Trong những năm học gần đây, các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán của các tỉnh, thành phố thường xuyên xuất hiện dạng bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị. Đây là một dạng toán rất hay, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy, phải biết vận dụng tổng hợp các kiến thức về hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Viét, … Qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và viết thành chuyên đề: “Các bài toán về hàm số và đồ thị trong đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán”.
Trang 1MỤC LỤC
Dạng 2 Xác định các điểm thuộc đồ thị của hàm số Tìm m để đồ thị của
Dạng 3 Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau,
Dạng 4 Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 10 Dạng 5 Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định 12 Dạng 6 Xác định toạ độ điểm chung của hai đồ thị hàm số 14 Dạng 7 Tìm m để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa
III Một số bài toán về hàm số và đồ thị trong các đề thi vào lớp 10
Trang 2A MỞ ĐẦU
I/ Lí do chọn đề tài
Trong chương trình các môn học ở bậc THCS, môn Toán là môn học chiếm
vị trí đặc biệt quan trọng Các kiến thức và kĩ năng của môn Toán là cơ sở giúp cho học sinh học tốt các môn học khác Trong đời sống hàng ngày, các kĩ năng như tính toán, vẽ hình, đo đạc, ước lượng; kĩ năng sử dụng các dụng cụ toán học, máy tính điện tử là rất cần thiết đối với người lao động trong thời kì công nghiệp hóa, hiện đại hóa
Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt những tri thức và rèn luyện kĩ năng, môn Toán còn có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ, phát triển khả năng tư duy sáng tạo ở học sinh như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,
Do có vị trí quan trọng nên môn Toán luôn có mặt trong tất cả các kì thi đối với học sinh ở bậc học phổ thông Đối với học sinh lớp 9, ngoài các kì thi học sinh giỏi thì còn có một kì thi rất quan trọng đối với các em đó là kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Kết quả của kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT là một tiêu chí để đánh giá chất lượng dạy và học toán của các trường THCS
Trong những năm học gần đây, các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán của các tỉnh, thành phố thường xuyên xuất hiện dạng bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị Đây là một dạng toán rất hay, đòi hỏi học sinh phải có khả năng
tư duy, phải biết vận dụng tổng hợp các kiến thức về hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi-ét, … Qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và viết thành chuyên
đề: “Các bài toán về hàm số và đồ thị trong đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán”
II/ Mục đích nghiên cứu
Đánh giá thực trạng của học sinh khi giải các bài toán về hàm số và đồ thị,
từ đó đề ra các giải pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hàm số và đồ thị cho học sinh
III/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các bài toán về hàm số và đồ thị trong chương trình môn Toán 9
IV/ Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các dạng bài tập về về hàm số và đồ thị
- Tìm hiểu các bài toán về hàm số và đồ thị trong các đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán
Trang 3B NỘI DUNG I/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Trong chương trình Đại số lớp 9, các bài toán về hàm số và đồ thị rất phong phú, đa dạng Qua thực tế nhiều năm giảng dạy và qua theo dõi kết quả làm bài kiểm tra, kết quả làm bài thi của học sinh lớp 9, tôi nhận thấy khi giải các bài toán
về hàm số và đồ thị, nhiều học sinh vẫn còn rất lúng túng hoặc mắc sai sót Nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa hiểu rõ kiến thức, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức vào từng dạng bài toán cụ thể, lập luận thiếu chặt chẽ, trình bày lời giải chưa rõ ràng, …
Nhằm giúp học sinh giải quyết khó khăn, tháo gỡ những vướng mắc khi giải các bài tập về hàm số và đồ thị, đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học Toán, nâng kết quả bài thi môn Toán vào lớp 10 cho học sinh, tôi đã phân chia các bài tập
về hàm số và đồ thị thành các dạng bài cụ thể và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng bài tập đó Đồng thời trong chuyên đề cũng giới thiệu một số bài toán trong các đề thi vào lớp 10 môn Toán của một số tỉnh và thành phố trong những năm học
Trang 5Dạng 2 Xác định các điểm thuộc đồ thị của hàm số Tìm m để đồ thị của hàm
số đi qua một điểm cho trước
2.1 Phương pháp giải
Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A x y 0; 0 y0 ax0 b
Đồ thị của hàm số y = ax2 đi qua điểm A x y 0; 0 2
Vậy điểm C(-4; -5) không thuộc đồ thị của hàm số
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m + 1)x + 2 Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm
Vậy m 2 thì đồ thị của hàm số y m1x1 đi qua điểm A2; 1
Ví dụ 3: Cho hàm số y2m1x m 3 Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ
Lời giải:
Vì đồ thị của hàm số y2m1x m 3 đi qua gốc tọa độ O(0; 0) nên ta có:
Trang 6
0 2m1 0 m 3 m 3 0 m3
Vậy m3 thì đồ thị của hàm số y2m1x m 3 đi qua gốc tọa độ
Ví dụ 4: Cho hàm số ym1x2m1 Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1
a) Tìm m biết đồ thị của hàm số đi qua điểm A(-2; 1)
b) Với giá trị của m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm tọa độ của điểm B thuộc
đồ thị của hàm số, biết điểm B có hoành độ bằng -4
Trang 7Bài 4: Cho đường thẳng (d) có phương trình ymx2m4 Tìm m để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ
Bài 5: Cho hàm số: y(m3)x2m1 (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) đi qua A(1; 3)
Bài 8: Biết đồ thị của hàm số yax2 đi qua điểmA 1; 4 Tìm hệ số a
Bài 9: Xác định các hệ số a và b, biết đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm
A(1; - 2) và B(3; 4)
Bài 10: Cho hàm số: y = (2m – 1)x + m – 3 (d)
a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 5)
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 3
Dạng 3 Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau
3.1 Phương pháp giải
Cho đường thẳng (d): y = ax + b và đường thẳng (d’): y = a’x + b’
- Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau aa'
- Hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau (d // d’) '
a) Cắt nhau
b) Song song với nhau
c) Trùng nhau
Lời giải:
Trang 8a) Đồ thị của hai hàm số cắt nhau m 4 m 2m 4 m 2
Vậy m2;m0;m4 thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau
b) Đồ thị của hai hàm số song song với nhau 4 2
Vậy m2 thì đồ thị của hai hàm số song song với nhau
Vậy không có giá trị nào của m để đồ thị của hai hàm số trùng nhau
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng 2
y m x và y 3x m 4 (m là tham số) Tìm của m để hai đường thẳng đã cho song song với nhau
m
m m
Trang 9Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 2 1
Bài 1: Cho hai hàm số y = (m - 1)x + 3 và y = (3 - m)x + 1
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau Bài 2: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2m Tìm m để đồ thị của hàm số song song với
đường thẳng x - y + 3 = 0
Bài 3: Cho hai hàm số y = 2x + m - 3 và y = 5x + 5 - 3m Tìm m để đồ thị của hai
hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Bài 4: Tìm m để đường thẳng y = x + m2 + 1 và đường thẳng y =(m - 1)x + 5 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5 Tìm m để đồ thị của hàm số:
a) Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục tung
b) Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên trục hoành
Bài 6: Cho hàm số ym1x2m3 (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số
(1) cắt đường thẳng y 3x5 tại một điểm có hoành độ bằng 3
Bài 7: Cho hai đường thẳng y10x6 và y(m2 1)x2m (với m là tham số) Tìm m để hai đường thẳng trên song song với nhau
Bài 8: Cho hàm số y 4mx m 5 (1) (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của
m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng 2 2
y m xm Bài 9: Cho hàm số: y = (2m – 1)x + m – 3 (d)
Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = (m2 – 4)x + 2m – 2
Bài 10: Cho hai hàm số: y = (m – 3)x + m + 1 (d)
y = (2 – m)x – m (d’) a) Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung b) Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục hoành c) Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau
Trang 10Dạng 4 Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
4.1 Phương pháp giải
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d)
Xét các trường hợp sau:
* Đường thẳng y = ax + b (d) đi qua hai điểm A(m; n) và B(p; q)
- Đường thẳng (d) đi qua điểm A(m; n) nên thay x = m và y = n vào phương trình
y = ax + b ta được phương trình thứ nhất với ẩn là a và b
- Đường thẳng (d) đi qua điểm B(p; q) nên thay x = p và y = q vào phương trình
y = ax + b ta được phương trình thứ hai với ẩn là a và b
- Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên ta sẽ tìm được a và b
* Đường thẳng y = ax + b (d) đi qua điểm A(m; n) và song song với đường thẳng
y = a’x + b’
- Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = a’x + b’ nên a = a’ và b ≠ b’
- Thay a = a’ vào phương trình y = ax + b
- Đường thẳng (d) đi qua điểm A(m; n) nên thay x = m và y = n vào phương trình
Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(2; -1) và B(-3; 4)
b) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) và song song với đường thẳng y = -x + 2 c) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1
Trang 11d) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1
Lời giải:
a) Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) nên ta có: 2a + b = -1 (1)
Vì đường thẳng (d) đi qua điểm B(-3; 4) nên ta có: -3a + b = 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = -1; b = 1
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: y = -x + 1
b) Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) nên ta có: 2a + b = -1 (1)
Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -x + 2 nên a = -1 và b ≠ 2 Thay a = -1 vào (1) ta được: -2 + b = -1 b = 1 (thoả mãn)
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: y = -x + 1
c) Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) nên ta có: 2a + b = -1 (1)
Vì đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 1 nên đường thẳng (d)
đi qua điểm B(0; 1) Suy ra: b = 1
Thay b = 1 vào (1) ta được: 2a + 1 = -1 a = -1
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: y = -x + 1
d) Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) nên ta có: 2a + b = -1 (1)
Vì đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên đường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 0) Ta có: a + b = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = -1; b = 1
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: y = -x + 1
4.3 Bài tập vận dụng
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(1; 1) và B(3; -2)
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(3; 7) và song song với
đường thẳng có phương trình y = 3x + 1
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(-2; 0) và cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 3
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x -1 và
cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng -2
Trang 12Bài 4: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -2x và đi
qua điểm A(2; 7)
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là -1 và đi qua gốc tọa độ
Bài 6: Hãy xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Có hệ số góc là 3 và đi qua điểm A(1; 0)
b) Song song với đường thẳng y = x – 2 và cắt trục tung có tung độ bằng 2
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; -2) và song song với
đường thẳng x + 2y = 1
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đường thẳng x – y + 1 = 0 tại điểm
có tung độ bằng 2 và vuông góc với đường thẳng y = 3 – x
Bài 9: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ và đi qua giao điểm
của hai đường thẳng y = 4x – 3 và y = -x + 3
Bài 10: Viết phương trình trình đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng 5 và đi qua điểm M(2; 3)
Dạng 5 Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định
5.1 Phương pháp giải
- Giả sử đồ thị của hàm số y = ax + b luôn đi qua điểm A(x0;y0) cố định với mọi m
- Thay toạ độ của điểm A vào phương trình y = ax + b ta được: y0 = ax0 + b (*)
- Biến đổi (*) về dạng: A.m + B = 0 ( A, B là các biểu thức chứa x0 và y0)
(Coi m là ẩn; A, B là các hệ số thì đẳng thức A.m + B = 0 luôn đúng khi A = 0 và
Trang 13Vì đẳng thức trên luôn đúng với mọi m nên 0
Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - 2m Chứng minh rằng đồ thị của hàm
số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
Bài 2: Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 3 Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số
luôn đi qua với mọi m
Bài 3: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5 (d) Chứng minh các đường thẳng (d)
luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi Tìm điểm cố định ấy
Bài 4: Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m - 1 Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi
qua một điểm cố định khi m thay đổi Tìm điểm cố định ấy
Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = (m - 2)x + m + 1 luôn đi qua một
điểm cố định với mọi m, hãy xác định điểm cố định đó
Bài 6: Cho hàm số y = (1 - 2m)x +m - 2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m,
đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định
Bài 7: Cho hàm số y = mx + 3m - 1 (d) Tìm tọa độ của điểm cố định mà đường
thẳng (d) luôn đi qua với mọi m
Trang 14Bài 8: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2020 Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số
luôn đi qua với mọi giá trị của m
Bài 9: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2m + 1 Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng
sau luôn đi qua với mọi giá trị của m
Bài 10: Cho hàm số: y = (2m - 1)x + m - 3 (d) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì
các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Dạng 6 Xác định toạ độ điểm chung của hai đồ thị hàm số
6.1 Phương pháp giải
* Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngy axb vàya x' b'là nghiệm
Để xác định toạ độ điểm A là giao điểm của hai đường thẳng ta lập phương
trình hoành độ giao điểm Giải phương trình đó để tìm hoành độ xA của giao điểm,
từ đó xác định được tung độ yA của giao điểm
Kết luận: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A( xA;yA)
* Toạ độ điểm chung của đường thẳng và parabol
Tọa độ điểm chung của parabol (P): 2
Phương trình (*) gọi là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d)
và parabol (P) Số nghiệm của phương trình (*) là số điểm chung của (d) và (P)
- Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
- Phương trình (*) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)
- Phương trình (*) vô nghiệm thì (d) và (P) không giao nhau
6.2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): y = x - 2 và đường thẳng (d’): y = -2x + 1
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) bằng phép tính b) Gọi giao điểm của (d) và (d’) với trục Ox lần lượt là A và B Tìm toạ độ các điểm A, B
Trang 15Lời giải:
a) Gọi M giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) là:
x - 2 = -2x + 1 3x = 3 x = 1
Với x = 1 thì y = -1
Vậy giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) là M(1; -1)
b) Trục hoành Ox là đường thẳng có phương trình y = 0
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và trục hoành Ox là:
a
Với x = 1 thì y = 1, ta được điểm A(1; 1)
Với x = -2 thì y = -5, ta được điểm B(-2; -5)
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(1; 1) và B(-2; -5)
Ví dụ 3: Cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng (d): y x m
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 6
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt