CÂU HỎI VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH

CÂU HỎI VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH

BÀI TOÁN THỂ TÍCH

115 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay |_

quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn bởi các đường: ˆ

y = xe"

x=1 (0<x<1)

y=0

Hướng dấn:

Đồ thị hàm số y = xe* đi qua gốc tọa độ Do đó thể tích của khối tròn xoay phải tìm là:

V= xf x?e?“dx

GIẢI

Đồ thị hàm số y = xe" đi qua gốc tọa độ Do đó thể tích của khối

tròn xoay phải tìm là: V = xỈ x°e*rdx

u=x

dv =e?*dx

1

SV = paxte™ i - wf xotdx = bet al

*Tinh tich phan I= ['xe*dx:

Do đó ta có: V= pm [te =4 (6 =1)| = E(e*-1)

Vay: v= F(e* -1) (ava,

116 Tính thể tích khối tròn xoay được tao nên khi ta

quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y = Inx; y = 0; x = l; x = 9

Hướng dấn: Sử dụng công thức: V =r [[f (x)] dx +

GIẢI

Đồ thị hàm số y = Inx cắt trục hoành tại

điểm (1; 0) Do đó, thể tích của khối tròn

xoay được tạo thành là: V = x ['In® xdx

u=In°x — |du=2lnxSŠ

dv = dx vex

Suy ra: V = mxIn?x|” ~ 2w la xủx = 2nÌn?2 — 2m In x ~ x)

= Qnln?2 — 2m (9ln 3 — 9 + 1) = 2x (In*2 - 2In2 + 1)

= 2m (1 ~ In2)?

Vay: V = 2x (1 —1n2)? (avdt)

117 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta

quay hình H quay trục Ox, với H là hình được giới hạn

bởi các đường: y = 0; y = Veos’x+sin°x ;x=0;x= „

Hướng dấn: Sử dụng công thức V = xẾt @)Ÿ 4

GIẢI

"Thể tích của khối tròn xoay phải tìm là:

V = [“ (cosP x+ sin® x) dw = af*(1-Ssint 2x Jax

af"(1-3 setae = ze (5+ 8cos4x)dx

2(ox +Ổgindx| Lo lo = Tot

5a?

Vay: ay: V=.— " (đvdt)

118 Cho hình tròn tâm I2; 0), bán kính R = 1, quanh

quanh trục Oy Tính thể tích của vật thể tròn xoay

được tạo nên

Hướng dấn:

Cách 1:

Lập phương trình đường tròn tâm 1(2; 0) bán kính 1 Đường

tròn I cắt Ox tại A1; 0) và A(3; 0), đi qua 2 điểm B2, -1) và

B(2; 1) mà tiếp tuyến tại B, B' song song với Ox Gọi Vị là thể tích của vật thể tròn xoay tạo nên khi ta cho hình cong OHBA'

quay quanh Oy, H là hình chiếu của B lên Oy, và V; là thể tích

của vật thể tròn xoay tạo nên khi ta cho hình thang cong

OHBA quay quanh Oy

Do tính đối xứng qua Ox, ta có thể tích phải tìm là:

V=2(V;- Vị)

Do tính đối xứng qua đường thẳng y = x, ta có thể tích V

phải tìm bằng thể tích của vật thể tròn xoay tạo nên khi ta cho

hình tròn tâm J(0; 2) bán kính 1 quay quanh Ox

GIẢI

Cách 1: Phương trình đường tròn tâm I(2; 0) bán kính 1 là:

(x- 2% +ysleox=2ti-y® ye [-41]

Phương trinh ctia cung BA’: x, =2~ J1-y?

Phuong trinh cia cung BA: x2 = 2+ J1— y?

Thể tích của vật tròn xoay gây ra bởi hình thang cong OHBA’

khi quay quanh ‘oy la:

Vị= xf xidy

Thể tích của vật thể tròn xoay gây ra

bởi hình thang cong OHBA khi quay

quanh Ox nên thể tích phải tìm là:

Va = xf xidy

Do tính đối xứng qua Ox nên thể tích phải tìm là:

VY =2(V¿-VỤ= an (xd -x3)dy

= 2m [ 8(1 -y°dy = 16m [ V1 y*đy

Viye [0;1] nên ta có thể đặt: y = sint, voi O <y < 5 => dy = costdt

=V = 16x{" cos" tdt = 16x ("2+ 8082 a

w/2

ụ ar(t + 1 gin z) = 8mn— 2 = 4n?

Vậy: V = 4n? (avdt)

Cách 2: Phương trình đường tròn tâm J(0; 2) bán kính R = 1 là:

x?+(y— 9)°= 1 ©y = 9+Vv1-x?

Do tính đối xứng, thể tích phải tìm bằng thể tích của vật thể tròn

xoay tạo nên khi ta cho hình tròn tâm J(0; 2), bán kính R = 1

V= anf avi-x'dx = 16x [ f1—x*dx

2

Dat: x = sint, 0<t< = = dx = costdt

x y?

a’

true Ox Tinh thé tich vat thé tron xoay duge tao

thành

Hướng dấn:

Do tính đối xứng, thể tích vật thể tròn xoay do hình elip (E)

2 v2 v -

= +e = 1, quay quanh Ox gấp hai lần thể tích vật tạo nên khi

ta cho tam giác cong OBA quay quanh Ox

GIẢI

Do tính đối xứng, thể tích vật thể tròn xoay do hình giới

2 2

han bởi elip(E) + a =1 quay quanh Ox gấp hai lần thể tích

vật tạo nên khi ta cho tam gidc cong OBA quay quanh Ox

Phuong trình của đường cong BA:

Do đó ta có: V = 2m [` y?dx = anf (at —x?)dx

z 7

Vay: V= £ rab? (dvat)

120 Gọi miền được giới hạn bởi các đường y = 0 va y = 2x - x’

là D Tính thể tích vật thể được tạo thành do ta quay D

a) Quanh truc Ox b) Quanh trục Oy

Hướng dấn:

a) Parabol y = 2x — x? cắt trục hoành tại O và A/2 ; 0), có đỉnh

§( ; 1) Do đó thể tích vật thể tròn xoay khi ta cho miền D

quay quanh trục Ox là: V = nf (2x -x? y dx

b) Khi ta cho mién D quay quanh Oy thì thể tích của vật thể

tròn xoay được tạo thành sẽ bằng hiệu số hai thể tích:

Vị, Thể tích vật thể khi ta quay quanh Oy hinh thang cong

OS'SA, §' là hình chiếu của 8 lên Oy

V: Thể tích vật thể khi ta quay quanh Oy hình tam giác cong

OSS

Chúng ta phải tìm phương trình của x theo y của các đường cong

SA và OS

GIAI

a) Parabol (P): y = 2x — x” ct Ox, tai O và A(2; 0) có đỉnh 8Q; 1)

Do đó thể tích của vật thể tròn xoay khi ta cho miễn D quay

quanh trục Ox là:

Vox = x[ (9xx?) dx = a['(x! -4x° + 4x*)dx

+—]=

3

b) Ta có: y = 2x — x)© x?~ 2x+y =0 ©x=1+ V1-y

Phương trình của đường cong SA là: xị = 1 + j1—-y

và của đường cong OS 1a: xz=l- j1-y

Khi cho quay quanh trục Oy:

— Thể tích của vật thể tròn xoay gây nên bởi hình thang cong

OESA là:

Vien [xi

— Thể tích của vật tròn xoay gây nên bởi tam giác cong OSSA là:

Ws=m {stay

Do đó thể tích phải tìm là:

V =Vi—V,=x [(xƒ -xƒ}y

=x [4/1-ydy =ám ƒĩ=vdy

3

Tacd: V=dn ['(-2t)dt = 8x [tat = an L]p = St

Vay: Ve = (đvdt)

121 Gọi D là miền giới hạn bởi các đường: y = -3x + 10 ;

y= L và y =x” (x > 0) Tính thể tích vật thể tròn xoay do ta quanh D quanh trục Ox tạo nên (miền D

nằm ngoài parbol y = x°)

Hướng dấn:

Tim các giao điểm A, B, C của các đường

y=1;y=x?;y=-3x+10,x>0

= miền D là một tam giác cong ABC

Goi A’, B, Œ' theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên Ox

Gọi Vị là thể tích của hình trụ tròn xoay gây nên khi ta cho

hình chữ nhật A'BAB quay quanh Ox; Vạ là thể tích của vật

thể tròn xoay gây nên bởi hình ngũ giác cong A'B'BCA quanh quanh Ox

Ta có thể tích phải tìm là: V = Vạ T— Vị

Cần lưu ý rằng V›¿ bằng tổng của thể tích hai vật thể tròn xoay

tạo nên khi ta cho các hình thang cong ACCA và tam giác ŒCB quanh quanh Ox

GIẢI

Đường thẳng y = 1 cắt parabol y = x?

(x > 0) và đường thẳng y = -3x + 10

theo thi ty tai AM, 1) và B(3,1);

đường thẳng y = -3x + 10 gap

parabol y = x”, x > 0 tại C(2 ;4)

Thể tích Vị của hình trụ tròn xoay gây nên khi ta cho hình chữ

nhật A'B'BA quanh quanh Ox là:

Visa [dx =2n

"Thể tích V› của vật thể tròn xoay gây nên khi ta cho hình “ngũ

giác cong” A'B'BCA quanh quanh Ox là:

Vo =n ['xtdx + n['(-3x + 10)dx

5

= xŠ |Pxƒ (9x2 ~ 60x + 100) dx

= n(32_ ;) + n(3x° — 30x? + 100x)|3

31m

= = + 1(81 — 270 + 300 -24 +120 - 200)

5

Suy ra thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi ta cho miễn D

quanh quanh Ox là:

V=V,—V, = TẾ cân = TC

56m

Vậy: V= = (dvdt)

Cách 2:

Ta có:

Do dé tl

Goi H là hình chiếu của C trên đường thẳng y = 1

Gọi Vạnc quanh quanh Ox

Vạno = xỆ[C3x+10ƒ'~1]lx = xỆ (9xẺ - 60 +99)dx

a l2

= n(3x* - 30x? + 99x)| = 6n

hể tích của vật tròn xoay tạo nên khi ta cho mién D quanh quanh trục Ox là:

V = Vane = Vino = 20% + 6n = 56%

v = BE cavat)

Vay:

122 Cho D là miền được giới hạn bởi bốn đường:

: x

y =0;y = Veos'x+sin'x;x = gix=t

Tinh thé tích khối tròn xoay tạo nên do ta quay miền D quanh trục Ox

Huéng dah: Van dung công thức tính thể tích: V = n{°[fGo] dx

GIẢI

Ta có: Thể tích khối tròn xoay là:

V= rf, (cos* x + sin* x) dx =nf,{(1 - sin’ 2x)tx

"

Ù) š(s + xen 4]

Ix/2

a

Vay: V = = (avdt)

123 Tính thể tích vật tròn xoay được tạo nên do ta

quay miền D được giới hạn bởi các đường: y = Inx;

y = 0 va x = 2 quanh truc Ox

Hướng dan: Đỏ thị hàm số y = lnx cắt Ox tại điểm (1; 0) = dpem

GIẢI

Đồ thị hàm số y = lnx cắt Ox tại điểm x = 1 Do đó thể tích của

vật thể tròn xoay phải tìm là: V = x[m° xdx

Chon {8 =In?x = du = 2Inx 2%

v=x

= V= axln° x['— 2w 1n xdx = 2mÌn"2 — 2m

* Tính I:

u=Inx du = ®

dv = dx

= I= xlnx|? — [dx = 2In2- x|? = 2in2-1

Suy ra: V = 2nln?2 - 2m(2ln2 — 1)

= 2n(In?2 ~ 9ln2 + 1) = 2(1 — In2)?

Vậy: V = 2x(1 — In2)? (dvdt)

124 Cho Hyperbol (H): x” - y’ = a? ( a > 0) Khi cho (H)

quay quanh Ox, ta được một Hyperpoloide (>) Tính

thể tích V(m) của miền giới hạn bởi (>) và các mặt

phẳng vuông góc với Ox tại các điểm K và có hòanh độ theo thứ tự là a và m (m > a) Định m để

Vím) bằng thể tích của hình cầu bán kính a

GIẢI

" 8

= {2 -atm-S +] = SL(m° ~a) ~ 3a?(m - a)]

= m= 2) (mn? + am - 20") = om ayn + 2a)

Vay: Vim) = zon ~a)?(m + 2a)

"Theo yêu cầu của bài toán, ta có:

sứ ~a)”(m + 2a) = $a?

© (m - a) (m + 2a) = 4a? © (m + a)” (m - 2a) = 0

Vậy: Giá trị của m phải tìm là: m = 2a

125 Cho (C): y” = x' với 0 < x < a, y > 0 là một điểm thuộc

(C), có hoành độ x = a Kẻ MH L Oy tại K Goi (Dy 1a

miền phẳng giới hạn bởi (C), Ox và đường thẳng x = a; (Dạ) là miền phẳng giới hạn bởi (C), Oy và đường thẳng KM Gọi V, là thể tích của vật thể do (D¡) quay

quanh Ox và V; là thể tích của vật thể do (D2) sinh ra

khi cho (Dạ) sinh ra khi ta cho (D;) quay quanh Oy

Tìm giá trị của a để ta có: Vi = Ve

GIẢI

* Tính Vị: đường (C): y? = xŸ tiếp xúc với Ox tại điểm gốc O.

Ta có: Vị nf y?dx

* Tính Vạ:

Ta c6: M(a; ava) => Vo

4

Ta có: Vị = Vạ c6 ——

eas

Vay: a = 144

xƑ xdx =T

- 144

49

aft

x)

10 lọ

af" tay = af" aay

nf" ytdy= Tự

Fate (đvdt)

ava

a

3" Ya

7