34 Đề Tuyển Sinh Lớp 10 Chuyên Môn Toán (Chuyên) Năm 2021 – 2022 Sở Gd&Đt Lào Cai (Đê+Đáp Án).Docx

Microsoft Word 37 CHUYEN LÕO CAI 21 22 doc 1 1 2 2 ĐỀ CHÍNH THỨC a a 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI Đề thi gồm có 01 trang KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn Toán (Chuy[.]

1 1 2 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn: Toán (Chuyên 1) Khóa ngày: 03/06/2021

Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức

A =  a a 1  a   a a +1  a + :  a + 2  với a  0 ;   a  2  a  1; a  2 Tìm tất cả các giá trị

nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên

b) Cho x = 1+ Tính giá trị biểu thức: x5  2x4  2021x3 + 3x2 + 2018x  2021.

Câu 2 (2,5 điểm)

1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định của người đó

2) Cho phương trình x2  2 (m 1) x + 2m  5 = 0 (trong đó m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

(x2  2mx

+ 2m 1)(x2  2mx + 2m 1) < 0

Câu 3 (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn  ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F Kéo dài AI cắt BC tại M

và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A) Gọi Q là giao điểm của AI và FE Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D) Chứng minh rằng:

a) AF 2 = AP.AD

b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 = NM NA.

c) QA là phân giác của PQT

d) ADF = QDE

Câu 4 (2,0 điểm)

a) Cho hai số thực dương

x; y thỏa mãn: x + y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 + 1

x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa

2 + y2 + z2  3 Chứng minh rằng:

(x4 + y4 + z 4) + (x3 + y3 + z3)  3 + x + y + z

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn phương

b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương

Tìm giá trị lớn nhất của p x ; y thỏa mãn x3 + y3  p = 6xy  8.

HẾT

-a {1, 2}



2021

a

a a

a

a

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022) Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức A =  a a 1  a a +1  :  a + 2  với a  0 ;  a  a +   a  2  a  1; a  2 Tìm tất cả các giá trị

nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên

b) Cho x = 1+ Tính giá trị biểu thức: x5  2x4  2021x3 + 3x2 + 2018x  2021.

a) Với: a  0



Lời giải:

 a  1 a + 1   a + 2   (  1 )( a + + 1) ( + 1 ) ( a  + 1 )   a + 2 

 a  a +   a  2   a ( 1) a ( +1)   a  2 

A =  a + +1  a  +1  :  a + 2  = 2  a  2  = 2a  4 = 2  8

Để A   2 

a +

8

a +

2

  a + 2U (8) = {1;  2 ;  4 ;  8}

Do: 

a  {1; 2}  a + 2  5  a + 2  {8 }  a = 6 (TM )

Vậy a = 6  A 

b)

Đặt: M = x5  2x4  2021x3 + 3x2 + 2018x  2021 = x5  2x4  2020x3  x3 + 2x2 + 2020x + x2  2x  2020 1.

M = x3(x2  2x

– 2020) x (x2  2x – 2020) + (x2  2x  2020) 1 =(x2  2x  2020)(x3  x +1) 1 Mà:

x = 1+  x 1 =  ( x 1)2 = 2021  x2  2x  2020 = 0.

 M = 1

Câu 2 (2,5 điểm)

1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định của người đó

2) Cho phương trình x2  2 (m 1) x + 2m  5 = 0 (trong đó m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

1 1 2 2

(x2

 2mx + 2m 1)(x2  2mx + 2m 1) < 0

1) Gọi vận tốc dự định của xe đạp là:

Lời giải:

x (km / h); x > 0.

Vận tốc sau khi tăng tốc là:

x + 3 (km / h)

Thời gian dự định là: 40 (h)

x

Quãng đường từ lúc tăng tốc là: 40  20 = 20 (km)

Thời gian lúc chưa tăng tốc là: 20 (h)

x

Thời gian từ lúc tăng tốc là: 20

x +

3 (h)

20 1 20 40  x = 12 (TM ) Theo đề bài ta có:

3 x + 3 x  x = 15 ( KTM ) Vậy vận tốc dự định của xe đạp là: 12 (km/h)

2) a) Ta có:  ' =  (m 1)2  2m + 5 = m2  4m + 6 = (m  2)2

+ 2 > 0  m

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

x1 + x2 = 2 (m 1) b) Theo Vi-et ta có: 

x1 x2 = 2m  5 Do: x1 ; x2 là nghiệm của phương trình nên ta có:

x2  2 (m 1) x + 2m  5 = 0 

x2  2mx + 2x + 2m 1 4 = 0 x2  2mx + 2m 1 = 4  2x



x2  2 (m 1) x + 2m  5 = 0  x2  2mx + 2x + 2m 1 4 = 0  

x2  2mx + 2m 1 = 4  2x

Mà: (x2  2mx

+ 2m 1)(x2  2mx + 2m 1) < 0  (4  2x )(4  2x ) < 0  16  8( x +x ) + 4x x < 0

 16  8.2 (m 1) + 4 (2m  5) < 0

Câu 3 (1,0 điểm)

 12  8m < 0  m < 3

2

Cho tam giác nhọn  ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F Kéo dài AI cắt BC tại M

và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A) Gọi Q là giao điểm của AI và FE Nối AD cắt đường

tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D) Chứng minh rằng:

1 2

2

a) AF 2 = AP.AD

b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 = NM NA.

c) QA là phân giác của PQT

d) ADF = QDE

Lời giải:

N

a) Xét  AFP và  ADF có:

ADF

= 1 FP ; A Chung

2

  AFP ∽  ADF ( g g )  AF = AP  AF 2 = AP.AD (đpcm)

b) Vì: AF và AE là 2 tiếp tuyến của ( I )  AI là trung trực của FE  AI  FE tại Q.

 AF 2 = AQ.AI (hệ thức lượng)

 AQ.AI = AP.AD (= AF 2)  AP = AI

Xét  APQ và  AID có: AP = AI (cmt );

AQ AD

= ADI  PQID nội tiếp (vì:

AQP là góc ngoài tại đỉnh Q)

Ta có: A = A (vì: AI là tia phân giác)  NB = NC  B = A

  1 



3 a2

Xét  ABN và  BMN có: B =

  ABN ∽  BMN ( g g )  AN = BN  NB2 = NA.NM (đpcm)

 IPD = IDP (IP = ID = r )

IPD = IQD = ID

 IDP = AQP (cmt )  

Mà: 





AQT

= IQD (doi

dinh) 

AQP = AQT  đpcm

d) Gọi K là giao điểm của AI với ( I

Mà: AQP =

AQT (FDP cmt )  KP = KT  FP = ET  = EDT  đpcm

Câu 4 (2,0 điểm)

a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x + y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 A = 53x + 53y + 1 + 1

x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa

2 + y2 + z2  3 Chứng minh rằng:

(x4 + y4 + z 4) + (x3 + y3 + z3)  3 + x + y + z

Lời giải:

a) Dự đoán điểm rơi: x = y =

3  x2 + ax + ax  3.3 x2  ax  ax = 3.  x2 = ax  a = 27

Ta có:

A = 53x + 53y + 1 + 1 =  27x + 27x + 1  + 

27 y + 27 y + 1   ( x + y)

 A  3.3 27x  27x 

x2 + 3.3 27 y  27 y  y2 ( x + y ) = 27 + 27 ( x + y )  54 

3 = 3

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

3

x4 1 y4 1 z4 1

Vậy  Min A

= 160  x = y = 1 3

3

b) Ta có:

x4 +1  2 = 2x2 ; y4 +1  2 = 2 y2 ; z4 +1  2 = 2z2

 x4 + y4 + z4  2(x2 + y2 + z2)  3  VT  2(x2 + y2 + z2)  3 + x3 + y3 + z3

Tương tự:

x3 + x  2 = 2x2 ; y3 + y  2 = 2 y2 ; z3 + z  2 = 2z2

   

 x3 + y3 + z3  2 (x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )  VT  2 (x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z ) + 2(x2 + y2 + z2 ) 3

 VT  (x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z ) + 3(x2 + y2 + z2 ) 3  (x2 + y2 + z2 )( x + y + z ) + 3.3  3

 VT 

(x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z ) + 6

Mà: x2 +1  2 = 2x ; y2 +1  2 = 2 y ; z2 +1  2 = 2z

 x2 + y2 + z2  2( x + y + z )  3  VT  2 ( x + y + z )  3( x + y + z ) + 6 =( x + y + z ) + 3 (đpcm)

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn phương

b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương

3 + y3  p = 6xy  8.

a) Ta có:

Lời giải:

x2  2x + 2 y2 = 2( xy +1)  x2  2x + 2 y2 = 2xy + 2  x2  2xy + y2 + y2  2x = 2

 2x + y2  2 y +1+ 2 y = 3  ( x  y )2

= 3  ( x  y )2

= 4

+ ( y 1)2

= 4 (= 02 + 22 )

x  y 1 = 0



x = 4



b) Ta có:

x3 + y3  p = 6xy  8 p = x3 + y3  6xy + 8  p =( x + y )3  3xy ( x + y )  6xy + 8

 p = ( x + y)3 + 8  3xy ( x + y + 2)  p =( x + y + 2) ( x + y )2  2 ( x + y) + 4  3xy

Do p là số nguyên tố nên: 

( x + y)2 – 2 ( x + y ) + 4  3xy

=1

 ( x + y ) – 2 ( x + y ) + 4  3xy = 1

(Vì:

x ; y  +  x + y + 2  4 )



 ( x + y )2  2 ( x + y ) + 4  3xy = 1  x2 + 2xy + y2  2x  2 y  3xy = 3  x2  xy + y2  2x  2 y = 3

 4x2  4xy + 4 y2  8x  8 y = 12  (2x  y )2 + 3y2  4 (2x  y ) + 4 12 y +12 = 4



y = 3



y = 1



y = 3



y = 1

 (2x  y  2)2 + 3( y  2)2 = 4 (= 12 + 3.12 )

 2x  y  2 = 1 y  2 = 1  2x  y  2 = 1 y  2 = 1 2x  y  2 = 1 y  2 = 1 2x  y  2 = 1 y  2 = 1

x = 3



TH1: x = 3

  p = 8 ( KTM )

TH2: x = 2

  p = 5 (TM )

TH3: x = 2

  p = 7 (TM )

TH4: x = 1  p = 4 ( KTM )



Vì: p là số nguyên tố lớn nhất  p = 7

Vậy p =

7 thỏa mãn yêu cầu bài toán

THCS.TOANMATH.com