Kien thuc trong tam toan dai so lop 11

Thư viện Đề thi Trắc nghiệm Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ https //vndoc com/ | Email hỗ trợ hotro@vndoc com | Hotline 024 2242 6188 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 11 Bản quyền thuộc về VnDo[.]

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 11

Bản quyền thuộc về VnDoc.

Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Các hàm lượng giác cơ bản

a Hàm số y=sinx

• Tập xác định: D =

• Tập giá trị [-1; 1] hay −  1 sinx   1, x

b Hàm số y=cosx

• Tập xác định: D =

• Tập giá trị [-1; 1] hay −  1 cosx   1, x

c Hàm số y=tanx

• Tập xác định: D= \k,k 

• Tập giá trị:

d Hàm số y=cotx

• Tập xác định: \ ,

2

D=  +k k 

• Tập giá trị:

2.Tính tuần hoàn và chu kì

Định nghĩa: Hàm số y= f x( )có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu

tồn tại một số T 0 sao cho với mọi xDta có:

• x T D

− 



 + 



• f x T( + )= f x( )

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuaandf hoàn đó Người ta chứng minh được:

• y= sinxtuần hoàn với chu kì T = 2

• y= cosx tuần hoàn với chu kì T = 2

• y= tanx tuần hoàn với chu kì T =

• y= cotxtuần hoàn với chu kì T =

Chú ý:

✓ Hàm số y= sin(ax b+ )tuần hoàn với chu kì T 2

a



=

✓ Hàm số y= cos(ax b+ )tuần hoàn với chu kì T 2

a



=

✓ Hàm số y= tan(ax b+ ) tuần hoàn với chu kì T

a



=

✓ Hàm số y= cot(ax b+ ) tuần hoàn với chu kì T

a



=

Đặc biệt:

i Hàm số y=asinmx b+ cosnx c m n+ ,( ,  ) là hàm số tuần hoàn với chu kì

(2, )

T

m n



= với (m,n) là ước chung lớn nhất

ii Hàm số y=atanmx b+ cotnx c m n+ ,( ,  ) là hàm số tuần hoàn với chu kì

( , )

T

m n



= với (m,n) là ước chung lớn nhất

3.Hàm số chẵn lẻ

Hàm số y= f x( )có tập xác định D ta có:  − x, x D f x, ( )= f ( )−x

Hàm số được gọi là hàm số chẵn

Hàm sốy= f x( )có tập xác định D ta có:  − x, x D f x, ( )= −f ( )−x

Hàm số được gọi là hàm số lẻ

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình lượng giác cơ bản

✓ 2 ( )

sin sin

2

x a k

x a k



 

 = +

cos cos

2

x a k

x a k





 = +

=  = − + 

✓ tanx=tana = +x a k(k ) ✓ cotx=cota = +x a k(k )

2 Phương trình lượng giác cơ bản đặc biệt

✓ sinx=  =0 x k,(k )

2

x=  = +x  k  k

2

2

x=  = +x  k k

✓ cosx=  =1 x k2 , (k )

✓ cosx= −  = +1 x  k2 , (k )

4

x=  = +x  k k

• tanx=  =0 x k,(k )

4

x x  k k

= −  = − + 

4

x= −  = − +x  k k

4

x=  = +x  k k

2

x=  = +x  k k

3 Bảng giá trị cung và góc lượng giác đặc biệt

Chú ý: 1800 →1

III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

sin 0

a x+ =b , acosx+ =b 0, atanx+ =b 0, acotx+ =b 0(a b,  ,a 0)

Phương pháp: Đưa về dạng phương trình cơ bản như: sinx b

a

−

= , cosx b

a

−

=

Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Phương pháp: Đặt ẩn đưa về dạng phương trình bậc hai với t

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx

Phương trình có dạng: asinx b+ cosx=c a,(  0,b 0)

Phương pháp: Chia cả 2 vế cho 2 2

a +b ta được:

Nếu

a b

 + thì phương trình vô nghiệm

Nếu

a b

 + thì đặt cos 2a 2

 =

 =

+

Đưa phương trình về dạng: sin(x ) 2c 2



+

Chú ý: Phương trình asinx b+ cosx=c a,(  0,b 0)có nghiệm khi 2 2 2

c a +b

Dạng 4: Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx

Dạng phương trình: a 2x+b x x+c 2x=d

cos cos

sin sin

Phương pháp:

- Nếu cosx = 0 Thế vào phương trình thử nghiệm

- Nếu cos x 0 Chia cả 2 vế của phương trình cho cos2 x rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: (a−d) tan2x+btanx+c−d = 0

CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

I QUY TẮC ĐẾM

1 Quy tắc cộng

a Định nghĩa: Xét một công việc A

Giả sử A có k phương ánA i i, = 1,k thực hiện công việc A

Nếu có a1cách thực hiện phương án A1

Nếu có a2 cách thực hiện phương án A2

Nếu có a3cách thực hiện phương án A3

…

Nếu có a kcách thực hiện phương án A k

Mỗi cách thực hiện phương án A ikhông trùng với cách thực hiện A j,

(i j i j, ,  1,k)

Thì khi đó có a1 +a2 + +a kcách thực hiện công việc A

b Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập A A1 , 2 , ,A n đôi một rời nhau, khi đó A1 A2   A n =A1 +A2 + + A n

2 Quy tắc nhân

a Định nghĩa: Xét công việc A

Giả sử A có k công đoạnA i i, = 1,k thực hiện công việc A Công đoạnA1 có a1 cách thực hiện, công đoạnA2có a2cách thực hiện,…, Công đoạnA k có a k cách thực hiện Khi đó công việc có a a1 2 a kcchs thực hiện công việc

b Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập A A1 , 2 , ,A n đôi một rời nhau, khi đó A1 A2   A n = A A1 2 A n

3 Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc cộng

Để đếm số cách thực hiện một công việc A theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc A đó có bao nhiêu phương án thực hiện, mỗi phương án có bao nhiêu cách lựa chọn

4 Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc nhân

Để đếm số cách thực hiện công việc A theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc A được chia làm bao nhiêu giai đoạnA A1 , 2 , ,A n và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn A i

5 Các dạng bài toán đếm thường gặp

Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên:

• a i0,1, 2, 3, ,9 , a1  0

• X là số chẵn a n là số chẵn

• X là số lẻ a n là số lẻ

• X chia hết cho 3 a1 +a2 +a3 + + a n chia hết cho 3

• X chia hết cho 5 a n 0, 5

• X chia hết cho 6  x là số chẵn và chia hết cho 3

• X chia hết cho 8 a n−2a n−1a nchia hết cho 8

• X chia hết cho 9a1 +a2 +a3 + + a n chia hết cho 9

• X chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11

Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

II HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

1 Giai thừa là gì?

a Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên dương n, tích 1.2.3.4…n được gọi là n giai

thừa và kí hiệu là n!

Hay nói cách khác: n! = 1.2.3.4…n

b Tính chất:

• n! = n.(n-1)!

• n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k-1).k!

2 Hoán vị là gì?

a Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử

b Số hoán vị của tập n phần tử

Định lí: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n 1) được kí hiệu là P n

và:

! 1.2.3

n

P =n = n

Ví dụ: Cho tập A = {1,2,3,4} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số

phân biệt

Note: số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nên chữ số đầu tiên có 4 cách chọn, chữ

số thứ 2 có 3 cách chọn, chữ số thứ 3 có 2 cách chọn, chữ số cuối cùng có 1 cách chọn Vậy số các số được tạo thành là: P =4 4! = 24số

c Hoán vị lặp: Cho n phần tử, trong đó có k giá trị khác nhau Giá trị thứ nhất

xuất hiện n1lần, giá trị thứ 2 xuất hiện n2lần,…, giá trị thứ k xuất hiện n k lần sao cho n1 +n2 + + +n3 n k =n n

Khi đó, số lượng các hoán vị lặp của n phần tử này là: ( 1 2 )

! , , ,

! ! !

k

n

P n n n

n n n

=

d Hoán vị vòng quanh: Mỗi cách sắp xếp n phần tử xủa A tạo thành một vòng

khép kín theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị vòng quanh của n phần tử

Ở đây ta phân biệt thứ tự theo chiều kim đồng hồ và ngựơc chiều kim đồng hồ

và không phân biệt điểm bắt đầu của vòng

Kí hiệu của hoán vị vòng quanh: Q n

Công thức tính: n ( 1 !)

n

P

n

= = −

3 Chỉnh hợp là gì?

a Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k n Khi lấy k

phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k

của n phần tử của A

b Số chỉnh hợp:

Định lí: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là k

n

A

!

k n

n

n k

− ,(1  k n)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn An, Minh, Tâm, Chi, Liên, Đạt vào 8

chiếc ghế trong lớp?

Note: Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi vào 8 chiếc ghế đã có sự sắp xếp  Có hoán

vị là chỉnh hợp chập 5 của 8 Ta có số cách chọn là:

5 7

8!

6720

8 5 !

c Chỉnh hợp lặp: Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể

được lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh

hợp lặp chập k của n phần tử Mỗi phần tử trong số k phần tửu của chỉnh hợp lặp đều có thể nhận n giá trị khác nhau Vậy số lượng các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử sẽ là: k k

n

F =n

Ví dụ: Chỉnh hợp lặp chập 2 của tập A = {1, 2,4} là

                 1,1 , 1.2 , 1, 4 , 2,1 , 2, 2 , 2, 3 , 4,1 , 4, 2 , 4, 3

4 Tổ hợp là gì?

a Định nghĩa: Cho n phần tử khác nhau (n 1) Mỗi tập con gồm k phần tửu khác nhau của tập hợp n phần tửu đã cho 0  k nđược gọi là tổ hợp chập k của

n phần tử đã cho

b Số tổ hợp

Định lí: Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho kí hiệu là và k

n

C

bằng:

k n

n C

k n k

=

− , 0 k n

III XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu  là một tập hữu hạn Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng   Xác suất của biến cố A, kí hiệu A bởi P(A), được cho bởi công thức:

( ) A

P A 

 Số kết quả thuận lợi cho A / Số kết quả có thể xảy ra

Chú ý: Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên

ta đồng nhất  với A nên ta có: A P A( ) ( )n A( )

n

=

 ( ) 1, ( ) 0,0 ( ) 1

P  = P  = P A 

2 Định nghĩa thống kê của xác suất

Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

P(A) = Số lần xuất hiện của biến cố A : N

3 Phương pháp xác định không gian mẫu và biến cố

Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố

III NHỊ THỨC NEWTON

1 Tổ hợp là gì?

• Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

• Kí hiệu: k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n) Ta có định lí,

số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

( ! ) ( 1)( 2)( ! 3 ) ( 1)

k n

n C

k

k n k

−

- Tính chất chập k của n phần tử: C n k

✓ Tính chất 1: C n k =C n n k− , 0(  k n)

✓ Tính chất 2: Công thức pascal 11 1

C −− +C − =C

2 Nhị thức Newton

Định lí: Với  n *và với mọi cặp số ( )a b ta có: ,

0

n

k

a b C a − b C a C a b C a− − b C − a b − C b

=

3 Hệ quả

1+x n =C n +xC n+x C n + + x C n n n

- Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:

0 1 2

2n =C n +C n+C n + + C n n

( )

1 n n 0

C −C +C −C + + − C =

4 Nhận xét

Trong khai triển Newton ( )n

a b+ có tính chất sau:

- Gồm n + 1 phần tử

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng k n k, 0( )

C =C −  k n

- Số hạng tổng quát: 1 k b k k

T+ =C a b−

Chú ý:

✓ Số hạng thứ nhất 0

1 0 1

n n

T =T+ =C a

✓ Số hạng thứ k: 1 1 1

1 1

k n k k

T =T− + =C − a − + b −

CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

I DÃY SỐ

1 Định nghĩa

a Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương *

được gọi là dãy số hạn Kí hiệu: ( )

*

u

n u n

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u u1 , 2 , ,u n trong đó u nlà số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số u n

b Mỗi hàm số u xác định trên tập M =1, 2, 3, ,m, với m *được goi là một dãy

số hữu hạn

2 Cách cho một dãy số

a Dãy số được cho bằng công thức của số hạng tổng quát

( )

=

n

u f n trong đó f là một hàm số xác định trên *

Đây là cách thông dụng và nếu biết giá trị của n thì có thể tính ngay được u n

b Dãy số được cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số Tuy nhiên, thường thì không tìm được ngay u n với n tùy ý

c Dãy số được cho bằng phương pháp truy hồi ( hay quy nạp)

Cho dãy số thứ nhất

Với n 2, cho một công thức tính u nbiết u n− 1

Chẳn hạn, công thức có thể là: 1( 1 2 2)

,



3 Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số u n được gọi là dãy số tăng nếu u n+ 1 u nvới mọi n *

- Dãy số u n được gọi là dãy số tăng nếu u n+ 1 u nvới mọi n *

- Khảo sát tính đơn điệu của dãy số ( )u n

Phương pháp 1: Xét hiệu H =u n+ 1 −u n

+ Nếu H  0với mọi n *thì dãy số tăng

+ Nếu H  0 với mọi n *thì dãy số giảm

Phương pháp 2:

Nếu u n  0với mọi n *thì lập tỉ số rồi so sánh với 1

+ Nếu lớn hơn 1 với mọi n *thì dãy số tăng

+ Nếu nhỏ hơn 1 với mọi n *thì dãy số giảm

4 Dãy số bị chặn

- Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u n Mvới mọi n *

- Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u n mvới mọi n *

- Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại M, m sao cho: mu n Mvới mọi n *

II CẤP SỐ CỘNG

1.Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa: Dãy số ( )U n được xác định bởi: ( ) 1 ( )

1

*

n

u a

u + u d

=



= +

này được gọi là cấp số cộng d là công sai

2 Số hạng tổng quát

Cấp số cộng bắt đầu là phần tử u và công sai là d thì số hạng thứ n của cấp số 1

cộng được tính theo công thức: u n+1 =u1+(n−1)d

+ −

 =

−

1 1

1

n

u u

d

n

3.Tính chất

Ba số hạng u n−1,u u n, n+1là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi − + +

2

n

u u u

với n 1

4 Tổng của một cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:

( + )  +( − ) 

1 2

n n

n u n d

n u u

Chứng minh:

( )

= 1+ 1+ + 1+2 + + 1+ −1

n

S u u d u d u n d (1)

Mặt khác:

= − −1 + − −2 + + − +

S u n d u n d u d u (2)

Lấy (1) cộng (2)  = ( + ) = ( 1+ )

1 2

2

n

n u u

S n u u S

( )

n

n u u n d n u n d

S

5.Chú ý

a Dãy số ( )U n là một cấp số cộng, công sai d u n+1−u n =d không phụ thuộc vào

n

b Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng +

 =

2

a c b

c Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai Do đó,

ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua u d1,

III CẤP SỐ NHÂN

1.Cấp số nhân là gì?

Định nghĩa: Dãy số ( )U n được xác định bởi: ( ) 1 ( )

1

*

+

=



=



n

u u q thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội

Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: 2 3 4

, , , , ,

a aq aq aq aq với a là số hạng đầu tiên và q là công bội

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là

2,4,8,16,32,64,128,

2.Số hạng tổng quát

Cấp số nhân bắt đầu là phần tử u và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số 1

cộng được tính theo công thức: u n+1 =a q n ,n  1

1 n , 1

n a

a

−

3.Tính chất

Ba số hạng u n−1,u u n, n+1là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi u n2 =u n−1.u n+1 với

 1

n

4 Tổng của một cấp số nhân

Tổng số hạng đầu của cấp số nhân :

0

n

k

aq aq aq aq aq aq

=



Nhân cả 2 vế với: (1 q− )

1

0

n

n

k

q S + q aq a aq +

=

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

( 1)

1

0

1 1

n n

k n

k

a q

q

+ +

=

−

−



5.Chú ý

a Dãy số ( )U n là một cấp số nhân, công sai d n 1

n

u

q u

+

 = không phụ thuộc vào n

b Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân b2 =a c

c Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội Do đó,

ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua u q 1,

Chương IV: GIỚI HẠN

I Hàm số liên tục

1 Định nghĩa

✓ Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng D và x0D:

• Hàm số y= f x( ) liên tục tại

0

→

• Hàm số y= f x( ) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0

✓ y= f x( ) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng

đó

✓ y= f x( ) liên tục trên đoạn [ , ]a b nếu nó liên tục trên ( , )a b và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

2 Các định lí cơ bản

a Định lí 1:

Hàm số đa thức liên tục trên

Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

b Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ , ]a b