Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất A Lí thuyết tóm tắt Định nghĩa tích của vectơ với một số Cho số k 0 và vectơ a 0 Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka và có độ dài bằn[.]
Trang 1Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất
A Lí thuyết tóm tắt
- Định nghĩa tích của vectơ với một số: Cho số k 0 và vectơ a0 Tích của vectơ
avới số k là một vectơ, kí hiệu là ka và có độ dài bằng k a
- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: avà bcùng phương khi và chỉ khi tồn tại số
k để a = kb
- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có tồn tại một số k khác 0 để AB=kAC
- Tính chất của tích vectơ với một số:
+) k(a+b)=ka+kb
+) (h+k)a =ha+ka
+) h(ka)=(hk)a
+) 1.a=a;( 1)a− = −a
+) 0.a=0; k.0=0
- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: hai vectơ avà b không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ avà b sao cho x= ha+kb (h, k là duy nhất)
B Các công thức
- Quy tắc trung điểm: I là trung điểm của AB
MA+MB=2MI ( M tùy ý )
- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC
MA+MB MC 3MG+ = ( M tùy ý )
- Quy tắc ba điểm: AB BC+ =AC
- Phân tích một vectơ theo hai vectơ a và b không cùng phương: x =ha+kb (h, k
là duy nhất)
Trang 2- Độ dài vectơ tích của vectơ với một số: ka = k a
- Điều kiện 2 vectơ a và b(b0) cùng phương: a =kb ( k 0)
- Điều kiện 3 điểm thẳng hàng: AB=kAC
- Tính chất của tích vectơ với một số:
k(a+b)=ka+kb
(h+k)a=ha+ka
h(ka)=(hk)a
1.a =a;( 1)a− = −a
0.a =0; k.0=0
C Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ
AB theo hai vectơ AK và BM
Giải:
Vì K là trung điểm của BC nên CB 2KB=
Vì M là trung điểm của AC nên AC 2AM=
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
AB=AC CB+
Trang 3AB 2AB 2BM 2KA 2AB
AB 4AB 2BM 2KA
AB 4AB 2BM 2AK
3AB 2BM 2AK
−
Bài 2: Xét đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm N nằm ngoài AB, khác M Phân
tích vectơ NM theo hai vectơ NA và NB
Giải:
Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:
NA+NB=2NM
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm của CD Lấy điểm M trên
đoạn BI sao cho BM = 2MI Chứng minh A, M, C thẳng hàng
Giải:
Ta có: BM = 2MI
BM 2MI
Áp dụng quy tắc ba điểm có: BM=BA+AM
BA AM 2MI
Mà ABCD là hình bình hành nên: BA=CD
CD AM 2MI
Trang 4Mà I là trung điểm CD nên: CD 2CI=
AM 2(MI IC)
Vậy A, M, C thẳng hàng
D Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn
các hệ thức MA−2MC=0 và NA+2NC=0 Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có M, N là trung điểm của các cạnh DC, DA
Phân tích vectơ AB theo hai vectơ AM và BN
Bài 3: Cho tam giác A, B, C Có N là điểm sao cho CN 1BC
2
= , G là trọng tâm tam giác ABC Phân tích AC theo AG và AN