Cơ học đại cương cơ học vật rắn dao động sóng cơ

Cơ học đại cương cơ học vật rắn dao động sóng cơ

Trường đại học Bách KHOA

ư -ể ( ễ -

PHẦN I :

CƠ HỌC VẬT RẮN

Chương ôn tập:

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT

§1 Hợp vận tốc - Hợp gia tốc :

Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy

chiếu (R1) Gọi (O e1; x1,e y1,e z1) và (O e2; x2,e y2,e z2) là hai hệ

tọa độ Descartes lần lượt gắn liền với (R1) và (R2)

2(R )

y

R

de dt

z

R

de dt

z2

x2

O22(R )

x1

y2

⇒ Các véctơ và mọi vectơ gắn liền với hệ quy chiếu (R2) đều là không đổi trong hệ quy chiếu (R1)

b) Trường hợp hệ (R 2 ) quay tương đối xung quanh một trục cố định của hệ (R 1 ):

Giả sử hệ quy chiếu (R2) quay xung quanh trục cố định (O1z1)

của hệ quy chiếu (R1) và giả sử O1 = O2, hai trục (O1z1) và (O2z2)

Trong trường hợp tổng quát, chuyển động tương đối của hệ (R2)

của so với hệ (R1) có thể xem là hợp của hai chuyển động :

• Chuyển động quay với vectơ quay ΩR2/R1 có phương chiều thay đổi theo thời gian

2) Đạo hàm của một vectơ trong hệ (R1) và trong hệ (R2):

Xét một véctơ U t( ) phụ thuộc vào thời gian t và được mô tả trong cơ sở ( ,e x2 e y2,e z2) của hệ (R2) như sau : U t( )=U x2.e x2 +U y2.e y2 +U z2.e z2

= ⎜⎝ ⎟⎠ và chuyển động với

vận tốc v M( )/ 1R trong hệ quy chiếu (R1) :

1

1

1 /

e

v M được gọi là vận tốc theo của điểm M

Vận tốc theo của điểm M, tại thời điểm đang xét, chính là vận tốc trong hệ (R1) của điểm

M* gắn liền với hệ (R2) và tại thời điểm đang xét M* trùng với điểm M M* gọi là trùng điểm của M tại thời điểm nói trên :

a M được gọi là gia tốc theo của điểm M

Gia tốc theo của điểm M, tại thời điểm đang xét, chính là gia tốc trong hệ (R1) của trùng

điểm M* của điểm M tại thời điểm nói trên : a M

a M được gọi là gia tốc Coriolis của điểm M

5) Các trường hợp chuyển động đặc biệt của (R 2 ) đối với (R 1 ):

a) Hệ (R 2 ) chuyển động tịnh tiến đối với hệ (R 1 ) :

b) Hệ (R 2 ) quay quanh một trục cố định của (R 1 ) :

Giả sử hệ quy chiếu (R2) quay xung quanh trục cố

định (O1z1) của hệ quy chiếu (R1) và giả sử O1 = O2,

hai trục (O1z1) và (O2z2) trùng nhau

a M =θ e ×HM −θ HM

Trong đó : H là hình chiếu của M trên trục quay Oz1 = Oz2

•Ghi chú : Gia tốc a M e( ) gồm hai thành phần : Thành phần aτ =θ.e z1× M H vuông góc với

HM (gia tốc tiếp tuyến) và thành phần 2

.

n

a = − θ H M hướng từ M về H (gia tốc hướng tâm)

§2 Khốí lượng và khối tâm của hệ chất - Hệ quy chiếu khối tâm :

• Nếu hệ (S) là một tập hợp vô hạn các chất điểm phân bố liên tục

trong thể tích V, khối lượng m của hệ: ( )

Xét một hệ kín (S) (không trao đổi chất với môi trường ngoài bao quanh hệ) gồm n chất điểm Mi

có khối lượng mi Gọi O là một điểm bất kỳ

Khối tâm G của hệ (S) được xác định bởi :

Giả sử hệ (S) bao gồm từ hai hệ (S1) và (S2) lần lượt có khối tâm là G1 và G2, có khối lượng là

m1 và m2, khối tâm chung G của hệ (S) được xác định bởi :

(m +m ).OG =m OG +m OG

• Khi một hệ là đồng nhất và có một phần tử đối xứng (mặt đối xứng, trục đối xứng ), khối tâm

G của hệ sẽ nằm trên phần tử đối xứng này

3) Hệ quy chiếu khối tâm:

Chuyển động của hệ chất (S) được nghiên cứu trong hệ quy chiếu (R)

Hệ quy chiếu khối tâm (R*), tương ứng với hệ quy chiếu (R), là hệ quy chiếu gắn liền với khối tâm G của hệ chất (S) và chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu (R) với vận tốc v G ( )/R

Oz

Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có vận tốc vi trong hệ quy chiếu (R)

Động lượng Pcủa hệ (S) trong hệ quy chiếu (R) :

i i i

b) Động lượng trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) :

Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), khối tâm G là điểm cố định Vận tốc của khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) :

b) Định lý Koenig về momen động lượng :

• Momen động lượng của hệ (S) đối với điểm O trong hệ quy chiếu (R) : L0

3) Mômen động lượng khối tâm:

Momen động lượng của một hệ (S) trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) không phụ thuộc vào điểm tính toán

Thật vậy, gọi A là một điểm bất kỳ, L A* là momen động lượng của hệ (S) đối với điểm A trong hệ quy chiếu (R*), * là vận tốc của điểm Mi trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), ta có:

4) Momen động lượng đối với một trục :

Hình chiếu của momen động lượng L của hệ chất (S) đối với điểm O, trên trục ∆ đi qua O được 0

gọi là momen động lượng của hệ (S) đối với trục ∆

0

L∆ =L e∆ với : e∆ véctơ đơn vị của trục ∆

§4 Tổng động lực và mômen động lực của một hệ chất :

1) Tổng động lực:

Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có gia tốc ai trong hệ quy chiếu (R)

•Tổng động lực của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R): S

i i i

Nếu O là một điểm cố định trong (R) hay O G≡ thì: O

O

dL D

K i

i i

E =∑ m v

2) Định lý Koenig về động năng :

Động năng của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R) :

§6 Một số định lý cơ bản của động lực học hệ chất :

1) Định lý về tổng động lực (hay định lý về động lượng) :

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), tổng động lựcS của một hệ chất khép kín (S) bằng tổng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ:

ext

S=F

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian của tổng động lượng của một hệ

chất khép kín (S) bằng tổng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ :

dt = = =

2) Định lý về momen động lực (hay định lý về momen động lượng):

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), momen động lực D của một hệ chất khép kín (S) đối với O

điểm O bằng momen M O(F ) ext đối với điểm O của tổngF extcủa tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ: D O =M O(F ext)

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian của momen động lựợngLO của một

hệ chất (S) khép kín đối với điểm O cố định trong (Rg) bằng momen M O(F ) ext đối với điểm O của tổng ext

F của tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ: O ( ext

dt = − × với O là một điểm bất kỳ Khi O là điểm cố định

trong Rg, ta có:v( )O =0, do đó: O

O

dL D

dt = Từ đó suy ra: O ( ext)

L : momen động lượng của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R*)

Mặc khác, do (R*) chuyển động tịnh tiến đối với (Rg), nên :

Như vậy định lý về momen động lượng có thể vận dụng cho điểm G trong hệ quy chiếu khối

tâm (R*) (mặc dầu hệ quy chiếu (R*) có thể không phải là hệ quy chiếu Galilée)

3) Định lý về momen động lượng đối với một trục cố định:

Trong hệ quy chiếu Galilée Rg, đạo hàm theo thời gian của momen động lượng L∆ của một hệ

chất (S) khép kín đối với một trục cố định trong (Rg) bằng momen ∆ M F∆( ext) đối với trục ∆của tổng ext

F của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ:

( ext)

dL

M F dt

4) Định lý về động năng :

• Đạo hàm theo thời gian của động năng của một hệ chất (S) khép kín trong hệ quy chiếu Galilée (Rg) bằng tổng công suất của tất cả các nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ (S)

Xét một hệ (S) khép kín gồm n chất điểm M có khối lượng mi i Gọi e

i

F và là ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i của hệ (S)

i i

Độ biến thiến động năng ∆EK của một hệ chất khép kín trong hệ quy chiếu Galilée (Rg) trong

một khoảng thời gian (t0,t) nào đó bằng tổng công của tất cả các ngoại lực và nội lực sinh ra trong chuyển dời tương ứng với khoảng thời gian đó:

Chương 1 :

CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

§1 Vật rắn trong cơ học :

1) Khái niệm về vật rắn :

Trong cơ học, vật rắn là một vật thể không biến dạng : Khoảng cách

giữa hai điểm bất kỳ của vật rắn không đổi theo thời gian

Khái niệm vật thể không biến dạng chỉ là một mô hình Vì vậy, một tờ giấy

mỏng trượt trên mặt bàn và không bị biến dạng vẫn có thể xem như là một vật

rắn Trong khi đó một dầm kim loại đặt trên hai gối tựa và chịu lựcF khá lớn,

sẽ bị biến dạng khá nhiều trong qúa trình chịu lực ⇒ trong trường hợp này, không thể coi dầm là vật rắn

F gối tựa

dầm kim loạiHình 1

2) Hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn :

(R)

S(R )z

xO

(R S)

xse

βα

y = yS

⊕

θxse

Xét một vật rắn (S) có dạng hình vành tròn,

tâm C, chuyển động trong mặt phẳng thẳng

đứng trên mặt đất nằm ngang, trong hệ quy

chiếu trái đất R O e e e ( ; ; ; )x y z Điểm C, tâm

của vành tròn, cũng có thể xem như là một

điểm thuộc vật rắn, mặc đầu tại C không có vật

chất, bởi vì khi vành tròn chuyển động, điểm C

cũng chuyển động cùng với vành tròn Tổng

quát hơn, mọi điểm trong không gian (mặc dầu

tại đó không có vật chất), liên kết chặt chẽ với

(S) và chuyển động cùng với (S) cũng có thể

xem là các điểm thuộc vật rắn (S)

chẽ với vật rắn và chuyển động cùng với vật

rắn Khi đó, chuyển động của vật rắn (S) trong

hệ quy chiếu (R) có thể xem như tương đương

với chuyển động của hệ quy chiếu (RS) so với

hệ quy chiếu (R)

Hình 3

3) Thông số cần thiết để mô tả chuyển động của vật rắn :

• Đối với một hệ chất điểm (S) gồm n chất điểm Mi Để mô tả chuyển động của hệ (S) trong hệ quy chiếu(R), cần phải biết 3n thông số (với mỗi chất điểm cần biết ba tọa độ x, y, z của nó)

1 Các hệ toạ độ ( ;O e x;e y;e x ) và( ;C e x ;e y ;e z ) là các hệ tọa độ De scartes

• Tuy nhiên, để mô tả chuyển động của vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R), chỉ cần biết nhiều

nhất là 6 thông số, nhằm mô tả chuyển động của hệ quy chiếu (RS) gắn liền với vật rắn đối với hệ quy chiếu (R):

+ Ba thông số để xác định vị trí của gốc của hệ quy chiếu (RS) đối với hệ quy chiếu (R) : ba tọa độ xOS, yOS, zOS của điểm OS trong hệ (R)

⇒

+ Hoành độ x của tâm C của vành tròn trong hệ (R)

+ Góc θ xác định phương chiều của véctơ đơn vị

S

x

e của hệ (RS) trong (R)

§2 Trường vận tốc :

1) Quan hệ vận tốc và gia tốc :

Xét một vật rắn (S) chuyển động trong hệ quy chiếu

(R) Gọi (RS) là hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn (S)

và có gốc P, với P là một điểm cố định trên (S)

@ Gọi là vận tốc của điểm M thuộc vật rắn

(S) trong hệ quy chiếu (R) Áp dụng định lý hợp vận

tốc :

/( ) R

với : v M e( ) : vận tốc theo của điểm M

: vận tốc của điểm M trong hệ quy

chiếu (RS) (Điểm M cố định trong hệ quy chiếu (RS) :

@ Tương tự, gọi là gia tốc của điểm M thuộc vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R) Áp dụng định lý hợp gia tốc :

/( ) R

2) Các trường hợp đơn giản :

a) Vật rắn (S) chuyển động tịnh tiến :

Nếu vật rắn chuyển động tịnh tiến trong (R)S ⇒ Ω =0

Hình 6

xS

ySM

Xét vật rắn (S) quay xung quanh trục Oz cố định trong

hệ quy chiếu ( ; ; ; )R O e e e Gắn cứng với vật rắn một x y z

hệ quy chiếu R O x y z S( ; S, S, S)như hình 6 với Oz = OzS

Gọi θ là góc quay của vật rắn (S) quanh trục Oz (góc

quay của hệ quy chiếu (RS) xung quanh trục Oz của hệ

quy chiếu (R))

Véctơ quay của vật rắn (S) trong (R): Ω =θ( ).t e z

Mỗi điểm M của vật rắn vạch nên một quỹ đạo hình tròn,

có trục là Oz Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của M được xác

định bằng :

r

OM =r e +z e z (r và z không phụ thuộc vào t)

@ Vận tốc của điểm M trong (R) :

@ Gia tốc của điểm M trong (R) :

@ Ghi chú : Gia tốc của điểm M có thể phân thành hai thành phần : Thành phần

hướng từ M về H (gọi là gia tốc hướng tâm) và thành phần

vuông góc với HM (gia tốc tiếp tuyến)

3) Vật rắn quay xung quanh trục có phương không đổi trong (R):

a) Ví dụ 1 : Chuyển động của thanh truyền :

Xét cơ cấu tay quay- con trượt như hình 7î, dùng để biến chuyển động quay của khâu OA thành chuyển động tịnh tiến của con trượt B và ngược lại Hãy nghiên cứu chuyển động của thanh truyền AB có khối tâm là G

Để nghiên cứu chuyển động của thanh truyền AB,

ta xét thêm hệ quy chiếu khối tâm R* ( ;G e e e x, y, z)

tương ứng với hệ quy chiếu (R)

( )R

y

xA

O

B

MG

xy

θ ( *)R

⊕

z

@ Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), thanh truyền

AB quay xung quanh trục Gz cố định Gọi M là

một điểm bất kỳ của thanh truyền AB, ta có :

v M( )*=v G( ) *+Ω ×* GM

với : và là vận tốc của M và G

trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), là

( )

v M v G( )

*Ω

Hình 7 vectơ quay tức thời của thanh truyền AB

trong hệ (R*) : Ω =* θ( ).t e z

Do khối tâm G cố định trong hệ (R*) ⇒ v G( )*=0 ⇒ v M( )*= Ω ×* GM

Sử dụng định lý hợp vận tốc, trong hệ quy chiếu (R), ta có :

θ

Từ (1) và (2), suy ra : Ω = Ω =* θ(t e) z

Véctơ quay tức thời của vật rắn là như nhau trong hai hệ quy chiếu (R) và (R*) Mở rộng ra, véctơ quay tức thời của vật rắn là như nhau trong các hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến tương đối đối với nhau

@ Ghi chú: Chuyển động của thanh truyền AB trong hệ quy chiếu (R) có thể xem như hợp của

hai chuyển động:

• Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm G trong hệ quy chiếu (R)

• Chuyển động quay xung quanh một trục Gz đi qua khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) (Trục Gz cố định trong hệ quy chiếu khối tâm (R*))

b) Ví dụ 2 : Chuyển động của một bánh xe :

@ Xét một bánh xe, coi như một đĩa tròn, bán kính b, tâm C, chuyển động trong mặt phẳng thẳng

đứng trên mặt đất nằm ngang cố định trong hệ quy chiếu (R) (Hình 8)

Gọi I là điểm tiếp xúc của bánh xe và mặt đất tại thời điểm t Tại chỗ tiếp xúc I vào thời điểm t, cần phân biệt ba điểm khác nhau:

• Điểm IS của mặt đất, cố định trong (R)

• Điểm IR của bánh xe Do bánh xe lăn ⇒ tại một thời điểm sau đó IR không còn nằm trên mặt đất nữa

• Điểm hình học I xác định vị trí tiếp xúc

I = IR = IS

Hình 8

JS = J

C C’

∆x

x

θ

tại t tại t + ∆t

J R

z = eθΩ

⊕

M (R*)y

v I =v C + Ω ×CI Ω là véctơ quay của bánh xe trong (R)

Vận tốc được gọi là vận tốc trượt của bánh xe trên mặt đất (nhớ rằng mặt đất là cố

định trong R) Ta thấy

( R)

v I =v g

g

v nằm theo phương tiếp tuyến chung tại I giữa bánh xe và mặt dất

@ Bánh xe được gọi là lăn không trượt nếu như : v g =v I( R)=0

Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất, tại thời điểm t đang xét, điểm IR của bánh xe tiếp xúc với mặt đất có vận tốc bằng không ⇒ Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất, giữa hai thời

điểm t và t + dt rất gần nhau bánh xe có thể xem như chuyển động quay tức thời xung quanh một

trục ∆ đi I và song song với Ω

y

Trục ∆ được gọi là trục quay tức thời của bánh xe (4) (Hình 9)

@ Chuyển động của bánh xe có thể xem như hợp của hai chuyển động :

+ Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm C (OC =x e x+b e ) với vận tốc là v C =x e x

+ Chuyển động quay xung quanh trụcCz đi qua khối tâm C trong hệ quy chiếu khối tâm R* với vận tốc góc Ω =θ( ).t e z , trong đó θ là góc giữa trục Cx và một bán kính CM gắn cứng trên bánh

Suy ra vận tốc trượt của bánh xe trên mặt đất : v g =v I( R)= +(x θ ).b e x

@ Bánh xe lăn không trượt trên mặt đất khi: v g =v I( R)=0 Thế mà : v g =(x+θ ).b e x Do đó, khi bánh xe lăn không trượt : x+θ.b=0

Mặt khác, nếu gọi ∆x và ∆θ lần lượt là dịch chuyển của tâm C của bánh xe và góc quay của bánh

xe trong khoảng thời gian ∆t; JR và JS lần lượt là các điểm của bánh xe và của mặt đất, mà tại thời điểm t + ∆t đến tiếp xúc với nhau tại J, ta có : I J S S = ∆ và cung x I J R R = ∆ b θ

Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất thì:

x+θ b= ⇒ ∆ = ∆ ⇒ x b θ I J S S =I J R R

@ Ghi chú : Chuyển động của thanh truyền (ví dụ 1) và của bánh xe (ví dụ 2) còn được gọi là

chuyển động song phẳng Trong chuyển động song phẳng, một điểm M bất kỳ của vật rắn chuyển

động trong cùng một mặt phẳng hay trong các mặt phẳng song song với một mặt phẳng quy chiếu định trước Chuyển động song phẳng của một vật rắn có thể xem là tổng hợp của hai chuyển động: Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm G và chuyển động quay xung quanh trục Gz đi

qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng quy chiếu nói trên

§3 Các đại lượng động học :

1) Trường hợp vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định :

a) Momen động lượng đối với một điểm trên một trục :

Xét một vật rắn (S) quay xung quanh một trục ∆ gắn cứng với (S) (trục ∆ cố định trong hệ quy chiếu R(O ; x, y, z)), với véctơ quay là : Ω Lấy trục Oz của hệ R trùng với trục quay ∆ Gọi θ là góc quay của hệ quy chiếu (RS) gắn cứng với vật rắn so với hệ (R), ta có : Ω = Ω =.e z θ.e z

Momen động lượng L A của vật rắn đối với điểm A cố định trên trục Oz trong hệ quy chiếu (R) :

v M =v A + Ω ×AM = Ω ×e AM

( ) 0

v A =Suy ra :

L ⊥ = −Ω∫∫∫ AM e HM dm vuông góc với véctơ quay Ω

Ghi chú : Thành phần L A⊥ =0 khi :

@ Vật rắn nhận trục ∆ làm trục đối xứng

@ Khi vật rắn là vật rắn phẳng nằm trong mặt phẳng qua A và vuông góc với trục ∆

b) Momen động lượng đối với trục ∆ - Momen qúan tính :

• Hình chiếu của momen động lượng L∆ L A lên trục quay ∆ được gọi là momen động lượng của vật rắn (S) đối với trục ∆฀:

2 //

L∆ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên trục ∆

• Momen quán tính của vật rắn (S) đối với trục quay ∆ được định nghĩa như sau :

Ghi chú : Trường hợp vật rắn (S) bao gồìm hai phần (S1) và (S2), lần lượt có momen quán tính đối với trục

∆ là J ∆1 và J ∆2 Khi đó, momen quán tính của (S) đối với trục đối với trục ∆ sẽ bằng : J ∆ = J ∆1 + J ∆2

2

K S

2) Áp dụng các định lý Koenig :

a) Momen động lượng và động năng của vật rắn:

@ Để nghiên cứu chuyển động của một vật rắn (S)

trong hệ quy chiếu R(O,x,y,z), ta đưa thêm vào hệ

quy chiếu khối tâm R*(G,x,y,z) Khi đó, áp dụng các

định lý Koenig:

Về momen động lượng : *

( )

L = AG mv G× +L

với : là momen động lượng của (S) đối với khối

tâm G trong hệ quy chiếu (R*);

E là động năng của (S) trong hệ quy chiếu (R*)

@ Trường hợp vectơ quay của vật rắn (S) luôn luôn không thay đổi phương trong suốt quá

trình chuyển động, chẳng hạn Ω

Gz

L : momen động lượng của vật rắn đối với trục Gz trong hệ R

Ghi chú : Trong biểu thức của momen động lượng và động năng ta thấy gồm hai thành phần: Thành phần AG mv G× ( ) hay 1 2

E = J Ω 2 tương ứng với chuyển

động quay của vật rắn (S) quanh trục Gz trong hệ quy chiếu khốiï tâm (R*)

@ Trở lại bài toán chuyển động của bánh xe lăn trên mặt đất nằm ngang cố định trong hệ quy

chiếu trái đất (R) Trong hệ quy chiếu khối tâm R*(C, x, y, z), bánh xe quay quanh trục Cz cố định trong R*, ta có: * với:

*( )

(Chú ý : Đây là trường hợp vật rắn phẳng chuyển động trong mặt phẳng qua C và vuông góc với trục quay

Cz, do đó thành phần * , chỉ còn lại thành phần

(S) (R)

Ω

(R*)

Hình 12

Xét vật rắn (S) quay xung quanh một trục cố định

(∆) trùng với trục Oz của hệ quy chiếu R đang xét

với véc tơ quay Gọi G là khối tâm của vật rắn

(Hình 11) Trong (R*), (S) quay xunh quanh trục cố

định (∆G) trùng với Gz và song song với trục (∆)

K

E là động năng của vật rắn trong (R) :

21 .2

Mặt khác, trong R, khối tâm G chuyển động trên vòng tròn tâm H bán kính a (H là hình chiếu của

G trên trục (∆)) với vận tốc góc là , do đó : Ω 2 2

( )

v G = Ω a 2 (c) Thay (a) (b) (c) vào (1), suy ra : 2

G

J∆ =ma +J∆ Đây chính là định lý Huygens

Chương 2 :

TIẾP XÚC GIỮA HAI VẬT RẮN - ĐỊNH LUẬT VỀ MA SÁT

§1 Nghiên cứu động học:

(R)

y(Σ)

(S)

(Σ)I

Hình 1:

S / Rv(I )

/ R xev(I )∑ =v

g

v (I)

z

1) Vận tốc trượt:

• Xét hai vật rắn (S) và (Σ) luôn luôn tiếp xúc

với nhau, và cùng chuyển động trong hệ quy

chiếu R (Hình 1)

Chúng có thể tiếp xúc theo một mặt, theo một

đường hay theo một điểm Tại mỗi thời điểm

t, luôn luôn có ít nhất một điểm IS của (S) trùng

với một điểm IΣ của (Σ) tại điểm tiếp xúc I

v ( )g I = v( IS)/R∑

g

v (I)(P)

( )∑(S)

Hình 2

• Thông thường, chúng ta nghiên cứu chuyển động của

vật rắn (S) trên một giá đỡ (Σ) cố định trong hệ quy chiếu

R : Khi đó hệ quy chiếu ( )R∑ trùng với hệ quy chiếu R

• Trong trường hợp giữa hai vật rắn (S) và (Σ) tồn tại

một tiếp diện chung (P), vận tốc trượt vg sẽ nằm trong

mặt phẳng (P) (Hình 2)

• (S) được gọi là không trượt trên (Σ) khi vận tốc trượt bằng 0 tại mọi điểm tiếp xúc I :

v ( ) 0g I =

2) Chuyển động lăn và xoay của (S) đối với (Σ):

• Trong hệ quy chiếu R, gọi ΩS và Ω∑ là vectơ quay của vật rắn (S) và (Σ) Véctơ quay tương

đối ΩS/∑ của (S) so với (Σ), tức là véctơ quay của (S) trong hệ quy chiếu (R∑) gắn liền với (Σ): /

+ Véctơ pháp ΩNvuông góc với tiếp diện chung(P) tại I của (S) và (Σ).ΩN được gọi là vectơ

quay của chuyển động xoay.

+ Véctơ tiếp ΩT nằm trong tiếp diện chung (P) Ω được gọi là vectơ quay của chuyển động T

lăn

Hình 5: Hình trụ (S) chuyển động

lăn so với giá đỡ

( ) S

I

Hình 4 : Khối vuông (S) chuyển

động xoay so với giá đỡ

• Trong toàn bộ phần Cơ học vật rắn, chúng ta chỉ nghiên cứu các chuyển động đơn giản của vật

rắn (S) trên giá đỡ cố định ( )∑ với:

+ Các vectơ ΩN và ΩT không thay đổi phương trong qúa trình chuyển động

+ (S) lăn không xoay (Ω =N 0) hay xoay không lăn (Ω = ), hoặc không lăn không xoay T 0(chuyển động tịnh tiến) trên( )∑

§2 Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc:

1) Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc của hai vật rắn:

@ Hai vật rắn (S) và (Σ) có thể tiếp xúc nhau theo mặt

(khối vuông tiếp xúc với mặt phẳng), theo đường (hình

trụ tiếp xúc với mặt phẳng) hay theo điểm (hình cầu

tiếp xúc với mặt phẳng) Tuy nhiên, trên thực tế, do có

biến dạng đàn hồi, (S) và (Σ) luôn tiếp xúc nhau theo

một mặt nào đó (diện tích tiếp xúc có thể khá nhỏ) Hình 6:

Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc giữa (S) và (Σ) gây ra bởi tương tác giữa các phân tử của (S) và (Σ)

trên bề mặt tiếp xúc, và có tầm tác dụng rất ngắn Nói chung, đây là một hệ lực không gian phân

• Momen thu gọn: - MI, tiepxuc

Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc là ẩn số của bài toán phân tích lực

@ Tác động cơ do (Σ) tác dụng lên (S) tại chỗ tiếp xúc được phân thành các thành phần (Hình 7) :

I, tiepxuc

• Đối với hợp lực : R

+ Thành phần n òm tại I trong tiếp diện chung (P) tại I của (S) và (Σ) T

+ Thành phần N n òm tại I theo phương pháp tuyến tại I với (P)

R = T + N với: T ⊥ N

• Đối với momen MI, tiepxuc:

+ Thành phần MI,t nằm trong tiếp diện chung (P)

+ Thành phần MI,n nằm theo phương pháp tuyến với (P)

I, tiepxuc I, I,

M = M t +M n với : MI,t ⊥MI,n

Nđược gọi là áp lực (phản lực pháp tuyến); T được gọi là lực ma sát trượt bởi vì nó chống lại

chuyển động trượt của (S) trên (Σ); MI,t được gọi là momen ma sát lăn bởi vì nó chống lại

chuyển động lăn của (S) trên (Σ); MI,n được gọi là momen ma sát xoay bởi vì nó chống lại

chuyển động xoay của (S) trên (Σ)

@ Trong chương này, chúng ta sẽ bỏ qua ma sát xoay và ma sát lăn Bởi vì chúng ta chỉ nghiên cứu các

I, nM

(P)( )

Hình 8:

Σ

(S)

I, tiepxucM

I, tMN

( )S

I(Σ)

I

xO

y

Hình 10

Hình 9

Khi đó, tác động cơ tại chỗ tiếp xúc từ vật rắn (Σ) lên vật rắn (S) chỉ còn lại hợp lực R = T + N đi qua điểm tiếp xúc I.

2) Định luật Coulomb về ma sát trượt (khô) :

Khi nghiên cứu chuyển động của vật rắn, phải kể thêm vào các ẩn số của bài toán các lực ma sát trượt T

và áp lực Các định lý cơ bản không cho ta đủ số phương trình để xác định tất cả các ẩn số ⇒ Do vậy,

cần phải biết thêm quan hệ giữa và

N

Bằng thực nghiệm, Coulomb đã tìm được mối quan hệ giữa lực ma sát trượt và áp lựcT N

a) Tính chất của áp lực : N

• Đối với liên kết một phía, ví dụ khi (S) được đặt trên giá đỡ (Σ)

(Hình 12), áp lực từ (Σ) tác dụng lên (S) luôn luôn hướng từ (Σ)

N(S)

O

Hình 13

(S) và (Σ) không tiếp xúc với nhau nữa khi: N = 0

• Đối với liên kết hai phía, ví dụ hình trụ rỗng (S) lồng qua một

thanh hình trụ (Σ) (Hình 13), cắt trục OO của hình trụ, nhưng

chưa thể kết luận gì về phương, chiều của

N

N

b) Tính chất của lực ma sát trượt T:

• Tùy theo (S) trượt hay không trượt trên (Σ) mà T có các tính

chất khác nhau Gọi vận tốc trượt của (S) trên (Σ) vg

+ Nếu (S) trượt trên (Σ): vg ≠0: T và vg song song và ngược

chiều nhau: T v× g =0 và T vg <0

Suất (mođun) của T tỉ lệ với suất của N : T = f N

với f là hệ số tỉ lệ và được gọi là hệ số ma sát trượt (f > 0)

+ Nếu (S) không trượt trên (Σ), mà chỉ có xu hướng trượt trên (Σ): vg =0: cùng phương và

ngược chiều với chiều của xu hướng trượt

T

Suất của và của thỏa mãn biểu thức: T N T ≤ f N

Trong cả hai trường hợp, giá trị cực đại của T bằng f N

• Khi f = 0, tiếp xúc giữa (S) và (Σ) được gọi là tiếp xúc

không có ma sát Khi đó: T = 0 và hợp lực R = T + N = N

vuông góc với tiếp diện chung (P) tại điểm tiếp xúc I của

y x’

x

Hình 14

Khi hình khối chữ nhật (S) cân bằng, ta có :

0=Te x+Ne y+mg

Từ đó : T = −mgsinα <0 và N =mgcosα >0 (T và N là các gía trị đại số của lực ma sát và của áp lực)

c) Tính chất của hệ số ma sát trượt f:

• Hệ số ma sát trượt f phụ thuộc vào:

+ Bản chất của các vật rắn tiếp xúc (vật liệu các bề mặt tiếp xúc), ví dụ khi vật rắn bằng thép tiếp xúc với

vật rắn bằng gỗ, hệ số ma sát f sẽ khác với trường hợp vật rắn bằng thép tiếp xúc với vật rắn bằng cao su

+ Trạng thái các bề mặt tiếp xúc, ví dụ khi hai bề mặt tiếp xúc gồ ghề, f sẽ lớn Khi hai bề mặt tiếp xúc được phủ một lớp chất bôi trơn, f sẽ giảm xuống

+ Tăng theo thời gian tiếp xúc ban đầu (thời gian có áp lực N nhưng chưa có trượt tương đối hay xu hướng trượt tương đối)

• Hệ số ma sát trượt f không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc và hầu như không phụ thuộc vào vận tốc

trượt

Ghi chú: Định luật Coulomb chỉ phản ánh gần đúng quy luật ma sát trượt khô, tuy nhiên vẫn có thể áp

dụng nó trong nhiều bài tính kỹ thuật Trên thực tế, f không phải là hoàn toàn độc lập với vận tốc trượt: Trường hợp (S) không trượt trên (Σ), f lớn hơn trong trường hợp (S) trượt trên (Σ), do vậy người ta phân biệt hệ số ma sát động f đ khi (S) trượt trên (Σ) và hệ số ma sát tĩnh f t khi (S) không trượt trên (Σ) Trong

đa số trường hợp: fđ < ft

2) Một số hệ quả của định luật Coulomb:

@ Hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn (S) khi thu

gọn về điểm A nào đó bao gồm lực thu gọn Fe xt

và momen thu gọn Trong hệ quy chiếu

Rg giả sử là hệ quy chiếu Galilée, vật rắn (S) cân

bằng khi :

A, extM

e xt

F = ; 0 MA, ext = và nếu vật rắn 0

đứng yên tại thời đểm ban đầu

Ngoài ra, nếu (S) chịu tác động cơ (R, MI, tiepxuc)

tại điểm tiếp xúc I, thì hệ lực (R, MI, tiepxuc) này phải tuân theo định luật Coulomb

G (S)

O x

H

Hình 15

@ Ví dụ: Khối chữ nhật (S) tiếp xúc với mặt đất (Σ) (Hình 15) Hệ ngoại lực tác dụng lên (S)

bao gồm: Trọng lượng mg; lực kéo F và tác động cơ tiếp

Dưới tác dụng của , giả sử vật rắn (S) có xu hướng chuyển

động so với (Σ) theo phương chiều xx’ (nhưng chưa chuyển

động tương đối so với (Σ)) hướng theo chiều x’x Ta

b) Nón ma sát và hiện tượng tự hãm:

xúc từ (Σ) lên (S) Xét một hình nón tròn xoay (N), đỉnh I,

trục song song với áp lực , nửa góc ở đỉnh là ϕ với tg ϕ =

f (f: hệ số ma sát trượt) Hình nón (N) nói trên được gọi là

( , )N R =ϕ ⇒ α ϕ= ⇒ R nằm trên mép nón ma sát (N)

• Khi (S) không trượt trên (Σ) (mà chỉ có xu hướng trượt):

T≤ f N ⇒ T ≤tgϕ.N ⇒ ( , )N R ≤ϕ ⇒ α ϕ≤ ⇒ R nằm bên trong nón ma sát (N) (Trường

hợp giới hạn, R nằm trên mép nón (N))

y Hình 17

( )Σ

NT

(S)R

x

@ Hiện tượng tự hãm : Xét vật rắn (S) khối lượng m, đặt trên một mặt phẳng nằm ngang cố

định (Σ) Tác dụng vào (S) một lực đẩyFnghiêng đi một góc α so với phương thẳng đứng (Điểm đặt của nằm tại vị trí sao cho (S) không bị lật quanh một cạnh)F (Hình 17)

Tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) khi thu gọn về điểm I : R = T + N (giả sử bỏ qua momen ma sát) T song song, ngược chiều với Ox N song song, cùng chiều với Oy

Aïp dụng định lý về động lượng: ( ) ext

i i

Với T và N là giá trị của và T N

• Khi (S) đứng yên ⇒ x=0; T≤ f N ⇒ Fsinα ≤ fFcosα ⇒

tgα ≤tgϕ ⇒α ϕ≤ ⇒ F nằm trong nón ma sát (N) Như vậy, khi

α < hay nằm trong nón ma sát (N) thì cho dù giá trị của F F

có lớn bao nhiêu đi nữa, vẫn luôn luôn có: T < fN ⇒ (S) vẫn

không trượt trên (Σ) Lúc đó (S) bị rơi vào trạng thái tự hãm khi

ϕ

N

Hình 18

• Khi hay nằm ngoài nón ma sát (N): Dù giá trị của giá

trị của khá nhỏ, (S) cũng sẽ trượt trên (Σ) (Hình 18) (Bởi vì

nếu (S) không trượt trên (Σ) thì ta sẽ suy được

F F

α ϕ≤ , điều này trái với giả thiết α ϕ> )

Lúc đó : T = f N = f Fcosα ⇒ Gia tốc của (S): x F(sin f.cos )

§3 Công suất của các tác động cơ tại chỗ tiếp xúc:

• Xét một vật rắn (S) chuyển động trong hệ quy chiếu (R) Giả sử hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn được thu gọn về điểm A và bao gồm: Lực thu gọn R và momen thu gọn: MA

6 Giả sử trọng lượng mg của vật rắn (S) không đáng kể so với giá trị của lực F

Công suất của hệ lực nói trên: P = R v (A )S +M A.ΩS

Với: v (A )S : vận tốc của điểm A thuộc (S) (vận tốc của điểm đặt A của lực R ), : Véctơ quay của (S)

S

Ω

Chú ý rằng công suất P không phụ thuộc vào điểm tính toán A

• Cho vật rắn (S) tiếp xúc với vật rắn (Σ) và cùng chuyển động trong (R) Hãy tính công suất của các tác động cơ tiếp xúc từ (S) lên (Σ) và từ (Σ) lên (S) trong các trường hợp sau:

+ (S) và (Σ) chuyển động tịnh tiến trong (R):

Ta có: Ω = Ω =S Σ 0

Công suất của các tác động cơ tiếp xúc :

+ Từ (Σ) lên (S): P = R v (I )S +M I tiepxuc, ΩS ⇒ P S =R v I ( S)

+ Từ (S) lên (Σ): P = -R v (I )Σ +M I tiepxuc, ΩΣ ⇒ PΣ = −R.v(IΣ)

Với : v (I )S : vận tốc của điểm I thuộc (S); v (I )Σ : vận tốc của điểm I thuộc( )Σ

+ (S) và (Σ) tiếp xúc theo điểm : (hoặc theo đường trong bài toán phẳng, ví dụ hình trụ lăn trên mặt đất) Bỏ qua ma sát lăn và ma sát xoay (bỏ qua momen thu gọn MI, tiepxuc)

⇒ P=T.vg ≤0 (Do N ⊥ và v g T song song ngược chiều với v g)

Công suất tổng cọng P của các tác động cơ tiếp xúc lên cơ hệ gồm (S) và (Σ) luôn luôn âm hoặc bằng

không

Ta thấy P = 0 khi không có ma sát (T = ) hay khi không trượt: 0 vg =0

• Trường hợp đặc biệt khi (Σ) cố định trong (R) :

v( )IΣ = ⇒ 0 P∑ = −R.v( )IΣ = ⇒0 P=P S =T.vg ≤ 0

Công suất của các tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) luôn luôn âm hoặc bằng không P S

Chương III :

CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

§1 Một số liên kết thông dụng giữa hai vật rắn:

@ Cho hai vật rắn (S) và (Σ) tiếp xúc nhau và cùng chuyển động trong hệ quy chiếu (R) Tác động cơ từ (Σ) lên (S) tại chỗ tiếp xúc khi thu gọn về điểm tiếp xúc A bất kỳ thuộc (S) gồm: Lực thu gọn Rvà momen thu gọn: M A tiepxuc,

@ Tổng công suất của các tác động cơ từ (Σ) lên (S) và từ (S) lên (Σ) tại chỗ tiếp xúc bằng :

S

P=P +PΣ

với: P = R v (A )S S +M A tiepxuc, Ω S P = - R v (A )Σ Σ −M A tiepxuc, Ω Σ

AS và AΣ lần lượt là các điểm thuộc (S) và (Σ) trùng nhau tại điểm A; v (A )S , lần lượt là vận tốc của điểm và A thuộc (S) và (Σ);

v (A )ΣS

A Σ Ω , S ΩΣ lần lượt là véctơ quay của (S) và (Σ) trong (R)

@ Liên kết giữa (S) và (Σ) được gọi là lý tửởng (parfait) (không có ma sát) nếu như :

Hình 1 : Ví dụ về liên

kết trượt Hình 2 : Ví dụ về liên kết bản

lề (liên kết trụ quay)

1) Liên kết trượt (liên kết kiểu lăng trụ, liên kết tịnh tiến):

@ Hai vật rắn (S) và (Σ) được gọi là có liên kết trượt (liason glissière) với nhau nếu (S) chỉ

chuyển động tịnh tiến thẳng song song với một trục gắn liền với (Σ) (Hình 1)

@ Liên kết trượt là lý tưởng (không có ma sát trượt) nếu lực thu gọn Rvuông góc với phương chuyển động của (S) trên (Σ)

Do (S) tịnh tiến trong hệ quy chiếu RΣ gắn liền với (Σ) nên tất các các điểm thuộc (S) có cùng vận tốc và bằng vận tốc trượt vgcủa (S) trên( )Σ : v (A )S /RΣ =vg Mặt khác : M A tiepxuc, =0 (ma sát lăn và ma sát xoay không xuất hiện) Công suất của tác động cơ từ lên tại chỗ tiếp xúc :

P .v(A )=R RΣ =R.v = (do 0 R v⊥ g)

2) Liên kết bản lề (liên kết trụ quay, liên kết quay):

@ Hai vật rắn (S) và (Σ) được gọi là có liên kết bản lề (liason pivot) với nhau nếu (S) chỉ chuyển

động quay xunh quanh một trục (∆) gắn liền với (Σ) (Hình2)

@ Liên kết bản lề là lý tưởng (không có ma sát) nếu thành phần trên trục quay (∆) của momen thu

gọn M A tiepxuc, về một điểm A thuộc trục quay (∆) bằng 0, nghĩa là nếu : M A tiepxuc, ⊥ ∆ ( )

Khi đó, công suất của tác động cơ từ ( )Σ lên (S) tại chỗ tiếp xúc: P 0S =

vì: M A tiepxuc, ⊥ ΩS R/ Σ và v(A S)/RΣ =0

§2 Nghiên cứu chuyển động quay (Liên kết bản lề):

1) Áp dụng định lý về động lượng và momen động lượng :

Xét một vật rắn (S) quay xung quanh một trục cố định Oz trong hệ quy chiếu R O x y z( ; , , ) giả sử là Galilée Giả sử rằng liên kết giữa (S) và

giá cố định (liên kết bản lề) là lý tưởng

(không có ma sát)

z

Goiü R O x y z S( ; S, S, S) là hệ quy chiếu gắn

liền với (S), sao cho khối tâm G của (S)

nằm trong mặt phẳng (OxSz)

Chuyển động quay của (S) trong hệ quy

chiếu (R) được xác định bằng góc quay

S

= (Ox, Ox )

θ

R

(S) chịu tác động của các ngoại lực: Tác

động cơ tiếp xúc do các bản lề tác động

lên trục quay, khi thu gọn về điểm O

gồm: Lực thu gọn và momen thu

gọn: M O tiepxuc, ⊥Oz (do liên kết không có ma sát); các ngoại lực khác biết trước (như trọng lượng, ngẫu lực cùa động cơ ) tác động lên (S), khi thu gọn về điểm O gồm: Lực thu gọn và momen thu gọn:

Để nghiên cứu chuyển động của vật rắn (S) có thể áp dụng định lý về động lượng, định lý về

momen động lượng và định lý về động năng

@ Áp dụng định lý về động lượng cho vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R)

Với L Oz;M Oz là thành phần của L O và của M O song song với trục Oz

Với L O⊥;M O⊥ là thành phần của L O và của M O vuông góc với trục Oz

Và : dLOz

dt =M Oz Mà: LOz =J OzΩ =J Ozθe z

Suy ra : J Ozθe z =M Oz Hay: J Ozθ =M Oz (3)

2) Nghiên cứu chuyển động của vật rắn (S):

@ Nếu cần xác định quy luật chuyển độngθ θ của vật rắn (S) có thể áp dụng định lý về = (t)

momen động lượng đối với trục Oz cố định :

dL

( )dt

e Oz

Oz i i

M F

=∑ ⇒ J Ozθe z =M Oz ⇒ J Ozθ =M Oz (4)

Đây chính là phương trình vi phân của chuyển động quay của (S)

@ Có thể viết phương trình vi phân của chuyển động quay của (S) bằng cách áp dụng định lý

động năng: dE int

dt

ext k

Trong đó: là công suất của tác động cơ lên (S) tại chỗ tiếp xúc, là công suất của các ngoại lực khác tác động lên (S)

tiepxuc

Do liên kết bản lề là lý tưởng: P tiepxuc = 0

Mặt khác : P khac =F.v( )O +M Oθe z =M Ozθ ⇒ J Ozθθ =M Ozθ ⇒ J Ozθ =M Oz (5)

3) Tác động cơ tiếp xúc:

Khi biết quy luật chuyển động θ θ , có thể xác định được tác động cơ = (t) lên (S) tại chỗ tiếp xúc nhờ các phương trình (1), (2)

,(R, )M O tiepxuc

4) Định luật bảo toàn momen động lượng đối với trục quay:

Khi các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay xung quanh một trục cố định có momen đối với trục

quay bằng 0, momen động lượng của vật rắn đối với trục quay được bảo toàn

Thật vậy, theo định lý về momen động lượng: dLOz

( )dt

e

Oz i i

Tµi liÖu tham kh¶o :

[1] C¬ hôc vỊt r¾n, N¨m thø hai, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette SupÐrieure, Nxb Gi¸o

PHẦN II :

DAO ĐỘNG VÀ SÓNG CƠ

a) Dao động tử điều hoà:

Xét một hệ chỉ có một bậc tự do Biến thiên của hệ được đặc trưng bằng một đại l ượng vật lý ψ

(ψ có thể là dịch chuyển, góc lệch, cường độ, điện áp ) Ví dụ, một con lắc chuyển động quay xung quanh một trục nằm ngang, chuyển động của hệ được xác định bằng góc lệch θ của con lắc

so với vị trí cân bằng

Nếu hệ có một vị trí cân bằng bền ứng với ψ ψ= 0 và ở lân cận vị trí cân bằng đó, phương trình biến thiên của ψ có dạng:

2 2 0

d dt

Hệ nói trên được gọi là một dao động tử điều hoà

b) Dao động tử cơ học có phục hồi tuyến tính :

Xét một vật có khối lượng M, gắn vào một lò xo có độ cứng K (bỏ qua khối lượng của lò xo), trượt không ma sát dọc theo một thanh nằm ngang Vị trí cân bằng ứng với độ dài của lò xo là a0,

được chọn làm gốc của trục Ox Đầu kia của lò xo gắn vào một điểm cố định (Hình 1)

Gọi ψ( )t là dịch chuyển của vật so với vị trí cân bằng

Trong hệ quy chiếu giả thiết là Galilée, phương trình chuyển động là:

Hãy xét sự tương đồng giữa một con lắc lò xo và một mạch điện LC nối tiếp

Cho mạch điện như hình vẽ, gồm tụ điện có điện dung C, cuộn dây có hệ số tự cảm L, q là điện tích trên hai bản tụ điện (Hình 2)

áp dụng định luật bảo toàn năng lượng để viết phương trình vi phân mô tả sự biến thiên của q:

WC + WL = W = hằng số