Các định luật cơ bản của động lực học chất điểm

CHương 1: Các định luật cơ bản. Hệ tiên đề Newton, các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. GV: Phạm Thành Chung- ĐH Bách Khoa

Chương 1 Các định luật cơ bản của

động lực học chất điểm

♣ Hệ tiên đề Newton ♣ Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

♣ Các thí dụ áp dụng

Người trình bày: Phạm Thành Chung

Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1 Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 1 / 22

Nội dung

1 Hệ tiên đề Newton

2 Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

3 Các thí dụ áp dụng

Nội dung

1 Hệ tiên đề Newton

Ba tiên đề Newton

Hệ quy chiếu quán tính

2 Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

3 Các thí dụ áp dụng

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1 Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 2 / 22

Cơ sở nghiên cứu

I Cơ sở nghiên cứu động lực học chất điểm và hệ các chất điểm: Ba tiên

đề của động lực học chất điểm.1

1

được tổng kết và nêu ra vào năm 1687, trong tác phẩm "Các nguyên lý toán học của khoa học tự nhiên" (Philosophia Naturalis Principia Mathematica) bởi Isaac Newton (1642-1727), nhà bác học nổi tiếng người Anh.

Nội dung

1 Hệ tiên đề Newton

Ba tiên đề Newton

Hệ quy chiếu quán tính

2 Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

3 Các thí dụ áp dụng

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1 Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 3 / 22

Tiên đề 1

(Định luật quán tính2) Khi không có lực tác dụng lên chất điểm, độnglượng của nó được bảo toàn.3

Viết dưới dạng biểu thức: Khi ~F = 0 thì ~p = m~v = const

2 Galilei (1564-1642) là người đã tìm ra tiên đề này vào năm 1638 và ông gọi là định luật quán tính.

3 Theo đó, khi không có lực tác dụng, một chất điểm sẽ chuyển động thẳng đều (~ v = const) hoặc đứng yên.

Tiên đề 3

(Định luật về tác dụng và phản lực tác dụng) Các lực tác dụng tương hỗgiữa hai chất điểm là hai lực có cùng đường tác dụng, cùng cường độnhưng ngược chiều nhau

Trong đó actio là tác dụng, reactio là phản tác dụng Tiên đề 3 là cơ sở

để khảo sát động lực học hệ nhiều chất điểm

Chú ý: Ngoài ba tiên đề nêu trên, trong phần Động lực học ta cũng côngnhận và sử dụng một số tiên đề tĩnh học như Tiên đề hình bình hành lực,Nguyên lý giải phóng liên kết Lagrange

Nội dung

1 Hệ tiên đề Newton

Ba tiên đề Newton

Hệ quy chiếu quán tính

2 Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

3 Các thí dụ áp dụng

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1 Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 6 / 22

Hệ quy chiếu quán tính

a) Định nghĩa hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu quán tính là hệ quychiếu mà trong đó các tiên đề Newton 1 và 2 được nghiệm đúng.4

b) Giới hạn áp dụng của Cơ học Newton Cơ học Newton chỉ đúng vớichất điểm có kích thước đủ lớn so với kích thước nguyên tử và có vận tốc

đủ nhỏ so với vận tốc ánh sáng.5

4

Người ta còn gọi hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu cố định Đối với đa số bài toán áp dụng trong kỹ thuật, trái đất có thể xem một cách gần đúng là hệ quy chiếu cố định.

5 Chính vì vậy cơ học Newton còn được gọi là Cơ học cổ điển, để phân biệt với Cơ học lượng tử và Cơ học tương đối.

Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Vị trí của chất điểm trong không gian thường được biểu diễn qua hệ toạ

độ Descartes (Đềcac) vuông góc, hệ toạ độ tự nhiên, hệ toạ độ trụ, v.v

Các PTVPCĐ trong hệ toạ độ Descartes

Từ tiên đề Newton 2, công thức (2),

Các PTVPCĐ trong hệ toạ độ tự nhiên

Sự phân loại các bài toán động lực học chất điểm

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1 Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 13 / 22

Nội dung

1 Hệ tiên đề Newton

2 Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

3 Các thí dụ áp dụng

Chuyển động của chất điểm tự do

Thí dụ 1 Khảo sát chuyển động của viên đạn bắn với vận tốc đầu ~v0

nghiêng với phương nằm ngang một góc α Bỏ qua sức cản của không khí

m¨x = 0

Vậy phương trình chuyển động của viên đạn là

x = (v0cos α) t

y = −12gt2+ (v0sin α) t (11)Khử thời gian t, ta nhận được phương trình quỹ đạo chuyển động của viênđạn

Tầm xa của viên đạn được xác định từ điều kiện y = 0 Từ phương trình(12) ta suy ra

xvd = v

2 0

Như thế khi α = 450, sin 2α = 1, viên đạn bắn đi được xa nhất

xmax= v

2 0

g

Chuyển động của chất điểm chịu liên kết

Thí dụ 2 Xét chuyển động của một chất điểm ở bên trong nửa đườngtròn bán kính r Tìm áp lực lên chất điểm và vận tốc của nó dưới dạngcác hàm phụ thuộc vào góc định vị ϕ (góc giữa phương nằm ngang vàphương pháp tuyến với quỹ đạo)

Trong phần động học ta có v = r ˙ϕ, ˙v = r ¨ϕ, ρ = r Thế các biểu thứcnày vào phương trình (14) ta được

ϕ (0) = 0, ˙ϕ (0) = 0 ta được:

˙

ϕ2 = 2g

Thế biểu thức (16) vào phương trình vi phân thứ hai của (15) ta đượcbiểu thức xác định phản lực liên kết động:

N = mr2g

r sin ϕ + mg sin ϕ = 3mg sin ϕ (17)Tại điểm thấp nhất (ϕ = π/2)phản lực liên kết động lớn gấp ba lần phảnlực liên kết tĩnh

Từ (16) ta dễ dàng xác định biểu thức vận tốc của chất điểm

v = r ˙ϕ =p2gr sin ϕNhư thế khi (ϕ = π/2), vận tốc chất điểm đạt cực đại, vmax=√2gr

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1 Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 20 / 22

Chuyển động của chất điểm chịu tác dụng của các lực cảnThí dụ 3 Một chất điểm có khối lượng m chuyển động trên mặt phẳngnghiêng nhám như hình vẽ Cho biết hệ số ma sát trượt động làµ, hãy xácđịnh phương trình chuyển động của chất điểm.

Lời giải PTVPCĐ của chất điểm trong hệ toạ độ Decartes có dạng