Tóm tat ban tieng viet: Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.

Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành Phươn.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- 

-HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ

TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ

TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9.46.01.03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2022

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thi Kim Sơn

TS Nguyễn Như Thắng

Phản biện 1: GS.TS Cung Thế Anh - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Đức Thuận - Đại Học Bách Khoa Hà Nội

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Văn Tuyên - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường

họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội,hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài

Trên thực tế, nhiều quá trình vật lý xảy ra trong tự nhiên và kĩ thuật chứa đựng các đại lượng khôngchắc chắn Chúng ta có thể kể đến như lượng nhiên liệu đầu vào của máy móc, các quá trình kĩ thuậtnhư xử lý ảnh, điều chỉnh đầu vào của các máy điện tử Do đó, khi thực hiện mô hình hóa các quátrình này để phục vụ cho việc nghiên cứu, các đại lượng không chắc chắn đóng một vai trò quan trọng.Điều này đã được các kĩ sư và các nhà khoa học công nhận Một số lý thuyết không chắc chắn đãđược nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể kể đến là lý thuyết mờ, lý thuyết giá trịtập và gần đây là lý thuyết neutrosophic

Giải tích mờ là một nhánh của toán học ứng dụng, được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiềulĩnh vực như kĩ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh và tín hiệu, kĩ thuật y sinh Giải tích mờ bắt đầu

từ những khái niệm cơ bản về tập mờ, được đưa ra bởi Zadeh vào năm 1960 Mặc dù vậy, phải đếnnhững năm 1970, lý thuyết tập mờ và các ứng dụng của nó mới thực sự đi vào cuộc sống Và đến nay,

lý thuyết mờ đã phát triển và đạt được nhiều thành tựu đáng ghi nhận

Ý tưởng nghiên cứu phương trình vi phân mờ phân thứ được trình bày lần đầu tiên vào năm 2010

Ở đó, các định nghĩa về đạo hàm phân thứ cổ điển, cụ thể là đạo hàm Riemann-Liouville, Caputo,Modified- Riemann-Liouville , Caputo-Fabrizio cho các hàm số mờ đã được đề cập Đạo hàm mờ phânthứ Riemann-Liouville theo đạo hàm H và sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho một lớp FFDE

có trễ được trình bày năm 2010 Năm 2011, đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville theo của đạohàm Seikkala đã được đề xuất Cùng với đó, sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho FFDE với các điềukiện ban đầu mờ theo đạo hàm này đã được đề cập Trong năm 2012, phương trình vi phân phân thứ

mờ dưới khái niệm về đạo hàm Caputo kết hợp với đạo hàm SGH đã được nghiên cứu với hai loạibiểu diễn khác nhau Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho FFDE theo đạo hàm phân thứ nhưvậy được trình bày cho thấy rằng một FFDE của bậc β ∈ (0; 1), trong một số điều kiện, có thể có hailoại nghiệm tương ứng với dạng thứ nhất và dạng thứ hai của đạo hàm Caputo loại H FFDE theokhái niệm đạo hàm phân thứ Caputo-Fabrizio kết hợp với đạo hàm SGH (đạo hàm Caputo FabrizioSGH) đã được nghiên cứu vào năm 2018 Bằng cách kết hợp đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville vàđạo hàm phân thứ Caputo với đạo hàm gr ta nhận được đạo hàm phân thứ gr Riemann-Liouville và

gr Caputo Đạo hàm phân thứ Caputo tổng quát, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và đạo hàmphân số Caputo-Katugampola được giới thiệu với nhiều ứng dụng khác nhau Gần đây, khái niệm mới

về đạo hàm phân thứ granular có ứng dụng cho FFDE đã được Najariyan và Zhao thiết lập Đạo hàmphân thứ mờ granular dựa trên các hàm liên thuộc và hiệu granular có một số ưu điểm so với các đạohàm trước đó vì nó có thể được tính toán trực tiếp thông qua phép biến đổi ngược của các tập mức.Ứng dụng mở rộng của đạo hàm phân thứ granular cho bài phương trình tuyến tính bậc hai cũng đãđược xây dựng

Tính ổn định, khả năng điều khiển, khả năng quan sát có thể được coi là một số đặc điểm vốn cócủa hệ động lực Liên quan đến hệ động lực mờ, khả năng điều khiển trong không gian vectơ mờ nchiều đối với phương trình vi phân mờ nửa tuyến tính (FDE) đã được chứng minh bởi Kwun và Park(2010) Nghiên cứu về khả năng kiểm soát với các điều kiện không địa phương của phương trình vi,tích phân mờ nửa tuyến tính đã được thực hiện bởi Park và các cộng sự (2009) Nghiên cứu về tính ổn

định và khả năng điều khiển được của phương trình vi phân tập cũng đã được nghiên cứu bởi Phu vàcông sự (2011) Năm 2018, Najariyan đã đưa ra khái niệm về khả năng điều khiển gần đúng cho bàitoán không địa phương đối với các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến Trong công trình gầnđây, Jeong và các cộng sự đã trình bày một kết về khả năng điều khiển chính xác đối với các phươngtrình vi phân mờ bằng cách sử dụng các nghiệm cực trị Tính điều khiển được hoàn toàn của một lớpphương trình tiến hóa phân thứ mờ cũng đã được nghiên cứu Tuy nhiên, cần lưu ý rằng hầu hết cáckết quả này hoặc có một số khó khăn về kỹ thuật hoặc đòi hỏi các giả thiết nghiêm ngặt vì thiếu cáccông cụ phân tích mờ và có rất ít công việc được thực hiện trong lĩnh vực điều khiển được của cácphương trình vi phân mờ như vậy Bằng cách sử dụng bao hàm vi phân, P Diamond đã nghiên cứutính ổn định Lyapunov của phương trình vi phân mờ và tính tuần hoàn của tập nghiệm mờ Tính ổnđịnh tiệm cận của điểm cân bằng cho phương trình tiến hóa mờ và các tính chất ổn định của nghiệm

mờ tầm thường có nhiễu đã được nghiên cứu theo khái niệm đạo hàm Hukuhara Sử dụng tổng quáthóa của định lý Kharitonov, tính ổn định của hệ động lực học tuyến tính mờ đã được nghiên cứu.Tính ổn định của các phương trình vi phân mờ theo khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát cũng

đã được đề cập Gần đây, Najariyan (2020) đã nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân mờtheo đạo hàm granular

Không gian các số mờ tương quan tuyến tính là một không gian mới được nghiên cứu Nó đượcxây dựng bằng cách cố định một số mờ A bất kì Sử dụng một ánh xạ phụ thuộc tuyến tính ψA :

R2 → RF (A), ta nhận được các toán tử có dạng qA + r trong đó (q, r) ∈ R2 Điều thú vị là RF (A) cóthể được nhúng vào RF như một không gian con tuyến tính hoàn chỉnh khi A là số mờ không đốixứng Tuy nhiên, RF (A)không thể trở thành một không gian tuyến tính khi A là một số mờ đối xứng.Điều này có nghĩa là cấu trúc đại số của không gian RF (A) phụ thuộc vào tính đối xứng của số mờ

A Điểm đặc biệt của không gian RF (A) trong trường hợp A là số mờ không đối xứng cũng cho phép

ta có thể chuyển đổi một cách tương ứng một phương trình trong không gian các số mờ về một hệphương trình tương ứng trong không gian các số thực Khó khăn lớn nhất gặp phải khi làm việc vớikhông gian RF (A) xảy ra trong trường hợp A là số mờ đối xứng

Những phân tích trên đây là lý do để tác giả chọn đề tài luận án là “Bài toán điều khiển chophương trình tiến hóa có chứa đại lượng không chắc chắn” Chúng tôi nghiên cứu các vấn đề sau(P1) Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo

x(0) = ˆx0

(4)

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án tập trung vào bài toán điều khiển cho một số lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ.Mục tiêu chính là thiết lập các hàm điều khiển để nghiệm của bài toán thỏa mãn một số tính chấtcho trước thông qua việc nghiên cứu các bài toán (P1), (P2) và (P3), cụ thể như sau:

(i) Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo của các hàmnhận giá trị mờ tương quan tuyến tính bao gồm định nghĩa và các tính chất của hai loại đạohàm này

(ii) Các điều kiện để đảm bảo cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian các số mờtương quan tuyến tính có một nghiệm và có ít nhất một nghiệm

(iii) Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputotrong không gian các số mờ tương quan tuyến tính

(iv) Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyếntính Caputo

3 Phương pháp nghiên cứu

ˆ Sử dụng các phép toán và tính chất trong giải tích thực, giải tích hàm, lý thuyết điểm bấtđộng thường (nguyên lý ánh xạ co, định lý điểm bất động Arzela-Ascoli, định lý điểm bất độngKaranoselski, )

ˆ Sử dụng lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, phép biến đổi Laplace, hàm Mittag-Leffler

ˆ Lý thuyết giải tích mờ, giải tích mờ phân thứ

ˆ Sử dụng các kiến thức về bài toán điều khiển

4 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài các phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trìnhkhoa học liên quan đến luận án, Kết luận, Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương như sau:Chương 1 Sơ lược về không gian các số mờ tương quan tuyến tính RF (A)

Chương 2.Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ

Chương 3 Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Caputo

Fréchet-Chương 4 Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quantuyến tính Caputo

1.1 Không gian các số mờ RF

1.2 Không gian các số mờ tương quan tuyến tính RF (A)

1.2.1 Không gian RnsyF (A)

1.2.2 Không gian RsyF (A)

1.3 Hàm mờ tương quan tuyến tính

1.3.1 Khái niệm và ví dụ

1.3.2 Đạo hàm của các hàm mờ tương quan tuyến tính

1.3.3 Tích phân của hàm mờ tương quan tuyến tính

Chương 2

TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO

PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA MỜ PHÂN THỨ

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu định nghĩa đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo (Định nghĩa2.1) và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo (Định nghĩa 2.6, Định nghĩa 2.7) Chúng tôi cũngchứng minh một số tính chất liên quan đến hai loại đạo hàm phân thứ này (Mệnh đề 2.1, Bổ đề 2.1,

Bổ đề 2.2) Từ đó, chúng tôi nghiên cứu tính tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho hai phươngtrình tiến hóa trong không gian mờ tương quan tuyến tính theo đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàmtương quan tuyến tính Caputo Định lý điểm bất động được sử dụng thích hợp để chỉ ra tính tồn tại

và tính duy nhất nghiệm của các lớp phương trình đã đưa ra (Định lý 2.2, Định lý 2.3, Định lý 2.4,Định lý 2.5) Các nội dung này được trình bày dựa trên bài báo số 1 trong Danh mục công trình khoahọc của các giả liên quan đến luận án

2.1 Đạo hàm phân thứ của các hàm nhận giá trị mờ tương quan

tuyến tính

2.1.1 Đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo

Định nghĩa 2.1 Cho A ∈ RnsyF với ˆf (t) = q(t)A+r(t) Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0, 1]của ˆf (t) được biểu diễn tuyến tính theo tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0, 1] của hàm q(t)

ψA 1(I0p+q1(t), I0p+r1(t)) = ψA 2(I0p+q2(t), I0p+r2(t)) (2.1)Định nghĩa 2.2 Cho A ∈ RsyF và ˆf : J → RsyF (A) với ˆf (t) = ψA(q(t), r(t)) Nếu tồn tại q(t) không đổidấu trên J thì tích phân Riemann-Liouville phân thứ bậc p ∈ (0, 1] của ˆf (t) được xác định bởi

RL

F Ip

0 +f (t) = ψˆ A Ip

0 +q(t), I0p+r(t)
, t ∈ J

Định nghĩa 2.3 Cho A ∈ RnsyF và ˆf : J → RnsyF (A) và q, r : J → R sao cho ˆf (t) = ψA(q(t), r(t)) với mỗi

t ∈ J Với p ∈ (0, 1], đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p của hàm số f được xác định theo công thức

C

FDp0+f (t) =ˆ RLF I0p+ˆF′ (t) = ψAI01−p+ q′(t), I01−p+ r′(t), t ∈ J (2.2)

Trong trường hợp A là số mờ đối xứng, ˆf (t) được biểu diễn tuyến tính qua q(t), r(t) và q′(·) không đổi

dấu trên J , ta định nghĩa đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p của hàm số ˆf theo công thức (2.2)

Mệnh đề 2.1 Cho A ∈ RnsyF và ˆf : J → RnsyF (A) khả vi Fréchet Khi đó

RL

F I0p+CFDp0+f (t) =ˆ

Z t 0

ˆ′

F(s)ds

2.1.2 Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo

Định nghĩa 2.4 Cho ˆf : J → RnsyF (A) với ˆf (t) được biểu diễn tuyến tính qua q(t), r(t) với q, r : J → R

Khi đó tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc p ∈ (0, 1] của ˆf (t) xác định theo công

thức

RL

LCI0p+f (t) = ψˆ A(I0p+q(t), I0p+r(t))

Định nghĩa 2.5 Cho ˆf : J → RsyF (A)với biểu diễn chuẩn ˆf (t) = ˆψA([q(t),e er(t)]≡A) trong đó ˆψA([q(t),e er(t)]≡A)

được định nghĩa trong Định nghĩa ?? thì tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc

p ∈ (0, 1] của ˆf (t) xác định theo công thức

RL

LCIp

0 +f (t) = ˆˆ ψA([Ip

0 +q(t), Ie 0p+r(t)]e ≡A)

Định nghĩa 2.6 Cho ˆf : J → RnsyF (A) với ˆf (t) = q(t)A + r(t), q, r : J → R Đạo hàm tương quan tuyến

tính Caputo bậc p ∈ (0, 1] của ˆf (t) xác định theo công thức

C

LCD0p+f (t) = ψˆ A(D0p+q(t), Dp0+r(t))

Định nghĩa 2.7 Cho ˆf : J → RsyF (A) với biểu diễn chuẩn ˆψA([q(t),e er(t)]≡A) Khi đó, đạo hàm tương

quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1] của ˆf (t) được xác định bởi

Bổ đề 2.1 Cho ˆf , ˆg, ˆh : J → RnsyF (A) Ta có các tính chất sau:

(i) nếu ˆf (t) ⊕Ag(t) = ˆˆ h(t) thìCLCD0p+f (t) ⊕ˆ AC

LCD0p+g(t) =ˆ CLCD0p+h(t),ˆ(ii) nếu ˆf (t) ⊟Ag(t) = ˆˆ h(t) thìCLCD0p+f (t) ⊟ˆ ACLCD0p+g(t) =ˆ CLCD0p+h(t).ˆ

Bổ đề 2.2 Cho ˆf , ˆg, ˆh : J → RsyF (A)với biểu diễn chuẩn ˆf (t) = ˆψA([qeˆ(t),erˆ(t)]≡ A), ˆg(t) = ˆψA([eqˆ(t),erˆ(t)]≡ A), ˆh(t) =ˆ

Mệnh đề 2.2 Cho A ∈ RF và ˆf : J → RF (A) khả vi tương quan tuyến tính Khi đó

RL

LCI0p+CLCDp0+f (t) =ˆ

Z t 0

ˆ′

LC(s)ds

2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo

→ RnsyF (A) là liên tục

Bổ đề 2.3 Nếu ˆx ∈ CI, RnsyF (A) thỏa mãn hệ (2.3) thì nó thỏa mãn phương trình

ˆx(t) = ˆx0⊕ARLF I0p+f (t, ˆˆ x(t)), t ∈ J (2.4)Định nghĩa 2.8 Nếu ˆx ∈ CI, RnsyF (A) thỏa mãn phương trình tích phân (2.4) thì ta gọi ˆx là nghiệmtích phân của bài toán (2.3)

2.2.2 Tính giải được của bài toán

Tiếp theo, chúng tôi đưa ra các điều kiện để đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm tích phân củabài toán Cauchy (2.3) Trước hết, ta xác định metric supremum ρ và metric yếu dm trên C



I, RnsyF (A)

như sau:

trong đó β, γ ∈ C(I, RnsyF (A))

Định lý 2.2 Giả sử rằng hàm mờ ˆf ∈ C(I, RnsyF (A)) và tồn tại L ∈ R+ sao cho

dψA( ˆf (t, ˆx(t)), ˆf (t, ˆy(t))) ≤ LdψA(ˆx(t), ˆy(t)) ∀ˆx, ˆy ∈ C I, RF (A)

và t ∈ I Khi đó, bài toán (2.3) có một nghiệm tích phân trên C I, RF (A)

Ví dụ 2.4 Xét phương trình vi phân phân thứ sau

(2.5)

trong đóCFDp0+x kí hiệu cho đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0, 1], A ∈ Rˆ nsyF và τ, η : [0, 5] → R

là khả vi trên [0, 5] Nhận xét rằng vế phải τ (t)⊙Ax(t)+η(t) thỏa mãn điều kiện Lipschitz L = maxˆ

Áp dụng Định lý 2.2, bài toán (2.5) có duy nhất nghiệm tích phân trên [0, 5].

2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo

hàm tương quan tuyến tính Caputo

trong đóCLCD0p+f (t) là đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1], uˆ 0 ∈ RF (A) với A là số

mờ không đối xứng và ˆf ∈ C(I, RF (A))

Bổ đề 2.4 Nếu ˆx ∈ CI, RnsyF (A) thỏa mãn hệ (2.6) thì ˆx thỏa mãn phương trình tích phân sau:

ˆx(t) = ˆx0⊕ARLLCI0p+g(t, ˆˆ x(t)), t ∈ I (2.7)Định nghĩa 2.9 Nếu ˆx ∈ C



I, RnsyF (A)

thỏa mãn phương trình tích phân (2.7) thì ta gọi ˆx là nghiệmtích phân của bài toán (2.6)

2.3.2 Tính giải được

Trong phần này, chúng tôi đưa ra các điều kiện để đảm bảo sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toánCauchy (2.6) Nhắc lại rằng, trong phần này sử dụng đến metric supremum ρ và metric yếu dm.Định lý 2.3 Nếu tồn tại L ∈ R+ sao cho

dψA(ˆg(t, ˆx1(t)), ˆg(t, ˆx2(t))) ≤ LdψA(ˆx1(t), ˆx2(t)), t ∈ Ivới mọi ˆx1, ˆx2 ∈ CI, RnsyF (A) thì bài toán (2.6) có duy nhất một nghiệm tích phân trên C(I, RnsyF (A))

x(0) = ˆx0,

t ∈ I = [0, b], (3.1)

trong đó

ˆ C

FDp0+x(t) là đạo hàm Fréchet Caputo của toán tử ˆˆ x : I → RnsyF (A),

ˆ toán tử Bsinh ra nửa nhóm C0− {T(t)}t≥0 trên không gian RnsyF (A),

ˆ điều khiển đầu vào u ∈ L1I, RnsyF (A)

,

ˆ toán tử tuyến tính E và ˆf : I × RnsyF (A)→ RnsyF (A) thỏa mãn một số điều kiện sẽ được liệt kê sau.Chúng tôi đã xây dựng công thức nghiệm cho bài toán (3.1) (Bổ đề 3.1) và nghiên cứu bài toán điềukhiển được hoàn toàn với biến điều khiển là duy nhất và không duy nhất (Định lý 3.1, Định lý 3.2)

Để làm được điều này, khái niệm cũng như tính chất của phép biến đổi Laplace của một hàm mờtương quan tuyến tính trong RnsyF (A) (Mục 3.1) và lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh trên RnsyF (A),(Mục 3.2) đã được nghiên cứu Nội dung chương này được trích từ bài báo số 2 trong danh mục côngtrình khoa học liên quan đến luận án

3.1 Biến đổi Laplace của các hàm nhận giá trị trong không gian các

số mờ tương quan tuyến tính

Định nghĩa 3.1 Cho ˆf : [0, +∞) → RnsyF (A) Giả sử hàm số ˆf (t) được cho bởi ˆf (t) = ψA(q(t), r(t)), t ∈ J ,trong đó q(.), r(.) ∈ C(I, R) Khi đó, biến đổi Laplace của hàm tương quan tuyến tinh ˆf (t) được xácđịnh bởi là biến đổi Laplace của hàm thực q, r : [0, +∞) → R tương ứng

Mệnh đề 3.1 Cho ˆf : [0, +∞) → RnsyF (A), ˆf (t) = ψA(q(t), r(t)) với t ∈ [0, +∞), trong đó q, r :[0, +∞) → R, s ∈ R Giả sử rằng ˆf′(.) là đạo hàm Fréchet của hàm ˆf Khi đó,

L[ ˆf′(t)](s) = sL[ ˆf (t)](s) ⊖Af (0).ˆ

Mệnh đề 3.2 Cho ˆf , ˆg ∈ C([0, +∞), RnsyF (A)) Giả sử rằng c1, c2 là các hằng số, khi đó,

Định nghĩa 3.2 Ánh xạ T: RnsyF (A)→ RnsyF (A) được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu

(i) T(ˆu1⊕Auˆ2) =T(ˆu1) ⊕AT(ˆu2) và T(λ ⊙Auˆ1) = λ ⊙AT(ˆu1) với mọi ˆu1, ˆu2 ∈ RnsyF (A) và λ ∈ R.(ii) Tồn tại K > 0 sao cho dψA(T(ˆu1), ˆ0) ≤ KdψA(ˆu1, ˆ0) với mọi ˆu1 ∈ RnsyF (A)

Định nghĩa 3.3 Với mỗi toán tử bị chặn T: RnsyF (A)→ RnsyF (A), kí hiệu

∥T∥op:= sup{dψA(T(ˆu), ˆ0)|ˆu ∈ RnsyF (A), dψA(ˆu, ˆ0) ≤ 1}

Khi đó, ta có

(i) dψA(T(ˆu), ˆ0) ≤ ∥T∥opdψA(ˆu, ˆ0) với mọi ˆu ∈ RnsyF (A)

(ii) dψA(T(ˆu1),T(ˆu2)) ≤ ∥T∥opdψA(ˆu1, ˆu2) với mọi ˆu1, ˆu2 ∈ RnsyF (A)

Định nghĩa 3.4 Một họ toán tử tuyến tính bị chặn {T(t)}t≥0trong không gian RnsyF (A)được gọi là nửanhóm liên tục mạnh (hoặc nửa nhóm C0) trên RnsyF (A) nếu họ {T(t)}t≥0 thỏa mãn các tính chất sau:(i) T(0) = IdA, trong đó IdAlà ánh xạ đồng nhất RnsyF (A),

(ii) T(t1+ t2) =T(t1)T(t2) ∀t1, t2 ≥ 0

(iii) ∀ˆx ∈ RnsyF (A), ánh xạ quỹ đạo ξˆx: [0, ∞) → RnsyF (A), cho bởi ξxˆ(t) =T(t)ˆx liên tục

Định nghĩa 3.5 Một nửa nhóm C0-{T(t)}t≥0 trên RnsyF (A) là nửa nhóm co khi

ϕp(θ)T(tpθ)zdθ, Tp(t)z = p

Z ∞ 0

Mệnh đề 3.4 Với mỗi t ≥ 0, hàm Sp(.) và Tp(.), các tính chất sau được thỏa mãn

(i) Sp(.) và Tp(.) là ánh xạ tuyến tính bị chặn trên RnsyF (A), cụ thể là với mọi ˆx ∈ RnsyF (A), ta có

∥Sp(t)ˆx∥A≤ K1∥ˆx∥A và ∥Tp(t)ˆx∥A≤ pK1

Γ(p + 1)∥ˆx∥A,(ii) Họ toán tử Sp(.)ˆx và Tp(t)(.)ˆx liên tục trên [0; ∞) với mọi ˆx ∈ RnsyF (A)

Định nghĩa 3.6 Định nghĩa toán tử

D(B) := {ˆx ∈ RnsyF (A): ξx ˆ khả vi Fréchet tại 0+}

(B, D(B)) được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh {T(t)}t≥0

Định nghĩa 3.7 Lấy (B, D(B)) là phần tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh {T(t)}t≥0 trên RnsyF (A).Với λ ∈ C, ˆx ∈ D(B), ta kí hiệu

Mλx = λ ⊙ˆ Ax ⊖ˆ ABx,ˆ

ρ(B) := {λ ∈ C : Mλlà song ánh và M−1λ là ánh xạ tuyến tính liên tục}

Khi đó, với mọi λ ∈ ρ(B), toán tử giải R(λ,B) := M−1λ là ánh xạ tuyến tính liên tục

3.3 Tính điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ

theo đạo hàm Fréchet Caputo

3.3.1 Công thức biểu diễn nghiệm

Bổ đề 3.1 Giả sử rằng hàm số ˆx : I × RnsyF (A) → RnsyF (A) là khả vi trên I và thỏa mãn bài toán (3.1).Khi đó, với mỗi t ∈ I, ta có

ˆ

x(t) =Sp(t)ˆx0⊕A

Z t 0

(t − ς)p−1Tp(t − ς)( ˆf (ς, ˆx(ς)) ⊕AEu(ς))dς, 0 ≤ t ≤ b (3.2)

Định nghĩa 3.8 ˆx : I × CI, RnsyF (A)→ RnsyF (A)thỏa mãn phương trình tích phân (3.2) được gọi là mộtnghiệm tích phân mờ của bài toán (3.1)

3.3.2 Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điểu khiển là duy nhất

Ta kí hiệu Θ : I → RnsyF (A) sao cho Θ(t) = ˆ0 với mọi t ∈ I Xét các giả thiết (B), (F1), (F2), (C), (P)như sau

(B) Toán tử Bsinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {T(t)}t≥0 trong không gian RnsyF (A) Do đó tồn tại K1

sao cho ∥T(t)∥op≤ K1

(F1) Với mỗi t ∈ I, ánh xạ ˆf (t, ·) : C(I, RnsyF (A)) → RnsyF (A) là liên tục, ˆf (t, Θ) = ˆ0 và với mỗi ˆx ∈ RnsyF (A),ánh xạ ˆf (., ˆx) : I → RnsyF (A) là đo được mạnh