Toán 11 Bài 1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Bài 1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Bản quyền thuộc về VnDoc Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại A Lí thuyết Định ngh[.]
Trang 1Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A Lí thuyết Định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm
1 Đạo hàm tại một điểm
- Hàm số y= f x( )liên tục trên ( )a b , được gọi là có đạo hàm tại , x0( )a b, nếu
giới hạn sau tồn tại hữu hạn: ( ) ( )
0
0
0
lim
f x f x
x x
→
−
− và giá trị của giới hạn đó gọi
là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x Ta kí hiệu là 0 f x'( )0
0
0 0
0
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
2 Đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải
a Đạo hàm bên trái
0
0 0
0
f x f x
f x
x x
−
−
→
−
=
−
b Đạo hàm bên phải
0
0 0
0
f x f x
f x
x x
+
+
→
−
=
−
c Hệ quả: Hàm số f x( )có đạo hàm tại x0 f x'( ) ( ) ( ) ( )0+ , 'f x0− : 'f x0+ = f x' 0−
3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- Hàm số f x( )có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( )a b, nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( )a b,
Trang 2- Hàm số f x có đạo hàm (hay khả vi) trên ( ) a b, nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( )a b đồng thời tồn tại đạo hàm trái , f b'( )− và đạo hàm phải
( )
'
f a+
4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lí: Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm ( ) x thì 0 f x liên tục tại ( ) x 0
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiên cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm
0
x nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x 0
5 Ý nghĩa của đạo hàm
a Ý nghĩa hình học
- Đạo hàm của hàm số f x( )tại điểm x là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm 0
( )
( 0, 0 )
M x f x đó
Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M:
y y− = f x x x−
b Ý nghĩa vật lí
Bài toán 1: Xét chuyển động thẳng s= f t( )
Vận tốc tức thời tại điểm t là: 0 v t( ) ( )0 =s t' 0 = f t'( )0
Gia tốc tức thời tại điểm t là đọa hàm cấp 2 của phương trình chuyển động 0
hay nói cách khác gia tốc tức thời là đạo hàm bậc 1 của vận tốc tức thời tại điểm t 0
( )0 ''( )0 '( )0
a t = f t =v t
Trang 3Bài toán 2: Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương
trình:
( )
Q= f t
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t : 0
( )0 '( )0 '( )0
I t =Q t = f t