KHẢO SÁT CHUYỂN PHA VORTEX LIQUID - VORTEX GLASS TRONG SIÊU DẪN LOẠI II MẤT TRẬT TỰ BẰNG MÔ PHỎNG ĐIỆN TRỞ TUYẾN TÍNH CHO MÔ HÌNH MẠNG XY

Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận này, trước hết tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Vật lý Lý thuyết cùng các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường. Đặc biệt, tôi xin gửi đến PGS. TS. Hoàng Dũng và TS. Đỗ Hoàng Sơn - những người thầy hướng dẫn khoa học, đã trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tấm lòng biết ơn sâu sắc. Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn thầy phản biện PGS. TSKH. Mai Xuân Lý và PGS. TS. Võ Văn Hoàng với những nhận xét đóng góp quý báu cho khóa luận này. Và tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn làm việc tại phòng Vật lý Tính toán, khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh cùng các bạn bè gần xa đã quan tâm, động viên để tôi hoàn thành được khóa luận tốt nghiệp Giới thiệu Phát minh ra chất siêu dẫn độ cao vào năm 1986 đã mở ra một thời kì mới cho việc nghiên cứu các vật liệu siêu dẫn. Khác biệt lớn nhất của các chất siêu dẫn nhiệt độ cao với các chất siêu dẫn loại II nhiệt độ thấp là sự giảm điện trở đáng kể khi có mặt của từ trường ngoài. Điều này đặt ra câu hỏi: "Có tồn tại một pha siêu dẫn thực sự với điện trở bằng không trong các chất siêu dẫn loại II nhiệt độ cao khi có mặt từ trường hay không?". Với việc xét đến hai yếu tố quan trọng trong siêu dẫn nhiệt độ cao là thăng giáng nhiệt và sự mất trật tự, Fisher cho rằng trong các chất siêu dẫn loại II mất trật tự tồn tại một trạng thái siêu dẫn mới có điện trở tuyến tính thực sự bằng không và được gọi là trạng thái vortex-glass [1] [2]. Cho đến nay, vortex-glass là trạng thái siêu dẫn duy nhất được biết có điện trở tuyến tính bằng không khi ở trong từ trường lớn (H > Hc1). Do đó việc kiểm chứng sự tồn tại của trạng thái vortex-glass có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng vô cùng quan trọng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA VẬT LÝ CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ LÝ THUYẾT

-SVTH: Nguyễn Hà Hùng Chương CBHD: PGS TS Hoàng Dũng

TS Đỗ Hoàng Sơn

TP HỒ CHÍ MINH - 2006

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầygiáo, cô giáo trong bộ môn Vật lý Lý thuyết cùng các thầy giáo, cô giáo trong khoaVật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạychúng tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường

Đặc biệt, tôi xin gửi đến PGS TS Hoàng Dũng và TS Đỗ Hoàng Sơn - nhữngngười thầy hướng dẫn khoa học, đã trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thựchiện khóa luận tấm lòng biết ơn sâu sắc Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn thầyphản biện PGS TSKH Mai Xuân Lý và PGS TS Võ Văn Hoàng với những nhậnxét đóng góp quý báu cho khóa luận này

Và tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn làm việc tại phòng Vật lýTính toán, khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minhcùng các bạn bè gần xa đã quan tâm, động viên để tôi hoàn thành được khóa luậntốt nghiệp

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2006Nguyễn Hà Hùng Chương

Mục lục

1.1 Hai tính chất quan trọng của siêu dẫn 4

1.1.1 Tính dẫn điện lý tưởng 4

1.1.2 Tính nghịch từ lý tưởng 5

1.2 Các lý thuyết cơ bản của siêu dẫn 6

1.2.1 Lý thuyết vi mô Bardeen-Cooper- Schrieffer 6

1.2.2 Lý thuyết hiện tượng luận Ginzburg-Landau 8

1.3 Siêu dẫn loại II 10

1.4 Hiệu ứng Josephson 12

1.5 Siêu dẫn nhiệt độ cao 13

2 Trạng thái vortex-glass 16 2.1 Vortex và trạng thái hỗn hợp 16

2.2 Thăng giáng nhiệt 19

2.3 Sự mất trật tự và trạng thái vortex-glass 21

2.4 Chuyển pha vortex-glass 24

3 Mô hình động học RSJ 29

3.1 Mạng cầu Josephson 29

3.2 Các mô hình thông dụng 31

3.3 Mô hình động học RSJ 34

3.4 Các đại lượng trong mô hình RSJ 36

3.4.1 Biến pha θ(n, t) 36

3.4.2 Thế vec-tơ A µ (n, t) và biến thăng giáng α µ (t) 36

3.4.3 Năng lượng tương tác Josephson J µ(n) 37

3.4.4 Dòng nhiễu Langevin η µ (n, t) 38

3.5 Công thức điện trở tuyến tính 38

4 Thuật giải và kết quả tính điện trở tuyến tính theo mô hình RSJ 40 4.1 Thuật giải 40

4.1.1 Phân tích bài toán 40

4.1.2 Thuật giải hàm tính điện trở tuyến tính 41

4.1.3 Những khó khăn trong tính toán 44

4.2 Kết quả mô phỏng điện trở tuyến tính 47

4.3 So sánh và thảo luận kết quả 51 Kết luận và hướng phát triển 54 Danh mục công trình của tác giả 56

A Công thức gần đúng của điện trở tuyến tính 60

Danh sách hình vẽ

1.1 Điện trở thủy ngân giảm đột ngột ở 4.15K 4

1.2 Sự phụ thuộc của từ trường tới hạn vào nhiệt độ 5

1.3 Giản đồ pha của các chất siêu dẫn loại II 12

1.4 Cầu Josephson 13

1.5 Nhiệt độ chuyển pha của các chất siêu dẫn theo thời gian 14

2.1 Cấu trúc một vortex 17

2.2 Giản đồ pha của chất siêu dẫn nhiệt độ cao khi xét đến thăng giáng nhiệt 21

2.3 Sự tương tự của hệ từ và siêu dẫn: bên trái là sự sắp xếp của các spin (kí hiệu bằng mũi tên lên hoặc xuống) trong hệ từ và tương ứng bên phải là sự sắp xếp của các vortex (lõi vortex kí hiệu bằng dấu chấm và dòng vortex kí hiệu bằng mũi tên tròn) trong hệ siêu dẫn Hình lấy từ tài liệu [33] 23

2.4 Giản đồ pha của chất siêu dẫn loại II mất trật tự với sự xuất hiện của pha vortex-glass 24

2.5 Kết quả thí nghiệm đặc trưng dòng-thế của chất siêu dẫn nhiệt độ cao Y BCO tại các nhiệt độ khác nhau trong từ trường H = 4 Tesla Hình lấy từ tài liệu [33] 27

3.1 Mạng cầu Josephson hai chiều 29

3.2 Hai loại mất trật tự trong mạng cầu Josephson, (a) mất trật tự liên kết, (b) mất trật tự vị trí 30

4.1 Thuật giải hàm resistivity() 42

4.2 Sự phụ thuộc của thời gian tính vào kích thước hệ với số bước tính

t r = 10.000 45

4.3 Sự thay đổi của điện trở tuyến tính theo thời gian hồi phục đối với hệ

có kích thước L = 4, (a) nhiệt độ T = 1.2, (b) nhiệt độ T = 0.5 46

4.4 Sự phụ thuộc điện trở tuyến tính vào nhiệt độ đối với hệ có kích thước

L = 8 48

4.5 Kết quả điện trở tuyến tính cho các hệ có kích thước L = 4, 6, 8 49

4.6 Kết quả phân tích dữ liệu từ đồ thị 4.5 bằng phương pháp cắt 50A.1 Miền lấy tích phân 62B.1 Cấu trúc của chương trình tính điện trở tuyến tính 63

Danh sách bảng

4.1 Bảng thống kê thời gian tính theo kích thước hệ cho t r = 10.000 bước 45 4.2 Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L = 4 48 4.3 Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L = 6 48 4.4 Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L = 8 48 4.5 Bảng so sánh giá trị chỉ số tới hạn động học z của thực nghiệm và các

mô hình khác nhau 52

Giới thiệu

Phát minh ra chất siêu dẫn độ cao vào năm 1986 đã mở ra một thời kì mới cho việcnghiên cứu các vật liệu siêu dẫn Khác biệt lớn nhất của các chất siêu dẫn nhiệt độcao với các chất siêu dẫn loại II nhiệt độ thấp là sự giảm điện trở đáng kể khi có mặtcủa từ trường ngoài Điều này đặt ra câu hỏi: "Có tồn tại một pha siêu dẫn thực sựvới điện trở bằng không trong các chất siêu dẫn loại II nhiệt độ cao khi có mặt từtrường hay không?" Với việc xét đến hai yếu tố quan trọng trong siêu dẫn nhiệt độcao là thăng giáng nhiệt và sự mất trật tự, Fisher cho rằng trong các chất siêu dẫnloại II mất trật tự tồn tại một trạng thái siêu dẫn mới có điện trở tuyến tính thực sự

bằng không và được gọi là trạng thái vortex-glass [1] [2] Cho đến nay, vortex-glass là

trạng thái siêu dẫn duy nhất được biết có điện trở tuyến tính bằng không khi ở trong

từ trường lớn (H > H c1) Do đó việc kiểm chứng sự tồn tại của trạng thái vortex-glass

có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng vô cùng quan trọng

Sau khi giả thuyết vortex-glass được đưa ra, các nghiên cứu lý thuyết cũng nhưthực nghiệm đã được tiến hành để kiểm chứng Các thí nghiệm được tiến hành chủyếu trên các vật liệu siêu dẫn oxit (Y-Ba-Cu-O, K-Ba-Bi-O) ở dạng tinh thể hay dạngphim Các nghiên cứu lý thuyết chủ yếu dựa trên mô phỏng các hệ siêu dẫn hai chiều

và ba chiều với việc sử dụng các mô hình mất trật tự khác nhau Đối với hệ siêu dẫnhai chiều, hầu hết các kết quả mô phỏng cho thấy rằng chuyển pha vortex-glass xảy

ra ở nhiệt độ tới hạn T c = 0 [3] [4] [5] và kết quả này đã được thực nghiệm kiểm chứngđối với vật liệu siêu dẫn dạng phim [6] Đối với hệ siêu dẫn ba chiều, nhiều kết quảthực nghiệm [7] [8] [9] và kết quả mô phỏng lý thuyết [10] [11] [12] [13] đã ủng hộ cho

sự tồn tại của pha vortex-glass ở nhiệt độ hữu hạn (T c > 0) Tuy nhiên kết luận cuối

cùng về sự tồn tại của pha vortex-glass cho hệ siêu dẫn ba chiều vẫn còn nhiều câuhỏi [14] [15]

Mô hình lý thuyết đơn giản nhất và được dùng sớm nhất để khảo sát trạng thái

vortex-glass là mô hình gauge glass [10] với việc đưa yếu tố mất trật tự vào thế vec-tơ.

Các kết quả mô phỏng của mô hình này đối với hệ ba chiều đã cho thấy sự tồn tạicủa chuyển pha vortex-glass ở nhiệt độ hữu hạn Hai chỉ số tới hạn quan trọng và đặc

trưng cho chuyển pha vortex-glass là chỉ số tới hạn tĩnh học ν và chỉ số tới hạn động học z được xác định từ mô hình này là ν ' 1.3 và z ' 3 − 5 [10] [11] [16] Tuy nhiên

mô hình này có một số nhược điểm như yếu tố mất trật tự trên thực tế nằm ở hằng

số tương tác chứ không phải thế vec-tơ Hơn nữa, thế vec-tơ trong mô hình này lạihoàn toàn đẳng hướng do việc lấy ngẫu nhiên Điều này trái với thực tế vì từ trườngtrong các chất siêu dẫn là có hướng xác định

Để khắc phục những nhược điểm của mô hình gauge glass, H Kawamura đã đưa

ra mô hình mạng XY1 với việc đưa yếu tố mất trật tự vào hằng số tương tác [17] Kếtquả mô phỏng bằng phương pháp Monte Carlo cho mô hình mạng XY với điều kiệnbiên tuần hoàn và bỏ qua hiệu ứng chắn từ cũng cho thấy sự tồn tại của chuyển pha

vortex-glass ở nhiệt độ hữu hạn với chỉ số tới hạn tĩnh học ν = 1.1 nhưng tác giả chưa xác định chỉ số tới hạn động học z Nhóm Hoàng Dũng đã kiểm tra mô hình này bằng

phương pháp mô phỏng động học Langevin cho điện trở phi tuyến [18] [19] và khẳng

định lại kết quả của H Kawamura với chỉ số tới hạn tĩnh học tìm được là ν = 1.1±0.2 Đồng thời nhóm cũng tìm được giá trị chỉ số tới hạn động học z = 5.1 ± 0.3 Tuy

nhiên kết quả của chỉ số tới hạn động học xác định từ phương pháp scaling điện trởphi tuyến chưa đủ độ tin cậy vì sai số của phương pháp này là khá lớn

Do vậy, việc khảo sát chuyển pha vortex-glass và xác định chính xác hơn giá trị chỉ

số tới hạn động học của mô hình mạng XY là rất cần thiết Cho đến nay, việc khảo sátchuyển pha vortex-glass cho mô hình mạng XY mới chỉ được tiến hành bằng phươngpháp xác định tỉ số Binder [17] và khảo sát điện trở phi tuyến [18] [19] Bên cạnh

đó, khảo sát điện trở tuyến tính cũng rất cần được tiến hành để đem lại thông tinđáng tin cậy hơn cho mô hình mạng XY này Với yêu cầu đó, mục đích của khoá luận

tốt nghiệp này là xây dựng chương trình mô phỏng điện trở tuyến tính cho mô hình

mạng XY Từ đó, chúng tôi kiểm tra sự tồn tại của chuyển pha vortex-glass trong hệ

siêu dẫn ba chiều loại II mất trật tự và đồng thời xác định chỉ số tới hạn động học

z Để khảo sát điện trở tuyến tính, chúng tôi sử dụng mô hình động học RSJ và để

xác định nhiệt độ tới hạn cũng như chỉ số tới hạn động học chúng tôi sử dụng phương

pháp cắt, là một phương pháp phân tích scaling cho điện trở tuyến tính ở gần nhiệt

độ tới hạn Với mục tiêu như vậy, khoá luận sẽ được trình bày theo thứ tự sau:

Chương 1: giới thiệu các tính chất, hiện tượng cơ bản của siêu dẫn và một số lýthuyết quan trọng được sử dụng để mô tả hiện tượng này

Chương 2: trình bày cơ sở lý thuyết của trạng thái vortex glass và một số tính chất

1 tên mô hình được dịch từ tên "lattice XY model" do chính tác giả H Kawamura sử dụng trong bài báo [17]

của chuyển pha vortex glass.

Chương 3: trình bày về mô hình động học RSJ và công thức tính điện trở tuyếntính để sử dụng cho tính toán mô phỏng Các mô hình mất trật tự thông dụng

để khảo sát chuyển pha vortex-glass cũng được giới thiệu ở đầu chương

Chương 4: phần đầu trình bày về thuật giải hàm tính điện trở tuyến tính cũng nhưnhững khó khăn gặp phải khi thực hiện mô phỏng Phần còn lại sẽ trình bày kết

quả khảo sát nhiệt độ tới hạn T c và chỉ số tới hạn động học z thu được từ mô

phỏng cho điện trở tuyến tính Kết quả này cũng được so sánh với thực nghiệm

và các mô hình khác

Chương 1

Sơ lược về siêu dẫn

1.1.1 Tính dẫn điện lý tưởng

Hiện tượng siêu dẫn được phát hiện bởi H Kamerlingh Onnes vào năm 1911 [20],chỉ ba năm sau khi ông hoá lỏng được Heli Việc hoá lỏng Heli đã tạo điều kiện choOnnes nghiên cứu kim loại ở nhiệt độ rất thấp (khoảng vài Kelvin) Điều bất ngờ đã

xảy ra khi hạ nhiệt độ thủy ngân xuống khoảng 4.15K, ông phát hiện điện trở của

nó giảm đột ngột và biến mất (hình 1.1) Sau đó vào tháng 12 năm sau, ông tiếp tụccông bố thiếc và chì cũng có hiện tượng mất điện trở tương tự Hiện tượng này được

gọi là hiện tượng siêu dẫn.

Hình 1.1: Điện trở thủy ngân giảm đột ngột ở 4.15K

Trong thập niên 1910 và 1920, thêm nhiều chất khác được phát hiện có tính siêudẫn như In, Tl, Ga, Ti, Điều đáng chú ý là các chất này đều dẫn điện không tốt

ở nhiệt độ thường

Nhiệt độ tại đó điện trở của chất biến mất được gọi là nhiệt độ tới hạn hay nhiệt

độ chuyển pha của chất siêu dẫn và được kí hiệu là T c Mỗi chất siêu dẫn có một nhiệt

độ tới hạn riêng Ở trạng thái siêu dẫn, chất có điện trở bằng không hay còn gọi chất

có tính dẫn điện lý tưởng Đây là một trong hai đặc tính quan trọng của chất siêu

dẫn

1.1.2 Tính nghịch từ lý tưởng

Một đặc tính quan trọng khác của chất siêu dẫn là tính nghịch từ lý tưởng, được phát

hiện bởi hai nhà vật lý Đức, Meissner và Ochsenfeld, vào năm 1933 [21] Hai ông quansát thấy khi hạ nhiệt độ một mẫu chất siêu dẫn trong từ trường thì vào thời điểmchuyển sang trạng thái siêu dẫn, các đường sức từ lập tức bị đẩy ra khỏi mẫu Từtrường lúc đó chỉ có thể xuyên vào trong mẫu một khoảng rất nhỏ cỡ 10−6cm Hiện

tượng này được gọi là hiệu ứng Meissner và khoảng cách mà từ trường thấm được vào trong mẫu gọi là độ xuyên sâu λ của chất siêu dẫn Như vậy, từ trường không

chỉ bị đẩy ra khi được đưa vào mẫu đang ở trạng thái siêu dẫn (điều này có thể giảithích bằng tính dẫn điện lý tưởng) mà còn bị đẩy ra khi chất chuyển từ trạng tháithường sang trạng thái siêu dẫn (điều này không giải thích được bằng tính dẫn điện

lý tưởng)

Thực nghiệm cũng cho thấy sự tồn tại của một từ trường tới hạn H c Trạng thái

siêu dẫn bị phá hủy khi từ trường ngoài lớn hơn giá trị H c Sự phụ thuộc vào nhiệt

độ T của từ trường tới hạn có dạng gần đúng parabolic như hình 1.2.

Hình 1.2: Sự phụ thuộc của từ trường tới hạn vào nhiệt độ

1.2 Các lý thuyết cơ bản của siêu dẫn

1.2.1 Lý thuyết vi mô Bardeen-Cooper- Schrieffer

Đến giữa thập niên 50, tất cả các hiểu biết về siêu dẫn vẫn hoàn toàn dựa trên các

lý thuyết hiện tượng luận và chưa có một cơ chế vi mô nào giải thích thỏa đáng hiệntượng bí ẩn này Phải đến năm 1957, ba nhà vật lý Bardeen, Cooper và Schrieffer [22]mới đưa ra được một lý thuyết vi mô thật sự - lý thuyết Bardeen-Cooper-Schrieffer(lý thuyết BCS)

Nền tảng thực nghiệm của lý thuyết BCS là hai phát hiện quan trọng Đầu tiên làhiệu ứng đồng vị cho thấy sự phụ thuộc của nhiệt độ tới hạn vào số khối của chất siêu

dẫn T c ∼ M −α với M là khối lượng ion và hệ số α ' 1/2 Điều này chứng tỏ rằng dao động mạng của ion đóng vai trò quan trọng trong việc quyết định giá trị T c Thứ hai

là phát hiện sự tồn tại của khe năng lượng ∆ giữa trạng thái cơ bản với trạng thái

kích thích sơ cấp của hệ siêu dẫn và ∆ ∼ k B T c Các kết quả thực nghiệm cho thấyrằng các kích thích sơ cấp phải được tạo ra từ những cặp điện tử

Năm 1956, Cooper đã khảo sát vấn đề tương tác gián tiếp giữa hai điện tử thôngqua dao động mạng Ông phát hiện rằng nhờ tương tác với phonon mà các điện tử

với spin đối nhau có thể hút nhau tạo thành từng cặp và chúng được gọi là các cặp

Cooper Thế năng tương tác gián tiếp của cặp điện tử được cho bởi công thức

2

q ~ωq[²k− ² k−q]2− ~2ω2

q

(1.1)

trong đó Mq biểu thị cường độ tương tác điện tử - phonon, ²klà năng lượng của điện

tử trạng thái k, ~ωq là năng lượng phonon Ta nhận thấy, chỉ có những điện tử ở các

trạng thái sao cho | ²k− ² k−q |< ~ωq thì tương tác trên mới âm và khi tương tác nàythắng tương tác đẩy Coulomb thì lúc đó các điện tử mới có thể hút nhau

Trạng thái cơ bản của khí điện tử trở thành không bền khi có sự tạo cặp Cooper

Hệ sẽ có năng lượng thấp nhất khi tất cả các điện tử tạo thành các cặp Cooper vàtrạng thái đó được coi là trạng thái cơ bản của siêu dẫn Ở trạng thái này, do cácđiện tử kết cặp với nhau nên chúng có thể di chuyển trong mạng tinh thể mà không

bị tán xạ bởi các ion và các điện tử khác Do vậy điện trở của hệ sẽ bằng không.Dựa vào đó, BCS đã khảo sát Hamiltonian chỉ chứa những tương tác cặp

với b+k, bk lần lượt là toán tử sinh và hủy một cặp Cooper ở trạng thái (k ↑, −k ↓),

n ks là toán tử số hạt và Vkk0 là thế tương tác gián tiếp được cho bởi công thức (1.1).Hàm riêng của Hamiltonian trên được xây dựng dưới dạng

|Ψi =Y

k

¡

uk+ vkb+k¢|0i (1.3)

trong đó vk là trọng số của trạng thái có cặp Cooper, uk là trọng số của trạng thái

không có cặp Cooper và chúng thoả mãn u2

k+ v2

k = 1 Ngoài ra vk và uk được chọnsao cho năng lượng của hệ cực tiểu Điều này dẫn tới

u2

k = 12

Ek =¡²2

k+ ∆2 k

Sử dụng dạng đơn giản của tương tác BCS ta suy ra

• ∆k = ∆ (không phụ thuộc vào k) khi | ²k− ²k0 |< ~ω D

siêu dẫn được tiên đoán bởi lý thuyết BCS là không thể lớn hơn 30K.

1.2.2 Lý thuyết hiện tượng luận Ginzburg-Landau

Năm 1950, hai nhà vật lý Liên Xô, Ginzburg và Landau, đã xây dựng một lý thuyếthiện tượng luận mô tả rất hiệu quả hiện tượng siêu dẫn [23] Thuyết Ginzburg-Landau(GL) dựa trên nền tảng là lý thuyết chuyển pha loại II của Landau Trong lý thuyết

chuyển pha, Landau đưa ra khái niệm thông số trật tự, là đại lượng vật lý có giá trị

bằng không trong pha mất trật tự và khác không trong pha trật tự Đối với hiệntượng siêu dẫn, hai ông chọn thông số trật tự là hàm sóng phức Ψ và khi chuẩn hoá

|Ψ|2 mang ý nghĩa mật độ điện tử siêu dẫn

n s = |Ψ|2 (1.9)Như vậy, Ψ đóng vai trò là hàm sóng hiệu dụng của các điện tử siêu dẫn và có dạng

Ψ = |Ψ| e iθ (1.10)

với pha của thông số trật tự θ là một đại lượng thực.

Để mô tả tính chất nhiệt động của trạng thái siêu dẫn Ginzburg và Landau sử dụngbiểu thức năng lượng tự do Gibbs, là hàm của thông số trật tự Gần điểm chuyểnpha, thông số trật tự được giả thiết là rất nhỏ và hàm mật độ năng lượng tự do cóthể khai triển dưới dạng

G s = G0+ α|Ψ|2+β

2|Ψ|

4+ · · · (1.11)

với G0 là mật độ năng lượng tự do của trạng thái thường Ta nhận thấy β phải dương

để cực tiểu của năng lượng tự do sẽ ứng với |Ψ|2 có giá trị xác định Ngoài ra, để thoả

mãn điều kiện của thông số trật tự Ψ, bằng không khi T > T c và khác không khi

T < T c , thì hệ số α phải đổi dấu khi qua điểm chuyển pha Tại gần điểm chuyển pha,

ta có thể khai triển α(T ) theo (T /T c − 1) và chỉ cần giữ lại số hạng bậc thấp nhất

Khi có từ trường ngoài, Ψ không còn là hằng số mà phụ thuộc vào toạ độ Lúc đó,

hàm mật độ năng lượng tự do sẽ cần thêm mật độ năng lượng của từ trường H2/8π

và năng lượng liên quan đến sự không đồng nhất của Ψ Năng lượng này được xemnhư động năng của dòng siêu dẫn Gần nhiệt độ chuyển pha, ta chỉ cần xét đại lượng

liên quan đến ∇Ψ là đủ Chú ý rằng, để đảm bảo tính bất biến chuẩn chỉ có tổ hợp

−i~∇ − e ∗ A/c được chấp nhận và mật độ năng lượng tương ứng là

Từ đó, ta thu được hàm mật độ năng lượng tự do khi có mặt từ trường ngoài

Năng lượng tự do của hệ sẽ là tích phân theo thể tích của hàm mật độ năng lượng

tự do F s =R G s dr Cực tiểu hoá năng lượng tự do lần lượt theo thông số trật tự Ψ

và thế vec-tơ A ta sẽ thu được hai phương trình quan trọng

Đây là cặp phương trình chủ chốt trong lý thuyết Ginzburg-Landau và được gọi là

các phương trình Ginzburg-Landau Từ hai phương trình này ta có thể rút ra các hệ

quả rất quan trọng sau:

• Đầu tiên là khái niệm lượng tử từ thông Xét một vòng xuyến siêu dẫn với vật

liệu đồng nhất để mật độ điện tử siêu dẫn được xem là hằng số khác không vàkích thước của vòng xuyến được xem là rất lớn so với độ xuyên sâu Từ trườngngoài được đưa vào theo hướng vuông góc với mặt vòng xuyến Như vậy ta cóthể tìm được một chu tuyến kín C mà dọc theo nó mật độ dòng bằng không

Sử dụng phương trình GL thứ 2 và thay ψ trong công thức (1.10) vào ta được

A.dl là từ thông Φ xuyên qua chu tuyến C Còn tích phân đường của ∇θ ở

vế trái cho ta sự thay đổi của θ khi đi hết một vòng kín C Do đòi hỏi thông số

trật tự Ψ phải đơn trị nên khi đi hết một vòng kín, pha của thông số trật tự

chỉ có thể thay đổi một số nguyên lần của 2π Từ đó ta thu được kết quả quan

trọng

Φ = 2πn ~c

e ∗ = nΦ0 (1.19)Như vậy, từ thông đi qua vòng xuyến siêu dẫn bị lượng tử hoá và Φ0 = hc/e ∗

được gọi là đơn vị lượng tử từ thông

• Thứ hai, lý thuyết GL cho ta một độ dài đặc trưng gọi là độ dài kết hợp GL

• Thứ ba, lý thuyết GL đưa ra một tham số không thứ nguyên κ là tỉ số của độ

xuyên sâu λ và độ dài kết hợp ξ

κ = λ

Tham số này được gọi là tham số GL Ta sẽ thấy được ý nghĩa của tham số này.

Từ phương trình GL thứ hai (1.16), ta tìm được sự phụ thuộc của độ xuyên sâutheo nhiệt độ

GL κ trở nên không phụ thuộc vào nhiệt độ.

Đối với hầu hết các chất siêu dẫn đơn chất, λ vào khoảng 500˚ A và ξ vào khoảng

3000˚A nên κ ¿ 1 Các chất siêu dẫn này được gọi là siêu dẫn loại I, để phân

biệt với các chất siêu dẫn loại II

Năm 1957, Abrikosov công bố kết quả khảo sát lý thuyết GL cho trường hợp κ lớn

thay vì nhỏ như trong các chất siêu dẫn cổ điển [24] Ông thấy rằng, khác với trướcđây, giản đồ pha của các chất siêu dẫn loại này xuất hiện thêm một pha trung gian

mà cả trạng thái siêu dẫn và trạng thái thường cùng tồn tại Ông gọi các chất siêudẫn này là siêu dẫn loại II

Kết quả này liên quan đến hiệu ứng ở bề mặt của chất siêu dẫn Như ta biết, tạivùng bề mặt, từ trường có thể thấm vào mẫu (hiệu ứng Meissner) nên ở vùng này ta

có một trạng thái hỗn hợp vừa tồn tại từ trường vừa tồn tại điện tử siêu dẫn Để khảosát hiệu ứng bề mặt, người ta sử dụng khái niệm năng lượng bề mặt Năng lượng bềmặt được xem như sự chênh lệch của năng lượng tự do giữa trạng thái hỗn hợp vàtrạng thái đồng nhất 1 Ở đây ta chỉ quan tâm đến trạng thái siêu dẫn Tính toángần đúng cho ta giá trị của năng lượng bề mặt [25]

Bằng các tính toán chính xác, Ginzburg, Landau và Abrikosov chỉ ra rằng năng

lượng bề mặt bằng không khi κ = 1/ √ 2 Như vậy tham số GL κ chính là cơ sở để

phân biệt hai loại siêu dẫn:

• Siêu dẫn loại I ứng với κ < 1/ √2

• Siêu dẫn loại II ứng với κ > 1/ √2

Đối với siêu dẫn loại II, ta có hai giá trị từ trường tới hạn là H c1 và H c2 Khi từ

trường ngoài nhỏ hơn H c1 hệ ở trạng thái Meissner, là trạng thái siêu dẫn hoàn toàn

Nếu từ trường lớn hơn H c2, trạng thái siêu dẫn sẽ bị phá vỡ và hệ ở trạng thái thường

Còn trạng thái hỗn hợp tồn tại trong khoảng H c1 < H < H c2 (hình 1.3)

Một kết quả quan trọng khác của Abrikosov là việc ông tiên đoán trong trạng tháihỗn hợp từ trường thấm vào mẫu thành những ống từ và chúng sắp xếp thành một

mạng trật tự Các ống từ này được gọi là các vortex Ban đầu, Abrikosov thấy rằng

các vortex sắp xếp theo mạng hình vuông nhưng những tính toán chính xác sau nàycho thấy mạng tam giác mới là mạng vortex có năng lượng thấp nhất Mạng này được

gọi là mạng vortex Abrikosov.

1 trạng thái đồng nhất có thể là trạng thái siêu dẫn hoặc trạng thái thường

Hình 1.3: Giản đồ pha của các chất siêu dẫn loại II

Vào năm 1962, một hiện tượng thú vị được phát hiện bởi Josephson khi ông khảo sátmột cầu nối gồm hai chất siêu dẫn phân cách bởi một lớp điện môi mỏng [26] Ôngthấy rằng, dù không áp điện thế vào hai đầu cầu nối nhưng bên trong cầu vẫn xuấthiện một dòng siêu dẫn, được xác định bởi công thức

I s = I c sin ∆ϕ (1.24)

với ∆ϕ là độ lệch pha của thông số trật tự G-L giữa hai chất siêu dẫn và cường độ dòng tới hạn I c là giá trị cực đại của dòng siêu dẫn có thể chạy qua cầu nối Hiệntượng này được gọi là hiệu ứng Josephson dừng

Hơn nữa, Josephson còn tiên đoán nếu giữa hai đầu cầu có một điện thế V thì độ lệch pha ∆ϕ giữa hai chất siêu dẫn sẽ tuân theo phương trình

Cầu nối có cấu tạo như trên được gọi là cầu Josephson (Josephson junction - hình

1.4) và cặp phương trình (1.24) - (1.25) được gọi là các phương trình Josephson

Hình 1.4: Cầu Josephson

Một chú ý quan trọng là độ lệch pha ∆ϕ không phải là đại lượng bất biến chuẩn (gauge-invariant) Nghĩa là với một trạng thái vật lý cho trước, ∆ϕ không xác định

đơn trị mà có thể sai khác một hằng số Do vậy nó không thể dùng để xác định dòng

siêu dẫn I s, là một đại lượng bất biến chuẩn Để tránh khỏi khó khăn này, người ta

đưa ra khái niệm độ lệch pha bất biến chuẩn, được định nghĩa như sau:

E J = − ~I c

2e cos γ ≡ −J0cos γ (1.30)với J0 là năng lượng tương tác cực đại của cầu Josephson

Suốt từ những năm khám phá ra hiện tượng siêu dẫn (1911) đến cuối năm 1985, mặc

dù khám phá ra nhiều chất siêu dẫn mới song nhiệt độ tới hạn của chúng đều dưới

24K Điều này có nghĩa là lý thuyết BCS vẫn đứng vững Do vậy chất lỏng Heli vẫn

là môi trường duy nhất dùng để nghiên cứu vật liệu siêu dẫn Nó hạn chế rất nhiềutrong việc nghiên cứu cũng như ứng dụng của siêu dẫn

Tuy nhiên, vào năm 1986, một phát hiện chấn động toàn thế giới được thực hiệntại phòng thí nghiệm của hãng IBM (Zurich - Thụy Sĩ): K A Muller và J G Bednorz

công bố tìm được chất siêu dẫn có nhiệt độ tới hạn lớn hơn 30K [27] Mặc dù giá trị nhiệt độ này còn thấp nhưng nó đã vượt qua ngưỡng 30K của lý thuyết BCS.

Phát minh này được coi là một phát minh lịch sử, đánh dấu một giai đoạn mới trongnghiên cứu siêu dẫn: thời kỳ siêu dẫn nhiệt độ cao

Ngay sau khi khám phá này được công bố, nhiều trung tâm nghiên cứu, phòngthí nghiệm trên thế giới đã chạy đua tìm kiếm các chất siêu dẫn có nhiệt độ chuyểnpha cao hơn Chỉ sau hơn 10 năm nhiều chất siêu dẫn đã được tìm thấy và nhiệt độchuyển pha tăng đáng kể (hình 1.5)

Hình 1.5: Nhiệt độ chuyển pha của các chất siêu dẫn theo thời gian

Các chất siêu dẫn nhiệt độ cao cũng có các tính chất cơ bản của các chất siêu dẫn

nhiệt độ thấp như điện trở giảm đột ngột khi T < T c và tồn tại hiệu ứng Meissner.Ngoài ra, vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao còn có các tính chất khác biệt:

• Chúng có cấu trúc tinh thể là cấu trúc lớp và không đẳng hướng.

• Giá trị hệ số α của hiệu ứng đồng vị nằm trong một khoảng rộng chứ không

bằng 1/2 như trong các chất siêu dẫn nhiệt độ thấp.

• Độ dài kết hợp ngắn, vào cỡ 10 −7cm Do vậy hầu hết các chất siêu dẫn nhiệt độcao đều thuộc siêu dẫn loại II

Đến nay, vẫn chưa có một lý thuyết hoàn chỉnh nào ra đời để giải thích hiện tượngsiêu dẫn nhiệt độ cao Nhiều câu hỏi vẫn còn phải trả lời: Cơ chế phonon và kết cặpCooper còn đúng không? Tại sao chúng có cấu trúc lớp?

Chương 2

Trạng thái vortex-glass

Năm 1989, sử dụng lý thuyết trường trung bình của Ginzburg-Landau, M P A Fisher

đã tiên đoán sự tồn tại của một trạng thái siêu dẫn mới: trạng thái vortex-glass [1].Mục đích của chương 2 là trình bày về trạng thái vortex-glass này Trước tiên ta điểmqua một số tính chất quan trọng của vortex và trạng thái hỗn hợp Tiếp theo ta sẽnói đến hai yếu tố quan trọng quyết định đến sự tồn tại của trạng thái mới này làthăng giáng nhiệt và sự mất trật tự Cuối cùng chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chấtcủa chuyển pha vortex-glass

cực tiểu hoá năng lượng tự do F GL theo các biến thông số trật tự Ψ(r) và thế vec-tơ

A(r) Giản đồ pha thu được cho các chất siêu dẫn loại II (κ lớn) của lý thuyết trường

trung bình gồm 3 pha riêng biệt:

1 Pha dẫn điện thường nằm trong vùng T > T c , H > H c2 Cực tiểu năng lượngcho ta Ψ(r) = 0 và B(r) = H, tương ứng với không có điện tử siêu dẫn và từtrường xuyên hoàn toàn qua mẫu

2 Pha Meissner nằm trong vùng T < T c và H c < H c1 Giá trị của tham số trật tự

ứng với cực tiểu năng lượng là Ψ(r) = (|α|/β) 1/2 và từ trường bị đẩy hoàn toàn

ra khỏi mẫu (B(r) = 0) chỉ trừ vùng biên Tại biên từ trường có thể xuyên vào

mẫu một khoảng λ = (m ∗ c2β/16πe2|α|) 1/2 (công thức (1.22))

3 Vùng còn lại (T < T c , H c1 < H c < H c2) được gọi là pha hỗn hợp hay pha vortexAbrikosov Trong trạng thái này, từ trường xuyên qua mẫu thành những ốngvortex với từ thông có độ lớn bằng một đơn vị lượng tử từ thông, Φ0 = hc/2e.

Các ống vortex này sắp xếp thành mạng vortex Abrikosov

Vortex đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành trạng thái hỗn hợp cũngnhư trạng thái vortex-glass sau này Cấu tạo của vortex gồm một ống từ bán kính cỡ

độ dài kết hợp ξ và từ trường bị giam bởi những dòng siêu dẫn chạy xung quanh trên bán kính cỡ độ xuyên sâu λ (hình 2.1) Ống từ được gọi là lõi vortex (vortex core) và

các siêu dòng chạy xung quanh được gọi là dòng vortex (vortex current)

vậy từ trường trong lõi vortex r < ξ được xem là đều (hình 2.1).

Dòng vortex tạo ra năng lượng vortex và giá trị trên một đơn vị độ dài của đạilượng này (vortex line energy) là

² l = ²0ln κ (2.3)

Năng lượng tương tác giữa hai dòng vortex cách nhau một khoảng R > ξ được cho

bởi công thức

V (R) = 2²0K0

µ

R λ

Bây giờ, ta khảo sát điện trở của mạng vortex để xem trạng thái hỗn hợp có thực

sự siêu dẫn hay không Nguyên nhân có thể gây nên điện trở khi tồn tại vortex chính

là sự di chuyển của các vortex và kéo theo sự tiêu tán năng lượng Có hai tương tác

cơ bản gây nên sự dịch chuyển của vortex Thứ nhất là lực Lorentz

fL = Φ0

với J = Jv+ Jext là mật độ dòng tổng cộng gồm dòng vortex Jv và dòng ngoài Jext.Như đã nói ở trên, khi hệ ở trạng thái cân bằng thì tổng dòng vortex bằng không nênnguyên nhân gây ra sự dịch chuyển vortex sẽ là dòng ngoài Tuy nhiên giá trị điệntrở thực sự mà ta quan tâm là điện trở tuyến tính và được định nghĩa

Lực thứ hai thường được gọi là lực Magnus hay lực nâng Như ta biết trong chất

siêu dẫn, các siêu dòng đi theo chiều tăng của pha φ (hiệu ứng Josephson dừng) và

do đó mật độ dòng siêu dẫn Js tỉ lệ với tốc độ tăng của pha Js ∼ ∇φ Chuyển động

này sinh ra lực Magnus tác dụng lên vortex và có hướng vuông góc với dòng [28]

fM = ρ sΦ0

c (vs − v v ) × n (2.8)

1 công thức này thật ra là giá trị của lực Lorentz trên một đơn vị độ dài Khi xem xét vortex các đại lượng đều được khảo sát trên một đơn vị độ dài cho thuận tiện

trong đó ρ s = 2e|Ψ|2 là mật độ điện tích của siêu dòng, vs và vv lần lượt là vận tốccủa các điện tử siêu dẫn (dòng vortex) và vận tốc di chuyển của vortex Vortex sẽ dichuyển dưới lực Magnus theo chiều giảm sự thay đổi pha và từ đó làm giảm dòng.Điều này có nghĩa là hệ bị tiêu hao năng lượng và xuất hiện điện trở Như vậy trongpha hỗn hợp, sự di chuyển của vortex gây nên điện trở và làm cho hệ không còn dẫnđiện lý tưởng.

Trong phần trước ta khảo sát trạng thái hỗn hợp khi chưa xét đến hiệu ứng của thănggiáng nhiệt Điều này chỉ phù hợp cho các chất siêu dẫn loại II nhiệt độ thấp còn đốivới các chất siêu dẫn nhiệt độ cao thăng giáng nhiệt lại trở nên quan trọng Nguyênnhân chính là do trong siêu dẫn nhiệt độ thấp độ dài đặc trưng cho nhiệt độ ΛT đốivới một vortex

ΛT = Φ

2 0

bản của vortex (∼ 1/λ2) nên hiệu ứng thăng giáng nhiệt không đáng kể và lý thuyếttrường trung bình GL vẫn phù hợp

Tuy nhiên, trong siêu dẫn nhiệt độ cao thăng giáng nhiệt lại trở nên quan trọng bởi

vì các chất siêu dẫn nhiệt độ cao có (i) nhiệt độ chuyển pha cao, (ii) độ dài kết hợp

ξ nhỏ, (iii) độ xuyên sâu λ lớn và (iv) yếu tố bất đẳng hướng Người ta sử dụng chỉ

số Ginzburg Gi để đánh giá sự ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt trong siêu dẫn [28]

Trong siêu dẫn cổ điển chỉ số Ginzburg Gi ∼ 10 −7 trong khi đó các chất siêu dẫn

nhiệt độ cao Gi ∼ 10 −2 do κ À 1 và T c cao Nếu vật liệu là bất đẳng hướng chỉ số

Ginzburg cần thêm thừa số 1/²2 À 1 đặc trưng cho sự bất đẳng hướng Do vậy trong

siêu dẫn nhiệt độ cao, thăng giáng nhiệt vô cùng quan trọng

Trong mục này ta chỉ nói đến các chất siêu dẫn sạch và lý tưởng còn sự mất trật

tự sẽ được để lại cho mục sau Để khảo sát hiệu ứng thăng giáng nhiệt trong phạm

vi lý thuyết GL ta có thể xem năng lượng tự do GL F GL như một hamiltonian hiệu

dụng và năng lượng tự do thật sự F(T, H) được tính theo công thức [29]

Dưới ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt, mạng vortex Abrikosov trong siêu dẫn nhiệt

độ cao bị chảy ra thành chất lỏng gồm các vortex di chuyển linh động và tự do Ýtưởng vortex lỏng này được đề xuất đầu tiên bởi D R Nelson [30] và đã được thựcnghiệm kiểm chứng Mặc dù chưa có lý thuyết hoàn chỉnh cho sự chuyển pha của

vortex lỏng nhưng ta vẫn có thể xác định được nhiệt độ tới hạn T M của loại chuyểnpha này bằng tiêu chuẩn Lindermann

trong đó u là độ dịch chuyển ra khỏi vị trí cân bằng của vortex, h i kí hiệu việc lấy trung bình nhiệt động, a0 là hằng số mạng Abrikosov và c L ∼ 0.1 − 0.3 được gọi là

chỉ số Lindermann Mạng vortex bị tan chảy khi thăng giáng nhiệt đủ lớn để làm cho

vortex biến dạng với độ lệch hu2i cho bởi công thức (2.13) Nhiệt độ tan chảy được

16π2λ2

trong đó γ = λ z /λ ⊥ là hệ số bất đẳng hướng với λ ⊥ và λ z lần lượt là độ xuyên sâu

theo hướng vuông góc và song song với trục z Giá trị lớn nhất có thể của T m nhỏ hơn

giá trị nhiệt độ chuyển sang pha thường T c khoảng một vài độ Kelvin Từ công thức

của T m ta có thể suy ra được công thức cho từ trường chuyển sang pha lỏng B m [25]

B m = 1

16π4

c4

L φ5 0

(k B T )2λ4

Đối với chất siêu dẫn nhiệt độ cao và bất đẳng hướng thì B m < H c2do vậy trạng thái

vortex lỏng tồn tại trong vùng B m < H < H c2 Ngoài ra tại gần điểm tới hạn H c1 vortex cũng bị chuyển sang pha lỏng Giá trị từ trường chuyển sang pha lỏng H m1

được cho bởi công thức [2]

Trong vùng H c1 < H < B m1 vortex ở trạng thái lỏng Tuy nhiên vùng này rất nhỏ do

λ thường nhỏ hơn rất nhiều Λ T

Như vậy khi xét đến yếu tố thăng giáng nhiệt bức tranh giản đồ pha của lý thuyếttrường trung bình thay đổi đáng kể với việc xuất hiện thêm pha vortex lỏng (hình2.2)

Hình 2.2: Giản đồ pha của chất siêu dẫn nhiệt độ cao khi xét đến thăng giáng nhiệt

Vortex lỏng được hình thành rất linh động và dễ dàng di chuyển nên về mặt độnghọc trạng thái vortex lỏng không khác so với trạng thái thường Cả hai trạng thái đều

cho hΨi = 0, khác với trạng thái vortex Abrikosov và trạng thái Meissner có hΨi 6= 0.

Trên thực tế không có một sự khác biệt cơ bản nào giữa trạng thái vortex lỏng vàtrạng thái thường, cả hai đều có điện trở tuyến tính khác không

Trong thực tế, các yếu tố mất trật tự như tạp chất, sai hỏng luôn tồn tại Có rấtnhiều loại mất trật tự đã được khảo sát và ta có thể phân chúng ra làm hai nhómchính:

1 Mất trật tự "tương quan" (correlated disorder) như twin-boundaries trong cáchợp chất Y-Ba-Cu-O hay các sai hỏng nhân tạo do việc chiếu vào mẫu siêu dẫnbằng các chùm ion nặng Khi bắn vào mẫu, chúng sẽ tạo ra những sai hỏng dọctheo đường đi của chúng

2 Mất trật tự không tương quan hay ngẫu nhiên (uncorrelated disorder) là nhữngsai hỏng điểm do tạp chất gây ra Mất trật tự loại này có tính vi mô và ngẫunhiên

Loại mất trật tự thứ nhất cho ta trạng thái Bose glass tuy nhiên ta chỉ quan tâm đếnloại mất trật tự thứ hai, là loại mất trật tự cho ta trạng thái vortex-glass.

Hơn 30 năm trước, Larkin đã khảo sát ảnh hưởng của sự mất trật tự trong mạngvortex [31] Như ta biết lực tương tác giữa các vortex có xu hướng sắp xếp chúngthành cấu trúc mạng tam giác nhưng các yếu tố mất trật tự lại tạo ra một rào thếngẫu nhiên Rào thế này có khuynh hướng ghim các vortex ở những vị trí cố định vàphá vỡ cấu trúc mạng Trong lý thuyết pinning tập thể (collective pinning) của mình

Larkin đưa ra một độ dài đặc trưng L c được gọi là độ dài pinning tập thể (collectingpinning length) [28]

(tilt) Do đó sự trật tự bị phá vỡ trên khoảng cách cỡ L c Như vậy lý thuyết Larkincho ta hai kết luận quan trọng: (i) sự mất trật tự phá vỡ tính đối xứng (tính trậttự) của mạng vortex nên trong mạng không có một trật tự xa (long-range order) nàonhư trật tự của mạng tam giác, (ii) các vortex bị ghim lại bởi các yếu tố mất trật tự

thành từng "bó" với kích thước cỡ L c Do vậy sự linh động của các vortex bị giảmđáng kể và điện trở của hệ vortex cũng giảm theo Tuy nhiên điện trở tuyến tính của

hệ lúc này là thực sự bằng không hay rất nhỏ nhưng vẫn khác không?

Lý thuyết Kim-Anderson [32] cho rằng các bó vortex (thể tích tương quan) dướikích thích nhiệt vẫn có thể nhảy từ chỗ ghim này sang chỗ ghim khác Trong mô hìnhnày, các bó vortex được xem như độc lập và không tương tác với nhau Kích thước

của một bó là hữu hạn và cỡ độ dài L c Sự di chuyển độc lập của các bó vortex dướitác dụng của dòng ngoài sẽ phá vỡ sự liên kết của hàm sóng cặp Cooper và sinh rađiện trở Điện trở phi tuyến của hệ được cho bởi công thức

trong đó E và J lần lượt là điện trường ngoài và mật độ dòng ngoài, T là nhiệt độ,

k B là hằng số Boltzmann và U là rào thế năng lượng (barrier energy) Do kích thước của các bó là hữu hạn nên U cũng hữu hạn Sự phụ thuộc của U vào mật độ dòng ngoài trong mô hình Kim-Anderson có dạng U(J) = U0[1 − (J/J c )] với U0 là một

hằng số khác không và J c là mật độ dòng tới hạn Ta thấy U(J) → U0 khi J → 0.

Điều này có nghĩa là tại bất cứ nhiệt độ T 6= 0 nào thì điện trở tuyến tính của hệ cũng

khác không Mô hình này hoàn toàn phù hợp với các chất siêu dẫn loại II cổ điển Hệvortex lúc này rất cô đặc (giống như mật ong chảy qua một miếng bọt biển) [33]

Hình 2.3: Sự tương tự của hệ từ và siêu dẫn: bên trái là sự sắp xếp của các spin (kí hiệubằng mũi tên lên hoặc xuống) trong hệ từ và tương ứng bên phải là sự sắp xếp của cácvortex (lõi vortex kí hiệu bằng dấu chấm và dòng vortex kí hiệu bằng mũi tên tròn) trong

hệ siêu dẫn Hình lấy từ tài liệu [33]

Tuy nhiên đối với các chất siêu dẫn nhiệt độ cao, thực nghiệm lại cho thấy khi

J ¿ J c thì sự phụ thuộc của rào thế U vào mật độ dòng ngoài có dạng [34]

Dạng phụ thuộc này có một ý nghĩa rất quan trọng vì khi J → 0 thì U(J) sẽ tiến ra

vô cùng và điện trở tuyến tính của hệ ρ lin theo công thức (2.7) sẽ bằng không

M P A Fisher [1] đã giả thiết tồn tại một pha vortex-glass mà trong đó các vortexkhông di chuyển và điện trở tuyến tính của hệ thực sự bằng không Trong pha siêu dẫn

mới này các vortex bị đông cứng theo thời gian tại các vị trí ngẫu nhiên trong khônggian Các vị trí này được quyết định bởi lực tương tác giữa các vortex (lực Lorentz) vàcủa vortex với các yếu tố mất trật tự (lực pinning) Ý tưởng tồn tại pha vortex-glassxuất phát từ một pha "glass" khác trong các hệ từ mất trật tự là spin-glass Sự tương

tự của của hệ từ và siêu dẫn có thể thấy trong hình 2.3

Khác với pha Meissner, pha vortex-glass chỉ có thể tồn tại trong các vật liệu khôngsạch (chứa tạp chất, sai hỏng, ) Các sai hỏng này luôn tồn tại trong các vật liệutrên thực tế cho dù vật liệu được làm sạch đến đâu và sự xuất hiện của chúng sẽlàm pha hỗn hợp (mạng vortex Abrikosov) không thực sự siêu dẫn chuyển sang phavortex-glass thực sự siêu dẫn Giản đồ pha của chất siêu dẫn loại II mất trật tự bâygiờ có dạng như hình dưới Mục tiếp theo sẽ trình bày kĩ hơn sự tiên đoán của lýthuyết và các bằng chứng thực nghiệm của chuyển pha vortex-glass

Hình 2.4: Giản đồ pha của chất siêu dẫn loại II mất trật tự với sự xuất hiện của phavortex-glass

Trong mục này ta chỉ quan tâm đến chuyển pha từ vortex lỏng sang vortex-glass.Thực nghiệm cho thấy chuyển pha này là chuyển pha loại hai khi từ trường ngoàicao và độ mất trật tự lớn còn ngược lại chuyển pha vortex-glass sẽ là chuyển pha loạimột Như vậy trong các chất siêu dẫn nhiệt độ cao như những hợp chất Y-Ba-Cu-Ovới sự mất trật tự đủ lớn sẽ tồn tại chuyển pha loại hai

Trong chuyển pha loại hai, dáng điệu tới hạn của các đại lượng vật lý luôn tuân

theo định luật scaling Nội dung định luật scaling có thể phát biểu như sau: ở gần

điểm chuyển pha, độ dài tương quan ξ là thang độ dài duy nhất đặc trưng cho hệ Tất

cả các đại lượng có thứ nguyên độ dài khác đều được đo theo thang độ dài này Điều

này có nghĩa là sự biến thiên kì dị của các đại lượng vật lý ( chẳng hạn I, V, ) ở gần

điểm chuyển pha được xác định bởi độ dài tương quan Fisher và các cộng sự định

nghĩa chỉ số tới hạn ν để mô tả sự phân kì của độ dài tương quan ξ tại điểm chuyển pha vortex-glass T c

và chỉ số tới hạn z đặc trưng cho thời gian tương quan

Thời gian tương quan được hiểu là thời gian hồi phục của một thăng giáng có độ lớn

cỡ ξ Trong lý thuyết các hiện tượng tới hạn cho chuyển pha loại hai, các chỉ số tới

hạn mang tính phổ quát và được đặc trưng bởi loại chuyển pha chứ không phụ thuộcvào cấu trúc vi mô của vật liệu Điều này có nghĩa là trong chuyển pha loại hai củacác hệ khác nhau (chẳng hạn hệ từ và hệ siêu dẫn) các chỉ số tới hạn đều như nhau.Hơn nữa các chỉ số tới hạn có thể tính thông qua các đại lượng đo được (như dòng,

thế, độ cảm từ, điện trở ) tại các nhiệt độ gần với nhiệt độ tới hạn T c Ta sẽ chỉ tậptrung vào dáng điệu tới hạn (dạng scaling) của điện trở gần nhiệt độ chuyển pha baogồm điện trở tuyến tính và phi tuyến

Dạng scaling của điện trở phi tuyến có thể xây dựng thông qua dạng scaling của

điện trường E và dòng ngoài J Hàm năng lượng tự do cho tương tác của siêu dòng

và gradient của biến pha có dạng [35]

Theo định nghĩa sự tương quan của hàm sóng siêu dẫn Ψ nằm trong khoảng độ dài

kết hợp ξ và tương ứng pha của thông số trật tự thay đổi 2π trên khoảng ξ nên

|∇φ| ∼ 2π/ξ Từ phương trình (2.22) ta suy ra dạng scaling của thế vec-tơ A ∼ Φ0/ξ.

Sử dụng phương trình Maxwell E = −c −1 ∂A/∂t ta thu được dạng scaling của điện

trường E tỉ lệ với A và 1/t

E ∼ Φ0

Tương tự, ta có thể suy ra dạng scaling của dòng J từ hàm năng lượng tự do Ta biết

F J có thứ nguyên năng lượng ∼ k B T nên J phải có dạng

trong đó g+ và g − lần lượt là hai scaling của điện trở ứng với T > T c và T < T c Sửdụng phương trình (2.20) ta có thể viết lại dạng của scaling của điện trở phi tuyếntheo nhiệt độ

ρ nl= E

J ∼ |T − T c |

s G ±¡J.|T − T c | −ζ¢

(2.26)với

và G ± là hai hàm scaling tương ứng với g ±

Tính chất của pha ở trên và dưới nhiệt độ chuyển pha T c cho ta dạng giới hạn của

các hàm scaling Ở trên T c, hệ ở trạng thái thường nên tuân theo định luật Ohm Do

vậy, điện trở phi tuyến phải tiến đến một hằng số khi dòng J → 0 Ta có dạng hàm của G+

G+(x) → const khi x → 0 (2.29)

Khi T < T c , để thoả mãn dạng phương trình (2.19) hàm scaling G − có dạng tỉ lệ với

hàm mũ G − ∼ exp(−const/x µ ) khi x → 0 với µ là số dương nhỏ hơn 1 Hàm scaling này cho ta dạng phụ thuộc của E theo J như sau [36]

Còn tại T = T c khi x → ∞ [2] G+(x) = G − (x) ∼ x (z+2−d)/(d−1) Sự phụ thuộc của E

và J có dạng

Từ các phương trình (2.25), (2.30) và (2.31) ta có thể dự đoán dạng đồ thị của

log(E) theo log(J) như sau

• Ở trên nhiệt độ chuyển pha T c , đồ thị là các đường cong dương và cắt trục y tại giá trị ρ lin > 0

• Tại điểm chuyển pha, đồ thị có dạng đường thẳng với hệ số góc (z + 1)/(d − 1)

• Dưới điểm chuyển pha, đồ thị là các đường cong âm

Hình trên là kết quả thí nghiệm của nhóm tác giả Koch [7] khi họ khảo sát chất siêudẫn nhiệt độ cao YBa2Cu3O7 Đồ thị gồm những đường đặc trưng dòng-thế trong

từ trường H = 4 Tesla Ta thấy đồ thị có dạng hoàn toàn giống với dự đoán của lý

thuyết trên Đây là bằng chứng thực nghiệm đầu tiên cho thấy tồn tại sự chuyển pha

Hình 2.5: Kết quả thí nghiệm đặc trưng dòng-thế của chất siêu dẫn nhiệt độ cao Y BCO tại các nhiệt độ khác nhau trong từ trường H = 4 Tesla Hình lấy từ tài liệu [33]

vortex-glass Kết quả chỉ số tới hạn z từ thí nghiệm này là 4.8 ± 0.2 Các thí nghiệm

sau này cho các hợp chất siêu dẫn Bi-Sr-Ca-Cu-O cũng cho kết quả tương tự

Dạng scaling cho điện trở tuyến tính ở những nhiệt độ lớn hơn T c có thể suy ra

từ công thức điện trở phi tuyến (2.26) khi cho mật độ dòng J → 0 Khi J → 0 hàm scaling G+ → const và điện trở tuyến tính ρ lin = limJ→0 ρ nl khi đó có dạng scaling

ρ lin (T ) ∼ |T − T c | s (2.32)

Công thức scaling (2.32) ở trên chưa tính đến hiệu ứng kích thước Hiệu ứng kích

thước rất quan trọng ở gần điểm chuyển pha vì khi đó độ dài kết hợp ξ phân kì tới

độ lớn cỡ kích thước của hệ L và tại nhiệt độ chuyển pha, ξ sẽ bằng L cho tất cả các

hệ có kích thước hữu hạn Ở gần điểm chuyển pha, điện trở tuyến tính sẽ tuân theo

dạng scaling (với giả thiết gần đúng ξ ' L) [16]

ρ lin (T, L) ' L d−2−z Ge£L 1/ν (T − T c)¤ (2.33)với eG là hàm scaling Để xác định nhiệt độ T c và z ta sử dụng tính chất hàm scaling

tại nhiệt độ chuyển pha Tại đó hàm eG trở thành hằng số và do đó

Dạng scaling này không phụ thuộc vào dạng phân kì của độ dài tương quan ở tại điểm

chuyển pha Từ công thức này ta thấy nếu vẽ đồ thị của tỉ số các ρ lin theo nhiệt độ

T thì tại nhiệt độ chuyển pha T c

ln [ρ lin (L)/ρ lin (L 0)]

ln [L/L 0] = d − 2 − z (2.35)

Điều này có nghĩa là tất cả các đường cho từng cặp (L, L 0) vẽ theo dạng hàm trên sẽ

cắt nhau tại một điểm Ta sẽ đọc được giá trị nhiệt độ chuyển pha T c và chỉ số tới

hạn z từ điểm cắt này Sau khi xác định được T c và z ta có thể xác định được ν thông

Chương 3

Mô hình động học RSJ

Phần đầu sẽ giới thiệu về mạng cầu Josephson, sau đó tìm hiểu các mô hình mất trật

tự thông dụng được dùng cho khảo sát trạng thái vortex-glass, trong đó có mô hìnhmạng XY sử dụng trong khoá luận này Phần còn lại tập trung trình bày mô hìnhđộng học RSJ và công thức tính điện trở tuyến tính cho mô hình mạng XY

Mạng cầu Josephson (Josephson junction array) được sử dụng trong cả lý thuyết vàthực nghiệm để nghiên cứu rất nhiều lĩnh vực vật lý như các hệ thấp chiều, chuyểnpha trong các hệ mất trật tự, các hiệu ứng lượng tử vĩ mô, Đồng thời do tính đơngiản mà mạng cầu Josephson cũng rất thuận tiện trong việc mô phỏng và từ đó cóthể dễ dàng so sánh với thực nghiệm Mạng cầu Josephson đơn giản nhất là mạng

hai chiều L × L gồm những đảo siêu dẫn với hằng số mạng a Mỗi đảo tương tác với các đảo lân cận gần nhất bởi một cầu nối Josephson với năng lượng tương tác là J ij

(hình 3.1)

Hình 3.1: Mạng cầu Josephson hai chiều