56 Đề Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán (Chuyên) Năm 2021 – 2022 Trường Thpt Chuyên Thái Bình (Đề+Đáp Án).Docx

Microsoft Word 53 CHUYÃ−N THÆI BÄNH 2021 2022 docx a b c   Trang1 x + 3 x 3x2 + 33 2x + y 1 SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOT HÁIBÌNH ĐỀTHICHÍNHTHỨC Bài1 (2,0điểm) KỲTHITUYỂNSINHLỚP10THPTCHUYÊNTHÁIBÌNH Nămhọc[.]

a b c 

Trang1

x + 3 x

3x2 + 33 2x + y 1

SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOT

HÁIBÌNH

ĐỀTHICHÍNHTHỨC

Bài1 (2,0điểm)

KỲTHITUYỂNSINHLỚP10THPTCHUYÊNTHÁIBÌNH

Nămhọc:2021–

2022Mônthi:TOÁN (DànhchothísinhthichuyênToán,Tin)Thờigi an:120phút(khôngkểthờigianphátđề)

1 Cho f(x) =x2 3x 5c ó hainghiệmlà x1,x2.Đąt g(x) =x24.Tínhgiátrịcủa

T= g(x1)g(x2)

2. Choa ,b,c l a cácsốthựckhác0vàthóamân ( a +b+c)1+1+1=

 1 Chứngminh rằng(a3+

b3)(b25+

c25)(c2021+

a2021)=0

Bài2 (2,5điểm)

1. Giảiphươngtrình4 +4 =3x+9

2 Giảihệphươngtrình

x2+y2 +





2xy

= 1 x+y

Bài3 (3,5điểm)

ChotamgiácA B C n h ọ n ( ABA C ) nộitiếptrongđườngtròn( O) cócácđường caoB E ,CF c ắ t nhautạiH Gọi S l à giaođiểmcủacácđườngthằng B C v à E F ,gọiM

làgiaođiểmkhácAc ủ aS A v àđườngtròn( O).

a ChứngminhrằngtứgiácA E H F n ộ i tiếpvàH M v u ô n g gócvới S A

b GọiIl à trungđiểmcủa B C Chứngminhrằng S H v u ô n g gócvớiA I

c GọiTlà điểm nằm trên đoạn thằngHC sao choATv u ô n g g ó c v ớ i BT.

Chứngminh rằng hai đường tròn ngoại tiếp của các tam giácSMT và CET tiếp xúc vớinhau.

Bài4.( 1 , 0điểm)

Giảsửn l àsốtựnhiênthỏamãnđiềukiện n(n+1)+7 khôngchiahếtcho7.Chứng

minhrằng4 n35n 1k h ô n g làsốchínhphương

Bài5 (0,5điểm)

Choa ,b,c làcácsốthựcdươngthỏamãn a2+b2+c2= 3abc Tìmgiátrịlớnnhấtcủa

biểuthứcT= a

3a2+2b2+c2 +3b2+2c b2+a2 +3c2+2a c2+b2

Hết

SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOT

HÁIBÌNH ĐỀTHICHÍNHTHỨC

a b c 

xx

a b c 

Nămhọc: 2020–

2021Môn thi:TOÁN Thờigian:120phút(khôngkểthờigianphátđề)HƯ ỚNGDẪNGIẢI

1 Cho f(x) =x2 3x 5c ó hainghiệmlà x1,x2.Đąt g(x) =x24.Tínhgiátrịcủa

T= g(x1)g(x2)

2. Choa ,b,c l a cácsốthựckhác0vàthóamân ( a +b+c)1+1+1=

 1 Chứngminh rằng(a3+

b3)(b25+

c25)(c2021+

a2021)=0

Lờigiải

1 Cho

f(x) =x2 3x5c ó hainghiệmlà x1,x2.Đặt g(x) =x2 4.T í n h giátrịcủa

T= g(x1).g(x2)

Vìx1,x2l à nghiệmcủa

f(x) =x2 3x 5n ê n tacó:

x23x 5=0

x23x 5=0 x2=3x+5

TheođịnhlýVi-ettacó:x1+x2=3nên:

T= g(x1).g(x2)

T=(x2 4)(x2 4)



1 2 =5

T=(3x1+54)(3x2+ 54)

T=(3x1+1)(3x2+1)

T= 9x1x2+3(x1+x2)+1

T = 9(5)+3.3+1

T=35

VậyT =35

2 Choa,b,c l à cácsốthựcdươngkhác0vàthỏamãn ( a +b+c)1+1+1=1.C h ú n g

minhrằng(a3+

b3)(b25+

c25)(c2021+

a2021)=0

Vì( a +b+c)1+1+1=1n ê na +b+c01+1+1= 1

  

x=1

Trang3

x + 3 x

3x2 + 33 2x + y 1

x + 3 x

x + 3 x

1

1 +1+1=0

a a +b+c   b c 

b +ca(a+b+

c)

+b +c bc =0

(b+c) 1 +1 =0

a(a+b+c) bc

2+ab+ac

(b +c) abc(a+b+c) =0

(b+c)(c+a)(a+b) abc(a+b+c)= 0

a=b

b=c

c=a

Vậy(a3+

b3)(b25+

c25)(c2021+

a2021)=0(đpcm)

Bài2 (2,5điểm)

1. Giảiphươngtrình4 +4 =3x+9

2 Giảihệphươngtrình

x2+y2 +





2xy

= 1 x+y

Lờigiải

1 Giảiphươngtrình4 +4 =3x+9 Điềukiệnxácđịnh:x0,tacó:

(x+34

+4)+2(x2 +1)=0

( 2)2+2(

x+32=0



x1=0

1)2=0

x+3=4 x=1(tmDKXD)



Vậyphươngtrìnhcónghiệmduynhất

x2+y2

+2. Giải ệươ ng rìn h

x=1

Trang4

3x2 + 33 2x + y 1

2xy

= 1

x+y

(1)



S 2 +S2P=0 x2+2y+x+y=0

3x2 + 33 2x + 1 x 1

3x2 + 33

x

x x

ĐKXĐ:2x +y10



(1)x2+y2+ 2xy

= 1 x+y

(x+y)22xy+ 2xy

= 1 x+y

Đặt

( x+y )3 2xy(x+y )+2xy= (x+y )

S=x+y,P=xy(S 2

4P)t a có:

S 3

2SP+2P=S

S=1

S (S+1)(S 1)2P(S 1)=0

x+y=1

(S1)(S 2 +S2P)=0

TH1:Với

x +y =1y =1x ,thayvào(2)t a được:

+3

=3x+1x+6

=2x+7

3x2+33+23 x2 +33.3 +9x=4x2+28x+49

63 x2 +33 =x2+19x+16

36(3x2+33)x=x4+361x2+256+38x3+32x2+608x

x4 70x3+393x2 580x+256=0

( x1)2(x 4)(x64)=0

x=1y =0 (TM)

x=64y=63(TM)

TH2:Vớix2+y2+x+y=0.Tacoiđâylàphươngtrìnhbậchaiẩnx

Đểtồntạix t h ì =14(y2+y)04y2+4y10

 1+2  1  2 

4y+ 2 y + 2 0

1+2 y 1+22 2

Tươngtựtacũngcó 1+

2

x1+2

Suyra2 x +y 12.1+ 2

+1+

2

10,khôngthỏamãnđiềukiện2 x +y 10 nên

trườnghợpnàyhệvônghiệm

Vậytậpnghiệmcủahệphươngtrìnhlà{ ( 1 ; 0),(4;3),(64;63)}

Bài3 (3,5điểm)

ChotamgiácA B Cnhọn( ABA C ) nộitiếp trongđườngtròn( O) cócácđường caoB E ,CF c ắ t nhautạiH Gọi S l à giaođiểmcủacácđườngthằng B C v à E F ,gọiM

làgiaođiểmkhácAc ủ aS A v àđườngtròn( O).

a ChứngminhrằngtứgiácA E H F n ộ i tiếpvàH M v u ô n g gócvới S A

b GọiIl à trungđiểmcủa B C Chứngminhrằng S H v u ô n g gócvớiA I

c GọiTlà điểm nằm trên đoạn thằngHC sao choATv u ô n g g ó c v ớ i BT.

Chứngminh rằng hai đường tròn ngoại tiếp của các tam giácSMT và CET tiếp xúc vớinhau.

Lờigiải

a)C h ứ n g minhrằngtứgiácA E H Fn ộ i tiếpvà H M v u ô n g gócvới S A

VìAEH+AFH=90+90=180nêntứgiácAEHFnộitiếpđườngtrònđườngkínhA H(dhnb)

CótứgiácBCEF nộitiếp(BEC =BFC=90)

SFB=SCE (gócngoàivàgóctrongtạiđỉnhđốidiệncủatứgiácnộitiếp).

XétSBF vàSCE có:

SFB=SCE (cmt);góc FSBlàgócchung

SBF#SEC(g.g) S B = S F  SB.SC= SF SE

CótứgiácBCAM nộitiêpđườngtròn ( O).XétSBM và  SAC c ó

GócGóc

SBM=SAC(gócngoàivàgóctrongtạiđỉnhđốidiệncủatứgiácnộitiếp).

MSBlàgócchung

SBM#SAC(g.g)S B = S M

SA SC SB.SC=SM.SA (2)

Từ(1)v à(2)suyraS F SE=SM.SAS F = S A ,lạicógóc

MSFlàgócchung

SMF#SEA(c.g.c)SMF=SEA (2góctươngứng)

AMFE l à nộitiếpđường tròn

Suyra5điểmA,M,F,H,Ec ù n g nằmtrênđườngtrònđườngtrònđườngkínhA H

TứgiácAEHMn ộ itiếpđườngtròn,suyragócgóctro

ngtạiđỉnhđốidiệncủatứgiácnộitiếp)

SuyraH M SA

HEA =HMS=90.(gócngoàivà

b.GọiI l à trungđiểmcủaB C ChíngminhrằngS H v u ô n g gócvớiA I

Kéo dàiA O c ắ t đường tròntạiD , khiđótacó D C  B H ( c ù n g vuônggóc với C A )

vàD B CH( c ù n g v u ô n g g ó c v ớ iB A ) n ê n B H C D l à hình

bìnhhành MàIl à trungđiểmcủa B C s u y raI l à trungđiểmcủaH D ,hayI ,H,Dt h ẳ n g hàng.

LạicóD M AM doA Dl à đườngkính,

H M SA nên D,H,Mt h ẳ n g hàng

VậybốnđiểmD ,I,H,Mt h ẳ n g hàng,suyraI M  AS .

MàA H SI n ê n H l à trựctâm ASISHAI.

c.GọiT l àđiểmnằmtrênđoạnthằngH C saochoATvuônggócvớiB T Chứngminhrằngha iđườngtrònngoạitiếpcủacáctamgiácS M T vàC E T tiếp xúcvớinhau.

Gọi tiaA Hc ắ t B C t ạ i K , suyratứgiác H K S M n ộ i tiếp do

HKS +HMS=180 XétAMH và

AKS có:SAHchung; AMH =AKS=90

AMH#AKS(g.g)A H = A M

AS AK A H AK= A M AS (3) Tương tựtacótứgiácH K E C n ộ itiếpsuyra

AEH#AKC(g.g) AE= AH A E AC=AH AKAK

Từ(3)v à(4)suyra AM.AS=AE.AC .

Theogiảthiết,ATB=AEB=90AETB làtứcgiácnộitiếp,suyra ATE=ABE ,

MàABE=ACTATE=ACT ,lạicóTAEchung

ACT#ATE(g.g)AT = A C  A E AC= A T 2

4n24n 1d





VìATE=ACT (cmt)nênA T l à tiếptuyến củađườngtrònngoại tiếpcủa CET(1)

Lạicó

AM.AS=A E AC=AT 2A M =A T .

XétATM và AST có:SATchung;AM = AT(

cmt)

ATM#AST(c.g.c)ATM=AST (2góctươngứng).

SuyraA T l à tiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếpcủa

SMT(2)

Từ(1)và(2)suyrahaiđườngtrònngoạitiếpcủacáctamgiácSMT v à CET t i ế p

xúcvớinhau

Bài4 (1,0điểm)

Giảsửn l àsốtựnhiênthỏamãnđiềukiện n(n+1)+7 khôngchiahếtcho7.Chứng minhrằng4 n35n 1k h ô n g làsốchínhphương

Lờigiải

Giảsửtồntạisốtựnhiênn t h ỏ amãnđiểukiện

4n35n 1l à sốchínhph ư ơn g

Tacó4n3 5n 1=(n+1)(4n2 4n 1)

ĐặtUCLN(n+1;4n24n 1)=d(d*)

Suyran +1d



Có4n24n 1=4n(n+1)8(n+1)+7d7d

n(n+1)+7 khôngchiahếtcho7và

Vìn (n+1)+7

khôngchiahếtcho7nên n(n+1)k h ô n g chiahếtcho7,suyra n+1

khôngchiahếtcho7,suyrad7d=1

Dođó,n+1v à 4 n2 4n 1l àhaisốnguyêntốcùngnhau,màtíchcủachúnglàsốchính

phươngsuyran+1và4 n24n 1l à cácsốchínhphương.

Suyra4 n2 4n 1=a2(a )  ( 2 n1)2 a2= 2 (2na1)(2n+a1)=2

Vì2n a12n+a1

n=5

2na1=1

2n+a1=2

2na1=2

a=





4 1 2 ,khôngthoảmãnn , alàcácsốtựnhiên

1

2n+a1=1 n =

2



a=1

 2 Vậygiảsửlàsai,tacóđiềuphảichứngminh



Bài5 (0,5điểm)

   



a  b bc ca

ca ab

b  c

bc ab

a  c

Choa ,b,clàcácsốthựcdươngthỏamãna2 +

b2 +

c2 =

3abc Tìmgiátrịlớnnhấtcủa

biểuthứcT= a

3a2+2b2+c2 +3b2+2c b2+a2 +3c2+2a c2+b2

Lờigiải

Tacó:a2+b2+c2=3abc a + b + c = 3

bc ca ab

ÁpdungbấtđẳngthứcA M GM t a có:

a+ b +

b+ c 

a+ c

Cộngvếvớivếcủa3bấtđẳngthứctrên,tacó:

2a + b + c

21+1+ 1

1+1+13

bc ca ab  a b c 

TiếptụcápdụngbấtđẳngthứcAM-GMtacó:

3a 2 +2b 2 +c 2 = 2(a 2 +b 2)+(a 2 +c 2)4ab+2ac

 3a2 +2ba2 +c 2  4ab+2aca =1 22 b1+c

Ápdụng Cauchy–Schwarztacó:1 +1+1

9

1. 1  1  2+1

b b c b+b+c 22 b +c 18 b

c Hoàntoàntươngtự,tacó:

b 3b 2 +2c 2 +a 2 1812 c 1

a 3c 2 +2ac2 +b 2 1812 a 1

b

6 a

VậyGTLNcủaTlà1,dấu" ="x ả y rakhia=b=c=1

2

