58 Đề Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán (Hệ Chuyên) Năm 2021 – 2022 Sở Gd&Đt Quảng Ngãi (Đề+Đáp Án).Docx

Microsoft Word 47 CHUYÃ−N QUẢNG NGà I 2020 2021 docx a a a x2 + y + 6 x2  4xx + 2m  2 1 1 x2 SỞGIÁO GIỤC VÀĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPTQUẢNG NGÃI NĂMHỌC 2020 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa n[.]

a a a

x2 + y + 6

x2  4xx + 2m  2

Môn : Toán chuyênThờigianlàmbài:150 phút

Bài

1 ( 1,5 điểm )

1 Rútgọnbiểuthức A= 1 : a+ 1 (a0;a1)

2 Chohàmsố y=(m2)x+2 (m là tham số ) cóđồ thịlàđường thẳng (d)

a) Tìm điều kiệncủa mđểhàm số đồngbiến trênℝ

b) Tìm giátrịcủa m đểkhoảng cáchtừ gốc tọa độO đến (d)bằng 1

Bài

2 ( 1,5 điểm )

1 Choalàsốnguyênlẻvàkhôngchiahếtcho3.Chứngminhrằnga2

20212chiahếtcho24

2 Cho các số nguyên tố p, q thỏa

mãna)p = 2 q + 1

p+q2làsốchínhphương.Chứng minhrằng :

b) p2+q2021khôngphảilàsốchínhphương

Bài

3 ( 2,5 điểm ).

2x2+7xy4y2=0

1 Giảihệ phươngtrình:

2 Tìmtấucảcácgiátrịcủathamsốm đểphươngtrình x2 5x+2m 2=0cóhainghiệmdươngphân

3 Chocácsốthựca,b,cđ ô i mộtkhácnhauvàthỏamãn(c+a)(c+b)=4.Chứngminhrằng:

1

(a b)2 +(c+a1)2 +(c+b1)2 1

Bài

4 ( 3,5 điểm)

Cho đường tron tâm O, bán kính R = 4cm và hai điểm B, C cố định trên (O), BC không là đường kính ĐiểmA thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ A, B,

C củatam giácABC

a)Chứng minh𝐵ˆ𝐴𝐷=𝐶ˆ𝐴𝑂

b) Gọi M là điểm đối xứng của A qua BC, N là điêm đối xứng của B qua AC Chứng minh

rằng :CD.CN = CE.CM

c) Trongtrường hợp3 điểmC,M, N thẳnghàng, tínhđộ dài đoạnthẳng AB

d) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng AI cắt EF tại K Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trênBC.CHứng minh rằng đường thẳng AH luôn điqua một điểm cố định khi A thayđổi

Bài

5 ( 1 điểm )

ChotậphợpSgồmnsốnguyêndươngđôimộtkhácnhau(n3)thỏamãntínhchất:tổngcủa3phầntửbấtkìtrong

Sđều là số nguyên tố Tìm giá trị lớn nhất có thểcủa n

ĐÁP ÁN

Bài 1

1.1.

a2− √a √a +a + a√a (√a4−√a)(√a+1)

√a(√a3−1)(√a+1) (√a3−1)(√a+1)

(√a−1)(a+√a+1)(√a+1) (√a−1)(√a+1) a − 1

VậyA = 1

a–1

1.2.

a)Hàm số đồng biển trênR⇔m− 2>0

-m>2 b)Vớim=2,(d): y= 2cách Omộtkhoảng bằng2, (khôngthỏa)

Vớim≠2, gọi M, N lần lượt là giao điểmcủa(d) với trụchoành,

trụctung.Hoàngđộ của M lànghiệmcủa phương trình:

2 (m−2)x+2=0⇔x=

2− m 2

⇒OM=

|2− m|

Đườngthẳng (d)cắttrụctung tại điểmcótungđộ bằng 2nên ON= 2

Gọi OH là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d), áp dụng hệ thức về cạnh và

đườngcaotrong tam giác vuôngOMN ta có:

OH2=

OM2+

ON2⇔

OH2=

4 +4

mà OH= 1 nên

(2–m)

2+1=1⇔m2−4m+5=4⇔(m−2)2=3

m − 2=−√3 m=2−√3

D

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 2

2.1.Vì a làsố nguyên lẻnêna=2k+ 1 , k∈ℤ Từ đó

a2= 4k2+4k+ 1⇒a2−1=4k(k +1)⋮8 (1)vì k(k +1)⋮2

Mặtkhác,a khôngchia hết cho 3 nêna=3q± 1,q∈ℤ

a2= 9q2±6k+ 1⇒a2−1⋮3 (2)

Từ đó:

a2−20212= (a2−1)−(20212−1)=(a2−1)−2020.2022

2.2.a)

Suy rap=(n − q)(n+ q)

n−q=1

Vì p là số nguyêntốnên{ Do đóp=2 q + 1

b)Giảsửp2+q2021làsốchínhphương,đặtp2+q2021= m2

Suyraq2021= (m−p)(m+p).Có2trườnghợp:

TH1:

m− p=1

{ ⇒a2021−1=2p=4q+2⇒q2021= 4q+3.Suyra2⋮q.Từ

m+p=q2021

đó: q = 3

Tuynhiên,khiđóđẳngthứcq2021= 4q+ 3khôngxảyra

TH2:

m−p=qa

{ bv ớ i a,b∈N∗,a+b=2021.Suyraqb−qa= 2p=4q+2m+

p=q

Từ đó2⋮p và q=2

Khi đó

2b−2a= 10⇒2a–1(2b–a−1)=5

Suyra{2a–1=1⇒2b–a=6(vôlý)

2b–a= 5

Tóm lại,2trường hợpđềukhôngxảyratứclà điềugiảsử saihaynóicách

khácp2+q2021khôngphải số chínhphương

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 3.

2x2+7xy−4y2= 0 (1)

3.1.{

√x2+y+6+2y=1 (2)

Từ(1)⇔2x2−xy−4y2=0⇔x(2x−y)+4y(2x−y)=0

-(x+ 4y)(2x−y)=⇔{y=2x

x=−4y Thayx= −4yvào (2) ta được√16y2+ y + 6 =1 −

16y2+y+6=(1−2y)2 12y2+5y+ 5=0

Thayy=2xvào(2)ta được√x2+2x+6=1− 4x

1

- x2+2x+ 6=1−8x−16x1−4x≥0 2 ⇔ x≤4 ⇔x=14 ⇔x

152−10x −5=0 [ 1

1

=−

3 Vớix=−1= >y=−2

Vậyhệcónghiệm(−1;−2 )

3 3

3.2

∆=25− 4(2m−2)>0 Phươngtrìnhcó2nghiệmdươngphânbiệtx1,x2⇔{ S=5>0

⇔ P=2m− 2>0

{ 8⇔ 1<m<

x1+x2= 5;x1.x2= 2m−2vàx2−x1+2m−2=0

1

√x2−4x1+2m−2+√x2= 3

1

-√x2−5x1+2m−2+x1+√x2=3

1

-√x1+√x2=3

-x1+x2+2√x1x2=9⇔√x1x2=2⇔x1x2=4⇔2m−2=4⇔m=3

(thỏamãn)

Vậym=3

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Đặtx=c+ a,y=c+ b Khi đóxy=4

Bấtđẳng thứccầnchứngminh được viết lạithành 1 +1+1≥ 1

( X –y)2 X2 y2 Tacó:

(x−y)2+x2+

y2= (x−y)2+x2+

y2(x−y)2+x2.y2

= (x−y)2+ x2y2 =

(x−y)2+ 16

1 (x −y)2 1

= (x −y)2+ 16 +2 Ápdụng bấtđẳng thức Cô-si,tacó:

(x −y)2+ 16 ≥2√(x−y)2. 16 =2

- 1 +1+1≥1( pcm)đpcm)

( X –y)2 X2 y2

s

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 4

A

a.)K ẻ đường kínhAA/’ của đường tròn (O)

E

Khi đó tam giácACA’vuông tại C =>𝐶ˆ𝐴𝑂=900−𝐴ˆ𝐴′𝐶

F

O

Lại có:𝐵ˆ𝐴𝐷=900−𝐴ˆ𝐵𝐶

Mà𝐴ˆ𝐵𝐶=𝐴ˆ𝐴′𝐶( cùng chắncungAC) =>𝐶ˆ𝐴𝑂=𝐵ˆ𝐴𝐷

D

A'

0,5 điểm

b)Cáctam giác vuôngCADvà CBEcógóc Cchung nênđồng dạng:

=>CA=CD =>CA.CE=CB.CDCB

CE

VìA, M đối xứng với nhauquaBCnênCA=CM.Tương tựCB = CN

=>CD.CN =CE.CM

N A

E P

F

O

A'

M

0,5 điểm

0,5 điểm

c)Theo tính chấtđốixứng, tacó:𝑀ˆ𝐶𝐵=𝐵ˆ𝐶𝐴=𝐴ˆ𝐶𝑁

Do đó, trong trường hợp C,M, N thẳng thàng

thì𝐵ˆ𝐶𝐴=600.GọiP làtrung điểm củaABthìtamgiácAOP

vuông tạiO

=>𝐴ˆ𝑂𝑃=1𝐴ˆ𝑂𝐵=𝐴ˆ𝐶𝐵=600

2

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

Ta có: sin𝐴ˆ𝑂𝑃=AP=> AP=23=>AB=2AP=43

AO

d)

Các tamgiác AEFvàABC có góc Achungvà𝐴ˆ𝐹𝐸=

𝐴ˆ𝐶𝐵( do tứ giácBCEFnội tiếp) nênđồngdạng => K

J

AE

Mà = = => = =>AEJABI= >

𝐴ˆ𝐽𝐸=𝐴ˆ𝐼𝐵

Tacó: TamgiácIEFcântạiI(vìIE =IF=1 / 2 B C ) = >

Tứ giácIKJH có:𝐼𝐻ˆ𝐾=𝐼ˆ𝐽𝐾=900nên nội tiếp

=>:𝐴ˆ𝐽𝐸+ˆ𝐻𝐽𝐾=𝐴ˆ𝐼𝐵+ˆ𝐻𝐽𝐾=1800=>A,

J, H thẳng hàng (1).CáctiếptuyếntạiBvàCcủa(O)cắtnhautạiT

Tacó:OA2=OB2=OI.OT=> OA = OT mà góc gócA chung =>∆𝑂𝐴𝐼∼∆𝑂𝑇𝐴

=>𝑂ˆ𝐴𝐼=𝑂ˆ𝑇𝐴mà𝑂ˆ𝑇𝐴=𝐷ˆ𝐴𝑇( so le

trong)=>𝑂ˆ𝐴𝐼=𝐷ˆ𝐴𝑇 Lại

có:𝐵ˆ𝐴𝐷=𝐶ˆ𝐴𝑂=>𝐵ˆ𝐴𝑇=𝐶ˆ𝐴𝐼=>𝐵

ˆ𝐴𝐼=𝐶ˆ𝐴𝑇

Mà𝐵ˆ𝐴𝐼=𝐶ˆ𝐴𝐽( tamgiácđồngdạng )=>𝐶ˆ𝐴𝑇=𝐶ˆ𝐴𝐽=>A, J, T

thẳnghàng (2)

Từ(1)và(2)=> AHluônđiquađiểmT cốđịnh khiA dichuyển

C 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 5

ĐặtS = {s1;s2; ;sn }

Vì khi chia một số nguyên dương bấtkỳ cho 3, tacóba loại số dư là : 0; 1; 2 nên ta

chiacácsốs1;s2; ;s n thành 3 nhóm:

Nhóm IIgồmcácsố chia3 dư 2

Nhóm IIgồmcácsố chiahết chi 3

Nếun5thìxảyramộttronghaiTHsau:

TH1: Mỗi nhóm có ít nhất 1 phần tử:

Khôngmấttổngquát,giảsửs1;s2;s3lầnlượtthuộcnhómI,nhómII,nhómIII.

=>s1+s2+s33vàs1+s2+s3>3nêns1+s2+s3không phải là số nguyêntố 0,25 TH2:Có ítnhấtmộtnhóm nàođó khôngcó phầntử

Khicónsốs1;s2; ;sn đ ư ợ c chiatốiđa2nhómmàn 5n ê n luôntồntạiítnhất3số

thuộc cùng một nhóm Hiển nhiêntổng 3 số đó chia hết cho 3 vàdo đócũng không

phải là sốnguyêntố

Tímlại,tấtcảcáctậphợpgồmnsốnguyêndươngđôimộtkhácnhaumàn5đều

Xéttậphợp{1;3;7;9}

Tacó: 1+3+7=11;1+3+9=13;1+7+9=17 ;3+7+9= 19; và11, 13, 17,19đều là

cácsốnguyêntốnêntậphợp{1;3;7;9}thỏamãntínhchấtđềbài