Tài liệu lý thuyết biến dạng dẻo từ biến

Tài liệu bao gồm các kiến thức cơ bản về biến dạng, dẻo, từ biến dành cho sinh viên cao đẳng, đại học và học viên cao học chuyên ngành cơ khí chế tạo máy

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG - DẺO - TỪ BIẾN Câu 1: Trạng thái ứng suất tại một điểm? Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.

Trả lời

I Trạng thái ứng suất tại một điểm.

+ Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các thành phần ứng suất tác dụng lên tất cả các mặt vô cùng bé đi qua điểm đó.

+ Trạng thái ứng suất tại một điểm được xác định khi biết được ứng suất trên 3 mặt vuông góc với nhau, chúng bao gồm:

- 3 thành phần ứng suất pháp: σ ,σ ,σx y z Qui ước σ 0 > khi có chiều cùng chiều với lực kéo

- 6 thành phần ứng suất tiếp: τ , τ , τ , τ , τ , τxy yx yz zy xz zx Qui ước τ 0 > khi pháp tuyến của mặt mà nó tác dụng theo phương trục tọa độ thì chiều ứng suất tiếp theo chiều dương của trục tọa độ tương ứng

+ Theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng ngược chiều: τxy = τ , τyx yz = τ , τzy xz = τzx

+ Vậy ta còn 6 thành phần ứng suất độc lập và nó là hàm của tọa độ điểm cần tính ứng suất:

- Ten xo cầu Tσocó tác dụng gây ra biến dạng thể tích

- Ten xơ độ lệch: Dσ có tác dụng gây ra biến đổi hình dáng

II Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.

1 Phương trình vi phân cân bằng:

2 2 13

Với ρ: mật độ khối lượng của vật thể

+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ sẽ bằng 0

+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải như trên phương trình còn gọi là phương trình vi phân chuyển động của môi trường liên tục

Hệ phương trình được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học NAVIER- CAUCHY.

2 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng ngược chiều

σ =σ n + σ n + σ n ⇔ σ =σ l + τxym + τ nn2 21 1 22 2 23 3 ny yx y yz

σ =σ n + σ n + σ n ⇔ σ = τ l σ m + + τ nn3 31 1 32 2 33 3 nz zx zy z

tự như sau:

ni ij j ji j

σ =σ n = σ nn1 11 1 12 2 13 3 nx x xz

σ =σ n + σ n + σ n ⇔ σ =σ l + τxym + τ nn2 21 1 22 2 23 3 ny yx y yz

σ =σ n + σ n + σ n ⇔ σ = τ l σ m + + τ n

5 Ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ :

+ Ứng suất toàn phần σncó thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất tiếp

a) Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần σntrên pháp tuyến ν , được ký hiệu σν

+ v - là pháp tuyến của mp nghiêng

+ l,m,n - là các cosin chỉ phương của pháp tuyến v với hệ XYZ

+ l1,m1,n1 - là cosin chỉ phương của phương ứng suất tiếp

6 Mặt chính - Ứng suất chính - Phương chính

a) Khái niệm:

* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;

* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính

* Ứng suất chính là ứng suất trên mặt chính Ký hiệu σ ,σ ,σ1 2 3

+ Với δijlà hệ số croneker; δij=1 khi i=j; δij=0 khi i ≠ j

+ Khai triển ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính σn:

11 1 12 2 13 3(σ - )n σ + σ n + σ n = 0

+ Phương của mặt cắt có UST lớn nhất nghiêng với phương chính một góc 450

8) Đối với lý thuyết dẻo:

a) Khảo sát ten xơ độ lệch ứng suất:

+ Phương trình đặc trưng:

3 2(D ) 3(D )

+ Trạng thái ứng suất thủy tĩnh ( kéo, nén đều theo 3 phương): τi = 0

+ Trạng thái trượt thuần túy: τi = τ

+ Trạng thái kéo nén đơn: i

σ

τ = 3

b) Cường độ ứng suất:

σ = 3τ

+ Khi kéo nén đơn: σi = σ

c) Ten xơ ứng suất chỉ phương:

x xy xz

yx y yz i

I Trạng thái biến dạng tại một điểm

1 Nhứng khái niệm cơ bản

+ Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thước của vật thể hoặc của các yếu tố hình học trong vật thể.

+ Các thành phần biến dạng và ký hiệu :Để định lượng biến dạng của vật thể, ta xét những thay đổi của các yếu tố hình học như chiều dài, góc, thể tích của vật thể

* Biến dạng dài tương đối :

+ Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương n Sau biến dạng MN = ds trở thành M1N1 = ds1

+ Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu εn, là tỷ số

+ Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối là biến dạng của một đơn vị chiều dài, có một chỉ số để chỉ phương của biến dạng Do đó biến dạng dài tương đối theo các phương x, y,

z trong hệ tọa độ Descartes là : εx, εx, εz

* Biến dạng góc :

+ Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu γmn là hiệu số: γmn = PMN - P1M1N1

=

2

Π

- P1M1N1= α + β

+ Ý nghĩa: Biến dạng góc là lượng thay đổi của một góc vuông trong mặt phẳng đang xét, có 2 chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc Biến dạng góc trong các mặt phẳng

xoy, yoz, zox là : γxy, γyz, γzx

* Biến dạng thể tích tương đối :

+ Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV1

+ Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu θ, là tỷ số : θ=

dV

dV

dV1−

+ Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của một đơn vị thể tích.

+ Các hàm ε, γ, θ là hàm của các biến x,y,z:

ε = ε(x,y,z)

γ = γ(x,y,z)

θ= θ(x,y,z)+ Theo giả thiết biến dạng bé ta có: /ε/<< 1, /γ /<< 1, /θ / << 1 Do vậy có ta có thể bỏ qua tích của biến dạng so với biến dạng và so với 1

+ Qui ước dấu của các thành phần biến dạng

- εx , εy , εz > 0 khi chiều dài đang xét dãn dài ra Ngược lại < 0

- γxy, γyz, γzx > 0 khi các góc vuông bé lại Ngược lại < 0

2 Trạng thái biến dạng tại một điểm

+ Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ

hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé Ký hiệu : Tε

3 biến dạng dài trung bình

+ Dε: Tenxơ lệch biến dạng đặc trưng cho BD hình dạng của phần tử;

+ T0 ε: Tenxơ cầu BD đặc trưng cho BD thể tích của phần tử

II Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái biến dạng tại một điểm

1) Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :

Có thể viết dưới dạng toàn phương :

+ Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) :

σn = σx.l2 + σy.m2+σz.n2 + 2(Txy.ml + Tyz.mn + Txz.nl) (2.7)

2) Biến dạng chính – phương biến dạng chính:

a) Biến dạng chính: Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy Ký hiệu

các biến dạng chính là : ε1, ε2 , ε3 => theo quy ước ε1> ε2 > ε3

+ Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác định từ phương trình sau :

Khai triển (3.7) ta được phương trình bậc 3 đối với biến dạng chính:

+ Sau khi có các biến dạng đường chính ε1, ε2 , ε3, ứng với mỗi εi sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là

ba cosin chỉ phương của biến dạng chính εi đó

Và phương trình: l2 + m2 + n2 = 1 (3.11)

+ Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3

+ Tenxơ và các bất biến biến dạng chính được viết là :

3) Mối liên hệ của các thành phần biến dạng và chuyển vị:

+ Trong trường hợp biến dạng bé, bỏ qua các đại lượng VCB bậc 2, công thức Green còn lại:

u u

4) Phương trình tương thích biến dạng:

Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của BD theo 3 chuyển vị u, v, w

- Các phương trình này cho phép tính được các BD bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là những hàm đơn trị và liên tục của các biến số Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục.

- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các BD, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau

Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục của BD cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant

Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong các phương trình BD Cauchy - Navier

a) Nhóm phương trình cho các BD trong cùng 1 mp :

b) Nhóm phương trình cho các BD trong các mp khác nhau:

Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các BD là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học Cauchy-Navier gọi là

x 0 xy xz 0

5) Đối với lý thuyết dẻo:

a) Độ lệch biến dạng và các lượng bất biến của độ lệch biến dạng.

b) Cường độ biến dạng trượt:

+ Là một đại lượng không âm, xác định bằng công thức:

+ Khi kéo nén đúng tâm: ε =εi 1vì ε =ε2 3= ν ε1

c) Cường độ tốc độ biến dạng trượt:

γ = ε -ε + ε -ε + ε -ε + γ +γ +γ

3 & & & & & & 2

d) Ten xơ chỉ phương biến dạng:

Ta chọn ẩn số cơ bản là các thành phần chuyển vị ui(x,y,z): u(x,y,z); v(x,y,z); w(x,y,z).

2 Thiết lập 3 phương trình độc lập chứa 3 ẩn trên.

+ Từ công thức Cosi

+ Ta thay vào các phưong trình của định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ngược:

+ Thay vào hệ phương trình cân bằng (phương trình NAVIER- CAUCHY):

Với ∇2 = 2

2 2

2 2

2

z y

∂ +

∂

∂ +

v x

u

∂

∂ +

∂

∂ +

Trong đó:

Thay các ẩn u, v, w tìm được vào công thức Cosi để xác định các thành phần biên dạng εij

Thay các giá trị εij tìm được vào công thức định luật Hooke viết dưới dạng ngược ta xác định được các thành phần ứng suất σij

Như vậy ta đã xác định xong trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất

Câu 4: Trình bày phương pháp tổng quát giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo ứng suất (Trường hợp các lực thể tích là hằng số)

Trả lời

1 Chọn ẩn số: Chọn các ứng suấtσ ,σ ,σ ,τ ,τ ,τx y z xy yz zxlàm hàm ẩn chính

2 Thiết lập 6 phương trình độc lập chứa 6 ẩn trên.

a) Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke

xy x

z

γ ε

+∇ =2θ 0 ( Khi lực khối lượng không đổi, θ -hàm biến dạng thể tích – là hàm điều hòa

+∇2S1 = 0 ( Khi lực khối lượng không đổi, S1-lượng bất biến bậc 1 của TTUS – là hàm điều hòa

Nên ta có:

2 2

2 2

y z S

Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán ĐH theo ƯS, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường Giải (5.5)

và (5.6) có được các ƯS sau đó tìm các BD theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình BD Cauchy

Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi

3 Trình tự giải bài toán LTĐH theo ứng suất:

 Tích phân 9 phương trình gồm 6 phương trình theo ẩn ứng suất vừa thiết lập và 3 phương trình cân bằng Có 3 phương trình thừa cần thiết để nhận ràng buộc của tính liên tục

2

2 2

2 2

y z S

γ = τ

ε = σ - (σ + σ )

G E

1 Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami

Michell (5.7) khi giải theo ƯS với các điều kiện biên xác định Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện

2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ƯS thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.3) tìm các ngoại lực

tương ứng với các chuyển vị hay ƯS cho trước Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được

3 Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều

kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và

sự cồng kềnh của phương pháp ngược

4 Nguyên lý Saint-Venant :Nhiều bài toán của lý thuyết ĐH khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh,

tấm, vỏ Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ƯS phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực

Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng

Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái

ƯS, BD của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”

Ví dụ :

F : Diện tích mặt cắt ngang

Câu 5: Trình bày phương pháp giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi theo ứng suất.

xy y

σ

X 0 σ

Y 0

τ τ

τ τ

2 2 2 2 2(5.19)

ϕ σ

ϕ τ

* Giải bài toán theo đa thức:

+ Phương pháp ngược: cho trước các nghiệm (5.12) là các đa thức bậc khác nhau Lần lượt thu được các dạng đa thức:

2 2 2 2 2 2 2

2(5.19)

x

x

c y a x

x y

ϕ σ

ϕ σ

ϕ τ

4 4

4 4 4

2 2 4 2

c x d y

x y

e x f y y

ϕ ϕ ϕ

   + Các hằng số a b c d5, , ,5 5 5 được xác định từ các điều kiện biên

* Hàm ϕ ( , ) x y có thể là tổng của nhiều đa thức Dùng các đa thức đại số có thể giải hàng loạt bài toán uốn dầm

Câu 1: Hiện tượng từ biến là gì? Đường cong từ biến?Giới hạn từ biến? Giới hạn đồ bền lâu?

Trả lời

a) Hiện tượng từ biến

+ Từ biến là quá trình thay đổi ứng suất và biến dạng theo thời gian phát sinh trong chi tiết dưới tác động của tải trọng ngoài

+ Quá trình từ biến phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ, tải trọng ngoài…

+ Hiện tượng từ biến được phân làm hai trường hợp:

 Sự thay đổi biến dạng theo thời gian khi ứng suất σijlà hằng số (=const) gọi là hiện tượng sau tác dụng

 Sự thay đổi ứng suất theo thời gian khi tổng biến dạng không đổi gọi là hiện tượng rão

+ Hiện tượng từ biến có thể xảy ra khi trong chi tiết phát sinh biến dạng dẻo và cả khi biến dạng ban đầu là đàn hồi

b) Đường cong từ biến

+ Để nghiên cứu hiện tượng từ biến người ta tiến hành thí nghiệm kéo một mẫu théo ở nhiệt độ và tải trọng không đổi Quan sát biến dạng thay đổi theo thời gian, thiết lập sự phụ thuộc giữa biến dạng tỷ đối ε và thời gian t, từ đó xây dựng đường cong từ biến ( đường cong tác dụng đơn)

Trong đó:

 OA là biến dạng ban đầu ( có thể là đh hoặc dẻo)

 AB là giai đoạn 1 ( giai đoạn không ổn định): tốc độ biến dạng giảm, độ dài phụ thuộc vào nhiệt độ, vật liệu và ứng suất

 BC là giai đoạn 2 ( giai đoạn ổn định): tốc độ biến dạng không đổi và đạt trị số nhỏ nhất, thường dài hơn giai đoạn 1

Độ dài cũng phụ thuộc vào nhiệt độ, vật liệu và ứng suất

 CD là giai đoạn 3: Tốc độ biến dạng dẻo tăng dẫn đến phá hoại ( điểm D)

+ Dạng đường cong từ biến cho một loại vật liệu có thể đủ cả 3 giai đoạn hoặc thiếu, phụ thuộc vào nhiệt độ và ứng suất ( hình 1.2 trang 128)

+ Sư phụ thuộc giải tích cho đường cong từ biến:

 Dựa trên kết quả thực nghiệm người ta đưa ra những phụ thuộc giải tích cho đường cong từ biến Ta thường bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định ( giai đoạn 1 ) vì tính phức tạp của nó

 Với từ biến ổn định, tốc độ biến dạng dẻo là hằng số theo thời gian và là hàm của ứng suất: ε &p = f ( ) σ

 Nhiều tác giả cho các dạng cụ thể khác, như: ε &p = a σnhoặc dưới dạng: p k h s

b

σ

ε = & Trong đó a, n, k, b là các hằng số phụ thuộc vào nhiệt độ và vật liệu

0.

+ Khi tính toán CTM, trị số biến dạng từ biến không được vượt quá trị số xác định trong khoảng thời gian làm việc

 Giới hạn từ biến theo biến dạng cho phép : Giá trị ứng suất lớn nhất ở nhiệt độ cho trước không gây ra biến dạng từ biến cho chi tiết vượt quá trị số cho phép được gọi

là giới hạn từ biến theo biến dạng cho phép.

+ Giới hạn từ biến phụ thuộc vào nhiệt độ, trị số biến dạng từ biến cho phép trong khoảng thời gian làm việc

+ Xét trạng thái ƯS đơn và từ biến ổn định: ε ε = +0 tkε &p ≤ [ ] ε Nếu bỏ qua biến dạng ban đầu ε0thì: ε = tkε &p ≤ [ ] ε Nếu dùng quan hệ ε &p = a σnthì ta có:

1

n n

+ Khi tính toán chi tiết kết cấu hoặc CTM theo giới hạn từ biến cho phép cần nhớ rằng độ bền của vật liệu làm việc lâu dài dưới tác dụng của tải trọng và nhiệt độ phụ thuộc

nhiều vào khoảng thời gian làm việc- được đánh giá bằng giới hạn độ bền lâu

+ Giá trị ứng suất lớn nhất mà dưới tác động của nó, ở nhiệt độ cho trước mẫu thí nghiệm không bị phá hoại trong khoảng thời gian cho trước gọi là giới hạn độ bền lâu.

+ Giới hạn độ bền lâu phụ thuộc nhiều vào nhiệt độ và khoảng thời gian làm việc ( Hình 1.5- tr130)

+ Với kim loại thì nhiệt độ càng cao và thời gian làm việc càng lớn thì giá trị giới hạn độ bền lâu càng giảm Bởi vậy, khi tính toán theo giới hạn từ biến cần phải khẳng định nó không vượt quá ứng suất cho phép theo giới hạn bền lâu và thấp hơn giá trị giới hạn độ bền lâu

Câu 2: Thuyết từ biến là gì? Trình bày tóm tắt các thuyết từ biến mà anh chị biết?