—Đf(ĐĐát — sa = [f(Đát- [ at — œ f(Đát f(Đát 1

* Xem tích phan: 1= [' f(bdt

Đặtu =~t=I= [f@)Cdu) = [f@)du = [rat

f(Đát 1 Dodo tacé: [org = 5 c2} fŒĐát = [f(Đát

fΠat

Vậy: Với giả thiết đã cho, ta có: Ea fat x = [f(Đát

wax

86 Chứng minh rằng: lim m [>< =0

Hướng dấn:

vx e [O1], ta có nhận xét gì về nhị thức (1 + x) ?

xe

1+x

GIẢI

Với mọi x e [0;1], ta có:1+x >1

So sánh biểu thức: va n®, với x e |0;1]

1 "

=0< Tas =>0< [yx <x”

Suy ra: osm 2 x'dx slim 1 =0

87 Cho: I, = ['x"Vi-xdx (n ¢ N)

= 2n+2y)

_?#n+5 1

1 Chứng minh rằng: I,„

2 Chứng minh rằng: lạ < ———————

Hướng dấn:

1 Dùng phương pháp tích phân từng phần

Tinh Ina bang cách chọn: u = x"”, dv = V1~ xdx

Suy ra hệ thức phải tìm Tính I,

2 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 2n và (2n + 2),

1

st ng: ——=—=—c é

vy ra rane: Jo@n +2) 2n+l

Từ đó ta có đpem

GIẢI

1.) Xem tích phân: I¡„¡ = fen 1-xdx

asl du = (n + 1)x"dx

u=x

wo lan = CET + Aine) ec — x) Vim xdx

2n+2

2n+5

2n+2 Vay: I,, ay: Ina = Foes ===],

2) Do đó ta 06: I, = 27-1,

2n+3

as 2(n - 1) la

2n+1

2(n - 2)

#7” an-1 "9

6 b= Gh

4

= Sl,

2

n=l

2

b=2

a)

2n_ 2n-1) 2n-2) 6422 2n+3' Qn+1 2-1" 9753

"Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có;

/2nGn+2) < 2n+(2n+2 2n

lạ=

2

=>

—1 _ < 1

2n(2n+2) 2n+l

_2n

Do đó, ta có:

2n+8 “J5

2-1 2a-1)

2n+l \V2n+2)2n

2m-3) 2-9)

2n-1 ` J2n(2n - 2)

A

Ola

10.8

a

4

7 v86

2.2

5 V6.4

2.2

3 4.2

Suy ra: lạ ‹——” —_ 2m-D 2n-2_ os

v(2n + 4)(2n+2) J(2n+2)2n V2n(2n - 2)

$4, 2 2 _v10.8 V8.6 V6.4 J4.2

1

1

Vậy: lạ< ————=——

88 Cho: I, = [ x"sinaxdx (n e N)

1) Chứng minh: limI, = 0

2) Đặt: S„ = lọ + l + + I,

Chứng mình: lim S, = [!®* ax

Hướng dấn:

1) Lưu ý rằng: 0 < sinxx < 1 Vx e [0;1]

Nhắc lại: Cấp số nhân có số hạng thứ nhất uạ, công bội q thì tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số là:

1-

Uï + Uy + + Un = Tra uy

GIẢI

1) Ta có: 0 <sin xx < 1 Vx e [0;1]

=0 < x3inmx < x" Vx e [0;1]

xn b= 1

=0< [x sin mxdx 5 [x"áx = Š lo =

Do đó ta có:0 < limI, < lim ae oven dl > lim], ase

Vay: lim I,

aoe 2) Xem téng sé:

S, =b+ht+ +¢h= [Œ+x+ + x")sin mxdx

21-90, sin mxdx 1x®"! sin nxdx

= sinmxdx = | ———— - | — 7Kex

Ta có: lim SĐ5š _ jịm Z€995X _ aoe 1-x ham S

= ham Š 5X lan tục trên đoạn [0;1]

-x

Do dé tén tai M>0 dé: 22% <M vx [0;1]

-x

ax!

<M "dây =

asl gi

= lim X Sim Đo aoe 1-x

Suy ra: lim S, = lim sin mx dx = noe nove 1x [Suy 1-x

* Dùng phương pháp đổi biến số

Đặt: u = œ (1 — x) = du =-xdx => dx = _ du

T

Khi x =0 thìu =z;x= 1thìu=0

= psing—u)-du _ œsinu

= Jims, = [=R RE = LÊ du

TL

Vay: limS, = ["*ax a0

x

89 Cho f là m6t ham sé lién tuc trén [0;1]

Chứng minh rằng: [f(sinx)dx = 3 [”f(sin x)dx

Hướng dấn:

Bài toán này đã được chứng minh trong bài 57 cách 2.

GIẢI

Ta có thể viết: [f(sinx)dx = [”f(sinx)dx + Í,fGin x)dx

Xem tích phân: L = [„f(sin x)dx

Đặt u = x— x © x = m— u = dx =— du

Khix= = thius 2 ;x=nthiu=0

Do đó ta có:

L= [ ,f[sinœ~u)|Cdu) = [”f(sinu)du = [”fGinx)dx

Suy ra: ['f@inx)dx = 2[ ”f(sinx)dx

90 Xét tích phan: I, = ữ sin"xdx, (n e N)

1) Chứng minh ring: Ine = ^ t1, nid

2) Chứng mỉnh rằng: ham f:N > R

fí(n) = (n + I) lạ lại

là một hàm hằng số

Hướng dấn:

1) Dùng phương pháp tích phân từng phần:

Chon u = sin™*!x, dv = sinxdx

2) Tinh f(n + 1) Suy ra dpem

GIẢI

Xem tích phân: Iạ,› = là xdx (neN)

u=sin""x (du = (n +1)cosxsin" xảx

Chọn =>

dy = sin xdx v = -cosx

«nel % 2 os? x si

= lš¿¿ = — sin" xcosx ke +ín+ vf cos’ x sin” xdx

= (n +1) ["Q-sin? x)sin® xdx

= (n +1) ["(sin® x- sin”? wax

=(n+1) [am xdx — [sine xax |

= Ine = (n+ 1) [I, - 1,9]

Inet t+ D Ine = (n+ DI,

+

a ; L 2) Ta có: fín + 1) = (n + 2)Ï„„¡ Iạ„¿ = (n + 9) Tax2 Tay

=(n+1)]¿ l;„¡ = Ñn)

Tương tự, ta có: f(n) = fn — 1) = = f(2) = ẤU) = 0)

Ta có: f(0) = lọ I¡

Với le [“dv =x [Ế =

© (n+ ne = (n + Dy > Inyo =

^

2

= ữ Sỉn xdx = — cosx lg =1

TL

0) =2

=> £0) 5

Vay: ham f da cho là một hàm hằng: f(n) = 3 VneN

uted (x > 1) Tim lim I(x)

1_ _(Œ+D-t

t+1) — tŒ+D)

Suy ra I(x) > dpem

91 Dat I(x) = ƒ

Hướng dấn: Ta có thể viết:

GIẢI

2 T(x) = = f[2-_k_ lạt

Ta 06: I(x) (yop f he

= (Int - In(t + 1))|* = (int

2x

= màn + In: 2= Int

Vay: 100) = In, x > 1

x+1

Do đó ta có: lim Ix) = lim (in 2x ) =In2 lim tim na

92 Cho I, = [tan xdx (n N)

1) Chứng minh rằng: I„ > Tne

2) Tìm một hệ thức giữa I,„ và I;„;

Hướng dấn:

1) Vxe€ [oz], ta có tanx e ?

Nhận xét rằng: Nếu 0 < a < 1 thì a" < a" nếu m>n

2) Viết: tan"*?x = tan2xtan"x = (tan”x + 1 ~ 1)tan"x

GIẢI

Với mọi x e DI 06: 0s tanx <1 = 0 < tan™"x < tan"x

Do đó ta có: [tan xdx > [tan xdx > 1, > Ina

2) Ta có thể viết:

Th = f“tanh# xdx = “tan? xt an” xdx

= Í Œan?x+1~1)tan° xảx

fi &an? x + 1)ban" xdx — fi tan® xdx "

fi tan® xd(tanx)-1,

1

2 I, va Inga, 06 hé thie: In + Inve =

n+l

93 Cho a, ¢ 1a hai hằng số Giả sử f(x) là một hàm số

xác định trên R và:

af(x) = f'(x) với mọi xe R`

f(0)=ec

Chứng minh rằng: f(x) = ce™

Từ kết quả đó, hãy tìm hàm g(x) nếu biết:

Ï gằœdx = gŒœ) với mọi x e R

Hướng dan: Hàm số nào có đạo hàm bằng “—? Nếu -— = a thì:

u u

[Ƒ& = fadx = ax +C = Inu=ax+C

GIẢI

Theo giả thiết, ta có: f(x) = afx) > —~ =a

f(x)

Do dé ta c6: £2 dx = fadx = Inftx) = ax +C

f(x)

=> fx) =e" = ef e™*

Cho x = 0, ta c6: f(0) = e° => e° =

Do dé: f(x) = ce™

Ta có: [ gœdx = g(x), Vx e R= g(x) = g(x), Vx e R

Theo trén, ta cé: B's) = g(x) VaeR =g(x) =0 Vxe R

g(0) =0

Vậy: hàm số g(x) phải tìm là g(x) = 0 Vx e R

e”dx

94 Cho I, = ts =

+e

1) Tính I,

2) Với n > 1 Hãy tìm công thức biễu diễn I, qua I„ạ

Từ đó tính limI,

Hướng dấn:

1) Tinh I: Ding phương pháp đổi biến số:

9) Với n > 1 Hay tinh I, + In

Cần chú ý rang: limI, = limI,_,

mute? ate

GIẢI

1D) Ta c6: 1, = FEE dats t= 14 ets dt = 0% ax

Đổi cận: Khi x = 0 thit=2;x=1thit=1+e7

aie fost s f Mint

= t ve’ t

2 leet

2 2e

=Ìn2 - In(1 + e)=In

Vay: I, = in

e+1

2) Với n > 1, ta có:

ae "*dx e-(n-1)x

ey gtd

= [2 ea dx = feo ™dx

e

¬—-

= 1 ( aò gì) €9)-1

net

Do đó ta có: I, = 4-1, ,

(a -De"

ot

= limt, = lim{ 1-7, | bove aoe((n—De™! ®

=0- limI,, = -limI, = lim], =0

Vay: limI, =0

95 Ta nói rằng hai hàm f(x) va g(x) là trực giao với

nhau trong đoạn [-n,mx] nếu: J £0g(@)dx = 0 Hay chứng tỏ rằng hàm: u„ = cosmx, trực giao với các

ham: u, = coskx, (k # m) va v, = sinnx, (m, n, k € N)

Hướng dấn:

Chỉ cần chứng minh rằng: Ĩ cosmxcoskx dx =0,k#m

va f sin nx cos mx dx = 0

Cần nhớ các công thức: cosa cosh = ; [cos(a + b) + cos(a - b)]

sina cosb = sisina + b) + sin(a — b)}

GIẢI

Ta có: [ cosmxcoskxdx = 5 [[ [eos(m + k)x + cos(m ~ k)x] dx

ity 1 sintm -

= 3[ 2 sintm + + 2 sini k»x]

mkeNom+k,m-keZ

"mek

Suy ra: sin(m + k)n, sin(m — k)m, sin(m — kỳn, sin(-m + k)x đều

bằng 0

Do đó ta có: [cos mx cos kxdx = 0

Vậy: các hàm số cosmx và coskx trực giao nhau, với m, k « N, m#k

Ta có:

[ sản nxeos mxdx = ; [ [sintn + m)x + sin(n ~ m)xtx

= 445 cos(n + m)x + cos(n ~ mx] Ty

= 3 1 eosin + m)r + cos(n ~ m)x

cos(—n - m)x—

1

cos(—n + m) |

Nhung: cos(—n — m)z = cos(n + m)n; cos(—n + m)x = cos(n — m)x Suy ra: Ï_sin nx cos mx dx =0, với m,neN,mzn

Do đó các hàm sinnx và cosmx trực giao nhau Vậy:

Hàm u„ = cosmx trực giao với các hàm: uy = coskx, k # m

và vạ = sinnx (m, k, n < N)

96 a) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm lẻ và liên

tục trên đoạn [-a;a] thì ff (jax =0

b) Tinh fi [in(x + ve +1) Jax

Hướng dấn:

a) Dat I = f †Godx

Datt=-xa@x=-todx=-dt

Déi can: >I =-I>1=0

b) Chứng tô hàm số: fax) = [Incx+ Vx742] 1a ham 16 và liên

tục trên đoạn [-1;1]

GIẢI

a) Xem tich phan: I= f\ fGodx

Đổi cận: hi x = - a thì t= a;x=a thì t=— a

Ta có: 1= ƒ f(t(cđt) = ft tbat

Vì hàm f lẻ và liên tục trên đoạn [-a;a] nên ta có: Ñ—t) = — f(t)

Do đó ta có: 1= [Ƒ f(Đát = Ƒ f@&)dx=—I=l=0

Vậy: Nếu f là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [-a;a} thì:

Ï_f@0dx =0

b) Xem tích phân: I = ñ[me +x? + i} dx

Dat: f(x) = In(x + Vx? +1)

f(x) xée dinh va lién tue trén doan [-1;1], ta có:

FE Tinn + GET

In(-x + Ve #1) = In RENE +O ve FD

f(-x) =

xtvxe1

= In—L = -intx+ fe FD =- tte)

x+vx?+1

=> f(x) 1a một hàm lẻ trên đoạn [—1;1] Do đó ta có:

fi [foof ax =0

vay: f [Intx + Vx + vy dx =0

97 Cho f() là một hàm số liên tục trên đoạn |0;1]

Chứng minh rằng: f xf(sin x)dx = 3 [t@in x)dx

Hướng dấn: Xem bài 57 (Học sinh tự giải)

98 a, b là hai số cố định Chứng minh rằng:

lim [`°e" sinnxdx =0

Hướng dẫn:

Dat I, = fer sin nx dx

Có thể giả sử a < b mà không làm mất đi tính tổng quát của

bài toán

Tính I, bằng phương pháp tích phân từng phần

Chọn u = e“, dv = sinnx dx Sau đó tìm giới hạn của từng

hàm khi n — +o

GIẢI Đặt: I,= [le sinnxdx

use" du = 2xe" dx

dv = sin nxdx v =-—cosnx

n

»

>l= wie cosnx| + 2 fixe" cos nxdx

n , on

Ta cé: e* cosnx|® = e” cosnb-e* cosna

| < tet +e")

n

|1

=|-—-€© cCosnx

= lim-+e* cosnx|*) = 0 we n {

Mat khác ta có: || xe” cosnx ar < [È 4x <M(b—a)

Với: M = max (|a| e* [bl e”) = lim (2 [xe conn] =0 novel

Vay: lim fe sinnxdx = 0