Tài liệu ôn thi lý thuyết dao động trong kỹ thuât

Câu hỏi ôn thi lý thuyết và đáp án môn học dao động trong kỹ thuật

Câu 1: Định nghĩa, phân loại dao động, giới hạn nghiên

cứu-các bước nghiên cứu dao động của cơ hệ Tác dụng hai mặt

của dao động và ý nghĩa của việc nghiên cứu dao động

* Định nghĩa dao động: Dao động kỹ thuật là một dạng vận

động của hệ vật chất, trong đó giá trị các thông số trạng thái

(TSTT) thay đổi qua lại xung quanh giá trị TSTT chuẩn

- TSTT là tất cả các tham số biểu diễn hệ vật chất trong sự quan

tâm của chúng ta

- TSTT chuẩn là TSTT danh định được xác định, thường được

biểu diễn ở trạng thái cân bằng

* Phân loại dao động: có nhiều cách phân loại dao động:

- theo bản chất vật lý: cơ, điện, từ, quang

- theo số bậc tự do: (là số tọa độ độc lập đủ để xác định vị trí

phần tử cơ hệ) một bậc tự do, nhiều bậc tự do, vô số bậc tự do

- theo phương trình vi phân: dao động tuyến tính, dđ phi tuyến

- theo nguyên nhân gây dao động: dao động tự do, dao động

cưỡng bức, dđ tham số, tự dao động

- theo xác suất gây ra dao động: dđ tiền định XS=1, dđ ngẫu

nhiên XS<1

- theo dạng chuyển động: dđ dọc, ngang, uốn, xoắn

* Giới hạn nghiên cứu

Khảo sát dđg của hệ rời rạc, tiền định, hệ 1 và nhiều bậc tự do, hệ

tuyến tính, phi tuyến, dạng d.đ tự do và d.đ cưỡng bức

* Các bước nghiên cứu:

1 Lập mô hình toán học:

- Mục đích: Thể hiện tất cả những đặc điểm quan trọng của hệ phục

vụ cho việc thiết lập phương trình toán học thể hiện ứng xử của hệ

- Phương pháp: đầu tiên dưa ra mô hình sơ bộ để nhanh chóng

tìm ra ứng xử của hệ, sau đó sẽ hoàn thiện bằng cách thêm các

thành phần, chi tiết sao cho ứng xử của hệ sát thực hơn

2 Thiết lập phương trình chuyển động

-Mục đích: sử dụng các nguyên lý động lực học để thiết lập

phương trình mô tả dao động của hệ

- Phương pháp:

+ Vẽ sơ đồ giải phóng liên kết: cô lập khối lượng, chỉ ra lực tác dụng…

+ Thiết lập phương trình: Định luật 2 Niu tơn, nguyên lý

Dalambe, bảo toàn năng lượng, phương trình Lagrange loại II…

3 Tìm nghiệm phương trình chuyển động

- Mục đích: giải phương trình để tìm ra ứng xử của hệ

- Phương pháp: giải phương trình vi phân (= phương pháp biến

đổi laplace, phương pháp ma trận, phương pháp số)

4 Xử lý kết quả, nhận xét

- Nghiệm phương trình cho ta chuyển vị, vận tốc, gia tốc

- Những kết quả này phải được xử lý tùy theo mục đích

* Tác dụng hai mặt của dao động ý nghĩa của việc nghiên cứu

dao động

- Hầu hết các hoạt động của con người đều liên quan đến dao

động dưới dạng này hay dạng khác, chẳng hạn nghe được là do

màng tai dao động, hít thở là dao động của lá phổi…

- Hầu hết những dạng cử động cơ bản đều chứa đựng những vấn đề liên

quan đến dao động do sự mất cân bằng cố hữu trong các nguồn động lực

gây ra Mất cân bằng của động cơ diezen có thể gây ra sóng đủ mạnh làm

phiền toái các đô thị, trong tuốc bin sự mất cân bằng có thể gây các hỏng

hóc cơ học không lường trước được…

- Khi tần số dao động riêng của máy móc hay kết cấu trùng với tần số

của nguồn kích thích bên ngoài thì hiện tượng cộng hưởng xuất hiện,

gây biến dạng và hư hỏng quá mức Do những tác động nghiêm trọng

mà các dao động có thể gây ra cho máy móc và kết cấu nên việc kiểm

tra dao động đã trở thành một thủ tục tiêu chuẩn trong quá trình thiết kế

và chế tạo hầu hết các hệ thống kỹ thuật

- Một trong những mục đochs quan trọng của việc nghiên cứu dđ là để

giảm thiểu các dđ thông qua việc thiết kế chính xác máy móc cùng với hệ

thống giá đỡ của chúng Tiếp nữa các kỹ sư cơ học sẽ tìm cách thiết kế

động cơ và máy móc sao cho có thể giảm tối đa sự mất cân bằng, trong

khi kỹ sư kết cấu thì tìm cách thiết kế các kết cấu đỡ sao cho những tác

động của mất cân bằng trở thành vô hại

- Bên cạnh những tác động có hại, dđ cũng có thể được sử dụng một cách

có lợi trong một số ứng dụng công nghiệp và tiêu dùng: băng tải, máy

sàng, máy ép, máy giặt….Nó còn được sử dụng để mô phỏng hiện tượng

động đất trong nghiên cứu địa chấn và để thực hiện các nghiên cứu trong

quá trình thiết kế các lò phản ứng hạt nhân

Câu 2: Dao động điều hòa, dao động tuần hoàn, dao động á tuần hoàn, dao động không tuần hoàn Các định nghĩa và quan hệ giữa các dạng dao động trên

Trả lời

I Các định nghĩa

1 Dao động điều hòa:

+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà mỗi TSTT được biểu diễn bằng chỉ một hàm sin hoặc cosin:

xA t hoặc yA sin(t) (1) Trong đó: x,y – là độ dời (độ dịch chuyển)

A – là biên độ d.đ 2 f - tần số vòng (rad/s) t - pha (góc pha)  - là pha ban đầu

T 2



 - Chu kỳ d.đ

1

f T

 - Tần số dđ: là số d.đ thực hiện được trong 1 giây (Hz)

Từ công thức (1) suy ra có 2 cách để xác địng một dđ điều hòa:

- biết 3 đại lượng , ,A 

- biết tần số vòng và các điều kiện đầu:

Giả sử điều kiện đầu có dạng:

t x x A c  x x  A 

2

; arctan

0

A x

x







+ Biểu diễn dđđh:

- biểu diễn = tọa độ đề các

- biểu diễn = véc tơ quay

- biểu diễn = số phức: e i cos +i.sin ; i  2  1 Người ta còn có thể biểu diễn ddđh dưới dạng:

xC c tC t

(C1, C2 được xác định từ ĐK đầu

2 Dao động tuần hoàn:

+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau thì hệ trở về trạng thái ban đầu:

Dđth được biểu diễn = hàm tuần hoàn:

f(t)= f(t+T)= f(t+2T)=….= f(t+nT) n= 1, 2, 3…

T: là chu kỳ d.đ, đó là khoảng thời gian ngắn nhất để hệ trở về trạng thái ban đầu

Vậy, chuyển động không đổi là 1 dđth có T=0, dđđh là 1 dạng dđth đơn giản nhất

+ Biểu diễn dđth:

- bd= tọa độ đề các,

- bd= miền tần số

- bd= mặt phẳng pha

Chú ý: 1 dđth có thể phân tích thành nhiều dđđh có tần số vòng

, 2, 3… ( ) 0 [an osn t+b sinn ]

1

 (a0, an, bn là các hệ số hằng)

3 Dao động á tuần hoàn:

+ Định nghĩa: hàm y(t) là hàm á tuần hoàn (hầu tuần hoàn) nếu với 0 cho trước bé tùy ý tồn tại một hằng số T* mà

*

y tT y t  Vậy, tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, khác tần số vòng được 1 dao động á tuần hoàn khi

1

i i



 = số vô tỷ

4 Dao động không tuần hoàn:

+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà một trong số các thông số trạng thái thay đổi bất kỳ ( không lặp lại)

+ Một số dạng:

- Dao động : dđ tăng dần, dđ giảm dần (tắt dần)

( ) 0 t

A t A e

(>0: dđ tăng dần; : dđ giảm dần)

- Dao động biến tần: tần số là 1 hàm theo thời gian

II Quan hệ giữa các dao động trên:

1 Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

( ) 1( ) 2( ) 1sin( 1)

x t A t

x t x t x t A t

 

 

 







Trong đó:

arctan

A A A A A c

A c A c

 







 + Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng

tần số vòng là 1 dao động điều hòa có tần số vòng bằng tần số

vòng của các dao động thành phần, biên độ A và góc pha 

2 Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hòa cùng phương,

khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ:





1; ( , 1, 2, 3 )

T p

p q

T q



x t x t x t A t  A t 

+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác

tần số vòng với tỷ lệ giữa 2 tần số là số hữu tỷ sẽ là một dao động

tuần hoàn với chu kỳ : T pT1qT2 Nếu p

q

là phân số tối

giản thì T là bội số chung nhỏ nhất của ,T T 1 2

3 Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hòa cùng phương,

khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vô tỷ:





1 2



 số vô tỷ

1

2

p

q





   ( bé tùy ý)

T pT qT

x t x t x t A t  A t 

+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác

tần số với tỷ lệ giữa 2 tần số là số vô tỷ là một dao động á (hầu)

tuần hoàn

4 Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, có tần số gần

giống nhau, biên độ = nhau











( bé)

( ) sin

2

t

x x x A t

   

( ) 2 os

2

t

A t A c

   

theo thời gian Khi đó, xảy ra hiện tượng phách

Câu 3: Các thành phần cơ bản của hệ dao động: quán tính, đàn hồi, cản và kích động

1 Phần tử quán tính:

+ Các phần tử khối lượng (QT) được xem như vật thể rắn tuyệt đối Chúng có thể nhận thêm hay mất đi động năng mỗi khi vận tốc thay đổi

+ Theo định luật 2 Niu tơn, tích của khối lượng và gia tốc chuyển động của vật bằng lực đặt lên vật đó Công của lực bằng tích của lực với độ dịch chuyển theo phương tác dụng của lực; công sinh

ra trên phần tử khối lượng được tích lũy dưới dạng động năng của phần tử khối lượng đó

+ Trong hầu hết các trường hợp, chúng ta cần sử dụng một số mô hình toán học để mô tả dao động thực và thường thì chỉ có một vài mô hình có thể chấp nhận được Mục đích của việc phân tích

là để xác định xem mô hình toán học nào đúng đắn Khi đã lựa chọn được mô hình toán học, chúng ta có thể dễ dàng xác định được các phần tử khối lượng hay các phần tử quán tính của hệ

+ Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Phần tử khối lượng là

một số hạng không đổi đứng trước đạo hàm bậc 2 của chuyển vị trong p.trình vi phân chuyển động Nó có thể là một phần tử khối lượng hoặc khối lượng tương đương của một tổ hợp khối lượng

+ Đối với hệ dao động nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử khối

lượng hay phần tử quán tính là một số lượng hữu hạn các khối lượng tập trung Những mô hình như vậy được gọi là hệ tham số tập trung hay hệ khối lượng tập trung hoặc hệ khối lượng rời rạc Phần tử khối lượng hay phần tử quán tính trong hệ phương trình

vi phân chuyển động là một ma trận khối lượng

2 Phần tử đàn hồi:

+ Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Lò xo là tuyến

tính, là một dạng khâu cơ học có khối lượng và cản không đáng

kể Bất cứ khi nào có chuyển động tương đối giữa 2 đầu lò xo thì

lò xo sẽ phát sinh một lực lực lò xo tỷ lệ thuận với biến dạng và tính theo công thức: F=kx (F-lực; x-biến dạng; k- độ cứng) Phần

tử đàn hồi có thể là một lò xo hoặc tổ hợp của một số lò xo mắc nối tiếp, song song, hỗn hợp Phần tử đàn hồi trong phương trình

vi phân chuyển động là số hạng đứng trước chuyển vị

+ Đối với hệ dđ nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử lò xo trong hệ p.trình

vi phân chuyển động là một ma trận độ cứng đứng trước chuyển vị

3 Phần tử cản:

Cản là những tác động vào hệ dao động mà nó làm giảm cơ năng của hệ, biến 1 phần cơ năng của hệ thành dạng năng lượng khác

Trong hệ thực, năng lượng dao động dần dần bị chuyển hóa thành nhiệt lượng hoặc âm thanh Do mất năng lượng nên phản ứng của hệ (chẳng hạn chuyển vị) giảm dần Phần tử mà do nó năng lượng dao động dần được chuyển hóa thành nhiệt hoặc âm thanh gọi là giảm chấn (cản)

- Các phần tử giảm chấn coi như không có khối lượng và không

có tính đàn hồi

- Lực giảm chấn (lực cản) chỉ tồn tại khi có vận tốc tương đối giữa hai đầu giảm chấn

- Có 2 loại cản:

+ Cản ngoài: cản nhớt, cản khô (cản culông) + Cản trong: cản trễ của vật liệu

Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Lực cản là tuyến

tính và hệ số cản là một hằng số không đổi Phần tử cản trong phương trình vi phân chuyển động là số hạng đứng trước đạo hàm bậc nhất của chuyển vị

Đối với hệ dao động nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử cản

trong hệ phương trình vi phân chuyển động là một ma trận cản

đứng trước đạo hàm bậc nhất của chuyển vị

4 Phần tử kích động:

Kích động là những tác động cung cấp động năng cho hệ dao động

từ môi trường thông qua công của các lực hoặc các ngẫu lực Các loại kích động:

- Theo bản chất vật lý: kích động động lực, k.động động học

- Theo sự biến đổi của thời gian: k.động điều hòa, tuần hoàn, á tuần hoàn, k.động xung

- Theo tần suất xuất hiện: k.động ngẫu nhiên, tiền định

- Theo mối quan hệ giữa tác động và trạng thái động học: + k.động ngoài: hàm k.động chỉ phụ thuộc thông số thời gian + Tự kích: hàm k.động không chỉ phụ thuộc thông số thời gian

mà còn phụ thuộc thông số trạng thái

Câu 4: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ 1 bậc tự do bỏ qua

cản: Phương trình vi phân chuyển động, phương trình chuyển

động và các nhận xét về chuyển động của hệ, tần số riêng và

biên độ

Trả lời:

1 Phương trình vi phân chuyển động:

0

mx kx   (1)

Trong đó: m- phần tử quán tính

k- phần tử đàn hồi

Nếu đặt 2 k x 2x 0

m

2 Phương trình chuyển động:

x t ( )  C c1os  t  C2sin  t (2)

(2) là nghiệm tổng quát của ptvpcđ (1)

Với C C1, 2 được xác định từ điều kiện đầu:



 nghiệm riêng:

2 2

x

x

 

(3)

(3) là phương trình chuyển động của hệ

0

2

0

x arctag

x

A x

x







 

 

3 Các nhận xét về chuyển động của hệ, tần số riêng và biên độ:

- Dao động tự do không cản của hệ 1 bậc tự do được mô tả bởi 1

hàm điều hòa Vì vậy, dao động tự do không cản còn được gọi là

dao động điều hòa

- Tần số 2 k

m

  và chu kỳ dao động T 2 



 không phụ thuộc vào điều kiện đầu mà chỉ phụ thuộc vào các thông số kết cấu của hệ vì vậy,

 được gọi là tần số dao động riêng của hệ (ký hiệu n)

- Biên độ dao động là hằng số Biên độ dao động và pha ban đầu

của dao động tự do không cản phụ thuộc vào các điều kiện đầu

và các tham số của hệ Nếu x0 0; x0    0 A 0 vật

không dao động

Câu 5: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ 1 bậc tự do có cản nhớt: Phương trình vi phân chuyển động, phương trình chuyển động, hệ số cản tới hạn, hệ số cản lehr Khảo sát chuyển động của cơ hệ khi C>Cc; C=Cc; C<Cc

Trả lời:

1 Phương trình vi phân chuyển động:

0

mx cx kx (1)

Trong đó: m- phần tử quán tính

k- phần tử đàn hồi

c- phần tử cản

2 Phương trình chuyển động:

( )

           

1, 2

C C được xác định từ điều kiện đầu

3 Hệ số cản tới hạn, hệ số cản lehr:

- Hệ số cản tới hạn là giá trị của hệ số cản sao cho biểu thức trong dấu căn của ptcđ (2) bằng 0

2

2

c

- Độ cản Lehr: là tỉ số giữa hệ số cản với hệ số cản tới hạn

Ký hiệu:

c

c c

 

4 khảo sát chuyển động của cơ hệ khi c  c cc;  c cc;  cc

(lưu ý: khi =0 thì hệ không có cản  hệ dao động điều hòa)

* Trường hợp 1:     1 c cc cản yếu

2

c

c c

- Phương trình chuyển động:

2

n

x t X e c  t  (3) Biên độ: 0. n t

A  X e

2

1

     - Tần số dao động riêng khi có cản

2

d d



 - là chu kỳ dao động khi có cản Viết lại (3) dạng: x t ( )  A c os( dt+ 0) (4) (4) là dạng dao động điều hòa tắt dần

- Ảnh hưởng của cản yếu đến biên độ và tần số vòng:

Độ giảm lôga:

2

ln

A t

A t T







2

2 1

( )

A t

e

A t T









2

1 1

n d



Bảng kết quả:

( ) ( d)

A t

A tT 1,88 3,61 37,55 427817 

n d



- Nhận xét:

+ Cản nhớt tuyến tính làm giảm mạnh biên độ, làm giảm yếu tần số vòng

+ Khi lực cản nhỏ hệ dao động tắt dần

* Trường hợp 2:     1 c cc (hệ có cản tới hạn)

2

c

c c

- Phương trình chuyển động: ( ) ( 1 2) n t

x t  C  C t e

1, 2

C C được xác định từ điều kiện đầu:

t    x x x  x  C1 x C0, 2 x0 nx0

- Nhận xét:

+ Chuyển động là dao động không tuần hoàn

+ Do n t 0

e  khi t   nên chuyển động giảm dần tới 0

khá nhanh

* Trường hợp 3:     1 c cc (hệ có cản lớn- giảm chấn mạnh):

2

c

c c

- Phương trình chuyển động:

x t C e     C e    

1, 2

C C được xác định từ điều kiện đầu

- Nhận xét:

Khi t tăng thì x giảm về không rất nhanh  hệ chuyển động tắt

dần Vì vây, chuyển động của hệ là dao động không tuần hoàn

Hình vẽ:

Câu 6: Dao động tuyến tính cưỡng bức của cơ hệ 1 bậc tự do

bỏ qua/ có cản nhớt, khô, kích động điều hòa, tuần hoàn, đa tần, bất kỳ, động lực, động học, li tâm: Phương trình vi phân chuyển động, phương trình chuyển động (biểu thức, đồ thị), Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ

Trả lời:

6.I Dao động cưỡng bức kích động điều hòa bỏ qua cản

1 Phương trình vi phân chuyển động:

mx  kx  F c0 os  t (1) Trong đó: : m- phần tử quán tính

k- phần tử đàn hồi

c- phần tử cản

F  F c0 os  t là hàm kích động điều hòa

2 Phương trình chuyển động:

- Biểu thức:



n

(2)

3 Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ:

- Chuyển động của hệ là hợp của 2 dđ điều hòa với tần số: , n

- Chuyển động của hệ bao gồm: dđ tự do, dđ theo và dđ cưỡng bức + dao động tự do: 0

n

x

x c t t





+ dao động theo: 0

n

2 os

F

c t





 + dao động cưỡng bức: 0

2 os

F

c t





- Từ (2), ta có:

1

n

n



(3)

Với: st F0

k

 

+ Trường hợp 1:    n

2

n

n

x t x c  t  t    t



2

n st

t

A  

 là hàm bậc nhất của t khi t thì A Khi đó xảy ra hiện tượng cộng hưởng của hệ

+ Trường hợp2:    n

2

4 2

n

n n

 



 

Chọn điều kiện đầu: x0 0; x0 0

0

F



0 .sin sin ( ) sin

2

F



( ) 0 .sin

2

F



Với  nhỏ thì A(t) là một hàm điều hòa biến đổi chậm theo thời gian, lúc đó xuất hiện hiện tượng phách

Đồ thị:

2 2

2

b

b



   (b- chu kỳ phách)

2

- Xét thành phần dao động cưỡng bức: 0







2 2

2

n

A

k m

k 





1

1

st

M k





 

M1 được gọi là hệ số biên độ dạng 1

Ta thấy:

+ khi 0 <  < 1  M1 > 0 thì A, st cùng dấu  dao động

cưỡng bức cùng pha với lực kích động

+ Khi  = 1  M1 =  xảy ra hiện tượng cộng hưởng

+  > 1  M1 < 0 thì A, st ngược dấu  dao động cưỡng bức

ngược pha với lực kích động

Đồ thị:

6.II Dao động cưỡng bức, kích thích điều hòa, cản nhớt tuyến tính

1 Phương trình vi phân chuyển động:

0

mx c   kx  F c  t (1)

Trong đó: m- phần tử quán tính

k- phần tử đàn hồi

c- phần tử cản

0 os

F  F c  t là hàm kích động điều hòa

2 Phương trình chuyển động:

* Nghiệm tổng quát của (1): x(t) = x1(t) + x2(t) Trong đó:

2 n

n

n

t

t

X e c

C e C e





 









c c c

nêu c < c nêu c = c nêu c > c

x t  X c  

* Nhận xét:

- Chuyển động của hệ bao gồm một dao động tắt dần và một dao động điều hòa

- Chuyển động của hệ gồm hai giai đoạn:

+ giai đoạn chuyển tiếp: khi x t1( ) còn có ý nghĩa

+ giai đoạn bình ổn: khi hệ chỉ còn một dao động x t2( ) (dao động cưỡng bức)

2( )

x t là dao động cưỡng bức, đó là một dạng dao động điều hòa có X,

 được xác định như sau:

1 0

2 2

X

k m









3 Biện luận và nhận xét:

* Xét giai đoạn dao động bình ổn: x t ( )  x t2( )  X c os( t- )  

st





2

1

X M st

    - được gọi là hệ số biên

độ dạng 2

* Nhận xét:

- khi bỏ qua cản ( = 0): Nếu 2 hệ cộng hưởng

- Khi có cản ( > 0): thì , M2 đều giảm so với khi  = 0

- Với mỗi giá trị của , nếu cản tăng thì M2 sẽ giảm

- Khi lực kích động F0 = const thì M2 = 1

- Khi có cản ( > 0): thì M2 giảm mạnh tại vị trí cộng hưởng hoặc gần cộng hưởng

- Khi 2 thì ảnh hưởng của cản rất nhỏ, xem như không đáng kể

- Cộng hưởng trong hệ có cản tuyến tính chịu kích động điều hòa

là 1 dao động cưỡng bức khi M2 đạt giá trị lớn nhất

M2(max) khi   1 2  2

2

1 ( ax)

M m



- Đồ thị:

+ 1

0

2



  thì M2 tăng từ 1 đến M2(max), sau đó giảm từ

M2(max) về 0

2

d 

 tại  = 0

2

 thì M2 giảm từ 1 về 0 khi  tăng

Điều kiện cộng hưởng:

   n 1  2 và 1

2

 

Tính chất cộng hưởng:

+ biên độ hữu hạn

+ cộng hưởng sớm: n

6.III Dao động cưỡng bức với cản Culong

1 Phương trình vi phân chuyển động

mx  kx  f N  F0sin  t (1)

Tổng quát:

mx  kx  f N sigx  F0sin  t (2)

x sigx

x

 



   



2 Phương trình chuyển động

Tìm hệ số cản nhớt tương đương sao cho với hệ số cản nhớt tương đương đó thì mất mát năng lượng do cản nhớt gây ra = mất mát năng lượng do cản cu lông gây ra

cơ năng chuyển hóa trong 1/4chu trình:

W = f.N.X (X- biên độ chuyển động) Vậy, trong 1 chu trình mất mát năng lượng do cản cu lông là: W = 4f.N.X

Tổn hao năng lượng do cản nhớt trong 1 chu trình:

W = Ceq...X2

eq

fN C

X





 là hệ số cản nhớt tương đương

 phương trình vpcđ của vật:

mx C x  eq  kx  F0sin  t (3)

Xét gia đoạn bình ổn  vật dao động điều hòa:

x t2( )  X sin(  t   )

Với:

2

0 0

2 2

4 1

fN F F

X k









 

2 0

4 tan

4 1

fN F fN F







    

Điều kiện để X có nghiệm thực:

2 0

4

F



0

4

ms

F

   đây chính là điều kiện để tồn tại dao động á tuần hoàn của hệ

3 Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ

- Nếu lực cản do ma sát khô là lớn thì chuyển động của vật là không liên tục (gián đoạn)

- Nếu lực cản do ma sát khô là nhỏ so với biên độ của lực đặt

0

F thì nghiệm duy trì là gần tuần hoàn

6.IV Dao động cưỡng bức, kích động động học cản nhớt tuyến tính

1 Phương trình vi phân chuyển động

mxc x( y)k x( y)0 (1)

với: y = Y.sint; yY os tc 

(1) mxcxkxA sin(t ) (2)

k



2 Phương trình chuyển động

Ta thấy:

- vế trái của phương trình vpcđ là 1 lực kích động điều hòa, lực

này do di chuyển điều hòa y = Y.sint gây ra

- Nếu chỉ xét giai đoạn bình ổn thì chuyển động của hệ chỉ còn là

dao động cưỡng bức

 x(t) = x2(t) = X.sin(  t )

X- là biên độ của dao động cưỡng bức

- là pha ban đầu của dao động cưỡng bức

X Y







3

m.c

arctg



 

c c

 



4

M

M4 được gọi là hệ số biên độ dạng 4, hay gọi là hệ số truyền chuyển vị

3 Nhận xét

+ M4 = 1 tại 2 giá trị  0 và   2

+ Khi  = 0 thì M4 tăng  khi 

+ M4 < 1 khi  2 với mọi 

+ Khi  < 2 nếu  càng nhỏ thì M4 càng lớn

+ Khi  > 2 nếu  càng nhỏ thì M4 càng nhỏ

+ Khi 0<  < 1 thì M4 đạt max tại:



Đồ thị:

6.V Dao động cưỡng bức, kích động tuần hoàn, cản nhớt tuyến tính

1 Phương trình vi phân chuyển động:

0

a

mx cx kx F t  a j t   b j t 

0

2

2

j

j

















2 Phương trình chuyển động

Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ ptvpcđ (1) = tổng nghiệm của các phương trình sau:

0 2 cos sin

a

mx cx kx

mx cx kx a j j t

mx cx kx b j j t



















(*) (**) (***)

- nghiệm của (*): 21( ) 0

2

a

x t

k



- nghiệm của (**):

22

2 2 2

.

2

1

j

a





- nghiệm của (***):

23

2 2 2

2

1

j b





2 2

2

j r j



 

Nghiệm tổng quát (giai đoạn bình ổn) là:

x t  x t  x t  x t  x t

3 Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ

- Biên độ dao động của vật lớn nhất khi:

j

j

Cộng hưởng xảy ra với giá trị biên độ hữu hạn và là cộng hưởng sớm

- Khi j tăng đến  thì các số hạng tương ứng sẽ dần về 0 do đó,

ta chỉ cần dùng các giá trị j đủ lớn

6.VI Dao động cưỡng bức, kích động đa tần, cản nhớt tuyến tính

Phương trình mô tả chuyển động:

0 1

.sin

n

i

mx cx kx F  t



Đây là trường hợp riêng của kích động tuần hoàn

6.VII Dao động cưỡng bức, kích động bất kỳ, cản yếu

1 Phương trình vi phân chuyển động

( )

mx cx kx    F t

2 Phương trình chuyển động

* Khi chưa có lực tác dụng: mx cx kx0

Phương trình chuyển động:

d d

x t e x c  t   t



2



* tại t = 0, đặt xung lực đơn vị

1

1

0

t t

t t



 

f sẽ gây ra vận tốc đầu cho hệ vận tốc này được xác định theo

định lý động lượng

( 0 ) ( 0 )

1

m

Tại t = 0: 0

0

0 0

x x

x x





  

Tại t = 0:

0

0 0

0 1

;

x x

x x x

m



hệ là: ( ) n t 1 sin ( )

d d

m





g(t)- được gọi là hàm đáp ứng xung lực của đơn vị, đây là hàm

miêu tả dao động tắt dần

Nếu ta đặt vào hệ 1 xung lực

t t

t

F F dt



  thì ptcđ là:

d d

F

m





* tại t =  0, đặt xung lực F vào hệ, ptcđ là:

( )

d d

F

m



Nhận xét:

Một hàm bất kỳ có thể chia ra thành rất nhiều xung có độ lớn

khác nhau Tại thời điểm t, 1 xung sẽ gây ra 1 di chuyển x(t)

nào đó, được xác định như sau:

x t( )F g t ( );FF( ).

Như vậy, di chuyển của hệ bằng tổng các di chuyển do các xung

lực gây ra tại thời điểm t

x t ( )    x t ( )   F( )   ( g t   )

Cho  thì phương trình chuyển động là:

1

( ) ( ) 0

1

d d

m

 



3 Nhận xét về chuyển động của cơ hệ

- Biểu thức nghiệm trên thể hiện đáp ứng của hệ một bậc tự do

giảm chấn yếu trước kích thích không tuần hoàn F(t) Lưu ý rằng

công thức nghiệm trên không xét đến ảnh hưởng của các điều

kiện đầu của hệ

- Tích phân trong nghiệm trên gọi là tích phân chập hay tích phân

Duhamel

6.VIII Dao động cưỡng bức, kích động động lực ly tâm, cản nhớt tuyến tính

1 Phương trình vi phân chuyển động:

2

sin

Mx cx kx  me t

2 Phương trình chuyển động

Xét hệ trong giai đoạn bình ổn: x(t) = x2(t) Nghiệm riêng của phương trình: x t2( )  X sin(  t  )

Với

2

2 2

1

( )

X

k M







Với các ký hiệu ,

c c







   thì ta có:

  3

1

2

MX M me







 

M3 được gọi là hệ số biên độ dạng 3

3 Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ

- Tất cả các đường cong biểu diễn M3 đều đi qua gốc tọa độ

- Khi  tăng cao thì M31

- Khi 0 1

2 thì M3 đạt max khi 2

1

 

2

1 ( ax)

M m





- Khi  1

2 thì M3 không đạt giá trị (max), nghĩa là M3 tăng

từ 0 đến 1 khi  tăng từ 

- Cộng hưởng là 1 dao động cưỡng bức khi M3 đạt max + Điều kiện cộng hưởng:

2

1

; 2

1 2

n







+ Tính chất của cộng hưởng:

Biên độ là hữu hạn

Cộng hưởng là cộng hưởng muộn, tức là n

Đồ thị:

Câu 7: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ nhiều bậc tự do bỏ

qua cản: Phương trình vi phân chuyển động, Tần số riêng,

dạng riêng, ma trận dạng riêng, tính trực giao của ma trận

dạng riêng, phương trình chuyển động, tọa độ chính, tọa độ

chuẩn:

Trả lời

1 Phương trình vi phân chuyển động:

Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

   

  

(1)

Trong đó: + L T   - Hàm Lagrange

+ qj là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ ( j  1, s)

+ q jlà vận tốc suy rộng

+ T - Động năng của hệ

+  - Thế năng của hệ

Lập được ptvpcđ:

  M   q    K     q  0 (2)

Trong đó:     M ; K lần lượt là các ma trận khối lượng và ma

trận độ cứng

  q là véc tơ các tọa độ suy rộng   q    q1 q2 qn T

2 Tần số riêng

Điều kiện đầu: t   0 qi  qi0; qi  qi0

Tìm nghiệm riêng của phương trình có dạng:

    q  A sin(   t  )

(3) là hệ pt đại số tuyến tính thuần nhất đối với các thành phần

A1, A2, …As

Để (3) không có nghiệm tầm thường thì:

det   2 

0

  (4)

(4) được gọi là pt tần số (pt đặc trưng của (3)) Đây là pt đại số

thuần nhất bậc “s” đối với 2 Giải (4) sẽ tìm được các nghiệm

1, 2,…,s Các tần số này được gọi là các tần số riêng của hệ

3 Dạng riêng, ma trận dạng riêng

ứng với mỗi 2

j

 (nghiệm của (4)) ta có phương trình:

   

1j 2j

sj

A

q = A cos(ω t+φ )= cos(ω t+φ )

A A

j, Aij thỏa mãn:   2     

0

j

1

1

1

j

j

sj sj

A

A

;   ij ij 1j

A

A

V  

  

 - được gọi là véc tơ riêng

Một véc tơ riêng sẽ mô tả 1 dạng dao động riêng của hệ nên còn

gọi là rạng riêng Ký hiệu A1j = Cj

 Dạng riêng:   2

j

1

q =C cos(ω t+φ )

j j sj

V V

(có “s” dạng riêng)

* Ma trận dạng riêng: Tập hợp các véc tơ riêng sẽ được 1 ma

trận dạng riêng

j

s s sj

V



 

4 Phương trình chuyển động

Dạng riêng thứ j:    q = A cos(ω t+φ ) j j j j

Đây là một nghiệm của hệ ptvp chuyển động Các nghiệm qj là độc lập tuyến tính Tổ hợp các nghiệm này là nghiệm tổng quát của cơ hệ:

 Nghiệm tổng quát:    

1

s j j







s s









q C cos(t )C cos(t)  C c s os(s ts)

2 1 21 1 1 2 22 2 2 2

q C V cos(t) C V cos(t)  C V c s sos(s ts) 

s 1 1 1 1 2 2 2 2

q C V c s os(t) C V c s os(t)  C V c s ssos(s ts)

Các giá trị j được xác định từ phương trình tần số

Vij được xác định từ dạng riêng

Các hệ số Cj, j được xác định từ điều kiện đầu

Nhận xét:

- Nghiệm tổng quát là một lớp “s” chuyển động của hệ theo từng j

- Từng chuyển động của hệ là hợp của “s” dao động điều hòa

5 Tính trực giao của các dạng riêng

Xét phương trình:

  M   q    K     q  0 (2) Xét 2 dạng riêng u, r có ur

- Với  = u dạng riêng tương ứng:    qu= A ucos(ω t+φ ) u u

- Với  = r dạng riêng tương ứng:    q = A cos(ω t+φ ) r r r r

Điều kiện trực giao:

     

     

ir ij , 1

ir ij , 1

s T

ju

i j s T

ju

i j





















6 Tọa độ chính

Từ phương trình vpcđ:   M   q    K     q  0 (2) Khi ta chọn 1 véc tơ tọa độ suy rộng đặc biệt là   p sao cho khi đưa thêm   p vào thì các ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng trở thành ma trận đường chéo Khi đó,   p được gọi là tọa độ chính Dựa vào phép biến đổi:   q    V   p    q    V   p

Thay vào (2)     M V   p     K V     p  0 (6) Nhân trái (6) với  T

V

(6)    V T M V  p     V T K V    p  0 (7)

    T

V M V và     T

V K V là các ma trận đường chéo

0

0

T

ss

m

m

0

0

T

ss

k

k

Suy ra:

ss s ss s

m p k p

m p k p

m p k p







(8) gồm s phương trình tuyến tính

thuần nhất hệ số hằng Giải tìm được p1, p2,…, ps

  q   V   p

Nhận xét: Khi dùng các tọa độ pi để đưa hệ ptvp thành “s” ptvp đại số độc lập tuyến tính thì pi được gọi là véc tơ tọa độ chính

Câu 8: Dao động tuyến tính tự do hệ nhiều bậc tự do có cản nhớt:

phương trình vpcđ và cách tìm phương trình chuyển động

Trả lời

1 Phương trình vi phân chuyển động

Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

d L L c j

Q

(1)

Trong đó: + L T   - Hàm Lagrange

+ qj là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ ( j  1, s)

+ q jlà vận tốc suy rộng

+ T - Động năng của hệ

+  - Thế năng của hệ

+ c

j

Q - là lực suy rộng ứng với tọa độ qj do lực cản gây ra

c

j

j

R

Q

q



 

 ;

2 1

1 2

n

k k k

R c V



 - Hàm hao tán Reyleigh

ck- phần tử cản thứ k Lập được ptvpcđ dạng ma trận:

  M   q    C q      K     q  0 (2)

2 Cách tìm phương trình chuyển động Có 2 phương pháp giải:

* Phương pháp 1: giải trực tiếp

+ Tìm nghiệm riêng dạng:     t

q  A e + Tính     q ; q và thay vào ptvpcđ, ta được:

  2        

0

+ Để hệ pt (3) có nghiệm không tầm thường thì:

det   M   C   K    0 (4)

+ Ta chỉ xét 1 trường hợp nghiệm cho đơn giản:j  j ij

có véc tơ dạng riêng:     A j  u j i v  j

Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:

1

j

t

j







Với B D j, j;(j1, )s được xác định từ điều kiện đầu

Vậy, chuyển động của hệ là hợp của 2 dao động:

+ j t

e : dao động tắt dần

+ B j  u j cosj t v jsinj tD j  u j cosj t v jsinj t

* Phương pháp 2: Giải theo phương pháp ma trận dạng riêng

Có một số cơ hệ mà khi thành lập phương trình vi phân, ta có thể

khai triển thành:

  C  1  M  2  K (  1; 2 c onst)

Khi đó, dùng ma trận dạng riêng để giải

Ta có:   C    M    K



là 1 tần số quy chiếu tùy ý, sao cho khi đưa vào thì ,  là

các đại lượng không thứ nguyên

Dùng phép biến đổi   q    V   p Tính     q ; q và thay vào

ptvpcđ, rồi nhân trái với  T

V để đưa về dạng:

m pii. i c pii. i k pii  0 (6)

Với:     T

ii

    T

ii

c  V C V

    T

ii

k  V K V

Từ (6) tính được pi tính được   q    V   p

Câu 9: Dao động tuyến tính cưỡng bức hệ nhiều bậc tự do: phương trình vpcđ và cách tìm phương trình chuyển động

Trả lời

1 Phương trình vi phân chuyển động

Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

- Khi bỏ qua cản:

d L L a j

Q

   

  

- Khi có cản:

d L L c j a j

Trong đó:

+ L  T là hàm Lagrange (T: động năng; : thế năng ) + qj là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ ( j  1, s)

+ q jlà vận tốc suy rộng + c

j

Q - là lực suy rộng ứng với tọa độ qj do lực cản gây ra + a

j

Q - là lực suy rộng ứng với tọa độ qj do các hoạt lực Fm a gây ra

Hệ phương trình vi phân chuyển động:

- Khi bỏ qua cản:

  M   q    K     q  F

- Khi có cản:

  M   q    C q      K     q  F

2 Cách tìm phương trình chuyển đông

Có hai phương pháp giải:

* Phương pháp 1: giải trực tiếp

Nghiệm tổng quát có dạng:      *

1

l m m



  q là nghiệm tổng quát của phương trình có vế phải

  q là nghiệm tổng quát của phương trình không có vế phải  *

q là các nghiệm riêng ứng với các thành phần hoạt lực Fj Xác định  *

q bằng cách:

- Cách 1: đồng nhất hóa hệ số dựa vào dạng các hoạt lực nếu các hoạt lực cho dưới dạng hàm điều hòa

- Cách 1: Dùng tích phân Duhamel nếu các hoạt lực hàm bất kỳ

* Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi

  q    V   p

Chỉ dùng phương pháp này khi ma trận cản có dạng:

  C  1  M  2  K

Đưa hệ phương trình vi phân chuyển động về dạng:

m pii. i c pii. i k pii  0 (*) Với:     T

ii

    T ii

c  V C V     T ii

k  V K V

Từ (*) tính được pi tính được   q    V   p